PISA

Jos kutsuu kirjoitelmiaan matematiikkablogiksi, lienee jonkinlainen velvollisuus sanoa jotakin myös PISAsta. Yritetään siis.

Ei tulos Suomen kannalta tavattoman huono ollut. Jonkinverran on menty alaspäin, mutta eurooppalaisessa seurassa on silti pärjätty aika hyvin. Aasian maat ovat monessa suhteessa erilaisia. Varmasti on kuitenkin syytä pohtia, mistä taantuminen johtuu. Aiempien vuosien menestys on aiheuttanut turhan suurta hypeä, ja nyt olemme saaneet terveellisen muistutuksen.

Missä määrin PISAn tehtävät todella mittaavat matematiikan osaamista, on varsin kyseenalaista. Kykyä terveen järjen käyttöön ne kyllä mittaavat. Huolestuttavaa onkin, jos nyt saatu tulos osoittaa huonontumista terveen järjen käytössä. Paljon siteeratussa salaatinkastike-tehtävässä voi minusta pohtia, onko kyseessä matematiikka, jos tulee ymmärtää, että isompaa erää tehtäessä on ainesosien suhteet säilytettävä. Voisihan vaikka kustannussyistä olla parempi lisätä vain ruokaöljyä. Tai vettä.

Matematiikka kuulunee aika monella — syystä tai toisesta — kategoriaan EVVK, ei voisi vähempää kiinnostaa. Onko tällä vaikutusta vastaamiseen? Jos tehtävät eivät lainkaan kiinnosta, ei ehkä jäädä myöskään sen enempää miettimään vastauksia, vaan vastataan ylipäätään jotain. Muutoin minun on hieman vaikeata ymmärtää, että varsin helpot tehtävät ovat tuottaneet vaikeuksia sentään aika monelle.

PISAn synnyttämässä keskustelussa nähdään tilanteen parantamisen edellyttävän, että

1. tietotekniikan käyttöä on lisättävä ja
2. tietotekniikan käyttöä on vähennettävä.

Asia tuskin on näin yksinkertainen. Me elämme maailmassa, jossa tietotekniikan käyttöön törmää kaikkialla ja kasvavassa määrin.  Kyllä koulun tulee opettaa tähän maailmaan. Menneisyyteen ei voi palata, vaikka se kangastelisikin tarunhohteisena onnen aikana (mitä se ei kuitenkaan ollut).

Kun Internet oli syntynyt ja web-sivustot tulivat käyttöön, puhuttiin paljon tulevasta tietoyhteiskunnasta. Olen ollut mukana, kun sähkökirjeiden lähettäminen tuli mahdolliseksi ja ensimmäiset selaimet saatiin käyttöön, mutta en tuolloin kyennyt arvaamaan, mitä kaikkea oli tulossa. Tieto- ja viestintäyhteiskunta on merkinnyt sellaista maailman avautumista ja mahdollisuuksien kasvua, että sitä on opittava lapsuudesta lähtien vähitellen ymmärtämään ja hyödyntämään.

Kaikella on kuitenkin myös haittansa. Runsauteen paneutuminen vaatii aikaa. Kaikkea ei ehdi ja liian yrittäminen johtaa kaiken silppuuntumiseen.  Paljon on mahdollista, mutta yhteen asiaan paneutumista on vaikeata saada tehdyksi. Onneksi on paljon, johon ei oikeastaan kannatakaan paneutua. Lukija voi miettiä PISA-kirjoittelun asemaa.

Tässä lienee ongelman ydin: Tieto- ja viestintätekniikka tuo paljon hyvää, mutta hyvän esiin suodattaminen ei ole aivan helppoa. Siihen on kuitenkin opittava. Hyödyt ovat sen verran suuret.

Tietotekniikkaa pyritään käyttämään myös pedagogisena välineenä.  Tässä ei sinänsä ole uutta. Aikoinaan on vannottu televisio-opetuksen nimiin, yksinkertainen HTML-kieli, interaktiiviset web-sivut ja CD-ROM-levyt ovat olleet avaimia kaikkeen. Varsin luonnollista on ollut edetä tekniikka edellä: on saatu kiinnostavia välineitä, niitä on haluttu kokeilla, niihin on innostuttu ja niiden on alettu uskoa ratkaisevan kaiken. Kunnes on tullut seuraava tekniikka.

Kaikesta on toki jäänyt jotakin, jota on kehitetty edelleen ja joka on sulautunut uudempiin tekniikkoihin. Tätä kutsutaan kehitykseksi eikä siinä ole mitään pahaa. Nopea kehitys tuottaa kuitenkin ongelmia: Jos kyseessä ovat massiiviset ratkaisut — kuten vaikkapa tablettien ja opetusohjelmien käyttö koko koululaitoksessa — käyttäjät on koulutettava aina uudelleen uusiin tekniikkoihin, laitteet on uusittava, ohjelmistot on päivitettävä ja ennen pitkää kirjoitettava uudelleen. Ei ole ihan halpaa.

Esimerkkinä materiaalien vanhenemisesta tarjoan omat osittain yli kymmenen vuotta vanhat aikaansaannokseni verkkosivulla http://matta.hut.fi/matta/.  Lukija voi katsoa, kuinka monet niistä ovat edelleen toiminnallisesti tai ulkonäkönsä puolesta käyttökelpoisia; ankean näköistähän ei kukaan halua käyttää. Tarjoan siis yhden silpun lisää.

Auto vai vuohi?

Ns. Monty Hall -ongelman taustana on amerikkalainen televisio-ohjelma Let's Make a Deal, jonka juontajana toimi Monty Hall. Kyseessä on peli, jossa yleensä yleisön joukosta valittu kilpailija pyrkii voittamaan itselleen auton.

Aluksi kilpailijalle näytetään kolme ovea ja kerrotaan, että yhden takana on auto, kahden muun takana vuohi. Hän saa valita yhden oven, mutta ei avata sitä. Pelin juontaja, joka tietää missä auto on, avaa tämän jälkeen toisen kahdesta muusta ovesta, jolloin nähdään, että sen takana on vuohi. Kilpailijalta kysytään, haluaako hän pitäytyä valinnassaan vai vaihtaa sen toiseen vielä suljettuna olevaan oveen. Ongelmana on, kannattaako vaihto (kun tavoitteena on useimpien länsimaisten ihmisten tapaan voittaa auto eikä vuohta).

Lähestymistapoja voisi olla kolme:

1. Uskoa auktoriteetteja, jotka sanovat, että kannattaa vaihtaa.
2. Todeta, että kyseessä on todennäköisyyslaskennan ongelma ja ryhtyä perehtymään ehdolliseen todennäköisyyteen ja Bayesin kaavaan.
3. Kirjoittaa ohjelmakoodi ja simuloida tilannetta.

Ongelma herätti 1990-luvun alussa Yhdysvalloissa mielenkiintoisen debatin, jota on referoitu  englanninkielisessä Wikipedia-artikkelissa. Artikkeli sisältää myös useita tapoja ongelman ratkaisemiseen, mm. Bayesin kaavaa käyttäen. Sama ratkaisu on esitetty ehkä hieman selkeämmin vastaavassa suomenkielisessä Wikipedia-artikkelissa. Helpoimmin ymmärrettävä lienee kuitenkin edellisessä kirjoituksessani mainitun Ehrhard Behrendsin kirjan (Five-Minute Mathematics) ratkaisu. En tässä puutu todennäköisyysteoreettiseen ratkaisuun lähemmin.

Päätin itse yrittää simuloida tilannetta ja tämä osoittautuikin helpommaksi kuin kuvittelin.  Simulointeja löytyy toki netistäkin.

Olkoot alkuperäiset kolme valintamahdollisuutta — ovet — $a_1$, $a_2$ ja $a_3$.  Yhden arvona on 1 (auto), kahden muun arvona 0 (vuohi). Satunnaislukugeneraattorin avulla näistä valitaan yksi. Luonnollisinta on olettaa, että kaikki ovat yhtä todennäköisiä, ts. jokaisen todennäköisyytenä on 1/3. Välttämättä ei näin tietenkään ole: voisihan ajatella esimerkiksi, että juontaja on viehättynyt symmetrioista ja sijoittaa auton useimmiten keskimmäisen oven taakse, vuohet reunoille. Yleensäkin todennäköisyyslaskennan ongelman perustodennäköisyyksien valinta on muuta kuin matematiikkaa. Kyse on siitä, miten uskomme asioiden olevan. Esimerkiksi yleensä uskomme heittävämme virheetöntä noppaa tai luotamme tilastodataan.

Toisella kierroksella valintoja on kaksi: $b_1$ tarkoittaa alkuperäiseen valintaan pitäytymistä ja sen arvo on sama kuin satunnaislukugeneraattorilla tehdyn valinnan arvo, siis joko 0 tai 1. Jos tämä on 1, juontaja voi avata kumman tahansa jäljellä olevista ovista, sillä molemmissa on vuohi. Suljetuksi jäävän oven takana on siis myös vuohi ja toinen vaihtoehto $b_2$ on 0. Jos taas $b_1$ on 0, juontajalla on vain yksi mahdollisuus avata ovi vuohen edestä. Suljetuksi jäävän takana on auto ja siis tällöin $b_2$ on 1.

Vaihtoehdoista $b_1$ ja $b_2$ siis aina toinen on 1 ja toinen on 0. Kun algoritmi on ohjelmoitu, voidaan käynnistää simulointi: ajetaan laskenta useita kertoja ja katsotaan, kuinka monessa tapauksessa päädytään tilanteeseen, jossa $b_1$ on 1, ja kuinka monessa tilanteeseen, jossa $b_2$ on 1. Mutta tämä onkin tarpeetonta, sillä algoritmin rakenne jo osoittaa, että suhde tulee olemaan 1:2.

Toki myös ajoin simulaation. Miljoonalla kierroksella todennäköisyyksiksi skaalatut tulokset olivat varsin stabiilisti 0.333–0.334 ja 0.666–0.667. Aikaa laskentaan meni alle 15 sekuntia. Tulokseksi voisi tietenkin tulla myös vaikkapa 1 ja 0, mutta tämän todennäköisyys on varsin vähäinen. Tuskin onnistuisi kertaakaan, vaikka maailman tällä hetkellä elävä väestö käyttäisi elinaikansa simulaation ajamiseen kerran sekunnissa (minun konettani nopeammalla laitteella).

Populaarikirjoja — suomeksi?

Pistäydyin Espoon kaupungin kirjastossa ja ohikulkiessani vilkaisin, mitä matematiikkahyllyssä on tarjolla. Lähinnähän siellä on oppikiroja ja jokunen vanha matematiikkaa käsittelevä yleisteos. Nyt olivat panneet tyrkylle — nostaneet kirjarivistä erilleen — Clifford A. Pickoverin kirjoittaman 528-sivuisen opuksen nimeltä The MATHBOOK, tai kuten kanteen on kirjoitettu The MαTHβOOK. Englanniksi siis. Silmäilin ja päätin lainata katsoakseni hieman tarkemmin.

Kirjan alaotsikkona on From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics. Sisältönä on 250 yhden sivun pituista artikkelia, joista jokaiseen liittyy viereisen sivun täyttävä värikuva. Artikkelit ovat toisistaan irrallisia ja käsittelevät jotakin jollakin tavoin matematiikkaan liittyvää asiaa kronologisesti järjestettyinä. Ensimmäisen aikamerkintä on 'c. 150 Million B.C.', joten aika kaukaa ennen Pythagoraan aikaa aloitetaan. Viimeinen on kirjattu vuoteen 2007. (Kirjan copyright-merkintä on vuodelta 2009.)

Artikkelien aiheet vaihtelevat tavattomasti. Ensimmäinen, 'Ant Odometer', käsittelee muurahaista, joka näyttää kykenevän matkan mittaamiseen. Jonkinlaisena näytteenä käsitellyistä aiheista voisivat olla seuraavat: Platonin kappaleet, Hypatian kuolema, nolla, loksodromi, projektiivinen geometria, Stirlingin kaava, Goldbachin konjektuuri, Gaussin Disquisitiones Arithmeticae, neliväriprobleema, Hilbertin hotelli, tietokone ENIAC, Rubikin kuutio, Chaitinin omega, laskentaohjelma Mathematica, tv-sarja NUMB3ERS, Lien ryhmä $E_8$ (johon viittaa alaotsikon dimensio 57).

Clifford A. Pickover näyttää verkkosivunsa (http://www.pickover.com/) perusteella olevan tuottelias ja monella alalla liikkuva henkilö. Hän on väitellyt biokemiasta, mutta on myös perehtynyt tietotekniikkaan ja ilmeisesti paljoon muuhunkin. Verkkosivun mukaan hän on julkaissut yli 45 kirjaa, joukossa The Medical Book ja The Physics Book.

Sivun pituisissa artikkeleissa ei luonnollisestikaan kovin syvälle päästä. Kaavojakin on tarpeen mukaan, ei paljon, mutta selvästikään niitä ei ole pelätty. Pääpaino on matematiikan moninaisuudessa, ja tässä on kirjan vahvuus. Usein sanotaan, että matematiikkaa tarvitaan kaikkialla, se on monin tavoin läsnä kulttuurissamme, mutta hämäräksi jää, mitä tämä oikeastaan tarkoittaa. Pickoverin kirja antaa aika hyvän vastauksen.

Mieleeni tulee toinenkin matematiikkaa popularisoiva kirja, Ehrhard Behrendsin Five-Minute Mathematics, jonka on englanniksi kustantanut American Mathematical Society. Kirja koostuu sadasta alunperin saksaksi kirjoitetusta ja Die Welt -lehdessä viikoittain ilmestyneestä artikkelista. Kunkin artikkelin pystyy lukemaan noin viidessä minuutissa, mistä kirjan nimi. Liikkeelle lähdetään usein jokapäiväiseen elämään liittyvästä asiasta, mutta hämmästyttävän pitkälle matemaattiseen ajatusmaailmaan viidessä minuutissa voidaan päästä.

Tällaisia kirjoja toivoisi olevan saatavissa myös suomeksi. Antaisivathan ne matematiikkaa opiskeleville lukiolaisille tai yliopisto-opiskelijoille, heidän opettajilleen, toimittajille ja tavallisille kansalaisille matematiikasta paljon koulukurssia monipuolisemman kuvan. Ei matematiikka ehkä olekaan niin tylsää ja kaavaorientoitunutta kuin koulun perusteella näyttää. Olisiko joku kustantaja kiinnostunut käännättämään ja julkaisemaan vaikkapa näitä kahta kirjaa?

Kääntäjän varmaan pitäisi osata paitsi kääntää, myös ymmärtää jotakin matematiikasta. Löytyisikö matemaatikkoa?

Matematiikan opetus: eksaktisuus vai komputointi

LUMA Sanomissa lukion matematiikan opetuksesta käydyssä keskustelussa (http://www.luma.fi/artikkelit/2413/ajatuksia-lukion-tuntijaosta-matematiikan-osalta) Markku Halmetoja painottaa, tekisi mieleni sanoa hehkuttaa matematiikan eksaktisuutta:

"Nimittäin matematiikka poikkeaa kaikista muista tiedon aloista yhdessä suhteessa: matematiikka on eksaktia ajattelua, jonka totuudet ovat johdettavissa yleisesti hyväksytyistä lähtökohdista, ne ovat ymmärrettäviä ja ikuisia. Kautta vuosisatojen, ehkä jopa vuosituhansien, tämä on viehättänyt ihmiskunnan pienen osajoukon mieliä, ja tämä joukko on ajattelullaan saanut aikaan joko suoraan tai välillisesti koko ihmiskuntaa hyödyttäneitä asioita. Matematiikan opetuksessa olisi siksi pidettävä yllä tällainen eksaktisuuden juonne, mitä nykyisessä peruskoulussamme ei valitettavasti enää ole.  Jos tämä juonne kokonaan katkeaa, menetämme yhteyden matematiikan edustamaan kulttuuriperintöön. Lukio sitä vielä toistaiseksi pitää yllä, mutta tuhon siemenet on jo kylvetty."

Tässä on epäilemättä paljon perää, mutta jokin minua kuitenkin jää häiritsemään.  Ehkä pitäisi aluksi kysyä, mitä matematiikan eksaktisuudella oikeastaan tarkoitetaan.  Ainakin seuraavia voisi ajatella: 1) aksioomasysteemin muotoon kirjoitettu lähtökohta, 2) täsmälliset määritelmät intuitiivisten mielikuvien sijasta, 3) loogiseen päättelyyn perustuva väittämien todistaminen. Mieleen nousevat Bourbaki-ryhmän tavoitteet. Matematiikkaa on kuitenkin tehty näillä periaatteilla vain ehkä viimeisen kahden sadan vuoden ajan, ja varsin menestyksellisesti. Toki ajatusmaailman siemenet ovat valtavan paljon kauempana, antiikin Kreikassa.

Miten sitten lukio? Vielä puoli vuosisataa sitten geometriassa todistettiin teoreemoja. Lähtökohtana saattoi olla aksioomasysteemi, ei tosin kovin täsmällinen.  Ainakin osa käsitteistä määriteltiin huolellisesti. Luvut kuitenkin otettiin käyttöön sangen intuitiivisesti, eikä esimerkiksi suoran käsitettä määritelty, vaan siinäkin pohjana oli intuitiivinen näkemys. Muu ei olisi ollut mahdollista.  Voitaisiin sanoa, että eksaktisuuden yritys oli hyvä.

Tilanne on kuitenkin muuttunut. Todistuksia ei enää geometriassa esitetä, analyysissa siihen on jonkinlainen pyrkimys, mutta tämä jää usein puolitiehen varsin luonnollisista syistä: aksiomaattista pohjaa ei ole ja täsmälliset todistukset olisivat vaikeita. Jonkinlaista lokaalia päättelyä harrastetaan: miten yhdestä asiasta seuraa toinen. Graafisia kuvia piirretään, mutta niiden käyttäminen perusteluna on jonkinlainen tabu. On alettu opettaa muotovaatimuksia: miten jokin asia on (ylioppilaskokeessa) perusteltava. Eksaktisuus korvautuu formalismilla ja saivartelulla.

Eksaktisuus on matematiikan oleellinen piirre, mutta onko sen kovin vahvaan korostamiseen lukiomatematiikassa mahdollisuuksia?

Matematiikalla on toinenkin piirre: abstraktisuus. Otan toisen lainauksen:

"And yet, without question, math is more important to the world than it ever has been in human history. So at one end we've got falling interest in education in math and at the other, a world that's ever more quantitative, ever more mathematical than it has been. So what's gone wrong and how do we bridge this chasm? Well, actually I think the answer's really very simple: use computers."

Lainaus on peräisin Conrad Wolframin tekstistä (Stop teaching calculating, start teaching math) ja löydettävissä sivustosta http://computerbasedmath.org/. Conrad Wolfram on laskentaohjelmisto Mathematican luojan Stephen Wolframin veli ja työskentelee ohjelmistoa kehittävässä yrityksessä Wolfram Research, Inc. Häntä ei siis voi pitää puolueettomana asiantuntijana, mutta toisaalta hänellä epäilemättä on näköalapaikka.

Conrad Wolframin teksti kannattaa lukea kokonaisuudessaan. Hän korostaa matematiikan abstraktisuutta, sen ymmärtämisen tärkeyttä, teoreettisen näkökulman merkitystä.  Mekaaninen laskenta on toisarvoista, sillä se voidaan tehdä tietokoneella. Hänen näkökulmansa ei ole eksaktisuus, vaikka arvelen, että hän arvostaa kyllä sitäkin.  Sen sijaan hän korostaa matematiikan merkitystä monien alojen työvälineenä ja sen yhteiskunnallista merkitystä.

Lukion opetussuunnitelmia uudistetaan. Ehkä ei kannattaisi linnoittautua omien näkemysten taakse, vaan yrittää ymmärtää, millainen maailmasta on tullut ja millaiseksi se on kehittymässä — jos mahdollista. Conrad Wolframia ei varmaankaan kannata palkata asiantuntijaksi, mutta kannattaa kyllä kuunnella, mitä hänellä on sanottavana.

Geometriaa?

Maailmassa julkaistaan paljon kirjoja, myös matemaattisia. Selasin kirjamainoksia ja katsoin muutamaa mielenkiintoiselta näyttävää teosta verkkokirjakauppa Amazonin sivuilta. Amazon tarjoaa mahdollisuuden katsella joitakin kirjojen sivuja sähköisesti, joten pelkällä selaamisellakin voi oppia yhtä ja toista.

En ole ennen tiennyt, mikä on Miquelin lause, mutta sekä Gerard A. Veneman kirja Exploring Advanced Euclidean Geometry with GeoGebra että Alfred S. Posamentierin ja Ingmar Lehmannin kirja Secrets of Triangles käsittelevät sitä. Auguste Miquel puolestaan oli ranskankielisen Wikipedian mukaan (http://fr.wikipedia.org/wiki/Auguste_Miquel) 1800-luvulla vaikuttanut erityisesti geometriaan paneutunut matematiikan opettaja.  Hänen julkaisujaan löytyy helposti ranskalaisesta verkkokirjastosta Gallica, Bibliothèque numérique.

Miquelin lause ilmenee alla olevasta kuviosta.

ABC on mielivaltainen kolmio, D, E ja F sen sivuilla olevia mielivaltaisia pisteitä.  Piirretään kolme ympyrää, joista kukin kulkee kolmion yhden kärjen ja viereisillä sivuilla olevien pisteiden kautta. Miquelin lauseen mukaan ympyrät leikkaavat toisensa samassa pisteessä H. Lisäksi lukija voi miettiä, miten alkuperäinen kolmio ABC ja ympyröiden keskipisteiden muodostama kolmio PQR suhtautuvat toisiinsa.

Tehtävää on luontevaa tutkia dynaamisen geometrian ohjelmalla, esimerkiksi GeoGebralla, ja hakea ideoita väitteiden todistamiseen. Aikoinaan koulussa euklidista geometriaa ja geometrisia todistuksia opiskelleita tämä varmasti viehättää. Kuulun näihin itsekin. Selaimessa toimiva GeoGebra-dokumentti on osoitteessa http://matta.hut.fi/matta/geogebra/miquel.html.

Tulisiko tällaisia tehtäviä sitten käsitellä koulussa nykyään? Mitä näistä olisi tarkoitus oppia?  Vastaavia geometrisia tuloksia on paljon, ja näiden opiskeluun Veneman kirjakin tarjoaa materiaalia. Tulosten tietäminen ei kuitenkaan sinänsä voi olla kovin tärkeätä. Ajatus todistamisesta ja hierarkkisesta päättelystä ehkä on oppimisen arvoista, mutta olisiko sen oppimiseen tarjolla sisällöltään relevantimpia yhteyksiä? Geometriaahan pitäisi opiskella aika paljon, jotta päättelyjärjestelmän ideasta voisi syntyä mielikuva. Siirtyykö geometriassa mahdollisesti saatu taito muihin yhteyksiin, jolloin sillä voisi olla yleisempää merkitystä?

Otsikossa oleva kysymysmerkki ei viittaa siihen, että epäilisin, onko ns.  dynaaminen geometria geometriaa lainkaan. Kyllä se varmasti on kelvollinen lähestymistapa geometriaan ja ansaitsee siinä mielessä paikkansa. Ongelma sen sijaan mielestäni on, onko Veneman kirjan tyyppiseen geometrian opetukseen perusteltua käyttää aikaa.

Matematiikan opettajan soisi tuntevan euklidisen geometrian päättelyn idean, vaikka sitä ei varsinaisesti koulussa opetettaisikaan. Vaiko onko tässäkin kyse vain vanhaan takertumisesta? Mieleeni nousee jostakin matematiikan kirjan mainoksesta vuosia sitten lukemani tarina: Kiinalainen opiskeli — teoreettisesti — lohikäärmeiden pyydystämistä. Vuosien uurastuksen jälkeen hän saavutti taidossa täydellisyyden ja ryhtyi pyydystämään lohikäärmeitä, mutta ei löytänyt ainuttakaan. Loppuelämänsä hän käytti opettamalla lohikäärmeiden pyydystämistä.

Irrationaalikävelyllä

Luvulle $\pi$ voidaan laskea yhä tarkempia ja tarkempia likiarvoja, loppumattomiin. Toisin sanoen sen desimaalikehitelmä ei pääty koskaan.  Jaksotonkin se on, eivätkä samat numerot siis ala toistua samassa järjestyksessä mistään kohdasta lähtien. Matemaatikko sanoo, että kyseessä on irrationaaliluku. Mistä tiedetään, että näin todella on, on oma tarinansa enkä tässä puutu siihen.

Likiarvo 3.14159 riittää likimain kaikkiin käytännöllisiin tarkoituksiin, mutta desimaalien laskeminen on oma urheilumuotonsa. Tällä hetkellä ennätys on noin 10 biljoonaa (siis $10^{13}$) desimaalia (http://www.numberworld.org/misc_runs/pi-10t/details.html; huomattakoon, että amerikkalainen triljoona on meikäläinen biljoona). Yhdelle a-neloselle voisi fontin koosta riippuen mahtua ehkä 10000 numeroa, tuhatsivuiseen kirjaan 10 miljoonaa ($10^7$) numeroa. Melkoinen kirjasarja siis tarvittaisiin kaikkien desimaalien esittämiseen. Oma tarinansa on myös, miten desimaaleja saadaan lasketuksi, enkä siihenkään tässä puutu.

Kymmenjärjestelmän numerot 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ja 9 esiintyvät $\pi$:n desimaaleina lähes yhtä usein. Esiintymisfrekvenssejä ja paljon muutakin kiintoisaa löytyy osoitteesta http://www.pi314.net/.

Kymmenjärjestelmä ei ole ainoa lukujärjestelmä. Kantaluku voi kymmenen sijasta olla mikä tahansa muukin ykköstä suurempi kokonaisluku. Jos kantaluku on 4, järjestelmän numerot ovat 0, 1, 2 ja 3. Nämäkin varmaan esiintyvät lähes yhtä usein $\pi$:n nelikantaisessa kehitelmässä. Mitäpä jos lähtisimme kävelemään tämän kehitelmän mukaan? Numero 0 tarkoittaa askelta itään, 1 pohjoiseen, 2 länteen ja 3 etelään. Millainen hoipertelu tästä syntyisi?

Runsaalla 16000 askeleella tällainen:

Jos omaan koneeseen on asennettuna ilmainen CDF Player, voi animaation http://www.elisanet.fi/simo.kivela/blg/pi4.nbp (tai http://www.elisanet.fi/simo.kivela/blg/pi4.cdf) avulla katsella, missä järjestyksessä kuvio syntyy. Animaation yläreunassa olevalla säätimellä voi hallita kävelyä.

Mutta kävellä voi myös kymmenjärjestelmän mukaan. Tällöin askeleita otetaan kymmeneen eri suuntaan 36 asteen välein ja kunkin askeleen suunta määräytyy tavallisen desimaalikehitelmän numeroiden mukaan. Tulos 10000 askeleella:

Kuvat on laskettu Mathematica-ohjelmistolla käyttäen seuraavaa koodia:

n = 10;
lst = RealDigits[N[Pi, 10000], n][[1]];
repl = Table[k -> N[{Cos[2 k Pi/n], Sin[2 k Pi/n]}], {k, 0, n - 1}];
step = lst /. repl;
path = Prepend[Accumulate[step], {0, 0}];
Graphics[Line[path], Frame -> True, GridLines -> Automatic, ImageSize -> 800]

Tässä n on käytettävän lukujärjestelmän kantaluku, 10 tai 4 tai jotakin muuta.  Lukija, jolla on Mathematica käytettävissään, voi tehdä omia kokeilujaan.

Luvun $\pi$ (Pi) paikalle voi tietenkin vaihtaa jotakin muutakin. Paitsi irrationaalikävelyjä voi harrastaa myös rationaalikävelyjä valitsemalla rationaaliluvun. Rationaalikävelyt saattavat olla aika ikävystyttäviä, mutta huomattavan kiintoisiakin löytyy:

En tiedä, onko rationaali- tai irrationaalikävelyistä julkaistu mitään (lukuunottamatta American Mathematical Societyn Notices-lehteä Aug/2013, joka on ollut tämänkin jutun virikkeenä). Voisiko tarkasteltavasta luvusta päätellä jotakin kuvion avulla? Kommentteja otetaan vastaan.

Lukiomatematiikan murros?

Keskustelu lukion uudesta tuntijaosta ja uusista opetussuunnitelmista alkaa vähitellen vilkastua. Hyvä näin. Saatamme — tai ehkä meidän pitäisi — elää murrosvaihetta.

Edellisestä merkittävästä muutoksesta matematiikan opetuksessa on kulunut puolen vuosisataa eikä muutos tuolloin ollut kaikilta osiltaan kovin onnistunut.  Paljon on kuitenkin maailmassa sen jälkeen tapahtunut, ja hieman radikaalimpikin uudelleen ajattelu saattaisi olla paikallaan.

Jotakin on toki tapahtunutkin: Pro Lukio -yhdistys julkaisi 17.5.2013 kannanottonsa lukion uudistamisesta ja käsittelee tässä myös matematiikan kurssijakoa. Verkkolehti Solmu on ollut aktiivinen: pääkirjoitukset numeroissa 2/2013 ja 3/2013 sekä toimituskunnan kannanotto juhannuksen alla.  Matemaattisten aineiden opettajien liitto MAOL on esittänyt julkilausumansa tuntijaosta 23.7.2013.

Pohdiskelua on myös syntynyt ylioppilastutkintolautakunnan parin vuoden takaisesta laskinpäätöksestä ja meneillään olevasta tutkinnon sähköistämisestä, ts. tietokoneiden käytöstä ylioppilaskokeessa.

Monet kannanotot ovat kuitenkin konservatiivisia eikä uutta haluta tarkastella avoimin mielin. Vartioidaan ensisijaisesti omaa reviiriä ja pitäydytään turvalliseen vanhaan. Yritän seuraavassa tuoda joitakin uusia näkökulmia.

Pro Lukio -yhdistys esittää revisiota pitkän ja lyhyen matematiikan kurssijakoon: aluksi kaksi yhteistä kurssia, sen jälkeen pitkässä kahdeksan kurssia, lyhyessä neljä.  Ajatus on toki jo ehditty teilatakin, mutta se voisi ansaita lähemmän tarkastelun.  Sinänsähän järjestely ei olisi uusi: usein ihannoituna Väisälän aikana pitkä ja lyhyt matematiikka alkoivat samalla tavalla ja eriytyivät vasta myöhemmin.

Oleellista luonnollisesti on, mitä yhteiset kurssit pitävät sisällään. Ne voisivat kerrata peruskoulussa opitun sopivasti laajentaen: lausekkeiden käsittelyä, yhtälöitä toista astetta myöten, epäyhtälöitä, xy-taso, xyz-avaruus, funktiokäsite kuvaajineen, tavalliset alkeisfunktiot (ts. ne, joihin laskimessa on näppäin). Näillä eväillä olisi jo mahdollista näyttää jotakin matematiikan soveltamisesta reaalimaailman ongelmiin. Edellyttää kyllä uutta ajattelua oppikirjantekijöiltä ja opettajilta.

Mitä voitettaisiin? Opittaisiin ymmärtämään laskimen mahdollisuudet ja käyttämään sitä myös oikeassa elämässä. Nähtäisiin jotakin siitä matematiikan tärkeydestä modernissa maailmassa, joka sillä juhlapuheissa sanotaan olevan. Tämän jälkeen valinta lyhyen ja pitkän matematiikan välillä voisi tapahtua perustellummin. Nykyäänhän lyhyt on lähinnä niille, jotka — ties mistä syystä — inhoavat matematiikkaa tai eivät usko omiin kykyihinsä.

Lyhyestä matematiikasta on vuosikausia yritetty tehdä omaleimaista, mutta huonolla menestyksellä. Miten olisi voitu onnistuakaan, kun lähtökohtana on ollut tehdä jotakin niille, jotka eivät matematiikasta pidä. Voitaisiinko ajatella, että vaihdettaisiin aluksi nimet: matematikassa olisi luonnontieteellis-teknillinen linja ja yhteiskunnallis-taloudellinen linja? Sen jälkeen voitaisiin avata keskustelu siitä, mitä nämä pitävät sisällään. Omaleimaisuuteen olisi helpompi päästä eikä toista olisi heti alussa leimattu matemaattisten luusereiden linjaksi.

Solmun pääkirjoitus 2/2013 esittää hahmotelman pitkän matematiikan kurssien sisällöiksi.  Tämä muodostaa selvän parannuksen nykyiseen tilanteeseen, mutta ei mielestäni kuitenkaan osoita sellaista uutta ajattelua, mitä maailman tietoteknistyminen vaatisi. Selvyyden vuoksi on sanottava, että nappulatekniikkaan tai ohjelmistojen ominaisuuksien opetukseen ei ole syytä mennä. Maailman muuttuminen edellyttää pikemminkin abstraktiotason nostoa, mutta yhteyden konkretiaan täytyy säilyä. Tällöin monia asioita on katsottava uudesta näkökulmasta ja haettava niihin uudenlaiset lähestymistavat. Bourbakistinen ajattelu, joka vallitsi 60-luvulla ja jonka jäänteitä opetuksessa edelleen on, ei ole enää paras mahdollinen (eikä ollut 60-luvullakaan).

Yhteisten kurssien muodostaminen kummankin matematiikan linjan alkuun saattaa merkitä sitä, että jostakin on tingittävä. Tosin nykyinen pitkä matematiikka lienee siinä määrin raskas, että jostakin on tingittävä joka tapauksessa. Luonnollisin kohta on loppupää. Jatko-opintojen kannalta ei ole suuri tappio, jos analyysia tai lukuteoriaa on vähemmän, lineaarialgebra jää kokonaan pois. Yliopistojen varsin yksimielinen näkemys on ollut, että perustaitojen pitäisi olla kunnossa, mutta pidemmälle menevät asiat eivät ole samalla tavoin tärkeitä, sillä ne joudutaan kuitenkin käsittelemään uudelleen ja laajemmin.

Yleissivistyksen kannalta esimerkiksi lukuteorian poisjääminen kyllä voi olla tappio. Tässä kohden on kai vain todettava, että kaikkea ei voi saada.  Lääkkeenä voisi olla matematiikan harrastustoiminnan tukeminen jossakin muodossa.  Kiinnostuneille tarjottaisiin mahdollisuuksia, muut voisivat harrastaa jotakin muuta. Kiinnostavia asioitahan maailmassa riittää.

100 vuotta vanhoja matemaattisia malleja

Kolmannen asteen diagonaalipinta, kipsimalli
(Martin Schilling, ikää n. 100 vuotta)

Sama pinta tietokoneella piirrettynä
(Mathematica, versio 7, 2008)

Vanha työpaikkani Teknillisen korkeakoulun matematiikan laitos, nykyään osa Aalto-yliopistoa, muuttaa uusiin tiloihin Otaniemen päärakennuksessa. Olin siirtämässä matematiikan mallikokoelmaa, jonka aikoinaan uraani aloittaessani vuonna 1966 järjestin vitriineihin, joissa se on siitä pitäen ollut. Tuolloinkin kyseessä oli muutto, silloin Hietalahden päärakennuksesta Otaniemeen, johon uusi päärakennus oli valmistunut pari vuotta aikaisemmin.

Kokoelmassa on noin sata esinettä, jotka jakautuvat pääosin kolmeen tyyppiin:

• geometrisia kolmiulotteisen avaruuden pintojen malleja, joko kipsisiä tai metallikehykseen pingotettuja viivoitinpintojen lankamalleja;
• hienomekaanisia kojeita pinta-alojen määrittämiseen (planimetrit), integraalikäyrien piirtämiseen ja harmoniseen analyysiin;
• deskriptiivisen geometrian opetuksessa käytettyjä malleja.

Ensimmäisen ryhmän mallit ovat peräisin sadan vuoden takaa. Kaksikin saksalaista yritystä valmisti niitä 30-luvun alkupuolelle saakka, ja monet yliopistot hankkivat nitä matemaattisiin kokoelmiinsa. Toisen ryhmän esineet ovat instrumentteja, joita on käytetty mittaus- ja analyysitehtävissä siihen saakka, kun tietokoneet syrjäyttivät ne. Kolmas ryhmä muodostuu usein harjoitustöinä tehdyistä ja deskriptiivisen geometrian opetuksessa käytetyistä havainnollistuksista. Näitä tehtiin vielä 60-luvulla, ja deskriptiivisen geometrian opetuksen päättyminen siirsi ne historiaan 70-luvulla.

Harmoninen analysaattori

Tietotekniikka on tuonut uudet keinot kaikkiin kolmeen ryhmään. Kolmiulotteisista (ja useampiulotteisistakin) pinnoista saadaan nykyisillä ohjelmistoilla helposti kuvaruudulle pyöriteltäviä kuvia. Ehkä 3D-tulostimet tuovat ennen pitkää mahdollisuuden tehdä konkreettisia mallejakin. Integraalikäyrien piirtäminen, harmoninen analyysi ja pinta-alojen määrittäminen on rutiinia, johon on valmiit ohjelmistot. Deskriptiivisen geometrian on korvannut tietokoneavusteinen suunnittelu (CAD).

Tietoisuus historiasta auttaa kuitenkin ymmärtämään, miten nykypäivään on tultu.  Mallikokoelma onkin tarkoitus asettaa uudelleen esille, kunhan se on saatu kunnostetuksi.  Tekstitkin lienee syytä uusia: pienikokoinen kirjoituskonefontti ei nykyihmistä enää oikein puhuttele.

Suomessa ei muita vastaavia kokoelmia liene, mutta maailman mittakaavassa kyse on varsin vaatimattomasta esinemäärästä. Varsinkin geometrisista malleista on laajoja kokoelmia, esimerkkeinä seuraavat linkit:

http://www.universitaetssammlungen.de/modelle/suche/swp/Mathematik (Saksa)
http://www.universitaetssammlungen.de/modelle/suche/swp/Geometrie (Saksa)
http://www.math.rug.nl/models/ (Groningen, Hollanti)
http://www.mathmodels.illinois.edu/ (Illinois, USA)

Potenssin integraalifunktio

Potenssi $x^n$ integroidaan tunnetusti kaavalla \[ \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.  \] Poikkeuksena on arvo $n = -1$, jolloin \[ \int \frac{1}{x}\,dx = \ln(x) + C.  \]

Peruskursseja luennoidessani en ole koskaan tullut miettineeksi, syntyisikö erikoistapaus peruskaavasta rajaprosessilla $n \to -1$ enkä muista nähneeni tällaista myöskään oppikirjoissa. Jotenkin luonnolliselta ajatus kuitenkin tuntuisi. Eihän kyseessä voi olla kaksi täysin toisistaan riippumatonta faktaa.

Tutkimisen voisi laskentaohjelmien aikakaudella aloittaa luonnollisimmin piirtelemällä kuvaajia. Tämähän sujuu helposti ja sillä näkee, onko ajatuksessa mitään mieltä. Koska integraalifunktioihin liittyy määräämätön vakio $C$, on luonnollista panna käyrät kulkemaan saman pisteen kautta. Olkoon siis vaikkapa $x = 1$ jokaisen kuvaajan nollakohta, jolloin on piirrettävä käyrät \[ y = \ln(x) \quad\text{ja}\quad y = \frac{x^{n+1}}{n+1} - \frac{1}{n+1} \] sopivilla eksponentin $n$ arvoilla.

Liitekuva on tehty GeoGebralla. Kun liukusäätimellä pienennetään parametria $h$, eksponentit lähestyvät ylhäältä ja alhaalta arvoa $n = -1$ ja kuvaajat muuttuvat vastaavasti. Näyttävät lähestyvän logaritmikäyrää.

Seuraava askel olisi katsoa, mitä symbolilaskenta antaa raja-arvoksi \[ \lim_{n \to -1} \left(\frac{x^{n+1}}{n+1} - \frac{1}{n+1}\right).  \] Tuloksena on $\ln(x)$ ja asia siis näyttäisi olevan selvä. Symbolinen ohjelma on kuitenkin käyttäjälle musta laatikko, joka toivottavasti laskee oikein. Lähempää tietoa tuloksen perusteista se harvoin antaa.  Wolfram|Alpha pyrkii olemaan poikkeus, mutta tässä tapauksessa se ei minusta varsinaista valoa asiaan tuo, vaikka jonkinlaiset perusteet onkin mahdollista saada.

Lausekkeen voi kirjoittaa muotoon \[ \frac{x^h-1}{h} \quad (h = n+1) \] ja soveltaa tämän jälkeen l'Hospitalin sääntöä $h$:n suhteen. Perustavampaa olisi kuitenkin palauttaa raja-arvo eksponenttifunktion derivaatan määrittämiseen, kyseessähän on erotusosamäärä. Eksponenttifunktion derivaatan puolestaan voi perustella eri tavoin riippuen siitä, mikä useista vaihtoehdoista on otettu määritelmäksi. Pohjalla voi esimerkiksi olla Neperin luvun määrittely raja-arvona: \[ e = \lim_{p \to \infty} \biggl(1 + \frac{1}{p}\biggr)^p.  \]

Täten onkin johduttu analyysin perusraja-arvoihin! Lukija miettiköön, miten Neperin luvun määrittelystä päästään eksponenttifunktion derivaattaan. (Vihjeeksi Iso-M-tietosanakirjan funktion raja-arvoa käsittelevä artikkeli.)

Lukiomatematiikka kännykkään

Vuosituhannen vaihteessa vedin silloisen Teknillisen korkeakoulun matematiikan laitoksella MatTa-projektia, jossa kehiteltiin sähköisiä opiskelumateriaaleja. Tuolloin syntyi myös lukiotasoinen matematiikan tietosanakirja M niinkuin matematiikka, joka annettiin verkkoon vapaaseen käyttöön. Siellä se on vieläkin: http://matta.hut.fi/matta/isom/isom.pdf.

Kyseessä on sisäisesti linkitetty pdf-tiedosto, joka muodostuu vajaan sivun pituisista erillisistä artikkeleista, joiden marginaaleissa on linkit muille sivuille, joita lukija siinä yhteydessä ehkä haluaa katsoa.  Materiaali luotiin LaTeX-järjestelmällä ja sen tuohon aikaan melko uudella hyperref-paketilla, joka mahdollisti linkkien generoimisen.

Kuriositeettina kannattanee mainita, että alkuperäisenä ajatuksena oli automaattinen linkkien generoiminen: Kun jollakin sivulla määriteltiin käsite, tähän luotiin ohjelmallisesti linkki jokaiselta muulta sivulta, jolla käsite mainittiin mahdollisesti taivutetussa muodossa. Idea ei osoittautunut hyväksi. Esimerkiksi matemaatikkoja käsittelevään artikkeliin, jossa mainitaan norjalainen Sophus Lie, syntyi linkki koko dokumentin jokaisesta jollakin tavoin taivutetusta olla-verbistä. Ajatuksesta luovuttiin.

Tavoitteena oli luoda mahdollisimman monikäyttöinen lähdetiedosto.  Muutaman vuoden kuluttua siitä tehtiin MFKA:n kustantama painettu kirja.  Linkit muutettiin tällöin sivunumeroviitteiksi muuttamalla parikymmentä koodiriviä uuteen muotoon.

Älypuhelinten ja tablettitietokoneiden tultua markkinoille heräsi ajatus kokeilla, toimisiko pdf-tiedosto linkkeineen myös näissä. Silloinhan lukiomatematiikan saisi kännykkään ja sitä voisi opiskella vaikka bussissa.  Hieman avaimenreiän kautta lukemistahan se on ainakin kännykkää käytettäessä, mutta ovathan e-kirjat muutoinkin yleistymässä.

Näyttäisi onnistuvan ilman tiedoston muuttamista ainakin iPadissa, iPhonessa ja varauksin Android-kännyköissä. Ensin mainituissa ongelmia ei näyttäisi olevan; paras käytettävyys saadaan iBooksilla. Androidissa linkit eivät välttämättä toimi Adoben Readerissa, koska tiedosto on aika iso. Saatavilla on kuitenkin myös sellainen pdf-lukija, jossa linkit toimivat. Lumian osalta tilanne näyttää huonommalta: Ainakaan tällä hetkellä pdf ei välttämättä edes aukea, koska se on ilmeisesti liian iso. Pienempi samalla tekniikalla tehty esitys kompleksiluvuista (http://matta.hut.fi/matta/kompleksiluvut/cluvut.pdf) aukeaa, mutta linkit eivät toimi. Uudet versiot pdf-lukijasta varmaan korjaavat nämä puutteet.

Lukijan kommentteja toimivuudesta otan kiitollisuudella vastaan.

Muutakin kännykkään sopivaa matematiikan opiskelumateriaalia on tarjolla.  Sivulla http://avoinoppikirja.fi/ on avoimen oppikirjaprojektin pdf-muotoisia materiaaleja, jotka ovat ladattavissa myös kännykkään. Kaikkia linkkiviitteitä en saanut täysin toimimaan, vaikka hieman temppuilemalla opetus.tv-hankkeen (http://opetus.tv/) videotkin toimivat kännykässä.

Toki tietokoneen ruutu on edelleen kännykkää parempi näyttö, mutta alkaa tuntua siltä, että paperikopioita ei enää kannata ottaa. Pdf-tiedostoon kun voi tehdä omat muistiinpanotkin. Tosin kännykällä ei taida onnistua (vielä).

GeoGebran symbolilaskenta (CAS)

GeoGebra on alunperin dynaamisen geometrian ohjelma, joka on saatavissa ilmaiseksi. Se on vähitellen laajentunut ja noin vuoden ajan siihen on sisältynyt myös symbolisen laskennan osio eli CAS (Computer Algebra System).  Runsas vuosi sitten ratkaisin sen avulla ominaisuuksien testaamiseksi kevään 2011 pitkän matematiikan ylioppilastehtävät. Kyseessä oli tällöin CAS-osion betaversio.  Koska kehitystä on tapahtunut, oli paikallaan katsoa asiaa uudelleen. Ratkaisin tällä hetkellä saatavilla olevalla versiolla 4.2 samat tehtävät uudelleen. Sekä vanhat että uudet ratkaisut ovat saatavilla verkkosivulta http://matta.hut.fi/matta/symblask/.

Mikä sitten on muuttunut? Varsin moni asia. Kehitystä on selvästi tapahtunut. Kuitenkin on todettava, että toivomisen varaa on vielä aika paljon. Käyttöliittymä ei ole kovin selkeä ja usein jää ihmettelemään, mitä oikeastaan pitäisi tehdä haluttuun tulokseen pääsemiseksi. Ohjelmistoille tyypilliseen tapaan dokumentaatio kyllä kertoo, mitä tietty toiminto tekee, mutta ei vastaa kysymykseen, mikä toiminto auttaisi tietyssä tilanteessa.  Jos kyseessä on vain yksittäisten laskujen suorittaminen, ongelma ei ole suuri, mutta jos tavoitteena on viedä lävitse hieman pidempi laskenta välituloksia jatkossa hyödyntäen, ajaudutaan vaikeuksiin.

Syötteisiin saattaa saada matemaattisesti virheellisiä vastauksia. Osan näistä voi ymmärtää, jos tuntee symbolisten ohjelmien ongelmakohtia, mutta viattomalta käyttäjältä kuten lukiolaiselta tällaista ei voi edellyttää. Toisinaan vastausta ei tule lainkaan, vaikka kyse tuntuisi olevan varsin luonnollisesta syötteestä. Virheilmoitus 'Voi kurja, syöte ei ole kelvollinen' ei paljoa auta ja alkaa ärsyttää.

Työskentelystä saa tulostetuksi siistin dokumentin, mutta joissakin tapauksissa syöterivien loppuosat katkeavat kesken. Puutteeksi on myös katsottava, että selittäviä tekstejä ei voi kirjoittaa laskennan lomaan.

Positiiviselle puolelle on luettava mahdollisuus käyttää rinnan symbolista laskentaa ja dynaamisen geometrian graafista piirustustasoa, jolloin esimerkiksi funktioiden kuvaajat syntyvät vaivattomasti. Miinuksena on, että eri komentojen merkitys ja käytettävyys laskenta- ja geometriapuolella eivät hahmotu helposti. Tässä on kyse lähinnä dokumentaation ongelmasta, harjoittelemalla ja kokeilemalla asiaan kyllä oppii.

Dynaamisen geometrian osalta GeoGebra on varsin vakaa ja toiminnoiltaan selkeä. Samaa ei valitettavasti voi sanoa CAS-puolesta. Molemmille työkaluille voisi kuitenkin olla matematiikan opiskelussa tarvetta, varsinkin jos ylioppilaskokeessakin siirrytään hyödyntämään tietotekniikkaa. Tällöin pitäisi kuitenkin olla mahdollisuus selittävien tekstien mukaan liittämiseen, jolloin tehtävän koko ratkaisu voisi syntyä tietokoneella.  GeoGebran tyyppinen ohjelma on kuitenkin selvä edistysaskel verrattuna symbolisiin laskimiin, joissa työskentely tapahtuu ikään kuin avaimenreiän kautta tähystämällä.  Toivokaamme, että GeoGebran kehitystyö jatkuu myös symbolisen laskennan osalta, vaikka 3D lieneekin seuraava aluevaltaus.

GeoGebran eräs ominaispiirre on kansallisten kieliversioiden laatiminen. Hyvä näin.  Vaikka englannin osaaminen globaalissa maailmassa onkin tärkeää, on myös omasta kielestä pidettävä huolta. Kääntäminen ei vain ole aivan pieni työ. Paitsi olemassa olevan terminologian tuntemusta se edellyttää myös uusien omakielisten termien luomista. Tämä ei voi tapahtua tyhjiössä: Puoliksi vakiintuneita eri yhteyksissä vaihtelevia ja onnistuneita tai epäonnistuneita käännöksiä saattaa jo olla olemassa.  Muille eurooppalaisille kielille tehdyistä tai tehtävistä käännöksistä olisi hyvä olla tietoinen.

Laatimissani ratkaisuissa saattaa hyvinkin olla puutteita tai kömpelyyksiä, koska en ole jotakin toimintoa löytänyt. Otan mielelläni kommentteja vastaan.

Kännykkä-Matlab

Sain lapsiltani joululahjaksi älypuhelimen. Vähitellen on tullut opiskelluksi sen tarjoamia mahdollisuuksia, joita tuntuu riittävän. Parempia ja huonompia.

Matlab on tunnettu numeerisen laskennan tietokoneohjelma, jonka kehitys alkoi 'matriisilaboratoriona' 1970-luvun lopulla ja joka on kasvanut monipuoliseksi teknillisen laskennan apuvälineeksi. Alkuun panijoihin kuuluva Cleve Moler on kirjoittanut katsauksen hankkeen varhaishistoriasta.

Kehitys on vienyt siihen, että Matlabia voi käyttää myös kännykästä tai tabletista. Tuettuja ovat sekä Applen laitteet että Android-laitteet.  Käyttöliittymän voi ladata ilmaiseksi, mutta käyttöoikeus sopivaan lisenssiin tarvitaan. Kyseessä on ns. pilvipalvelu.

Matlabin rinnalle on kehittynyt hyvin samankaltainen, mutta ilmainen klooni, Octave. Tästä on olemassa myös kännykkä- (tai tabletti-) versio. Jos olen oikein ymmärtänyt, tämä on Applen tapauksessa pilvipalvelu, jonka käytöstä täytyy maksaa, ei tosin paljon. Androidin tapauksessa ohjelma ladataan kännykkään, jolloin tilaa menee satakunta megatavua, mutta mitään maksuja ei synny.

Latasin Octaven Android-kännykkääni, ja nyt voin bussissa istuessani laskea satunnaismatriisien ominaisarvoja tai piirrellä kuvia kahden muuttujan funktioiden kuvaajista. Sekä paljon muuta. Ellen keksi hauskempaa. Tulokset voi myös lähettää sähköpostilla, esimerkkinä oheiset kuvat.

Käyttöliittymä on kuitenkin aika kömpelö. Oikeiden syötteiden sisään saaminen tökkimällä sormella virtuaalinäppäimistöä ei ole aivan ongelmatonta. Varsinkin nuolinäppäimiä kaipaa moneen kertaan.

Kömpelyydestä huolimatta tämä avaa melkoisia näköaloja. Pahimmat puutteet varmasti korjautuvat nopeasti, ja sen jälkeen jokaisella kännykän käyttäjällä on mahtava laskentaväline. Tavallinen kansalainen ei ehkä etsi matriisin ominaisarvoja, mutta jokaisen lukiolaisen tarpeisiin täysin riittävä laskentaväline on aina mukana. Laskujen laskeminen ei siis ole ongelma, mutta sen hahmottaminen, mitä pitäisi tai voisi laskea, on entistä vaikeampaa.  Eikä ohjelmoinnin periaatteiden ymmärtäminenkään olisi haitaksi.  Tässä on haastetta matematiikan opetukselle.

Pisteitä tasaisesti pallopinnalle

Dimensio-lehden numeron 1/2013 pulmatehtävissä pitää sijoittaa $n$ pistettä tasavälisesti pallon pinnalle mahdollisimman kauas toisistaan. Arvoille 2, 3 ja 4 ratkaisu löytyy geometrisilla päättelyillä melko helposti, kuten Dimension sähköisen version eDimension artikkeli osoittaa. Tämä sisältää myös viitteen Edith Mooersin artikkeliin, jossa ongelmaa, ns. Tammesin tehtävää käsitellään yleisesti. Tammes oli hollantilainen kasvitieteilijä, joka vuonna 1930 esitti ongelman siitepölytutkimuksissaan.

Ei ole itsestään selvää, mitä pisteiden tasainen sijoittelu pallopinnalle tarkoittaa. Mooersin artikkelissa asetetaan varsin luonnollinen vaatimus: lyhimmän kahden pisteen välisen etäisyyden tulee olla mahdollisimman suuri. Tällöin pistekonfiguraation tulee olla sellainen, että se antaa funktiolle \[ \min_{i \neq j} d_{ij} \] maksimiarvon. Tässä $d_{ij}$ tarkoittaa $i$:nnen ja $j$:nnen pisteen välistä etäisyyttä ja minimi muodostetaan kaikkien pisteparien suhteen. Etäisyys puolestaan voidaan mitata joko suoraviivaisesti tai pallon pintaa pitkin.

Tämä ei kuitenkaan ole ainoa mahdollisuus. Voisi myös ajatella, että pisteet ovat identtisiä sähkövarauksia, jotka pääsevät vapaasti liikkumaan pallopinnalla. Ne hylkivät toisiaan ja pyrkivät siten sijoittumaan toisistaan mahdollisimman kauaksi. Tällöin systeemin kokonaispotentiaalin tulee olla mahdollisimman pieni, ts. konfiguraation tulee antaa minimiarvo funktiolle \[ \sum_{i \neq j} \frac{1}{d_{ij}}. \]
Jotakin muutakin voitaisiin tasaisuuden mittana käyttää.

Antavatko eri mittaustavat sitten kuitenkin samanlaiset tulokset? Eivät välttämättä. Esimerkiksi tapauksessa $n = 5$ kelpaa edellisessä vaihtoehdossa konfiguraatio, jossa kaksi pisteistä on pallon navoilla ja muut kolme päiväntasaajalla siten, että niiden välinen kaarietäisyys on vähintään 90° (vasemmanpuolinen kuva). Mahdollisia konfiguraatioita on siten äärettömän paljon. Jälkimmäisessä vaihtoehdossa päiväntasaajalla olevien pisteiden välisen kaarietäisyyden tulee olla 120°, jolloin ratkaisuja on vain yksi (oikeanpuolinen kuva).



Lukija voi kokeilla muitakin pisteiden lukumääriä verkkosivulla http://matta.hut.fi/webMathematica/matta/partikkelit.jsp, jossa laskentavälineenä on palvelimella toimiva Mathematica. (Edellytyksenä luonnollisesti on, että järjestelmä toimii, mikä ei aina ole niinkään selvää.)

Viitteessä http://mathpages.com/home/kmath005/kmath005.htm on selvitetty identtisten sähkövarausten sijoittuminen pallopinnalle tapaukseen $n = 32$ saakka. Voisi kuvitella, että mikäli varausten (pisteiden) määrä on sama kuin jonkin Platonin kappaleen kärkien määrä, ne asettuisivat tämän kappaleen mukaiseen asemaan. Näin ei kuitenkaan kaikissa tapauksissa ole.

Kiintoisan esimerkin pisteiden ainakin jossakin määrin tasaisesta sijoittamisesta pallopinnalle muodostavat radioastronomisten antennien suojakuvut, esimerkkinä Metsähovin suojakupu (siirry sivulla hieman alaspäin). Tiedossa ei ole, millä kriteerillä pisteiden paikat on tässä valittu.

Matematiikan merkitys elämässä

Lueskelin kertyneitä American Mathematical Societyn lehtiä. Kokosivun ilmoituksia yhdistyksen nettisivuista, joilla matematiikan merkitys elämän eri aloilla tuodaan esiin:

• Mathematical Moments, http://www.ams.org/samplings/mathmoments/mathmoments, sivun mittaisia artikkeleita matematiikan käytöstä ja merkityksestä erilaisissa ei-matemaattisissa yhteyksissä; esimerkiksi Harnessing Wind Power;
• Feature Columns, http://www.ams.org/samplings/feature-column/fc-current.cgi, hieman pidempiä artikkeleita; esimerkiksi How to Read QR Symbols Without Your Mobile Telephone;
• Mathematical Imagery, http://www.ams.org/mathimagery/, matemaattista grafiikkaa ja taidetta; The connection between mathematics and art goes back thousands of years;
• Math in the Media, http://www.ams.org/news/math-in-the-media/, katsauksia mediassa julkaistuihin matematiikkaa käsitteleviin artikkeleihin; esimerkiksi 3-manifolds in the Scientific American tai Discalculia in Nature.

Nämä ovat puheenvuoroja, jotka näyttävät matematiikan merkityksen yhteiskunnassa ja jollaisia toivoisi Suomessakin esitettävän. On tietenkin totta, että amerikkalaiset resurssit ovat suomalaisia valtavan paljon suuremmat eikä oikein ole realistista toivoa, että Suomessa kyettäisiin samantasoisiin ponnistuksiin. Vähempään on tyydyttävä, mutta julkaisemisen tasosta ja tyylistä voisi ottaa oppia. Ulkoasulla ja tarjoilulla on merkityksensä, jotta ihmiset saadaan kiinnostumaan.

Toisaalta mikään ei globaalissa maailmassa estä käyttämästä hyväksi sitä, mitä muut ovat tehneet. AMS:n materiaalien kieli tosin on yleensä englanti (joskin Mathematical Moments -artikkeleita on myös aika monelle kielelle käännettyinä, ei kylläkään suomeksi), mutta ei kai tämän pitäisi olla ylivoimainen este. Lisäoppi kielen ymmärtämisessä olisi pikemminkin ylimääräinen bonus.

Voisin hyvin kuvitella, että jokin Mathematical Moment kannattaisi kerran kuussa (viikossa?) printata ja panna koulun käytävälle ilmoitustaululle ohikulkijoiden ihmeteltäväksi, mahdollisuuksien mukaan värillisenä. Ja saattaisihan teksti sopia englannin (tai ranskan tai ...) kokeeseenkin, vaikka jopa ylioppilaskokeeseen. Saatavana on myös MP3-versio, joten kuunteluakin voi harrastaa.

Poincarén konjektuuri

Henri Poincaré muotoili vuonna 1904 julkaistussa artikkelissaan ns. Poincarén konjektuurin (otaksuman). Hän ei onnistunut todistamaan tätä ja todistamattomana se pysyi satakunta vuotta, kunnes venäläinen Grigori Perelman esitti vuonna 2003 sille suurta huomiota herättäneen todistuksen. Kyseessä oli yksi Clay Mathematics Instituten ns. Millenium-probleemoista, joista jokaisen ratkaisusta oli luvassa miljoonan dollarin palkinto. Perelman ei ottanut palkintoa vastaan.

Poincarén konjektuuri esitetään yleensä seuraavassa muodossa: Jokainen kompakti yhdesti yhtenäinen kolmiulotteinen monisto on homeomorfinen kolmiulotteisen pallopinnan kanssa. Tämä sisältää käsitteitä, joiden sisältö ei ole niinkään selvää muille kuin alan spesialisteille. Jo kolmiulotteinen pallopinta on ongelmallinen: tavallisen kolmiulotteisessa avaruudessa sijaitsevan pallon pinta on kaksiulotteinen monisto. Kolmiulotteinen pallopinta on vastaavanlainen, mutta dimensiota ylempänä: tällaisen muodostavat esimerkiksi neliulotteisen avaruuden pisteet, joille pätee $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 = 1$.

Homeomorfinen puolestaan tarkoittaa topologista samanlaisuutta. Karkeistaen voidaan sanoa, että jos kaksi monistoa (kappaletta, pintaa tms.) voidaan muokata toisikseen venyttämällä, rypistämällä tai muulla vastaavalla tavalla, mutta ei repimällä, niin ne ovat homeomorfiset.

Seurauksena onkin, että monet Poincarén konjektuuria käsittelevät populaariartikkelit antavat epämääräisen tai peräti virheellisen kuvan siitä, mistä on kysymys. Mielestäni selkein (ja lyhin) yleistajuinen selitys Poincarén konjektuurista löytyy Clay-instituutin sivulta http://www.claymath.org/millennium/Poincare_Conjecture/.

En itsekään tunne Poincarén konjektuurin taustana olevaa algebrallista topologiaa kovinkaan hyvin. Tämän takia tartuin kiinnostuksella Terra Cognitan julkaisemaan suomenkieliseen kirjaan Poincarén konjektuuri, alaotsikkona Maailmankaikkeuden muotoa etsimässä. Tekijä on amerikkalainen Donal O'Shea, Mount Holyoke Collegen matematiikan professori. Syitä oli kaksi: halusin paremmin ymmärtää, mistä on kyse, ja toisekseen katsoa, miten vaikean asian popularisoinnissa on onnistuttu.

Yleisvaikutelma kirjasta oli ehdottomasti myönteinen. Historiallinen tausta tulee esiin, eihän matematiikka synny tyhjästä; Poincarén loikka eteenpäin oli kuitenkin melkoinen. Konjektuurin idean suhteen lähdetään liikkeelle aika yksinkertaisesti: Kaksi ympyrälevyä liitetään reunoistaan toisiinsa, jolloin syntyy pallo, kun levyjä sopivasti pullistetaan.  Levyistä siis ikään kuin muodostetaan pohjoinen ja eteläinen pallonpuolisko ja ne liitetään yhteen päiväntasaajaa pitkin. Ja sitten kysytään, mitä vastaava konstruktio antaisi yhtä dimensiota ylempänä: kaksi palloa sisuksineen, niiden pinnat liitetään yhteen tai pikemminkin samastetaan, havainnollinen mielikuva kun ei enää ole mahdollinen.

Vähitellen teksti kyllä vaikeutuu. Paikoin täytyi ryhtyä kertaamaan muinoin opiskeltua (mutta ei tentittyä) algebrallista topologiaa, nykymaailmassa vaivattomimmin netistä. Lukemisen helpottamiseksi kirjan lopussa on kaikkiaan 271 tarkempia tietoja sisältävää huomautusta, joihin varsinaisessa tekstissä vain viitataan. Tästä huolimatta teksti paikoin puuroutuu: vaikeasta asiasta yritetään sanoa lyhyesti paljon kuitenkaan täsmällisyydestä tinkimättä eikä lukija enää ymmärrä paljoakaan.

Käännös on yleisesti ottaen hyvä, mutta joissakin kohdissa täytyi miettiä, mitähän asia mahdollisesti on ollut englanniksi, jotta ideaan pääsi kiinni. Tällaisten kirjojen kääntäminen on vaativa tehtävä. Kääntäjän pitäisi ymmärtää asia, jotta lauserakenteet tulevat oikein. Vaarana ovat myös kaksitulkintaiset rakenteet: käännös sinänsä voi olla aivan oikein, mutta suomenkielisellä lauseella on toinenkin tulkinta, eikä lukijaparka tiedä kumpaa tarkoitetaan.

Matematiikkaa popularisoivien kirjojen kääntäminen on ehdottomasti kulttuuriteko ja voisikin toivoa, että kääntämiseen olisi käytettävissä enemmän resursseja. Lukiomatematiikan jälkeen Poincarén konjektuurista lukeminen avaa varmasti uusia näköaloja. Kyse on enemmän ajattelusta ja maailman mahdollisesta monimutkaisuudesta kuin mekaanisesta laskemisesta.

Miksi tämä blogi?

Matematiikka ei liene helpoimpia asioita popularisoitavaksi. Tarvetta kuitenkin voisi olla. Herkästihän matematiikka nähdään kuivaksi ja tekniseksi oppiaineeksi, jonka ainakin juhlapuheissa sanotaan olevan tärkeää ja monissa suhteissa nykyisen teknisen maailmamme perusta.  Matka koulumatematiikasta matematiikan tärkeyteen näyttää kuitenkin olevan pitkä ja jäävän hämärän peittoon. Popularisointia ja erilaisia näkökulmia siis kaivattaisiin.

Olen yli neljäkymmentä vuotta opettanut matematiikkaa teekkareille Teknillisessä korkeakoulussa, josta sittemmin tuli osa Aalto-yliopistoa.  Viimeiset viisitoista vuotta kuluivat sähköisten oppimateriaalien kehittelyssä ja matemaattisten laskentaohjelmistojen kehitystä seuratessa.  Osa tuotoksista on vieläkin saatavissa: http://www.elisanet.fi/simo.kivela/ ja http://matta.hut.fi/matta/.

Mielenkiinto matematiikkaan ja sen opettamiseen on säilynyt varsinaisen työuran päätyttyäkin. Maailmahan on yleisesti ottaen mielenkiintoinen paikka ja matematiikan opetus näyttäisi olevan muutosten edessä. Tekee mieli päästä kommentoimaan, tuomaan esiin erilaisia näkökulmia ja ehkä hieman popularisoimaankin.

Aiempia intmath.org-sivustolla olleita blogitekstejäni mahdollisesti lukeneille tiedoksi, että sivusto paljolti tuhoutui pahanpuoleisessa levyrikossa. Tekstit ovat kyllä tallessa, mutta niiden uudelleen julkaisemisessa tuskin on mieltä. Aloitetaan siis puhtaalta pöydältä.