Nelikulmioiden runsaudensarvi

Kävin kouluni pääosin 50-luvulla, jolloin kuoluvuosien 7-12 matematiikanopetuksesta suuri osa käsitteli geometriaa Eukleideen tapaan: todistettiin tasokuvioita koskevia teoreemoja eli lauseita, konstruoitiin kuvioita harpilla ja viivoittimella. Jonkin verran käytettiin myös algebraa geometrisiin ongelmiin. Tästä on nykyisessä koulukurssissa jäljellä aika vähän. En oikeastaan pidä sitä pahana. Kuvioiden ominaisuudet eivät ehkä kovin tärkeitä ole, deduktiivinen päättely saattaisi ollakin.

Kuvioiden geometrisissa ominaisuuksissa ja niiden todistamisessa on kuitenkin jotakin viehättävää, ainakin Eukleideensa lukeneelle. Olen selaillut AMS:n ja MAA:n (American Mathematical Society, Mathematical Association of America) yhdessä julkaisemaa Claudi Alsinan ja Roger B. Nelsenin teosta A Cornucopia of Quadrilaterals, suomeksi 'nelikulmioiden runsaudensarvi'. Ei varmaankaan aineistoa koulukurssille eikä siis tiukasti ottaen tarpeellista. Muutama hyvä idea ylioppilaskokeeseen voisi kyllä löytyä.  Pikemminkin kyseessä on palanen geometrista kulttuuria, hämmästyttävä määrä yksinkertaisten kuvioiden ominaisuuksia ja säännönmukaisuuksia, todistamisen ja sen tarpeellisuuden idea.

Kirjassa on yli 300 sivua, aiheena yksinomaan nelikulmiot, kaikin tavoin. Ominaisuuksia ja niiden todistuksia, selkeät kuvat, haasteiksi (challenge) kutsuttuja helpompia ja vaikeampia harjoitustehtäviä, niiden ratkaisut, hakemisto. Lopussa on varsin laaja kirjallisuusluettelo, joten tietojaan voi helposti syventääkin. (Olisiko tässä aineksia opettajakoulutukseen?)

Lukijan alkaa helposti tehdä mieli kokeilla: Onko se nyt todella noin, jos muunnan kuviota?  Entä jos teksinkin hieman toisin? Voisinko todistaa jotakin vastaavaa samaan tapaan?  Kouluaikanani kokeilut olisivat olleet hankalia: piirrettävä melkein sama kuvio moneen kertaan.  Nykyään on helpompaa: tällaisiin kokeiluihin GeoGebra (tai vastaava) on omiaan.

Muutama esimerkki:

Nelikulmion massakeskipisteen hakeminen

Mielivaltaisen nelikulmion massakeskipiste voidaan hakea ajattelemalla, että nelikulmion kärjissä on identtiset massat. Jokaisen sivun massakeskipiste on tällöin sen keskipiste. Kun nämä yhdistetään perättäin, syntyy suunnikas (miksi?). Tätä kutsutaan Varignonin suunnikkaaksi ranskalaisen matemaatikon Pierre Varignonin (1654–1722) mukaan. Suunnikkaan kahden vastakkaisen kärjen massakeskipiste on niiden yhdysjanan, suunnikkaan lävistäjän keskipiste. Koska kummankin lävistäjän keskipisteet yhtyvät (miksi?), on saatu Varignonin suunnikkaan massakeskipiste. Tämä on myös alkuperäisen nelikulmion massakeskipiste.

Toisaalta nelikulmio voidaan ajatella homogeeniseksi levyksi. Kun se jaetaan (toisella) lävistäjällä kahdeksi kolmioksi, voidaan kummallekin kolmiolle löytää massakeskipiste keskijanojen leikkauspisteestä. Nelikulmion massakeskipiste sijaitsee näiden yhdysjanalla.  Tekemällä vastaava konstruktio toisen lävistäjän suhteen saadaan toinen yhdysjana.  Massakeskipiste on näiden yhdysjanojen leikkauspiste.

Lukija jää ehkä miettimään, ovatko saadut massakeskipisteet samat. Kokeilemaan GeoGebralla ja myönteisessä tapauksessa todistamaan!

Sinin ja kosinin yhteenlaskukaavat (kirjan kuvio 6.4.2)

Toinen esimerkki trigonometriasta:  Kuvioilla voi todistaakin kaikenlaista, vaikkapa sinin ja cosinin yhteenlaskukaavat \begin{align*} \sin(x+y) &= \sin x \cos y + \cos x \sin y, \\ \cos(x+y) &= \cos x \cos y - \sin x \sin y \end{align*} rakentamalla sopivista kolmioista suorakulmio sopivalla tavalla. (Samaa ideaa käytti myös K. Väisälä 50-luvulla trigonometrian kirjassaan, mutta hän ei pakannut kolmioitaan suorakulmion sisään.)

Miten tällaisia muualla maailmassa ilmestyneitä kirjoja sitten saa käsiinsä? Painetun kirjan tilaamisesta sen saapumiseen saattaa kulua viikkoja, varsinkin korona-aikana pikemminkin kuukausia. Onneksi kuitenkin sähköisten kirjojen tarjonta on lisääntynyt. Sain tämän kirjan jäsenyyteni perusteella ilmaiseksi ja ostopäätöksestä kirjan tallentumiseen koneeni levylle meni muutama minuutti. Luottokortilla maksaminen tuskin prosessia merkittävästi hidastaa. Sähköisissä kirjoissa on muitakin hyviä puolia: eivät täytä kirjahyllyä, hävittäminen on helppoa.

Tarjonnan seuraaminen kyllä teettää hieman töitä eikä esitteen tai mainoksen perusteella aina ole helppoa päätellä kannattaako ostaa. Olisiko vaikka MAOLilla resursseja seurata tarjontaa ja nostaa kiinnostavia teoksia esiin?

Kieli, ainakaan englanti, ei varmaan ole ylivoimainen este. Matematiikassa tarvittava sanasto on aika suppea. Suomeksi kääntäminen voisi tietenkin olla hienoa, mutta vaikka se levikkiä lisäisikin, kaupallista kannattavuutta tuskin syntyisi.

Matemaattista kirjallisuutta maailmalta

Nelikulmiossa jokainen kärki yhdistetään vastakkaisen sivun keskipisteeseen kuvion osoittamalla tavalla.  Onko sininen ala yhtä suuri kuin punainen ala?

Selasin American Mathematical Societyn Notices-lehtiä. Jäsen voi saada painetun lehden, joka tulee, kunhan Atlantin takaa ehtii, mutta sähköiset versiot ovat kaikille avoimia ja myös aihepiireittäin selattavissa: https://www.ams.org/notices/. Paljon muun ohella sisältävät myös matematiikan opetukseen ja popularisointiin sopivien kirjojen esittelyjä. Nämä ovat usein sellaisia, että tekee mieli tutustua niihin tarkemminkin.

Kirjojen kieli on tietenkin lähes poikkeuksetta englanti, mutta tämänhän ei liene nyky-Suomessa ongelma.  Monista kirjoista on sähköinen versio, jonka lataaminen ei kauan kestä, ja hankinta on siis helppoa. Painetunkin toki saa, mutta posti kulkee niin kuin kulkee. Lahjana painettu on varmaan parempi kuin muistitikulle talletettu digiversio. Verkkokaupoista voi etsiä, kustantajasta riippuen ainakin https://www.amazon.com/, https://bookstore.ams.org/ ja https://press.princeton.edu/ ovat kiinnostavia.

En tiedä, hankitaanko tämäntyyppisiä kirjoja Suomeen kovinkaan paljoa. Lähinnä voisi ajatella opettajakoulutukseen liittyviä yliopistokirjastoja, oppikirjoja tekeviä kustantajia ja opettajajärjestöjä, miksei myös yksittäisiä opettajia. Erilaiset näkökulmat voisivat tuoda uusia herätteitä jokaiselle matematiikkaa opettavalle tai harrastavalle ja näyttää, että totuttu tapa katsoa asioita ei ole ainoa mahdollinen eikä välttämättä edes paras.

Seuraavassa muutama esimerkki loka- ja marraskuun numeroissa esitellyistä kirjoista, joista kiinnostuin.

Daniel J. Velleman, Stan Wagon; Bicycle or Unicycle?: A Collection of Intriguing Mathematical Puzzles; MAA Press, Jason Rosenhousen esittely. Kirja koostuu 105 ongelmasta tai pulmatehtävästä, englanniksi puzzle. Näiden vastakohta on problem, joka oppikirjaterminologiassa tarkoittaa perinteistä (matematiikan) harjoitustehtävää. Puzzlet rinnastuvat pikemminkin esimerkiksi vanginlukkoon ja niiden ratkaiseminen on yhden tai muutaman, enemmän tai vähemmän matemaattisen idean varassa. Yllä olevassa kuvassa on yksi esimerkki, jonka ratkaisua en paljasta. Kirjasta se kyllä löytyy.

Stephen H. Saperstone, Max A. Saperstone; Interacting with Ordinary Differential Equations; MAA Press, Stephen Kennedyn esittely. Kyseessä on differentiaaliyhtälöiden oppimateriaali, e-kirja, modernein tietotekniikan mahdollistamin painotuksin.  Kirjan ostaminen tarkoittaa kuuden kuukauden lisenssiä web-palvelimelle, jonka materiaali mahdollistaa laskentavälineiden käytön. Taustalla on laskentaohjelma Mathematican pilvipalvelu. Vaikka digitaalimaailmaan ei innostuisikaan, mahdollisuuksiin kannattaa minusta perehtyä. Niiden järkevä käyttötapa ei ole itsestään selvää, mutta kokeiluihin perehtyminen kehittää omaa näkemystä. Tätä yritin itsekin jo lähes kaksikymmentä vuotta sitten kirjassani DelTa — Tavalliset differentiaaliyhtälöt.

Róbert Freud, Edit Gyarmati; Number Theory; esittely samassa yhteydessä kuin edellisen kirjan. Unkarilaisen hyvin suositun lukuteorian oppikirjan käännös englanniksi. Alkeista lähdetään ja aika pitkälle päästään. Ilman tarkempaa perehtymistä on tietysti vaikea sanoa, miten kirja suhtautuu moniin muihin lukuteorian oppikirjoihin ja miten se soveltuu vaikkapa luentokurssin pohjaksi. Unkarilainen tausta kuitenkin kiinnostaa.

David M. Bressoud; Calculus Reordered: A History of Big Ideas; Princeton University Press, esittely Stephan Ramon Garcia. Calculuksen — differentiaali- ja integraalilaskennan — historia Välimeren hellenistisestä maailmasta 1900-luvulle, Arkhimedeestä Gödeliin. Melkoinen kaari siis. Esittelijä pitää kirjaa ajatuksia herättävänä lukemistona jokaiselle calculuksen opettajalle.

Grady Klein, Yoram Bauman; The Cartoon Introduction to Calculus; esittely samassa yhteydessä kuin edellisen kirjan. Hieman kevyempi näkemys calculuksesta. Vaikeata sanoa, mikä on tämän merkitys opiskelulle, mutta koulukirjaa hauskempi voi toki olla.

Silmän huijaaminen ja perspektiivin geometria

American Mathematical Society ja Mathematical Association of America ovat yhdessä julkaisseet viime vuonna kirjan Optical Illusions of Rome, jonka tilasin joulun alla.  Tekijä on matematiikan historiaa tutkinut Kirsti Andersen Aarhusin yliopistosta, ja teos on alunperin ilmestynyt tanskaksi. Aiheena ovat pääosin renessanssiaikaiset perspektiiviset seinäkuvat ja arkkitehtoniset rakenteet sekä niiden taustana oleva keskusprojektion — eli perspektiivikuvien — teoria. Kolmiulotteista projektiivista geometriaa siis.

Perspektiivikuvien piirtämisen lait selvitettiin renessanssiaikana. Monet taiteilijat ja arkkitehdit tekivät erilaisia perspektiivikokeiluja, ja asiaa tutkittiin myös geometrisesti. Erityisesti Albrecht Dürer (1471–1528) oli paitsi taiteilija myös geometrikko, ja hänen teoksensa Underweysung der messung mit dem zirckel und richtscheyt in Linien ebnen unnd gantzen corporen vuodelta 1525 on deskriptiivisen geometrian klassikko.

Perspektiivikuvan muodostaminen Dürerin teoksessa Underweysung ...

Perspektiivilakien tunteminen ja innostus kokeiluihin johti ns. trompe l'œil -illuusioiden konstruointiin.  Tavoitteena oli huijata silmää (ransk. tromper l'œil) luomalla vaikutelma tilasta, jota todellisuudessa ei ollut. Esimerkiksi huoneen seinään maalattiin perspektiivikuva, jossa pylväikön takaa aukeni avara näköala kauniiseen ympäristöön. Jos rakennusteknisistä (tai taloudellisista) syistä kirkon päälaivan päälle ei voitu rakentaa kupolia, kattoon maalattiin kupolin perspektiivikuva. Alla olevat kirjassa käsitellyt esimerkit ovat Roomasta, mutta vastaavia on toki tehty muuallakin.

Virtuaalinen takaseinä, Villa Farnesina, Sala delle prospettive,
Combusken (Wikimedia Commons) [CC BY-SA]

Virtuaalinen kupoli,Chiesa di Sant'Ignazio,
Jean-Christophe Benoist (Wikimedia Commons) [CC BY-SA]

Ongelmana oli, että periaatteessa perspektiivikuva näyttää oikealta vain katsottuna yhdestä ainoasta pisteestä, siitä projektiokeskuksesta, jota käyttäen kuva on muodostettu. Muualta katsottaessa kuva näyttää enemmän tai vähemmän vääristyneeltä. Ihmissilmä on kuitenkin niin tottunut katsomaan kuvia, että pienet vääristymät eivät häiritse, vaan aivot tulkitsevat kuvan parhain päin. Tästä huolimatta kuvien laatiminen edellytti perspektiivilakien tarkkaa tuntemista sekä taidokkaita valintoja ja kompromisseja.

Saatettiin toimia myös toisin päin. Seinälle maalattiin kuva, joka näytti omituiselta ja venähtäneeltä ja jonka hahmottaminen ei oikein onnistunut. Se oli kuitenkin oikein konstruoitu perspektiivikuva, mutta oikea katselupaikka on hieman sivussa yllättävässä paikassa. Tästä katsottuna kuva hahmottuu helposti.

Paitsi maalauksia — perspektiivikuvia — tehtiin myös kolmiulotteisia kokeiluja. Vatikaanissa on sisätiloihin johtava porraskäytävä (Scala Regia), joka vähitellen kapenee ja madaltuu ja jonka reunoilla olevat pylväät ovat yhä tiheämmässä. Seurauksena on vaikutelma mahtavammasta portaikosta kuin todellisuudessa on kyse. Paikassa ei myöskään olisi tilaa näyttävämmälle portaikolle.

Scala Regia -portaikko,
Sailko (Wikimedia Commons) [CC BY]

Portaikko on arkkitehti Gian Lorenzo Berninin suunnittelema, eikä sen geometrinen konstruktio ole aivan yksinkertainen.  Periaatteessa kyseessä on kollineaarinen kuvaus (kollineaatio) kolmiulotteisesta avaruudesta siihen itseensä.  Tässä suorat kuvautuvat suoriksi. Olemassa oleva portaikko on fiktiivisen kapenemattoman portaikon kollineaarinen kuva.

Andersenin kirja sisältää myös lyhyen ja selkeän johdatuksen perspektiivin geometriaan sekä muutamia harjoitustehtäviä. Jos lukija haluaa yksityiskohtaisemman esityksen, tällainen on olemassa myös suomeksi: Alan klassikko on Teknillisen korkeakoulun sovelletun matematiikan professorin E. J. Nyströmin kaksikielinen (painettu) moniste Perspektiivioppi – Perspektivlära vuodelta 1947. Tätä saattaa olla vaikeata löytää. Uudempi vaihtoehto on oma teokseni Perspektiivikuvan geometriset perusteet (http://www.elisanet.fi/simo.kivela/kirjat.html).

Kävin kirjakaupassa

En ostanut kuvan kirjoja eikä niitä kaupassa ollutkaan. Ovat omasta hyllystäni.

Etsiydyin kirjakauppaan. Sehän ei enää hienossa (in spe) Espoon Tapiolassa sijaitse katutason kulkureittien varrella vaan kauppakeskuksen syövereissä.  Poikkeaminen ohi kulkiessa ei ole helppoa.

Tapani mukaan katsoin muun ohella, mitä matematiikasta ja luonnontieteistä on tarjolla. Ei juuri mitään. Tähtitiedettä on, kiitos Ursan, joka on jo pitkään popularisoinut alaansa erinomaisesti. Matematiikasta on vain koulukirjoja. Silmäilin niitäkin. Aika tylsän kuvan matematiikasta antavat. Kuka voisi kiinnostua, jos henki on 'tee näin, niin ylioppilastutkintolautakunta antaa pisteitä'. Voiko edes lukiolainen kiinnostua — aidosti?

Vertailu Ursaan ei tietysti ole reilu. Tähtitiedehän ei — onneksi — ole kouluaine, jolloin siitä kiinnostutaan aidosti ja kirjat suunnataan harrastajille. Matematiikkaa rasittaa sen asema tärkeäksi julistettuna kouluaineena, jolloin sitä ei muusta näkökulmasta herkästi nähdä. Ehkä silti voisi yrittää ja pyrkiä julkaisemaan kirjoja harrastajille lukion kurssijako ja ylioppilaskoe unohtaen.

Verkkolehti Solmu on aikojen kuluessa julkaissut melkoisen määrän matematiikkaa käsitteleviä artikkeleita. Olisiko aika koota näistä kirja 'Solmun parhaat'? Verkossa olevat artikkelit ovat jollakin tavoin hajallaan eikä niitä lueta samalla tavoin kuin kirjaa puhumattakaan siitä, että annettaisiin lahjaksi.

Toimitustyötä kirjan koostaminen vaatisi. Matemaatikko herkästi kirjoittaa aika tiivistä tekstiä ja on tyytyväinen, kun asia on tullut täsmällisesi sanotuksi. Tekstin ymmärtäminen jää lukijan vastuulle.  Kirjan pitäisi olla ihmisystävällisempi senkin uhalla, että täsmällisyyteen jää toivomisen varaa. Siinä on haastetta toimittajalle.  Ja matemaatikkopiireille: minun on vaikeata uskoa, että toimittamisesta voisi selvitä ilman matemaatikkotaustaa.

Kirjojen saaminen myyntiin ns. kivijalkakirjakauppoihin voi olla vaikeata, vaikka Ursa onkin aika hyvin onnistunut. Ehkä maailma on muuttunut siten, että kirjoja pitää oppia etsimään verkkokirjakaupoista.

Jos kielen ei tarvitse olla suomi, löytyy verkkokirjakaupoista, vaikka Amazonilta runsaasti myös matemaattista kirjallisuutta. Ongelmana on usein kiinnostavan kirjan löytäminen runsaasta tarjonnasta. Esittelyjen ja arvostelujen julkaiseminen olisi avuksi, vaikka monet verkkokirjakaupat tarjoavatkin mahdollisuuden selata ainakin joitakin kirjan sivuja.  Esittelyjä vain pitäisi kirjoittaa ja julkaista. Voisiko Solmulla olla kumuloituva kirjallisuuspalsta, josta esittelyt olisivat helposti löydettävissä?

Kirja tarvitsee kustantajan. Omakustantajakin on kustantaja, mutta asiansa jo valmiiksi osaava kustantaja olisi tietenkin parempi. En yritä listata mahdollisuuksia, mutta kiinnostuneet voivat ilmoittautua.

Matematiikan vaellusretket

Julkaisin viime helmikuussa matematiikkaa popularisoivan kirjan Vaellusretkiä matematiikkaan, omakustanne, 210 sivua, 25 toisistaan riippumatonta artikkelia. Saatavana verkkokirjakaupoista tai suoraan minulta. Tarkempia tietoja on verkkosivulla http://www.elisanet.fi/simo.kivela/vaellmat.html.

Painos oli 150 kappaletta, joista tällä hetkellä on jäljellä neljä.  Lisäkappaleita on tilattu 50. Tiedossani on kolme arviointia:

Matti Lehtinen verkkolehti Solmussa, http://matematiikkalehtisolmu.fi/2017/2/vaellusretkia.pdf

Aaro Salosensaari blogissaan, https://aqsalose.kapsi.fi/blog/book-vaellusretkia.html

Petri Laarne blogissaan, http://www.nollakohta.fi/2017/05/lukuvinkki-vaellusretkia-matematiikkaan.html

Tekijälle on aina miellyttävää, kun joku on paneutunut tuotokseen ja innostuu kommentoimaan. Mainituissa arvioineissa nostetaan esiin näkökohtia, jotka ansainnevat enemmänkin pohdiskelua. Omina kommentteinani seuraavaa:

Kirjaani luonnehditaan hieman vaativaksi ja harvinaisuudeksi suomalaisessa ympäristössä. Ehkä näin on, mutta vastaavanlaisia artikkeleita kyllä löytyy ainakin verkkolehti Solmusta (http://matematiikkalehtisolmu.fi/). Tässä on vastakkain perinteinen kirja ja digimaailma. Miten nykyään pitäisi julkaista?

Verkkomateriaali on helposti saavutettavissa ainakin, jos se ei ole maksumuurin takana. Usein se kuitenkin muodostaa aika sekavan kokoelman, jota voi silmäillä, mutta jonka jäsentäminen on vaikeata. Kirjaan kuuluu jotenkin luonnostaan selkeämpi jäsennys. Kirja on enemmän olemassa: Sen voi antaa lahjaksi vaikka tuoreelle ylioppilaalle. Nettiosoitteen antaminen ei oikein tunnu samalta sen enempää saajalle kuin antajallekaan.

Kirjasta joutuu maksamaan, nettimateriaalin ilmaisuuteen on totuttu. Vaikka tekijä tietenkin onkin palkkansa ansainnut, ei kummastakaan vaihtoehdosta korvausta työlleen saa. Hyvä kun saa kirjan painolaskun kuitatuksi.

Kun kirjassa on 25 artikkelia, on selvää, että se ei voi antaa minkäänlaista yleisempää kuvaa 'mistä matematiikassa on kysymys ylioppilaskirjoitusten vaatimusten tuolla puolen' (Aaro Salosensaaren erinomainen formulointi).  Yhden henkilön projektiksi tällaisen kuvan antaminen olisi aika vaativa.  Voisikin kysyä, löytyisikö useita henkilöitä puhaltamaan yhteiseen hiileen, kukin oman asiantuntemuksensa mukaan.

Kirjani kunkin artikkelin lopussa on muun ohella verkkoviitteitä jatkolukemiseen.  Näiden osoitteet saattavat olla pitkiäkin, eikä niiden naputteleminen selaimeen kovin hauskaa ole. Myönnän kritiikin aiheelliseksi ja tarjoan apuvälineen: pdf-tiedosto http://www.elisanet.fi/simo.kivela/vaellmatViitteet.pdf sisältää artikkelien loppuhuomautukset aktiivisine linkkeineen.

Kommentoijia kiitän.

Innostaako matematiikka?

Kuusikymmentäluvulla — ennen joukko-oppiin lankeamista — lukion matematiikkaan ilmestyi uusia asioita, mm. differentiaali- ja integraalilaskennan epsilon-delta-tarkasteluja. Aivan helppoja nämä eivät olleet, mutta jonkinlaista innostusta oli ilmassa.

Runsasta kymmentä vuotta myöhemmin alettiin ohjelmoida ja taas saatiin jotakin uutta kiinnostavaa. Mukaan tuli numeerinen matematiikka. Olin itsekin kirjoittamassa pikku kirjasta numeerisista algoritmeista; mukana oli BASIC-koodeja.

Samoihin aikoihin ilmestyi Benoît Mandelbrotin kirja The Fractal Geometry of Nature ja alettiin muodostaa laskemalla häkellyttävän monimutkaisia fraktaalikuvioita. Olin esittelemässä itse laskemiani fraktaaleja Matemaattisten opettajien liiton (MAOL) päivillä ja kiinnostusta riitti.

Mitä sittemmin on tapahtunut? Pelkään, että on menty alamäkeä.  Oppisisältöjä on karsittu, osaamista kyllä testataan ja joissakin testeissä on toki menestyttykin, mutta innostusta on vaikea havaita.  Oppikirjat ovat minusta uskomattoman tylsiä. Ylioppilaskoe pakottaa keskittymään tietokoneiden buuttaamiseen eksoottisissa olosuhteissa ja moninaisten ohjelmien käyttämiseen, vaikka niiden tarpeellisuus usein jää hämäräksi.

Olisiko mahdollista tehdä jotakin positiivisempaa? Ehkä se olisi mahdollista. Hyvänä esimerkkinä on Ursa, joka on tehnyt tavattoman paljon tähtitieteen harrastamisen hyväksi. Mutta tähtitiede ei olekaan kouluaine.

Olen kantanut korteni kekoon tekemällä kirjan, jonka kansi on yllä.  Toivon sen osaltaan näyttävän, että matematiikka on laajempaa, monipuolisempaa ja kiintoisampaa kuin koulukurssin perusteella voisi kuvitella. Olkaapa hyvät!

Tarkempia tietoja kirjan omalta nettisivulta http://www.elisanet.fi/simo.kivela/vaellmat.html.

Kuvaajia on kaikenlaisia

Funktion $(z+1)(z-i)^2(z-1+i)^3$ kuvaaja

Tyyppiä $y = f(x)$ olevia funktioita havainnollistetaan helposti xy-tasoon piirrettävillä kuvaajilla. Samantyyppisellä idealla voidaan havainnollistaa tyyppiä $z = f(x,y)$ olevia funktioita, mutta nyt tarvitaan kolmiulotteinen xyz-avaruus.

Entä sitten vaikkapa kompleksimuuttujan kompleksiarvoinen funktio $w = f(z)$? Tässä siis on $z = x + iy$ ja funktio voidaan hajottaa reaali- ja imaginaariosaksi: $w = u(x,y) + iv(x,y)$. Esimerkiksi $f(z) = z^2 = (x + iy)^2 = (x^2 - y^2) + 2ixy$, jolloin $u(x,y) = x^2 - y^2$ ja $v(x,y) = 2xy$. Kuvaajan piirtämisen kannalta kyseessä on funktio ${\mathbb R}^2 \to {\mathbb R}^2$, missä $(x,y) \mapsto (u,v)$. Kuvaajaa varten tarvittaisiin siis neliulotteinen xyuv-avaruus. Toki tällaisistakin voisi piirtää kuvia projisioimalla neliulotteisen kuvaajan kolmiulotteiseen avaruuteen vaikkapa yhdensuuntaisprojektiolla ja tästä edelleen kaksiulotteiseksi tasokuvaksi. Tai suoraan neljästä ulottuvuudesta kahteen.

Muunkinlaisia keinoja löytyy. Jos tarkastellaankin funktion $f(z)$ itseisarvoa $|f(z)| = \sqrt{u(x,y)^2 + v(x,y)^2}$, kyseessä on tavallinen kahden muuttujan funktio, jonka kuvaaja --- jonkinlainen pinta --- voidaan muodostaa kolmiulotteiseen avaruuteen. Tällöin toki on hukattu informaatiota eikä kuvaaja periaatteessakaan kerro kaikkea. Mukaan voidaan kuitenkin liittää kuvapisteen $w = u(x,y) + iv(x,y)$ välillä $]-\pi,\pi]$ oleva napakulma värittämällä kuvaajapinta kohdan $(x,y)$ yläpuolella napakulman ilmaisevalla värillä.  Jokin värikartta tarvitaan, ja tällaiseksi sopii esimerkiksi hue-värimäärittelyn ympyrä (kuva alla). Tällöin kuvaaja sisältää periaatteessa kaiken informaation. Esimerkkinä on jutun alussa oleva funktion $(z+1)(z-i)^2(z-1+i)^3$ kuvaaja.

Hue-värimäärittely

Yllättävän havainnollinen kuva saadaan myös jättämällä itseisarvo huomiotta ja tarkastelemalla vain napakulmaa, ts. vain kaksiulotteista värikarttaa (= em. kuvaaja katsottuna suoraan ylhäältä). Alla on esimerkkeinä kaksi funktiota. Miten näissä näkyvät funktion nollakohdat ja navat? Miten kertaluku ilmenee?

$(z+1)(z-i)^2(z-1+i)^3$

$(z+1)(z-i)^2 / (z-1+i)^3$

Tämän postauksen innoittajana on ollut American Mathematical Societyn Notices-lehden kirjaesittely Frank A. Farrisin teoksesta Creating Symmetry: The Artful Mathematics of Wallpaper Patterns (http://www.ams.org/notices/201511/rnoti-p1350.pdf), jossa keskitytään symmetrisiin (ja kauniisiin) kuvioihin. Näitäkin toki kokeilin, esimerkkinä alla oleva.

$a(z^5 \bar{z}^{\,5}) + b(z^6 \bar{z} + z \bar{z}^{\,6}) + c(z^4 \bar{z}^{\,-6} + z^{-6} \bar{z}^{\,4})$, $a = i$, $b = 2-i$, $c = 1+i$

Lopuksi ongelma lukijalle: Mitä tunnettua alkeisfunktiota esittää oheinen kuvaaja? Tässä on siis otettu huomioon sekä itseisarvo että napakulma.

Mikä funktio?

Kaksi matematiikan oppikirjaa

Lueskelin kahta hyvin erilaista peruskoulun ja lukion taitteeseen suunnattua matematiikan oppikirjaa. Toinen taaksepäin katsova peruskoulun oppimäärän kertaus, sisältönä kaikki se, minkä lukion opettaja toivoisi lukiotulokkaiden osaavan. Toinen eteenpäin suuntaava yrittää antaa jonkinlaisen mielikuvan siitä, mitä matematiikka on, miksi se ehkä on mielenkiintoista ja miksi sitä kannattaa opiskella.

Edellinen on Paavo Jäppisen, Alpo Kupiaisen ja Matti Räsäsen Matematiikan linkki , kustantajana Otava, verkkokaupassa 22 euroa. Kyseessä on tiivis kertaus peruskoulumatematiikasta. "Linkki on oppikirja, joka kertaa peruskoulun matematiikan keskeiset aihepiirit ja valmentaa opiskelemaan matematiikkaa peruskoulun jälkeen. Linkki soveltuu johdantokurssiksi sekä lukion pitkään että lyhyeen matematiikkaan."

Toinen on Jukka Ilmosen Matematiikka on avain luontoon. Teksti on vapaasti saatavissa pdf-tiedostona, mutta sen voi tilata myös print-on-demand-periaatteella Amazon-yhtymän Create Space -palvelussa kustannettuna kirjana. Hinta tuntuu vaihtelevan erikoisella tavalla: hieman alle $200 (http://www.amazon.com/Matematiikka-avain-luontoon-Finnish-Edition/dp/1482763222) tai £3.50 (http://www.amazon.co.uk/Matematiikka-avain-luontoon-Jukka-Ilmonen/dp/1482763222).  Esittelytekstin mukaan kirja "antaa vastauksia kysymykseen miksi matematiikka ja luonnontieteet ovat tärkeitä. Siinä perustellaan miksi matematiikkaa ja luonnontieteitä pitää opiskella, vaikka laskimet onkin keksitty ja luonnontieteellistä tietoa voi hakea suoraan internetistä. Lisäksi kirjassa selvitetään miten matematiikka ja luonnontieteet ovat tekniikan kautta vaikuttaneet jokapäiväiseen elämäämme." Tekijä on opettanut Päivölän Kansalaisopiston matematiikkalinjalla ja kirja on syntynyt opettajien ja oppilaiden kanssa käytyjen pohdiskelujen pohjalta.

En esittele Jukka Ilmosen kirjaa tarkemmin, vaan viittaan Matti Lehtisen Solmussa julkaisemaan arviointiin.  Lukija voi myös itsekin helposti tutustua kirjaan lataamalla tiedoston.  Varsinaisia tekstisivujakaan ei ole enempää kuin 107.

Kirjat sijaitsevat monessa mielessä vaihteluvälin ääripäissä. Toinen on perinteisen kustantajan tuotantoa, toinen testaa uusia julkaisumahdollisuuksia.  Toinen on kokeneiden opettajien käsialaa, toisessa katsellaan asioita poikkeavista näkökulmista taustana matematiikkaan ja luonnontieteisiin painottuneet opinnot. Toisessa kerrataan matematiikkaa vakiintuneella, ehkä ikävystyttävälläkin tavalla, toisessa lennetään korkealla arkipäivä unohtaen.

Kummallakin on varmasti käyttönsä. Rautaisannos peruskoulun kertaamiseen on hyvä olla tarjolla. Kaiken ei kuitenkaan pidä tähdätä vain yksityiskohtien moitteettomaan osaamiseen, varsinkaan jos tämä tuo mukanaan kangistumisen 'ainoan oikean' ratkaisutavan esittämiseen. Ainoaan oikeaan ei sinänsä matematiikan oppikirjoissa tietenkään pyritä, mutta tavaksi tullut esitystyyli johtaa tähän: esimerkki, perässä ratkaisu, toki joskus harvoin myös vaihtoehto.  Houkutus opetella ratkaisutapa ulkoa on suuri, sillähän saa kokeessa täydet pisteet. Mihin unohtuu ajattelu?

Taivaanrantaa maalaava esitys on herkästi tasapainoton ja valituista näkökulmista voi olla eri mieltäkin. En pitäisi tätä kuitenkaan haittana, jos asioita myös pohditaan kirjan lukijan kanssa. Avara näkemys on kiistatta innostavampi kuin mahdollisimman hyvään koesuoritukseen keskittyvä. Lukiota aloittavalle opiskelijalle suosittelisin empimättä mieluummin Ilmosen kirjaa kuin Linkkiä. Jos innostus herää, mahdolliset puutteet peruskoulun oppimäärän osaamisessa eivät ole ongelma.

Moderni julkaisutapa tuo kuitenkin hieman vaikeuksia. Jos kirjan haluaisi antaa lahjaksi, ei oikein tunnu tyyliin sopivalta antaa vain nettiosoite. Fyysisen kirjan hankkiminen on ongelmallista: parikymmentä euroa voisin maksaa, mutta en kyllä lähes kahta sataa. Markkinoinnilla ja jakelulla on merkityksensä. Vai onko jokin kohtuullinen kanava, jota en ole huomannut? Ilmosen kirja olisi tällaisen arvoinen.

Populaarikirjoja — suomeksi?

Pistäydyin Espoon kaupungin kirjastossa ja ohikulkiessani vilkaisin, mitä matematiikkahyllyssä on tarjolla. Lähinnähän siellä on oppikiroja ja jokunen vanha matematiikkaa käsittelevä yleisteos. Nyt olivat panneet tyrkylle — nostaneet kirjarivistä erilleen — Clifford A. Pickoverin kirjoittaman 528-sivuisen opuksen nimeltä The MATHBOOK, tai kuten kanteen on kirjoitettu The MαTHβOOK. Englanniksi siis. Silmäilin ja päätin lainata katsoakseni hieman tarkemmin.

Kirjan alaotsikkona on From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics. Sisältönä on 250 yhden sivun pituista artikkelia, joista jokaiseen liittyy viereisen sivun täyttävä värikuva. Artikkelit ovat toisistaan irrallisia ja käsittelevät jotakin jollakin tavoin matematiikkaan liittyvää asiaa kronologisesti järjestettyinä. Ensimmäisen aikamerkintä on 'c. 150 Million B.C.', joten aika kaukaa ennen Pythagoraan aikaa aloitetaan. Viimeinen on kirjattu vuoteen 2007. (Kirjan copyright-merkintä on vuodelta 2009.)

Artikkelien aiheet vaihtelevat tavattomasti. Ensimmäinen, 'Ant Odometer', käsittelee muurahaista, joka näyttää kykenevän matkan mittaamiseen. Jonkinlaisena näytteenä käsitellyistä aiheista voisivat olla seuraavat: Platonin kappaleet, Hypatian kuolema, nolla, loksodromi, projektiivinen geometria, Stirlingin kaava, Goldbachin konjektuuri, Gaussin Disquisitiones Arithmeticae, neliväriprobleema, Hilbertin hotelli, tietokone ENIAC, Rubikin kuutio, Chaitinin omega, laskentaohjelma Mathematica, tv-sarja NUMB3ERS, Lien ryhmä $E_8$ (johon viittaa alaotsikon dimensio 57).

Clifford A. Pickover näyttää verkkosivunsa (http://www.pickover.com/) perusteella olevan tuottelias ja monella alalla liikkuva henkilö. Hän on väitellyt biokemiasta, mutta on myös perehtynyt tietotekniikkaan ja ilmeisesti paljoon muuhunkin. Verkkosivun mukaan hän on julkaissut yli 45 kirjaa, joukossa The Medical Book ja The Physics Book.

Sivun pituisissa artikkeleissa ei luonnollisestikaan kovin syvälle päästä. Kaavojakin on tarpeen mukaan, ei paljon, mutta selvästikään niitä ei ole pelätty. Pääpaino on matematiikan moninaisuudessa, ja tässä on kirjan vahvuus. Usein sanotaan, että matematiikkaa tarvitaan kaikkialla, se on monin tavoin läsnä kulttuurissamme, mutta hämäräksi jää, mitä tämä oikeastaan tarkoittaa. Pickoverin kirja antaa aika hyvän vastauksen.

Mieleeni tulee toinenkin matematiikkaa popularisoiva kirja, Ehrhard Behrendsin Five-Minute Mathematics, jonka on englanniksi kustantanut American Mathematical Society. Kirja koostuu sadasta alunperin saksaksi kirjoitetusta ja Die Welt -lehdessä viikoittain ilmestyneestä artikkelista. Kunkin artikkelin pystyy lukemaan noin viidessä minuutissa, mistä kirjan nimi. Liikkeelle lähdetään usein jokapäiväiseen elämään liittyvästä asiasta, mutta hämmästyttävän pitkälle matemaattiseen ajatusmaailmaan viidessä minuutissa voidaan päästä.

Tällaisia kirjoja toivoisi olevan saatavissa myös suomeksi. Antaisivathan ne matematiikkaa opiskeleville lukiolaisille tai yliopisto-opiskelijoille, heidän opettajilleen, toimittajille ja tavallisille kansalaisille matematiikasta paljon koulukurssia monipuolisemman kuvan. Ei matematiikka ehkä olekaan niin tylsää ja kaavaorientoitunutta kuin koulun perusteella näyttää. Olisiko joku kustantaja kiinnostunut käännättämään ja julkaisemaan vaikkapa näitä kahta kirjaa?

Kääntäjän varmaan pitäisi osata paitsi kääntää, myös ymmärtää jotakin matematiikasta. Löytyisikö matemaatikkoa?

Geometriaa?

Maailmassa julkaistaan paljon kirjoja, myös matemaattisia. Selasin kirjamainoksia ja katsoin muutamaa mielenkiintoiselta näyttävää teosta verkkokirjakauppa Amazonin sivuilta. Amazon tarjoaa mahdollisuuden katsella joitakin kirjojen sivuja sähköisesti, joten pelkällä selaamisellakin voi oppia yhtä ja toista.

En ole ennen tiennyt, mikä on Miquelin lause, mutta sekä Gerard A. Veneman kirja Exploring Advanced Euclidean Geometry with GeoGebra että Alfred S. Posamentierin ja Ingmar Lehmannin kirja Secrets of Triangles käsittelevät sitä. Auguste Miquel puolestaan oli ranskankielisen Wikipedian mukaan (http://fr.wikipedia.org/wiki/Auguste_Miquel) 1800-luvulla vaikuttanut erityisesti geometriaan paneutunut matematiikan opettaja.  Hänen julkaisujaan löytyy helposti ranskalaisesta verkkokirjastosta Gallica, Bibliothèque numérique.

Miquelin lause ilmenee alla olevasta kuviosta.

ABC on mielivaltainen kolmio, D, E ja F sen sivuilla olevia mielivaltaisia pisteitä.  Piirretään kolme ympyrää, joista kukin kulkee kolmion yhden kärjen ja viereisillä sivuilla olevien pisteiden kautta. Miquelin lauseen mukaan ympyrät leikkaavat toisensa samassa pisteessä H. Lisäksi lukija voi miettiä, miten alkuperäinen kolmio ABC ja ympyröiden keskipisteiden muodostama kolmio PQR suhtautuvat toisiinsa.

Tehtävää on luontevaa tutkia dynaamisen geometrian ohjelmalla, esimerkiksi GeoGebralla, ja hakea ideoita väitteiden todistamiseen. Aikoinaan koulussa euklidista geometriaa ja geometrisia todistuksia opiskelleita tämä varmasti viehättää. Kuulun näihin itsekin. Selaimessa toimiva GeoGebra-dokumentti on osoitteessa http://matta.hut.fi/matta/geogebra/miquel.html.

Tulisiko tällaisia tehtäviä sitten käsitellä koulussa nykyään? Mitä näistä olisi tarkoitus oppia?  Vastaavia geometrisia tuloksia on paljon, ja näiden opiskeluun Veneman kirjakin tarjoaa materiaalia. Tulosten tietäminen ei kuitenkaan sinänsä voi olla kovin tärkeätä. Ajatus todistamisesta ja hierarkkisesta päättelystä ehkä on oppimisen arvoista, mutta olisiko sen oppimiseen tarjolla sisällöltään relevantimpia yhteyksiä? Geometriaahan pitäisi opiskella aika paljon, jotta päättelyjärjestelmän ideasta voisi syntyä mielikuva. Siirtyykö geometriassa mahdollisesti saatu taito muihin yhteyksiin, jolloin sillä voisi olla yleisempää merkitystä?

Otsikossa oleva kysymysmerkki ei viittaa siihen, että epäilisin, onko ns.  dynaaminen geometria geometriaa lainkaan. Kyllä se varmasti on kelvollinen lähestymistapa geometriaan ja ansaitsee siinä mielessä paikkansa. Ongelma sen sijaan mielestäni on, onko Veneman kirjan tyyppiseen geometrian opetukseen perusteltua käyttää aikaa.

Matematiikan opettajan soisi tuntevan euklidisen geometrian päättelyn idean, vaikka sitä ei varsinaisesti koulussa opetettaisikaan. Vaiko onko tässäkin kyse vain vanhaan takertumisesta? Mieleeni nousee jostakin matematiikan kirjan mainoksesta vuosia sitten lukemani tarina: Kiinalainen opiskeli — teoreettisesti — lohikäärmeiden pyydystämistä. Vuosien uurastuksen jälkeen hän saavutti taidossa täydellisyyden ja ryhtyi pyydystämään lohikäärmeitä, mutta ei löytänyt ainuttakaan. Loppuelämänsä hän käytti opettamalla lohikäärmeiden pyydystämistä.

Poincarén konjektuuri

Henri Poincaré muotoili vuonna 1904 julkaistussa artikkelissaan ns. Poincarén konjektuurin (otaksuman). Hän ei onnistunut todistamaan tätä ja todistamattomana se pysyi satakunta vuotta, kunnes venäläinen Grigori Perelman esitti vuonna 2003 sille suurta huomiota herättäneen todistuksen. Kyseessä oli yksi Clay Mathematics Instituten ns. Millenium-probleemoista, joista jokaisen ratkaisusta oli luvassa miljoonan dollarin palkinto. Perelman ei ottanut palkintoa vastaan.

Poincarén konjektuuri esitetään yleensä seuraavassa muodossa: Jokainen kompakti yhdesti yhtenäinen kolmiulotteinen monisto on homeomorfinen kolmiulotteisen pallopinnan kanssa. Tämä sisältää käsitteitä, joiden sisältö ei ole niinkään selvää muille kuin alan spesialisteille. Jo kolmiulotteinen pallopinta on ongelmallinen: tavallisen kolmiulotteisessa avaruudessa sijaitsevan pallon pinta on kaksiulotteinen monisto. Kolmiulotteinen pallopinta on vastaavanlainen, mutta dimensiota ylempänä: tällaisen muodostavat esimerkiksi neliulotteisen avaruuden pisteet, joille pätee $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 = 1$.

Homeomorfinen puolestaan tarkoittaa topologista samanlaisuutta. Karkeistaen voidaan sanoa, että jos kaksi monistoa (kappaletta, pintaa tms.) voidaan muokata toisikseen venyttämällä, rypistämällä tai muulla vastaavalla tavalla, mutta ei repimällä, niin ne ovat homeomorfiset.

Seurauksena onkin, että monet Poincarén konjektuuria käsittelevät populaariartikkelit antavat epämääräisen tai peräti virheellisen kuvan siitä, mistä on kysymys. Mielestäni selkein (ja lyhin) yleistajuinen selitys Poincarén konjektuurista löytyy Clay-instituutin sivulta http://www.claymath.org/millennium/Poincare_Conjecture/.

En itsekään tunne Poincarén konjektuurin taustana olevaa algebrallista topologiaa kovinkaan hyvin. Tämän takia tartuin kiinnostuksella Terra Cognitan julkaisemaan suomenkieliseen kirjaan Poincarén konjektuuri, alaotsikkona Maailmankaikkeuden muotoa etsimässä. Tekijä on amerikkalainen Donal O'Shea, Mount Holyoke Collegen matematiikan professori. Syitä oli kaksi: halusin paremmin ymmärtää, mistä on kyse, ja toisekseen katsoa, miten vaikean asian popularisoinnissa on onnistuttu.

Yleisvaikutelma kirjasta oli ehdottomasti myönteinen. Historiallinen tausta tulee esiin, eihän matematiikka synny tyhjästä; Poincarén loikka eteenpäin oli kuitenkin melkoinen. Konjektuurin idean suhteen lähdetään liikkeelle aika yksinkertaisesti: Kaksi ympyrälevyä liitetään reunoistaan toisiinsa, jolloin syntyy pallo, kun levyjä sopivasti pullistetaan.  Levyistä siis ikään kuin muodostetaan pohjoinen ja eteläinen pallonpuolisko ja ne liitetään yhteen päiväntasaajaa pitkin. Ja sitten kysytään, mitä vastaava konstruktio antaisi yhtä dimensiota ylempänä: kaksi palloa sisuksineen, niiden pinnat liitetään yhteen tai pikemminkin samastetaan, havainnollinen mielikuva kun ei enää ole mahdollinen.

Vähitellen teksti kyllä vaikeutuu. Paikoin täytyi ryhtyä kertaamaan muinoin opiskeltua (mutta ei tentittyä) algebrallista topologiaa, nykymaailmassa vaivattomimmin netistä. Lukemisen helpottamiseksi kirjan lopussa on kaikkiaan 271 tarkempia tietoja sisältävää huomautusta, joihin varsinaisessa tekstissä vain viitataan. Tästä huolimatta teksti paikoin puuroutuu: vaikeasta asiasta yritetään sanoa lyhyesti paljon kuitenkaan täsmällisyydestä tinkimättä eikä lukija enää ymmärrä paljoakaan.

Käännös on yleisesti ottaen hyvä, mutta joissakin kohdissa täytyi miettiä, mitähän asia mahdollisesti on ollut englanniksi, jotta ideaan pääsi kiinni. Tällaisten kirjojen kääntäminen on vaativa tehtävä. Kääntäjän pitäisi ymmärtää asia, jotta lauserakenteet tulevat oikein. Vaarana ovat myös kaksitulkintaiset rakenteet: käännös sinänsä voi olla aivan oikein, mutta suomenkielisellä lauseella on toinenkin tulkinta, eikä lukijaparka tiedä kumpaa tarkoitetaan.

Matematiikkaa popularisoivien kirjojen kääntäminen on ehdottomasti kulttuuriteko ja voisikin toivoa, että kääntämiseen olisi käytettävissä enemmän resursseja. Lukiomatematiikan jälkeen Poincarén konjektuurista lukeminen avaa varmasti uusia näköaloja. Kyse on enemmän ajattelusta ja maailman mahdollisesta monimutkaisuudesta kuin mekaanisesta laskemisesta.