Matemaattinen seinäkalenteri

American Mathematical Society (AMS) julkaisee vuosittain matemaattisen seinäkalenterin. Kiinnostuin ja tilasin, tuli kolmessa viikossa. EU:n ulkopuolelta tuleva lähetys piti tullata, mikä sujui kohtuullisen vaivattomasti netissä. Kulut: luottokortilla Amerikkaan 25 euroa (kalenteri ja postikulut), kotimaiselle postille ja tullille lisäksi 9 euroa.

Mitä sitten sain? Seinäkalenterin, jonka kuvat ovat upeita fraktaalikuvioita ja jossa on muutoin tavanomaiset kuukausilehdet, mutta jokaiselle päivälle on matemaattinen probleema. Tämän vastaus on tiedossa: se on kyseisen päivän numero. Tarkoitus ei siten ole vastauksen etsiminen, vaan sen pohdiskelu, miten tulokseen päästään tai mistä yleensä on kyse. Itse asiassa sain kaksi seinäkalenteria, vuosien 2023 ja 2024. Edellinen kaupanpäällisenä, koska niitä vielä oli jäljellä.

Millaisia päivittäiset ongelmat sitten ovat? Skaala ulottuu yksinkertaisesta aritmetiikasta suunnilleen ensimmäisen yliopistovuoden matematiikan opintojen tasolle. Usein ongelmassa on jokin hieman yllättävä piirre, joka tuottaa ahaa-elämyksen: tällainenkin riippuvuus on, näinkin voi asiaa katsoa. Muutaman kerran olen törmännyt minulle ennestään tuntemattomaan käsitteeseen, ja lisäopiskelua on tarvittu. Googlesta on yleensä apua. Tekijät sanovatkin esipuheessa, että ideana on myös ollut tutustuttaa ennestään todennäköisesti tuntemattomiin asioihin.

Esimerkiksi tammikuun toisena päivänä tarjolla oli lauseke \[\left(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}\right)^{-1}.\] Tämän arvo siis tietenkin on 2, mistä voi varmistua vaikkapa syöttämällä sen laskentaohjelmalle. Sarjan summeeraamista voi kuitenkin pohtia, eikä se kovin vaikeata käsin laskijallekaan ole.

Joulukuun 30. päivän tehtävä oli geometrinen:

Sinisen neliön ala on siis ilmeisesti 30, mutta missä asennossa neliöt oikein ovat ja miten tämän laskisi. Kuvio on helppoa piirrellä GeoGebraan siten, että neliöiden asentoa voi muuttaa, ja todellakin näyttää siltä, että neliöiden asennolla ei ole vaikutusta tulokseen. Sen voi tietenkin laskea analyyttisen geometrian tempuilla, mutta näkisikö sen jotenkin elegantimmin? En ole jäänyt pohtimaan.

Tammikuun 7. päivänä kysyttiin 'How many frieze patterns are there?' Ilmeisesti siis seitsemän kappaletta, mutta mitä ne ovat? Google löytää aiheesta useita viitteitä, vaikkapa Wikipediaan tai Virginia Commonwealth Universityn kurssimateriaaliin.

Joillakin ongelmilla on kompatehtävän luonne, esimerkiksi 'Half of the oddiest prime' kuluvan vuoden huhtikuun ensimmäisenä päivänä. Ehkäpä kakkonen sitten on parillisena oudoin alkuluku. Hämäräksi minulle on jäänyt viime marraskuun 23. päivän tehtävä:

Olisiko Thanksgiving Day jonkinlainen avain ongelmaan vai mistä on kyse? Jos jollakulla lukijalla on idea, niin kertokaa.

Tällainen kalenteri on erinomainen virittelemään kiinnostusta ja harrastusta matematiikkaan. Kun vastaukset kerran tiedetään, ei ole paineita tehtävien ratkaisemiseen. Voi rauhassa ihmetellä ja mietiskellä. Ei ole myöskään ylioppilaskokeeseen valmentautumisen henkeä, vaikka toki voi olla hyödyksi siinäkin. Tekisikö joku vastaavan kotimaisen? Tai hankkisi lisenssin, jos ei oma into riitä.

Trigonometrinen Pythagoras

American Mathematical Society (AMS) julkaisee Math in the Media -sivustoa, jossa nostetaan esiin mediassa olleita matematiikkaa jollakin tavalla käsitelleitä artikkeleita tai uutisia. Osastossa Math Digests näihin liittyy myös koululaisille tarkoitettu Classroom Activities.

Maaliskuussa aiheena oli muun ohella trigonometriaan perustuva Pythagoraan lauseen todistus, jonka Calcea Johnson ja Ne’Kiya Jackson — kaksi koulutyttöä New Orleansista — olivat esittäneet AMS:n paikallisessa kevätkokouksessa. Asia on saanut mediassa yllättävänkin paljon huomiota, sitä ovat käsitelleet ainakin Scientific American, The Guardian ja Popular Mechanics. Viimeksi mainittu väittäen, että matemaatikot eivät koskaan olleet kyenneet tällaista todistusta esittämään (mitä tytöt itse eivät väittäneet).

Taustana on Elisha Scott Loomisin vuonna 1928 julkaistu teos The Pythagorean Proposition, joka käsittelee erilaisia Pythagoraan lauseen todistuksia ja jossa todetaan, että trigonometrinen todistus ei ole mahdollinen, koska se väistämättä perustuisi identiteettiin $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Tämä on itse asiassa sama kuin Pythagoraan lause, jolloin kyseessä olisi kehäpäättely.

Loomisin väite on moneen kertaan todettu vääräksi ja esimerkiksi sivustossa Cut-The-Knot on trigonometriaan perustuvia todistuksia. Johnsonin ja Jacksonin todistus saattaa olla uusi, mutta mitenkään mullistava se ei ole. Todistusta ei ilmeisesti ole (vielä?) julkaistu, mutta paikallisen televisiokanavan esitelmätilaisuudesta kuvaaman videon perusteella sen todennäköinen rakenne on hahmoteltu.

Lähtökohtana oleva kolmio $ABC$ peilataan kolmioksi $ADC$ ja piirretään suora $AD$. Asetetaan pisteen $B$ kautta janalle $AB$ normaali; tämä leikkaa suoran $AD$ pisteessä $E$. Suorien $AE$ ja $BE$ väliin konstruoidaan alkuperäisen kolmion $ABC$ kanssa yhdenmuotoiset kolmiot, jotka suppenevat kohden pistettä $E$. Yhdenmuotoisuuden perusteella näiden kolmioiden hypotenuusojen pituudet voidaan laskea. Nämä muodostavat kummallakin suoralla $AE$ ja $BE$ geometrisen jonon, jossa suhdeluku on $a^2/b^2$. Janojen $AE$ ja $BE$ pituudet saadaan tällöin geometrisen sarjan summana: \begin{align*} |AE| &= c + \frac{2a^2c}{b^2} + \frac{2a^4c}{b^4} + \dots = c + \frac{\frac{2a^2c}{b^2}}{1 - \frac{a^2}{b^2}} = c\frac{a^2 + b^2}{b^2 - a^2}, \\ |BE| &= \frac{2ac}{b} + \frac{2a^3c}{b^3} + \dots = \frac{\frac{2ac}{b}}{1 - \frac{a^2}{b^2}} = \frac{2abc}{b^2 - a^2}.\end{align*} Kummallakin rivillä viimeinen vaihe on saadun lausekkeen sieventäminen mahdollisimman yksinkertaiseen muotoon.

Koska kolmio $ABE$ on suorakulmainen, on \[\sin(2\alpha) = \frac{|BE|}{|AE|} = \frac{2ab}{a^2 + b^2}.\] Suorakulmaisessa kolmiossa $ABC$ on $\sin(\beta) = b/c$. Tämän jälkeen seuraa vaihe, joka tekee todistuksesta trigonometrisen: Kolmiossa $ABD$ on trigonometrisen sinilauseen mukaan \[\frac{\sin(2\alpha)}{2a} = \frac{\sin(\beta)}{c}.\] Kun tähän sijoitetaan edellä saadut lausekkeet, päädytään yhtälöön \[\frac{b}{a^2 + b^2} = \frac{b}{c^2},\] mistä seuraa Pythagoraan yhtälö $a^2 + b^2 = c^2$.

Oleellista on, että sinilauseen todistus ei perustu yhtälöön $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, jolloin kyseessä ei ole kehäpäättely. Sinilauseen todistus löytynee edelleenkin esimerkiksi lukion oppikirjoista.

Todistus tuntuu aika mutkikkaalta. Eikö vähemmällä selvittäisi?

Suorakulmainen kolmio voidaan tunnetusti jakaa hypotenuusan vastaisella korkeusjanalla kahteen osakolmioon, jotka ovat yhdenmuotoisia alkuperäisen kolmion kanssa. Yllä olevan kuvion mukaisesti on tällöin \[ x = a\sin\alpha,\ y = b\cos\alpha,\ a = c\sin\alpha,\ b = c\cos\alpha.\] Jakamalla ensimmäinen yhtälö kolmannella ja toinen neljännellä, saadaan $x/a = a/c,\ y/b = b/c$. Tästä seuraa \[ c = x + y = \frac{a^2}{c} + \frac{b^2}{c}\] ja edelleen $c^2 = a^2 + b^2$.

Sivuhuomiona voi todeta, että kertomalla ensimmäinen ja kolmas yhtälö keskenään, samoin toinen ja neljäs, päädytään yhtälöön \[\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \frac{x}{c} + \frac{y}{c} = \frac{x + y}{c} = 1,\] joten trigonometrian perusyhtälökin tulee todistetuksi, tosin vain kulmille $0 < \alpha < \pi/2$.

Voi kysyä, onko edellä oleva Pythagoraan lauseen todistus trigonometrinen. Eihän siinä oikeastaan käytetä trigonometriaa, vaan ainoastaan yhdenmuotoisten kolmioiden sivujen verrannollisuutta. Samaa voi kysyä Johnson-Jackson-todistuksesta. Sekin lepää lähinnä kolmioiden yhdenmuotisuuden ja geometrisen sarjan varassa. Mitä yleensä tarkoittaa trigonometrinen todistus? Miten vahvasti trigonometriaa on käytettävä?

Aikojen kuluessa Pythagoraan lauseelle on esitetty lukuisia erilaisia, eri näkökohtiin pohjautuvia todistuksia. Edellä mainitun Loomisin kirjan lisäksi hyvä kokoelma on Cut-The-Knot-sivustossa. Klassikko on tietenkin Eukleideen todistus (englanniksi  tai kreikaksi).

Mielenkiintoista pohdittavaa antaa todistuksien perimmäisten lähtökohtien ('aksioomien') miettiminen. Jos todistuksessa käytetään yhdenmuotoisia kolmioita, niin mitä itse asiassa tarvitaan näiden määrittelyyn? Mitä oikeastaan tarkoittaa jo peruskäsitekin, suora kulma? Eukleideella on oma vastauksensa, modernin aksiomaattisen määrittelyn esittävät esimerkiksi Matti Lehtinen, Jorma Merikoski ja Timo Tossavainen kirjassaan Johdatus tasogeometriaan. Siinä kuin klassisen geometrian perustana on janojen mittaaminen harpilla, voidaan geometrian lähtökohdaksi myös ottaa Pythagoraan lauseeseen perustuva janojen pituus (pisteiden etäisyysfunktio).

Johnsonin ja Jacksonin todistus ei tuo kovin paljon lisää, mutta osaltaan näyttää, miten Pythagoraan lauseeseen kietoutuu melkoinen annos matematiikkaa.

 

Matemaattista kirjallisuutta maailmalta

Nelikulmiossa jokainen kärki yhdistetään vastakkaisen sivun keskipisteeseen kuvion osoittamalla tavalla.  Onko sininen ala yhtä suuri kuin punainen ala?

Selasin American Mathematical Societyn Notices-lehtiä. Jäsen voi saada painetun lehden, joka tulee, kunhan Atlantin takaa ehtii, mutta sähköiset versiot ovat kaikille avoimia ja myös aihepiireittäin selattavissa: https://www.ams.org/notices/. Paljon muun ohella sisältävät myös matematiikan opetukseen ja popularisointiin sopivien kirjojen esittelyjä. Nämä ovat usein sellaisia, että tekee mieli tutustua niihin tarkemminkin.

Kirjojen kieli on tietenkin lähes poikkeuksetta englanti, mutta tämänhän ei liene nyky-Suomessa ongelma.  Monista kirjoista on sähköinen versio, jonka lataaminen ei kauan kestä, ja hankinta on siis helppoa. Painetunkin toki saa, mutta posti kulkee niin kuin kulkee. Lahjana painettu on varmaan parempi kuin muistitikulle talletettu digiversio. Verkkokaupoista voi etsiä, kustantajasta riippuen ainakin https://www.amazon.com/, https://bookstore.ams.org/ ja https://press.princeton.edu/ ovat kiinnostavia.

En tiedä, hankitaanko tämäntyyppisiä kirjoja Suomeen kovinkaan paljoa. Lähinnä voisi ajatella opettajakoulutukseen liittyviä yliopistokirjastoja, oppikirjoja tekeviä kustantajia ja opettajajärjestöjä, miksei myös yksittäisiä opettajia. Erilaiset näkökulmat voisivat tuoda uusia herätteitä jokaiselle matematiikkaa opettavalle tai harrastavalle ja näyttää, että totuttu tapa katsoa asioita ei ole ainoa mahdollinen eikä välttämättä edes paras.

Seuraavassa muutama esimerkki loka- ja marraskuun numeroissa esitellyistä kirjoista, joista kiinnostuin.

Daniel J. Velleman, Stan Wagon; Bicycle or Unicycle?: A Collection of Intriguing Mathematical Puzzles; MAA Press, Jason Rosenhousen esittely. Kirja koostuu 105 ongelmasta tai pulmatehtävästä, englanniksi puzzle. Näiden vastakohta on problem, joka oppikirjaterminologiassa tarkoittaa perinteistä (matematiikan) harjoitustehtävää. Puzzlet rinnastuvat pikemminkin esimerkiksi vanginlukkoon ja niiden ratkaiseminen on yhden tai muutaman, enemmän tai vähemmän matemaattisen idean varassa. Yllä olevassa kuvassa on yksi esimerkki, jonka ratkaisua en paljasta. Kirjasta se kyllä löytyy.

Stephen H. Saperstone, Max A. Saperstone; Interacting with Ordinary Differential Equations; MAA Press, Stephen Kennedyn esittely. Kyseessä on differentiaaliyhtälöiden oppimateriaali, e-kirja, modernein tietotekniikan mahdollistamin painotuksin.  Kirjan ostaminen tarkoittaa kuuden kuukauden lisenssiä web-palvelimelle, jonka materiaali mahdollistaa laskentavälineiden käytön. Taustalla on laskentaohjelma Mathematican pilvipalvelu. Vaikka digitaalimaailmaan ei innostuisikaan, mahdollisuuksiin kannattaa minusta perehtyä. Niiden järkevä käyttötapa ei ole itsestään selvää, mutta kokeiluihin perehtyminen kehittää omaa näkemystä. Tätä yritin itsekin jo lähes kaksikymmentä vuotta sitten kirjassani DelTa — Tavalliset differentiaaliyhtälöt.

Róbert Freud, Edit Gyarmati; Number Theory; esittely samassa yhteydessä kuin edellisen kirjan. Unkarilaisen hyvin suositun lukuteorian oppikirjan käännös englanniksi. Alkeista lähdetään ja aika pitkälle päästään. Ilman tarkempaa perehtymistä on tietysti vaikea sanoa, miten kirja suhtautuu moniin muihin lukuteorian oppikirjoihin ja miten se soveltuu vaikkapa luentokurssin pohjaksi. Unkarilainen tausta kuitenkin kiinnostaa.

David M. Bressoud; Calculus Reordered: A History of Big Ideas; Princeton University Press, esittely Stephan Ramon Garcia. Calculuksen — differentiaali- ja integraalilaskennan — historia Välimeren hellenistisestä maailmasta 1900-luvulle, Arkhimedeestä Gödeliin. Melkoinen kaari siis. Esittelijä pitää kirjaa ajatuksia herättävänä lukemistona jokaiselle calculuksen opettajalle.

Grady Klein, Yoram Bauman; The Cartoon Introduction to Calculus; esittely samassa yhteydessä kuin edellisen kirjan. Hieman kevyempi näkemys calculuksesta. Vaikeata sanoa, mikä on tämän merkitys opiskelulle, mutta koulukirjaa hauskempi voi toki olla.

Kuvaajia on kaikenlaisia

Funktion $(z+1)(z-i)^2(z-1+i)^3$ kuvaaja

Tyyppiä $y = f(x)$ olevia funktioita havainnollistetaan helposti xy-tasoon piirrettävillä kuvaajilla. Samantyyppisellä idealla voidaan havainnollistaa tyyppiä $z = f(x,y)$ olevia funktioita, mutta nyt tarvitaan kolmiulotteinen xyz-avaruus.

Entä sitten vaikkapa kompleksimuuttujan kompleksiarvoinen funktio $w = f(z)$? Tässä siis on $z = x + iy$ ja funktio voidaan hajottaa reaali- ja imaginaariosaksi: $w = u(x,y) + iv(x,y)$. Esimerkiksi $f(z) = z^2 = (x + iy)^2 = (x^2 - y^2) + 2ixy$, jolloin $u(x,y) = x^2 - y^2$ ja $v(x,y) = 2xy$. Kuvaajan piirtämisen kannalta kyseessä on funktio ${\mathbb R}^2 \to {\mathbb R}^2$, missä $(x,y) \mapsto (u,v)$. Kuvaajaa varten tarvittaisiin siis neliulotteinen xyuv-avaruus. Toki tällaisistakin voisi piirtää kuvia projisioimalla neliulotteisen kuvaajan kolmiulotteiseen avaruuteen vaikkapa yhdensuuntaisprojektiolla ja tästä edelleen kaksiulotteiseksi tasokuvaksi. Tai suoraan neljästä ulottuvuudesta kahteen.

Muunkinlaisia keinoja löytyy. Jos tarkastellaankin funktion $f(z)$ itseisarvoa $|f(z)| = \sqrt{u(x,y)^2 + v(x,y)^2}$, kyseessä on tavallinen kahden muuttujan funktio, jonka kuvaaja --- jonkinlainen pinta --- voidaan muodostaa kolmiulotteiseen avaruuteen. Tällöin toki on hukattu informaatiota eikä kuvaaja periaatteessakaan kerro kaikkea. Mukaan voidaan kuitenkin liittää kuvapisteen $w = u(x,y) + iv(x,y)$ välillä $]-\pi,\pi]$ oleva napakulma värittämällä kuvaajapinta kohdan $(x,y)$ yläpuolella napakulman ilmaisevalla värillä.  Jokin värikartta tarvitaan, ja tällaiseksi sopii esimerkiksi hue-värimäärittelyn ympyrä (kuva alla). Tällöin kuvaaja sisältää periaatteessa kaiken informaation. Esimerkkinä on jutun alussa oleva funktion $(z+1)(z-i)^2(z-1+i)^3$ kuvaaja.

Hue-värimäärittely

Yllättävän havainnollinen kuva saadaan myös jättämällä itseisarvo huomiotta ja tarkastelemalla vain napakulmaa, ts. vain kaksiulotteista värikarttaa (= em. kuvaaja katsottuna suoraan ylhäältä). Alla on esimerkkeinä kaksi funktiota. Miten näissä näkyvät funktion nollakohdat ja navat? Miten kertaluku ilmenee?

$(z+1)(z-i)^2(z-1+i)^3$

$(z+1)(z-i)^2 / (z-1+i)^3$

Tämän postauksen innoittajana on ollut American Mathematical Societyn Notices-lehden kirjaesittely Frank A. Farrisin teoksesta Creating Symmetry: The Artful Mathematics of Wallpaper Patterns (http://www.ams.org/notices/201511/rnoti-p1350.pdf), jossa keskitytään symmetrisiin (ja kauniisiin) kuvioihin. Näitäkin toki kokeilin, esimerkkinä alla oleva.

$a(z^5 \bar{z}^{\,5}) + b(z^6 \bar{z} + z \bar{z}^{\,6}) + c(z^4 \bar{z}^{\,-6} + z^{-6} \bar{z}^{\,4})$, $a = i$, $b = 2-i$, $c = 1+i$

Lopuksi ongelma lukijalle: Mitä tunnettua alkeisfunktiota esittää oheinen kuvaaja? Tässä on siis otettu huomioon sekä itseisarvo että napakulma.

Mikä funktio?

Matematiikan merkitys elämässä

Lueskelin kertyneitä American Mathematical Societyn lehtiä. Kokosivun ilmoituksia yhdistyksen nettisivuista, joilla matematiikan merkitys elämän eri aloilla tuodaan esiin:

• Mathematical Moments, http://www.ams.org/samplings/mathmoments/mathmoments, sivun mittaisia artikkeleita matematiikan käytöstä ja merkityksestä erilaisissa ei-matemaattisissa yhteyksissä; esimerkiksi Harnessing Wind Power;
• Feature Columns, http://www.ams.org/samplings/feature-column/fc-current.cgi, hieman pidempiä artikkeleita; esimerkiksi How to Read QR Symbols Without Your Mobile Telephone;
• Mathematical Imagery, http://www.ams.org/mathimagery/, matemaattista grafiikkaa ja taidetta; The connection between mathematics and art goes back thousands of years;
• Math in the Media, http://www.ams.org/news/math-in-the-media/, katsauksia mediassa julkaistuihin matematiikkaa käsitteleviin artikkeleihin; esimerkiksi 3-manifolds in the Scientific American tai Discalculia in Nature.

Nämä ovat puheenvuoroja, jotka näyttävät matematiikan merkityksen yhteiskunnassa ja jollaisia toivoisi Suomessakin esitettävän. On tietenkin totta, että amerikkalaiset resurssit ovat suomalaisia valtavan paljon suuremmat eikä oikein ole realistista toivoa, että Suomessa kyettäisiin samantasoisiin ponnistuksiin. Vähempään on tyydyttävä, mutta julkaisemisen tasosta ja tyylistä voisi ottaa oppia. Ulkoasulla ja tarjoilulla on merkityksensä, jotta ihmiset saadaan kiinnostumaan.

Toisaalta mikään ei globaalissa maailmassa estä käyttämästä hyväksi sitä, mitä muut ovat tehneet. AMS:n materiaalien kieli tosin on yleensä englanti (joskin Mathematical Moments -artikkeleita on myös aika monelle kielelle käännettyinä, ei kylläkään suomeksi), mutta ei kai tämän pitäisi olla ylivoimainen este. Lisäoppi kielen ymmärtämisessä olisi pikemminkin ylimääräinen bonus.

Voisin hyvin kuvitella, että jokin Mathematical Moment kannattaisi kerran kuussa (viikossa?) printata ja panna koulun käytävälle ilmoitustaululle ohikulkijoiden ihmeteltäväksi, mahdollisuuksien mukaan värillisenä. Ja saattaisihan teksti sopia englannin (tai ranskan tai ...) kokeeseenkin, vaikka jopa ylioppilaskokeeseen. Saatavana on myös MP3-versio, joten kuunteluakin voi harrastaa.