Vaihtoehtoisia ratkaisutapoja: algebra, geometria, tietokone

Tammikuun blogissani (11.1.2024) esittelin American Mathematical Societyn seinäkalenteria ja muun ohella joulukuun 30. päivän geometrista tehtävää. Tässä oli annettuna neliö alaltaan 60 yksikköä ja annetulla geometrisella konstruktiolla muodostettiin neliö, jonka ala piti määrittää. Tehtävän teki tavallisuudesta hieman poikkeavaksi 60 yksikön neliön asento, jota ei kiinnitetty, vaan sitä voitiin kiertää vapaasti nurkkapisteensä ympäri.

Kalenterin tehtävien vastauksena on (useimmiten) kyseisen päivän numero, tässä siis 30. Ongelmana varsinaisesti on, miten tulos voidaan laskea tai päätellä, ja mitä erilaisia vaihtoehtoja tähän on. En tuolloin ryhtynyt itse miettimään asiaa. Myöhemmin kokeilin, miten GeoGebra taipuu ongelman käsittelyyn, ja hyvinhän se onnistui: lähtökohtana olevaa neliötä saattoi kiertää, ja kysytty ala oli aina 30 yksikköä. Neliön kokoa saattoi myös suurentaa, ja pinta-alojen suhde oli aina 2.

Tehtävän saattoi siis ratkaista GeoGebralla. Voidaan tietenkin keskustella siitä, onko tämä hyväksyttävä tapa, koska ratkaisu on tehty tietokoneella, joka vieläpä on laskenut asiat numeerisesti. Tietokoneen voi kuitenkin panna laskemaan laskut symbolisesti ja ns. tarkoilla arvoilla, jolloin päättelystä tulee periaatteessa pätevä. Kyse onkin siitä, mihin kaikkeen tietokonetta saa matematiikassa käyttää. Opetuksellisista tai muista syistä eri yhteyksissä voi olla erilaisia vaatimuksia. 

Käsin laskettaessa tarvittava algebra on aika yksinkertaista. Jos piste $O$ on origo, pisteen $B'$ koordinaatit ovat $(z,z)$, vihreän lähtökohtaneliön sivun pituus on $s$ ja kiertokulma $t$, niin pisteen $A'$ koordinaatit ovat \[(z + s\cos(t), z + s\sin(t)).\] Punaisen neliön keskipisteen $K$ koordinaatit ovat puolet näistä. Nämä ovat myös vektorin $\vec{OK}$ komponentit ja vektorin $\vec{KA}$ komponentit saadaan vaihtamalla järjestys ja jälkimmäisen merkki. Pisteen $A$ koordinaatit saadaan vektorisummasta $\vec{OK} + \vec{KA}$: \[(z + s(\cos(t)+\sin(t))/2,-s(\cos(t)-\sin(t))/2).\] Jäljellä on saadun pisteen $A$ ja pisteen $B = (z,0)$ etäisyyden laskeminen. Sievennyksen jälkeen tulokseksi tulee $s/\sqrt{2}$.

Tehtävä on kuitenkin tyypiltään sellainen, että sen luontevin ratkaisu ainakin vielä puoli vuosisataa sitten olisi ollut puhtaan geometrinen. Jukka Liukkonen kommentoi minulle sähköpostissa ratkaisua tästä näkökulmasta. Edellä oleva kuvio (johon olen lisännyt pisteen $K$) on hänen käsialaansa. Oleellista tällaisissa geometrisissa ratkaisuissa usein on sopivan apupiirroksen löytäminen. Tässä tapauksessa apupiirroksen muodostavat mustalla viivalla piirretyt kolmiot $OA'B'$ ja $OAB$. Näissä kulmat $A'OB'$ ja $AOB$ ovat yhtä suuret, koska niiden vasempien kylkien välinen kulma on $45^\circ$ neliön sivun ja lävistäjän välisenä kulmana, ja sama koskee oikeiden kylkien välistä kulmaa. Sivujen $OA'$ ja $OA$ välinen suhde on $\sqrt{2}$ neliön lävistäjän ja sivun suhteena. Sama koskee sivuja $OB'$ ja $OB$. Tällöin kolmiot ovat yhdenmuotoiset ja kolmansien sivujen $A'B'$ ja $AB$ suhde on myös $\sqrt{2}$.

Tehtävän ratkaisemiseen on siis tarjolla kolme eri tapaa: ohjelmiston käyttö, algebra (lausekkeiden manipulointi) ja geometria (Eukleideen tapaan). Mikä näistä on paras?

Olen joskus esittänyt, että koulumatematiikan tavoitteet pitäisi pohtia uudelleen. Sen jälkeen harkita sisällöt ja luoda esitystavalle johdonmukainen punainen lanka. Matematiikka on kumulatiivista eikä detaljikokoelma. Edellä esitetyt ratkaisuvaihtoehdot nostavat esiin erilaiset vaihtoehdot tavoitteiden asettelussa. Oleellista ei ole miettiä parasta vaan sitä, millaisesta näkökulmasta matematiikka halutaan esittää.

Ohjelmiston käyttö painottaa ennen kaikkea tietotekniikan käyttöä. Yleinen kyky tulla toimeen erilaisten ohjelmistojen kanssa onkin epäilemättä hyödyksi riippumatta siitä, onko kyseessä edes matematiikka. On opittava jotakin yleisempää kuin tietyn ohjelmiston tietyt yksityiskohdat. Matematiikkaohjelmistot antavat myös mahdollisuuden tarkastella matemaattisia ongelmia eri näkökulmista ja luoda erilaisia havainnollistuksia. Oleellista on tutkivan asenteen syntyminen. Ohjelmiston pintapuolinen käyttö — kuten esimerkissä — ei kuitenkaan paljoa opeta. Kyseessä ei oikeastaan ole matematiikka lainkaan, eikä yleisempää näkemystäkään synny.

Algebrallinen näkökulma painottaa matematiikan työkaluluonnetta. Tavoitteena on oppia algoritmeja ja menettelyjä ongelmien ratkaisemiseen. Huonoimmillaan tämä tarkoittaa standarditehtäviin keskittymistä ja niiden ulkoa opettelua, parhaimmillaan työkalupakin muodostamista ja kykyä poimia sieltä eri yhteyksiin ehkä sopivia työkaluja. Näihin kuuluu myös laskentaohjelmien käyttö ja ohjelmointi. Edellytyksenä on tieto lukuisista asioista, ymmärrys erilaisista lausekkeista ja kyky niiden käsittelyyn. Todelliset reaalimaailman tehtävät ovat yleensä laajoja ja vaikeita. Tyytyminen yksinkertaistettuihin versioihin kuitenkin johtaa herkästi kieroutuneeseen näkökulmaan: triviaalit tehtävät, mutta monipuoliset työkalut, joiden luonnetta ei opita ymmärtämään.

Euklidisen geometrian perusidea on johtaa päättelyllä geometrisia tuloksia lähtemällä yksinkertaisista perusoletuksista. Matemaattisen päättelyn idea painottuu. Ongelmat ovat avoimia: on mietittävä, mitä kaikkea on tarjolla ja mitä siitä voisi seurata. Tarvitaan jonkinlaista luovaa ajattelua enemmän kuin algebrallisessa työkalupakissa. Avoimuus tekee myös lähestymistavasta vaikean: Deduktiivisen päättelyn idea ei välttämättä aukea. Ei aina ole myöskään helppoa keksiä rakennetta tai kuviota, joka laukaisee ongelman. Toisaalta tietty määrä geometristen kuvioiden alkeisominaisuuksia kuulunee yleissivistykseen. Asioita voi havainnollistaa sopivalla piirtelyohjelmalla.

Edellä esitetty tehtävä tarjoaa yhden esimerkin näkökulman pohdiskeluun. Itse asiassa kaikkia näkökulmia tarvitaan, mutta minkä ajatuksen varaan matematiikan opetus kannattaisi rakentaa? Vielä puoli vuosisataa sitten geometrialla oli merkittävä osuus. Miten nyt?

 

MatTa-sivusto

Aikaa eläkkeelle jäämisestäni on ehtinyt kulua seitsemäntoista vuotta. Viimeiset varsinaiset vuoteni työelämässä kuluivat matematiikan alan digitaalisten opiskelumateriaalien kehittelyssä Teknillisessä korkeakoulussa, Aalto-yliopiston edeltäjässä. Tuotokset julkaistiin verkossa osoitteessa http://matta.hut.fi. Projektin nimenä oli MatTa, jonkinlainen lyhenne sanoista MATematiikkaa TietokoneAvusteisesti.

Verkkosivut — MatTa-sivusto — ovat olleet olemassa tuosta ajasta lähtien. Kävin syksyllä vanhalla työpaikallani ja sivusto tuli puheeksi. Olisiko aika poistaa vai mitä sille tehtäisiin? Lokitiedot osoittivat kuitenkin, että ainakin osalla materiaaleista oli edelleen käyttäjiä. Olisiko revisiointi paikallaan? Lupasin katsoa.

Kävin sivuston lävitse. Oli isompi työ kuin kuvittelin. Piti palauttaa mieleen kahdenkymmenen vuoden takaisia ajatuksia. Osa materiaaleista oli auttamatta vanhentunutta, suuri osa animaatioita, jotka eivät enää olleet pitkään aikaan toimineet. Matemaattinen sisältö ei niinkään vanhene, tietotekniset ratkaisut kyllä. Karsin vanhentuneet pois, jätin jäljelle materiaalit, joilla jotenkin voi kuvitella olevan vielä käyttöä. Näihinkin toki jäi vanhentuneita linkkejä enkä ryhtynyt varsinaisiin paikkauksiin.

Sivustolla on nyt uusi osoite: https://matta.math.aalto.fi/. Ainakin jonkin aikaa vanhasta osoitteestakin ohjataan tänne.

Avaamalla osoitesivun lukija näkee parhaiten, millaisista materiaaleista on kyse. Lyhyesti sanottuna taso ulottuu lukion pitkästä matematiikasta yliopisto-opintojen ensimmäiseen, osittain ehkä toiseen vuoteen. Lisäksi on alkeisopas LaTeXin ja Mathematica-laskentaohjelman käyttöön. Lukion osalta on tosin ehkä todettava, että nykyisiin digikirjoihin tottuneet opiskelijat saattavat kokea materiaalin vanhentuneeksi ja haasteelliseksi (= vaikeaksi).

Lukiolaisen tietosanakirja Iso-M

Erikseen kannattaa mainita tavallisten differentiaaliyhtälöiden opiskelupaketti DelTa, joka voidaan räätälöidä erilaajuisten kurssien materiaaliksi. Kyseessä oli kokeilu digitaalimateriaalin mahdollisuuksista. Kovin paljoa sitä ei kuitenkaan ole käytetty. Räätälöinti ei ole aivan yksinkertaista, mutta jos kiinnostusta löytyy, voin auttaa. (Kun nyt kerran palautin asiat mieleeni.)

DelTa-paketti

Digitaalista opiskelumateriaalia on maailmanlaajuisesti saatavissa paljon, huolellisesti tehdyistä kirjoista fragmentaarisiin artikkeleihin, animaatioihin ja videoihin. Saatavissa rahalla tai ilman. Kieli on useimmiten englanti tai ainakaan muunkielisten löytämistä ei useinkaan edes yritetä. Suomeksikin löytyy kaikenlaista, mutta aika hajanaisesti. Käsittääkseni yliopistoissakin tuotetaan kyllä kurssimateriaaleja, mutta näiden jakelu kurssin ulkopuolelle on vähäistä. Syynä usein ehkä puuttuva viimeistely, jolloin laajemman jakelun kynnys nousee.

Helposti tarjolla oleva materiaali saattaisi lisätä kiinnostusta matematiikkaan. Jonkinlainen ohjaus ja sopivien kokonaisuuksien paketointi olisi tarpeen. Tällaisena asiasta tulee paljolti organisointiongelma. Kuka tai mikä — esimerkiksi yhdistys tai muu organisaatio — ottaa asian hoitaakseen? Rahaakin tietysti tarvitaan.

Mitä matematiikan tehtävässä kysytään 2

Tammikuun blogikirjoituksessani (26.1.2023) esitin seuraavan, mielestäni lukiolaisillekin aivan hyvin sopivan tehtävän, johon ei niinkään haeta tiettyä ratkaisua, vaan tavoitteena on lähteä tutkimaan tilannetta ja katsomaan, mihin ehkä päädytään:

Tasavälisiä kokonaislukuja korotetaan tiettyyn (positiiviseen) kokonaislukupotenssiin. Syntyvästä lukujonosta lasketaan perättäisten lukujen erotukset, jolloin saadaan uusi lukujono. Tästä lasketaan uudelleen perättäisten lukujen erotukset, jolloin syntyy jälleen uusi lukujono. Näin jatketaan ja todetaan, että jossakin vaiheessa saadaan vakiolukujono, ts. kaikki luvut yhtä suuria. Seuraava askel tuottaisi nollajonon. Miksi näin käy? Mistä tässä on kysymys?

Millaista pohdiskelua sitten — esimerkiksi — odottaisin?

Ensimmäinen vaihe ehkä olisi kokeilu joillakin konreettisilla luvuilla, esimerkiksi korottamalla parilliset luvut seitsemänteen potenssiin. Jotta kokeiluista ei tule toivottoman työläitä, tarvitaan jonkinlainen ohjelmointiympäristö. Minä olen käyttänyt Mathematicaa, mutta vaatimattomampi ympäristökin toki käy, kunhan se helposti sallii yksinkertaisen koodin kirjoittamisen. Jonkinlainen ymmärrys ohjelmoinnin perusrakenteista täytyy kokeilijalla tietenkin olla.

Esimerkkitapauksessa saadaan seuraavat erotukset ja kahdeksannella rivillä vakiojono, seuraavilla riveillä nollaa:

Tämän jälkeen varmaan tekisi mieli kokeilla hieman eri luvuilla ja miettiä, millaisten laskujen tuloksena viimeisen rivin vakio syntyy. Ehkä vastauksenkin voi kokeilujen perusteella arvata.

Jos käytettävissä on symbolinen laskenta (kerrankin käyttöä tällekin), voi seuraavaksi katsoa, mitä tapahtuu, kun tasaväliset luvut $a + kd$, $k = 0,1,2,\dots,n$ korotetaan potenssiin $p$. Jotta symbolilaskenta onnistuisi, on luvuille $n$ ja $p$ annettava numeeriset arvot. Tuloksena saadaan iso taulukko muuttujien $a$ ja $d$ polynomeja. Kun näissä ehkä olevat sulkulausekkeet kehitetään (expand, ts. poistetaan sulut, tai ohjelmasta riippuen ehkä myös simplify), saadaan vakioriville monomi, joka ilmeisestikin on $p!\,d^p$. Näyttäisi siis toimivan, eikä lukujen $a$ ja $d$ edes tarvitse olla kokonaislukuja.

Lähtökohtana olivat siis tasavälisten lukujen kokonaislukupotenssit. Mitä tapahtuu, jos kokonaislukupotenssin $x^p$ sijasta käytettäisiinkin jotakin muuta funktiota? Tässä vaiheessa on ehkä helpointa siirtyä symboleista takaisin lukuihin. Toki symbolejakin voi kokeilla, mutta tulokset saattavat olla monimutkaisia ja vaikeasti hahmotettavia. Eikä lukujen käyttökään ole aivan ongelmatonta: murtoluvuilla laskettaessa nollat näyttävät nollilta, mutta desimaaliluvuilla laskettaessa ne saattavat olla esimerkiksi muotoa $1.23 \times 10^{-15}$, mikä on laitteen laskentatarkkuuden rajoissa sama kuin nolla.

Ehkä on helpointa valita aluksi funktioksi polynomi. Astelukua ei kannata valita kovin korkeaksi, jotta polynomin arvot eivät ole kovin suuria. Esimerkiksi voisi verrata polynomeilla $x^3$ ja vaikkapa $x^3 - 3x^2 + 2x$ laskettuja erotuksia. Numeerisessa kokeilussa täytyy vakiot $a$, $d$ ja $n$ valita jollakin tavoin. Tässä on kokeilun vaikeus. Jotkin arvot saattavat antaa kiinnostavia tuloksia, kun jotkin toiset kätkevät kiintoisat ilmiöt, esimerkiksi pienimittakaavaiset muutokset isojen lukujen seassa. Symbolisen laskun perusteella voi arvella, että luvulla $a$ ei ole kovin suurta merkitystä; valitaan siis yksinkertaisuuden vuoksi $a = 0$. Tasavälisiä lukuja pitää varmaan olla riittävän monta, jotta joitakin ilmiöitä saadaan esiin. Luku $n$ voisi ehkä olla muutamia kymmeniä, esimerkiksi $n = 30$. Luvun $d$ valinta on vaikeinta. Kannattaa kokeilla sekä pientä että suurta, esimerkiksi $d = 0.1$ ja $d = 2$. Kummallakin polynomilla saadaan erotusten neljännelle riville sama luku, jos $d = 0.1$, niin $0.006$, ja jos $d = 2$, niin $48$. Muissa erotuksissa kyllä on eroja.

Polynomi $x^3$, $d = 0.1$.

Polynomi $x^3 - 3x^2 + 2x$, $d = 0.1$.

Mielenkiintoisemmaksi osoittautuu jälkimmäinen taulukko. Hahmojen näkeminen pelkistä luvuista on yleensä vaikeata, mutta usein graafinen esitys auttaa. Piirretään jokaisen erotusrivin kuvaaja murtoviivana. Ensimmäisen rivin kuvaaja muistuttaa kolmannen asteen polynomia; tietenkin, koska lähtökohtana on polynomi $x^3 - 3x^2 + 2x$. Seuraava rivi näyttäisi pohjautuvan paraabeliin, ts. toisen asteen polynomiin. Kolmas rivi antaa suoran, ts. ensimmäisen asteen polynomin kuvaajan. Ja neljäs on vakiorivi. Vertailemalla lisäksi nollakohtia ja ääriarvoja voi alkaa epäillä, että asialla on jotakin tekemistä derivoinnin kanssa.

Polynomi $x^3 - 3x^2 + 2x$, $d = 0.1$.

Mitä tapahtuu, jos funtioksi valitaankin $\sin(x)$? Arvoa vakiolle $d$ täytyy taas hieman hakea; $d = 0.3$ voisi olla sopiva. Eri rivien erotukset näyttäisivät nyt antavan kuvaajat, jotka jotenkin näyttäisivät vastaavan funktioita $\sin(x)$, $\cos(x)$, $-\sin(x)$ ja $-\cos(x)$. Amplitudi kuitenkin pienenee ja viimeinen ei enää kovin hyvin erotu. Derivointiarvelu saa kuitenkin vahvistusta.

Funktio $\sin(x)$, $d = 0.3$.

Taulukon erotukset ovatkin itse asiassa erotusosamääriä, joista nimittäjät on unohdettu. Jos jokainen erotus lisäksi jaetaan luvulla $d$, niistä tulee erotusosamääriä, jotka lähestyvät ensimmäisen rivin funktion ensimmäistä, toista, kolmatta jne. derivaattaa, kun $d \to 0$. Tämän pohjalta on ymmärrettävää, että ensimmäisessä esimerkissä laskettu potenssin $x^p$ erotusten $p$:s rivi antaa vakion $p!\,d^p$. Kyseessä on sama asia kuin derivoinnissa \[\mathrm{D}^p\,x^p = p!.\]

Tammikuun blogikirjoituksen viimeisessä kuvassa on kyse Newtonin interpolaatiopolynomin laskemisesta menettelyllä, jota numeerisessa laskennassa aikoinaan käytettiin. Luvut $\Delta^n x_j$ ovat edellä kuvatun taulukon erotuksia laskettuna approksimoitavasta funktiosta (tai datasta) $x$. Näiden avulla muodostettiin interpolaatiopolynomi. Menettely on jäänyt menneisyyteen laskentaohjelmien kehityksen myötä ja varsin harva osaisi yhdistää erotustaulukon interpolaatiopolynomiin. Käsin laskettavan erotustaulukon sijasta numeerikko kirjoittaisikin vaikka seuraavan Mathematica-koodin:

Newtonin interpolaatio

Mitä matematiikan tehtävässä kysytään?

Selasin erästä sosiaalisen median matematiikkaryhmää ja havahduin postaukseen, jossa ihmeteltiin seuraavaa ongelmaa:

Tasavälisiä kokonaislukuja korotetaan tiettyyn (positiiviseen) kokonaislukupotenssiin. Syntyvästä lukujonosta lasketaan perättäisten lukujen erotukset, jolloin saadaan uusi lukujono. Tästä lasketaan uudelleen perättäisten lukujen erotukset, jolloin syntyy jälleen uusi lukujono. Näin jatketaan ja todetaan, että jossakin vaiheessa saadaan vakiolukujono, ts. kaikki luvut yhtä suuria. Seuraava askel tuottaisi nollajonon. Miksi näin käy? Mistä tässä on kysymys?

Pohdin asiaa hetken ja mieleeni tuli moniakin matemaattisia asioita, joilla on yhteys ongelmaan. Tilanteen konkretisoimiseksi alla on Mathematicalla laskettu esimerkki, jossa lähtökohtana ovat parilliset luvut korotettuina seitsemänteen potenssiin (kuva suurenee klikkaamalla).

Yleensä matematiikan tehtävissä pyydetään laskemaan jotakin tai todistamaan jotakin. Nämä ovat selväpiirteisiä tehtäviä: opiskelija tietää, mihin pyrkiä, ja opettajan on melko yksiselitteistä arvioida esimerkiksi koetehtävässä, miten pitkälle on päästy. Edellä olevan ongelman asettelu on kuitenkin avoimempi. Kysytään miksi näin käy, mistä oikeastaan on kysymys. Voitaisiin vielä kysyä, mihin muihin asioihin ongelma voisi liittyä. Tällaisena ongelma ei oikein kelpaa koetehtäväksi, mutta hyvin opettavainen se voi olla. Tutki asiaa, käytä kaikkia välineitä mitä sinulla on, mieti kaikkea mitä jostakin tämäntyyppisestä tiedät. Vastaus olisi luonnollisimmin aihetta käsittelevä essee. 

Esseen tai työskentelyä kuvaavan dokumentin kirjoittaminen on asia, johon varmasti olisi hyvä oppia jo kouluaikana. Matematiikassahan kirjoittamiseen usein opitaan vasta muutaman vuoden yliopisto-opintojen jälkeen. Siihen asti matematiikan tehtävien käsittely on kaavojen kirjoittamista allekkain, viereen ehkä jokunen sana perusteluiksi. Matematiikastakin on kuitenkin hyvä oppia kirjoittamaan normaalilla kielellä kielioppisääntöjä noudattaen ja kaavat selittävään tai kommentoivaan tekstiin upottaen. (Vaikka eivät edes oppimateriaalit useinkaan näin tee.)

Matemaattisilta taidoiltaan samatasoisten henkilöiden tuotokset voivat olla hyvin erilaisia, puhumattakaan siitä, että eri tasoilla olevat henkilöt päätyvät laajempiin tai suppeampiin esityksiin. 'Oikeaa vastausta' ei ole. Tämän takia kyse ei yleensä voi olla osaamisen arvioimisesta vaan asioiden tutkimisen oppimisesta avoimessa tilanteessa. Luontevaa on, että tällöin käytössä ovat kaikki tarjolla olevat välineet, kynän ja paperin ohella erilaiset laskenta- ja grafiikkavälineet. Kokeilevaa matematiikkaa voi harrastaa. Nettiä ja miksei tekoälyäkin voi hyödyntää. Tuotoksen täytyy kuitenkin olla itse sisäistetty ja käytettyjen lähteiden tulee ilmetä.

Tehtävän avoimuus antaa myös mahdollisuuden retkeillä oman mielenkiinnon mukaan tehtävänantoa laajemmalle, kunhan esseen aihepiiri jotenkin säilyy ehjänä. Esimerkissä voisin vaikka luopua kokonaislukuoletuksesta.

Mitä kaikkea sitten mieleeni johtui tehtävää pohtiessani? Mitä johtuu lukijan mieleen? Kommentteja voi esittää  joko blogiin tai Facebook-ympäristön blogi-ilmoituksen yhteyteen (esseetä ei toki tarvitse kirjoittaa). Omasta ajatusmaailmastani olkoon esimerkkinä seuraava, joka voisi löytyä jostakin numeerisen analyysin oppikirjasta: \[\begin{aligned}p_n(t) &= p_n(t_0 + sd) = x_0 + \binom{s}{1} \Delta^1 x_0 + \dots + \binom{s}{n} \Delta^n x_0, \\ \Delta^n x_j &= \Delta^{n-1} x_{j+1} - \Delta^{n-1} x_j, \quad \Delta^0 x_j = x_j. \end{aligned}\] Vastailen mahdollisiin kommentteihin ja ehkä palaan asiaan jossakin myöhemmässä blogikirjoituksessa.

Edellä oleva esimerkki antaa myös kuvan matemaattisen lukutaidon merkityksestä. Mitä kaavoista oikeastaan purkautuu ja mitä niistä pitäisi nähdä? Matemaattinen teksti on usein tapana kirjoittaa aika tiiviiksi (tarpeettomastikin) ja lukijalle jää pohdittavaa.

Vääriä todistuksia

Päättelyvirheiden etsiminen matemaattisista todistuksista on usein hyödyllistä matematiikan opiskelijalle. Esitän kolme todistusta ilmiselvästi virheellisille väitteille. Lukijan tehtäväksi jääköön etsiä virhe. Monille tässä ei varmaankaan ole mitään ongelmaa, mutta toivon, että jutun juonta ei paljasteta kommenteissa ainakaan ihan heti.

Lause 1. Kaikki ympyrät ovat samasäteisiä.

Todistus. Oheisessa kuviossa on kaksi ympyrää, joiden keskipisteet ovat $A$ ja $B$. Jana $CD$ on ympyröiden yhteinen tangentti. Janoille $AB$ ja $CD$ asetetaan keskinormaalit. Nämä leikkaavat toisensa pisteessä $E$. Keskinormaaliominaisuuden takia janat $AE$ ja $BE$ ovat yhtä pitkät; sama koskee janoja $CE$ ja $DE$. Keskinormaaliominaisuudesta seuraa edelleen, että kulmat $ECD$ ja $EDC$ ovat yhtä suuret, jolloin myös kulmat $ACE$ ja $BDE$ ovat näiden komplementtikulmina yhtä suuret. Tällöin kolmiot $AEC$ ja $BED$ ovat yhtenevät. Vastinsivuina ympyröiden säteet $AC$ ja $BD$ ovat yhtä pitkät. QED

Lause 2. Kaikki positiiviset kokonaisluvut ovat yhtä suuria.

Todistus. Lause on suora seuraus apulauseesta: Jos $a$ ja $b$ ovat positiivisia kokonaislukuja, joille pätee $a \leq n$ ja $b \leq n$, niin $a = b$. Tämä voidaan todistaa induktiolla $n$:n suhteen.

Jos $n = 1$, ainoa mahdollisuus on, että $a = b = 1$, ja luvut siis ovat yhtä suuret. Induktion alku on siis kunnossa.

Induktioaskeleessa oletetaan, että lause pätee arvolla $n$, ja osoitetaan, että tällöin se pätee myös arvolla $n+1$. Olkoon siis $a \leq n+1$ ja $b \leq n+1$. Tällöin on $a-1 \leq n$ ja $b-1 \leq n$, jolloin induktio-oletuksen mukaan $a-1 = b-1$. Tästä seuraa $a = b$ ja induktioaskel on osoitettu. QED

Lause 3. Funktiolla $\sin(x)/x$ ei ole raja-arvoa, kun $x \to \infty$.

Todistus. Lausekkeessa \[\frac{x - \sin(x)}{x}\] osoittaja $x - \sin(x)$ lähestyy ääretöntä, kun $x \to \infty$. Sama koskee nimittäjää $x$. Tällöin lauseke saa rajaprosessissa $x \to \infty$ muodon $\infty/\infty$ ja voidaan soveltaa l'Hospitalin lausetta. Derivoimalla osoittaja ja nimittäjä saadaan \[\frac{1 - \cos(x)}{1} = 1 - \cos(x),\] joka heilahtelee välillä $[0,2]$ eikä sillä siis ole raja-arvoa. Tällöin ei myöskään lausekkeella \[\frac{x - \sin(x)}{x} = 1 - \frac{\sin(x)}{x}\] ole raja-arvoa, mistä seuraa väitös. QED

Funktion $\sin(x)/x$ kuvaaja

Peruskoulualgebraa

Kaappaus YouTube-videosta (Päivi Portaankorva-Koivisto ja Sirpa Wass)

Kaltaiseni urallaan yliopistotason matematiikan kursseja opettanut henkilö tietää ehkä pääpiirteittäin, mitä lukion matematiikka sisältää ja mitkä ovat sen näkökulmat. Peruskoulu sen sijaan on usein jäänyt vähemmälle huomiolle. Omien lasten peruskouluvuosistakin on jo aikaa. Tietoisuudessa on lähinnä taakse jäänyt joukko-oppi ja viime aikoina esitetyt väitteet, että peruskoulussa ei enää luoda tukevaa matemaattista pohjaa.

Muutaman kerran olen selannut digitaalisia oppimateriaaleja ja hiljattain osuin katsomaan Päivi Portaankorva-Koiviston ja Sirpa Wassin YouTube-videoita algebran peruskäsitteiden havainnollistamisesta. En tiedä, onko nämä tarkoitettu peruskoulun tunneilla käytettäviksi vai ovatko ne opettajakoulutuksen materiaalia, mutta aika erikoisen näkökulman ne minusta algebraan antavat. Jos algebraan todella lähdetään näin, niin en ihmettele, jos asia koululaiselle jää hämäräksi.

Lähtökohta on hyvä: kirjaimet tarkoittavat lukuja, joita ainakaan siinä vaiheessa ei tarkemmin tunneta tai haluta täsmentää. Sitten kerrotaan, että termi on olio, jossa on etumerkki, kerroin ja kirjainosa. Tämä kuitenkin johtaa väärään mielikuvaan. Oleellista on, että termit ovat lausekkeita, joita lasketaan yhteen, mutta tämä jää sanomatta. Termien muoto voi olla mutkikkaampikin, vaikkapa lausekkeessa $abc + 1/x + (x+y)^3$ on kolme termiä. Toki tällaisia lausekkeita ei aivan heti aleta käsitellä, mutta periaatteessa esimerkki on ymmärrettävissä ja johtaa oikeaan mielikuvaan lausekkeesta ja termistä.

En oikein ymmärrä tapaa, jolla lausekkeiden yhteenlaskussa päädytään yhdistämään ns. samanmuotoiset termit. Esimerkissä (kuva ylhäällä) on kaksi joukkoviivaa (!), toisen sisällä kolme neliötä ja neljä ympyrää, toisen sisällä yksi neliö ja kaksi ympyrää. Näitä kuvataan lausekkeella $(4y+3n) + (2y+1n)$. Mitä tämä sitten on? Kirjaintenhan piti tarkoittaa lukuja eikä geometrisia olioita. Laskemalla kaikki neliöt ja kaikki ympyrät saadaan neljä neliötä ja kuusi ympyrää, siis $4n + 6y$. Tässä on siis kertoimet laskettu yhteen aina kun kirjainosat ovat samat. Mutta miten tämä sääntö sopii tilanteeseen, jossa $y$ ja $n$ ovatkin lukuja? Onko niin, että oppilaan pitää vain uskoa ja muistaa sääntö, mutta ei miettiä sen yhteyttä lukuihin?

Katsoin, miten asia on esitetty yli puoli vuosisataa vanhassa K. Väisälän Algebran oppi- ja esimerkkikirjassa. Täälläkin kirjaimet tarkoittavat lukuja. Lausekkeen käsite on selitetty sanoin, mukana useita esimerkkejä, yhtenä \[\dfrac{7x-4}{xy}.\] Sama koskee termin käsitettä ja termien samanmuotoisuutta. Esimerkiksi kuuden termin lauseke \[rx - 3sx-1+2sx+2r+2\] voidaan samanmuotoiset termit yhdistämällä saataa kahteen eri muotoon riippuen siitä, mitä pidetään kirjainosana ja mitä kertoimena: \[rx - sx + 2r + 1 = (r-s)x + (2r+1).\] Edellisessä on neljä termiä, jälkimmäisessä kaksi. Sivutuotteena tulee ymmärrys siitä, että sieventämisen tulos ei ole yksikäsitteinen, vaan riippuu sieventämisen tavoitteesta.

Samanmuotoisten termien yhdistämisen Väisälä perustelee osittelulailla: $a(b+c) = ab + ac$ tai toisin kirjoitettuna $ba + ca = (b+c)a$. Tällöin siis esimerkiksi $5x + 4x = (5+4)x = 9x$. Tämä luonnollisesti edellyttää, että osittelulaki tunnetaan aikaisemmasta. En tiedä, opetetaanko se nykyään ennen kirjainlaskennan aloittamista. Minusta pitäisi. Millään tavoin mahdotontahan se ei ole. Tilanne on esimerkki matematiikan opiskelun kumulatiivisuudesta: uudet asiat rakentuvat aikaisemmin opitun päälle. Jos tästä logiikasta ei pidetä kiinni, matematiikan opiskelu muuttuu irrallisen silpputiedon opetteluksi vailla ymmärrystä. (On kyllä myönnettävä, että aikoinani pidin laskulakien opettelua aritmetiikan yhteydessä tylsänä ja tarpeettomana, vaikka niillä oli käyttöä päässälaskussakin. Algebra kyllä sitten näytti niiden merkityksen ja muutin mieleni.)

Osittelulakiin vetoaminen painottaa myös usein väärin ymmärretyn yhtäläisyysmerkin merkitystä. Kyse on nimenomaan yhtäsuuruudesta, ei siitä, että vasemmasta puolesta 'tulee' oikea puoli. Osittelulaki toimii molemmin päin: se on joko menettely sulkujen poistamiseen (lausekkeen 'kehittämiseen', englanniksi expand) tai yhteisen tekijän ottamiseen.

On tietenkin totta, että matematiikassa käytetään kirjainsymboleja muutoinkin kuin viittaamassa lukuihin. Näin käy jo lukiossakin puhumattakaan yliopistollisesta abstraktin algebran kurssista. Hyppy aritmetiikasta peruskoulualgebraan on ensimmäinen askel abstraktiotason lisäämisen tiellä, eikä siitä minusta pidä tehdä tarpeettoman vaikeata. Edellä mainittu ympyrä-neliö-malli tuskin auttaa vektoreiden yhteenlaskun ymmärtämisessä, vaikka asiat hallitseva ehkä näkeekin ympyrät ja neliöt lineaarisesti riippumattomiksi.

Kuten sanottu, en ole erityisen hyvin perehtynyt peruskoulun oppimateriaaleihin. Olen kuitenkin tavannut edellä kritisoimani opetustavat joissakin muissakin materiaaleissa. Kuinka yleisiä ne ovat, en osaa sanoa. Mieleen hiipii epäily, että johtuisiko matemaattisen osaamisen rapautuminen tavasta, jolla asioita opetetaan. (Ehkä syytä todeta, että tässä yhteydessä ei niinkään ole kyse sellaisesta osaamisesta, jota PISA-tutkimuksissa on testattu, vaan pohjasta myöhemmille matematiikan opinnoille.)

Selasin kiinnostuksella Väisälän kirjaa. Sillä on ikää eikä se varmasti olisi ihanneoppikirja tämän päivän maailmassa. Mutta kirjasta näkee, että Väisälä on tarkoin miettinyt, miten asiat kannattaa ymmärrettävästi ja johdonmukaisesti esittää. Väisälä myös selvisi kolmen luokan algebraosuudesta harjoitustehtävineen 150 sivulla. Voisin Väisälää suositella oppimateriaalintekijöiden oheislukemistoksi.

Väisälän esitys samanmuotoisten termien yhdistämisestä

Yhtälön $2^{\sin(x)^2} + 2^{\cos(x)^2} = 3$ ratkaisemisesta

Koulutason matematiikan opinnoissa yhtälöiden ratkaisemisen merkitys on ollut lähinnä sujuvan lausekkeiden käsittelyn synnyttämisessä. Nykyään kuitenkin ratkaiseminen usein onnistuu jopa yhdellä laskentaohjelman komennolla. Mihin opetuksessa silloin tulisi keskittyä? Edelleen lausekkeiden manipulointiin vai ohjelmistojen komentoihin tai johonkin muuhun?

Otsikon yhtälö on peräisin venäläisestä A. N. Kolmogorovin tekemäksi nimetystä oppikirjasta Алгебра и начало Математического анализа 10-11 класс (algebra ja matemaattisen analyysin alkeet, sivu 299).  Maineikas matemaatikko A. N. Kolmogorov kuoli vuonna 1987, joten hänellä ei ilmeisestikään ole osuutta kirjan nykyisen painoksen laatimiseen, mutta alkuperäinen teksti lienee häneltä.

Kirja sisältää melkoisen määrän käsin laskettaviksi tarkoitettuja harjoitustehtäviä, ja onkin ilmeistä, että tavoitteena on sujuvuuden saavuttaminen mekaanisessa laskemisessa ja lausekkeiden käsittelyssä.  Kokonaisuutena harjoitustehtävät antavat jopa hieman tylsän vaikutelman. Tietotekniikan rooli ei näy eikä se kirjan iästä johtuen voisikaan. Pohtimisen aihetta tehtävien tarkastelu kuitenkin antaa.

Esillä olevan yhtälön käsin ratkaiseminen on suhteellisen helposti tehtävissä, jos on kykyä muokata lausekkeita ja tämän seurauksena taito nähdä erilaisia mahdollisuuksia. Ottamalla uudeksi tuntemattomaksi $t = 2^{\sin(x)^2}$ yhtälö pelkistyy toisen asteen yhtälöksi $t^2 - 3t +2 = 0$, jonka juuret ovat $t_1 = 1$ ja $t_2 = 2$. Tällöin tulee olla $\sin(x)^2 = 0$ tai $\sin(x)^2 = 1$ ja ratkaisuksi saadaan $x = n\pi/2$, missä $n$ on kokonaisluku.

Miten laskentaohjelmat sitten suoriutuvat? GeoGebra löytää tuloksen vaivatta. Mathematica ei suoriudu yhtä vaivatta, mutta antaa toisaalta enemmän ajattelemisen aihetta ja lisää ratkaisuja. Tästä seuraavassa tarkemmin. Jos lukija kokeilee muita ohjelmia, kuulen asiasta mielelläni.

Ensimmäinen yritys Mathematicalla epäonnistuu. Grafiikka kuitenkin osoittaa, että yhtälöllä on juuri sellaiset ratkaisut kuin käsin laskussa todettiin:

Lisäämällä komentoon vaatimus ratkaisujen reaalisuudesta päästään haluttuun tulokseen:

Tämä antaa kuitenkin aiheen epäillä, että yhtälössä on jotakin kompleksisuuteen liittyvää, joka on Mathematicalle vaikeata. Helpotetaan tilannetta muokkaamalla yhtälö uuteen muotoon, ts. lausutaan trigonometriset funktiot eksponenttifunktion avulla, ja tällöin saadaankin ratkaisu:

Tulos on kuitenkin yllättävän monimutkainen. Näyttää siltä, että yhtälöllä on kompleksisia ratkaisuja ja näiden löytämiseen eivät Mathematican rutiinit riitä ilman lisäohjausta. Tämä ei ole kovin yllättävää: lausekkeiden muokkaus ei aina ole yksinkertaista ja täydellistä algoritmia tuskin on. Käyttäjän näkemys ja ohjaus saattaa olla tarpeen. Reaalinen ratkaisu tästä löytyy sijoittamalla vakiolle $C_2$ arvo nolla, mutta myös kompleksisia ratkaisuja on, alla joitakin likiarvoina:

Näiden sijoittaminen yhtälöön näyttää todellakin toteuttavan sen:

Grafiikka antaa mahdollisuuden pidemmälle meneviin tutkimuksiin. Jos yhtälöön sijoitetaan $x$:n paikalle $x + iy$ ja tuloksesta erotellaan reaali- ja imaginaariosa, saadaan kaksi varsin monimutkaista lauseketta:

Nämä ovat $= 0$ eräillä käyrillä kompleksitasossa (xy-tasossa) ja käyrien leikkauspisteet ovat yhtälön kompleksisia juuria. Kuvan piirtäminen auttaa hahmottamaan tilannetta.

Reaaliosa sininen, imaginaariosa vihreä, kompleksiset juuret (osa) punaiset

Kiinnostuneelle lukijalle on tarjolla Mathematican syöttötiedoksi kelpaava dokumentti ja tämän pdf-muoto.

Mitä tästä sitten pitäisi opetuksen suhteen päätellä?

Kompleksisilla potensseilla ei kannata hurjastella, mutta kompleksilukujen alkeet ehkä pitäisi tuntea, aikoinaan ne on opetettukin. Laskentaohjelmien tulostukset eivät tällöin aiheuttaisi ihmettelyä.  Laskentaohjelmat ovat hyviä työkaluja, ja niiden käyttöön on hyvä harjaantua. Tämä ei kuitenkaan tarkoita ainakaan ensisijaisesti komentojen opettelua vaan asenteen omaksumista: kokeillaan ja tutkitaan. Ei pidä jahdata ns. oikeata ratkaisua, vaan pyrkiä lisäämään asian ymmärtämistä.  Komentoja ei tarvitse muistaa, mutta tulisi kehittää kyky löytää ohjelman dokumentaatiosta se, mitä kulloinkin tarvitaan, ja myös se, mitä koskaan ennen ei ole käytetty. Grafiikkakin on erinomainen työkalu, jota ei pidä väheksyä.

Matematiikan ja sen opettamisen kumulatiivisuudesta

Eräs reaaliluku

Yliopistotason kurssi matemaattisesta analyysista — differentiaali- ja integraalilaskennasta — alkaa usein reaalilukujen aksioomilla. Periaatteellisena ajatuksena on rakentaa analyysi näiden päälle: muodostetaan uusia käsitteitä, asetetaan määritelmiä ja todistetaan lauseita vetoamalla vain aksioomiin tai niiden avulla aiemmin muodostettuihin rakenteisiin. Tämä kuitenkin jää hyvin periaatteelliseksi. Jo yksinomaan epäyhtälön $1 > 0$ todistaminen huolellisesti aksioomiin vedoten on monivaiheinen prosessi. On siis pakko luottaa siihen, että opiskelijat ovat koulussa hankkineet lujan ja toivottavasti oikeanlaisen uskon reaalilukuihin.

Analyysin kurssi voitaisiin tietenkin aloittaa hieman kauempaakin. Voitaisiin ottaa lähtökohdaksi Peanon aksioomien avulla määritellyt luonnolliset luvut ja rakentaa näiden avulla ensin kokonaisluvut, sitten rationaaliluvut ja näiden avulla lopuksi reaaliluvut. Prosessi on aika pitkä ja raskas eikä kovin mielenkiintoinen. Tosin reaalilukujen konstruointi joko Dedekindin leikkausten tai Cauchyn jonojen avulla kertoo ajattelevalle opiskelijalle jotakin olennaista reaaliluvuista. Jos taas ei jää pohdiskelemaan, prosessi on erittäin tylsä. Opetuksen kannalta ongelmana on, että opiskelija jo osaa laskea luvuilla yleensä varsin hyvin, joten miksi tuhlata aikaa pohdiskeluihin.

Puhdasoppinen matemaatikko ei tyytyisi luonnollisiin lukuihinkaan, vaan aloittaisi joukko-opin aksiomatiikasta.

Mitä koulussa sitten pitäisi kertoa reaaliluvuista? Ainakin jotakin, mikä luo lujan uskon niihin ja antaa pääpiirteissään oikean ymmärryksen. Ehkä enemmän kulttuurihistorian puolelle menee kertomus pythagoralaisista, joille ihmetyksen ja hämmennyksen aiheena oli päättely, joka osoitti, että tasakylkisen suorakulmaisen kolmion kateetin ja hypotenuusan pituutta ei voida tasan mitata samalla mittatikulla, olipa tämä miten lyhyt tahansa. Seurauksena tulee todetuksi, että $\sqrt{2}$ ei ole rationaaliluku, kuten asia meidän aikanamme ilmaistaan. Pohtimisen arvoista on myös, onko $0.99999\dots = 1$. Yleensä ei pidetä selvänä, että vastaus on myönteinen.

Koulutasolla reaaliluvuista riittäneekin mielikuva, että jos on jotakin, jolle voidaan laskea yhä tarkempia likiarvoja (tai jopa täsmällinen arvo), niin tämä jokin on olemassa ja sitä kutsutaan reaaliluvuksi. Tällainen mielikuva menee varsin lähelle Cauchyn jonojen ideaa (mitä ei tarvitse koululaisille kertoa).

Tämän jälkeen tie on auki funktioiden jatkuvuuteen, raja-arvoihin, differentiaali- ja integraalilaskentaan.  Joissakin kohdissa kuitenkin tulee ongelmia. Esimerkiksi Bolzanon lause — jos jatkuva funktio vaihtaa merkkiään suljetulla välillä, niin välillä on ainakin yksi nollakohta — saa usein tarpeettoman juhlallisen sävyn.  Asiahan on selviö, jos jatkuvuus mielletään vain kuvaajan yhtenäisyytenä. Kuitenkaan lause ei päde, jos tarkastelu rajoitetaan rationaalilukuihin. Reaaliluvut rationaaliluvuista erottavan täydellisyysaksiooman täytyy siis olla lauseen kannalta oleellinen.

Pitävän todistuksen esittäminen Bolzanon lauseelle ei siten ole mahdollista, jos käsitys reaaliluvuista perustuu lujaan uskoon, eikä tätä koulutasolla onneksi yritetäkään. Tiukkaan kumulatiivisuuteen jää aukko ja se voisi olla hieman isompikin: Bolzanon lausetta voisi pitää selviönä antamatta sille edes nimeä. Ajattelevaisen lukiolaisen ei tarvitsisi ihmetellä, mikä lauseesta tekee juhlallisen. Vielä enemmän ajattelevaiselle voi sitten kertoa reaaliluvuista syvemmin.

Alkeisfunktioiden (potenssit, eksponenttifunktio, trigonometriset funktiot, näiden käänteisfunktiot sekä näistä peruslaskutoimituksilla ja funktioiden yhdistämisellä saatavat funktiot) kohtuullisen tarkkaan kumulatiiviseen määrittelyyn on syytä kiinnittää huomiota eikä vain antaa valmiita kaavoja tai tuloksia.  Funktioistahan koululainen jo jotakin tietää laskimen näppäinhattujen tai tietokoneen käytön perusteella, mutta määrittelyprosessi kertoo jotakin oleellista matematiikan luonteesta.

Tietyn alkeisfunktion määrittelyyn voi olla useita teitä. Eksponenttifunktio on tästä hyvä esimerkki:

1) Lähtökohdaksi voidaan ottaa, että kyseessä on potenssi, jossa hieman mystillisesti määritelty luku \[e = \lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n})^n\] korotetaan muuttujan $x$ ilmaisemaan potenssiin. Tätä varten on ymmärrettävä, mitä tarkoittaa raja-arvo ja miten potenssit määritellään, kun eksponentti on kokonais-, rationaali- tai irrationaaliluku.

2) Voidaan myös antaa määritelmä muuttujasta riippuvana raja-arvona: \[\exp(x) = \lim_{n \to \infty} (1+\frac{x}{n})^n.\] Raja-arvon olemassaolon lisäksi ongelmana on potenssin laskusääntöjen osoittaminen: $\exp(x)\exp(y) = \exp(x+y)$ jne.

3) Voidaankin ensin määritellä käänteisfunktio: \[\ln(x) = \int_1^x \dfrac{dt}{t}.\] Tämän käänteisfunktio on $\exp(x)$. Tarvitaan tieto integraalin määrittelystä ja olemassaolosta, kun integroitavana on jatkuva funktio. Lisäksi on pääteltävä käänteisfunktion olemassaolo. Potenssin laskusäännöt on osoitettava.

4) Myös sarjamäärittely on mahdollinen: \[\exp(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}.\] Täytyy osoittaa, että sarja suppenee ja että potenssin laskusäännöt ovat voimassa.

Mikään näistä teistä ei ole aivan helppo, vaan joudutaan vetoamaan aiemmin esitettyihin käsitteisiin ja tuloksiin. Kumulatiivisuus on oleellista ja jollakin tavoin tähän haasteeseen täytyy opetuksessa vastata, vaikka kaikkia yksityiskohtia ei ehkä voidakaan — tasosta riippuen — huolellisesti käsitellä.  Matematiikan kumulatiivisen luonteen tulee näkyä, jotta mielikuva ei jää kaavakokoelman ja laskinohjelman tasolle.

Mikä edellä olevista eksponenttifunktion määrittelytavoista sitten on paras? Ei tähän ole vastausta.  Riippuu yhteydestä ja varmaan myös opettajan mieltymyksistä.

Mietteitä pitkän matematiikan ylioppilaskokeesta

Entisenä ylioppilastutkintolautakunnan matemaatikkojäsenenä seuraan edelleen ainakin jonkinlaisella kiinnostuksella ylioppilaskokeita. Muutoksiahan on minun aikani jälkeen tapahtunut paljon. Tutkinto on digitalisoitu useallakin tavalla: tehtävissä on aiempaa monipuolisempia materiaaleja, käytetään erilaisia tietokoneohjelmistoja, kokeiden organisaatio perustuu aika laajaan tietotekniikan hyödyntämiseen.

Aktiivisesta työstä poisjääminen antaa usein mahdollisuuden katsella asioita hieman etäämmältä, kun akuutit ongelmat eivät enää kaadu päälle. Pohdin seuraavassa eräitä näkökulmia, vaikka osuutta tutkinnon kehittämiseen minulla ei olekaan.

Tavalliseen tapaan pitkän matematiikan koetta on pidetty vaikeana. Taktisista syistä koulukollektiivin kannattaa tietenkin olla tätä mieltä, toiveena saada seuraavalla kierroksella helpompi koe, ts. sama arvosana vähemmällä työllä. Jos kuitenkin yritän objektiivisesti arvioida koetta, en voi pitää sitä kovin vaikeana. Joukossa toki on vaikeita tehtäviä, mutta myös sellaisia, joista aika helposti voi kerätä pisteitä, vaikka tehtävän täydellinen ratkaisu ei onnistuisikaan. Näin minusta pitääkin olla.

Tehtävä 6 ratkaistuna GeoGebralla

Perinteisen laskemisen ja ohjelmistojen käytön välinen rajanveto tuntuu ongelmalliselta.  Tämä tulee esiin erityisesti tehtävässä 6, jossa annetaan paraabeli ja sen ulkopuolinen piste. On määrättävä ne paraabelin pisteet, joihin asetettu tangentti kulkee annetun pisteen kautta, ja annettua pistettä lähinnä oleva paraabelin piste sekä etäisyys tähän. Vastaukseksi kelpaavat myös likiarvot. Hyvin klassinen tehtävä ja hyvän vastauksen piirteissäkin on klassinen ratkaisu. Mutta tehtävä ratkeaa näppärästi myös GeoGebran funktioilla Tangentti, Etäisyys ja LähinPiste (Tangent, Distance, ClosestPoint), kuten yllä oleva kuva osoittaa. Muita kokeessa sallittuja ohjelmistoja minulla ei ole, joten en osaa sanoa, löytyykö niistäkin vastaavat työkalut.

Vaikka GeoGebraa käytettäessä ei tarvitsekaan laskea yhtään mitään, tehtävän hahmottaminen kyllä edellyttää jonkinlaisia matemaattisia perustietoja GeoGebran hallitsemisen lisäksi. Eri ratkaisutavat pohjautuvat kuitenkin hyvin erilaisiin matemaattisiin taitoihin. Tällöin joudutaan pohtimaan, mitä tehtävä oikeastaan mittaa. Halutaanko painottaa ohjelmistoihin perehtymisen tärkeyttä? Pitäisikö kokelaan perehtyä useisiin kokeessa tarjolla oleviin ohjelmistoihin, koska niissä saattaa olla tiettyyn tehtävään eritasoisia työkaluja? Näin, vaikka juuri näitä ohjelmistoja myöhemmissä opinnoissa tai elämässä yleensäkään ei enää käytettäisi? Taustalla on aika olennainen kysymys: Mitä varten matematiikkaa koulussa oikeastaan opetetaan? Mitä sen opetuksen pitäisi kattaa?

Olen aikoinani pitänyt tarpeellisena laskentavälineiden ja ohjelmistojen tuomista koulun matematiikan opetukseen. Samalla olen sanonut, että se edellyttää muutoksia monissa asioissa eikä muutos ole tämän takia helppo. Periaatteessa olen samaa mieltä edelleen, mutta muutos olisi pitänyt toteuttaa toisin, eikä missään tapauksessa yrittää digitalisoida ylioppilastutkintoa kaikissa suhteissa samaan aikaan. Ohjelmistot ovat ohjanneet opetusta liiaksi, eikä niiden kehitys aina ole edennyt hyvään suuntaan. GeoGebrakin oli lähtökohdiltaan hyvä, mutta minusta se on mennyt pilalle ominaisuuksien lisääntyessä. Eroonkaan siitä ei helposti enää päästä. (Onneksi olen eläkkeellä eikä minun tarvitse kirjoittaa muistiota asiasta.)

Ohjelmistojen käytön kannalta ongelmallisia ovat myös pitkän matematiikan kokeen tehtävät 8 (polynomien jakoalgoritmi), 11 (lukujono) ja 12 (geometrisen keskiarvon todennäköisyyksiä).  Polynomien jakolaskuun on GeoGebrassa valmis komento, jota kyllä tässä ei sanamuodon perusteella ilmeisestikään voi käyttää, mutta yleisemmin voi pohtia, miten tehtävien tulisi suhtautua tarjolla oleviin laskentatyökaluihin. Millaisia laskentatyökaluja tulisi oppia käyttämään? Lukujonotehtävässä raja-arvo on löydettävissä numeerisella rekursiivisella laskulla. Tällöin lasketaan likiarvoilla, mutta tulos tulee täysin selväksi. Riittäisikö tämä, kun kerran luotamme laskimeen monissa muissakin numeerisissa laskuissa?

Tehtävän 12 ratkaiseminen kaikki tapaukset taulukoimalla tai simuloinnilla on mielenkiintoinen avaus.  Millaisia ja miten näppäriä tapoja eri ohjelmistot tarjoavat tähän? Hyvän vastauksen piirteissä on annettu kaksi taulukkolaskentatiedostoa, joiden mielekkyyttä en oikein ymmärrä. Alla on vertailun vuoksi tiivis ratkaisu Mathematicalla, joka tosin ei ole kokeessa käytettäviä ohjelmistoja.

Tehtävän 12 jälkiosa ratkaistuna Mathematicalla

Ohjelmistojen käytöstä huolimatta kokeen on syytä mitata nimenomaan matematiikan osaamista, ei ohjelmistojen ehkä hieman eksoottistenkin piirteiden hallitsemista. En oikein usko, että tähän on muuta tietä kuin muotoilla tehtävänannot osoittamaan näkökulma, josta asiaa tulee tarkastella.  Joskus oli aika, jolloin saattoi luottaa siihen, että tehtävän ratkaiseminen osoitti myös tietyn matematiikan osaamista. Ohjelmistojen aikana tämä ei enää päde.

Epäeuklidiset GeoGebra ja Napoleon

Mustat suorat eivät kohtaa punaista suoraa, ts. ovat sen suuntaisia.

Vanhassa geometrian kirjassani (Kallio, Malmio, Geometria I, Otava 1954) esitellään paralleeliaksiooma muodossa Suoran ulkopuolella olevan pisteen kautta voidaan piirtää ainoastaan yksi sen suuntainen suora.  Tämän sanotaan olevan ns. euklidisen geometrian peruslauselmia, mutta sitä ei ole voitu todistaa. Sen jälkeen todetaan, että vastakohdaksi on kehitetty epäeuklidinen geometria, jossa lauselmaa ei käytetä ja monet paralleeliaksioomaan perustuvat väittämät saavat toisen muodon. Eikä sen enempää.

Muistan, että tämä teki hämmentävän vaikutelman. Usko paralleeliaksioomaan oli luja eikä tuntunut mitenkään järkevältä puhua mistään muunlaisesta tilanteesta. En tiedä, mitä nykyään koulussa sanotaan euklidisesta ja epäeuklidisesta geometriasta, mutta mahdollisuuksia konkretisointiin ainakin nykyään on paljon paremmin.

GeoGebra on hyvä ympäristö geometristen kuvioiden piirtelyyn ja geometristen totuuksien tutkimiseen.  On helppoa kokeilla, näyttäisikö jokin tulos olevan totta. Jos näyttää, voi lähteä etsimään todistusta.  Varsin lähellä on ajatus, että vastaavanlainen epäeuklidinen ympäristö voisi olla hyvinkin havainnollinen ja kiinnostava. Ajatuksen on maailmassa varmaankin sangen moni saanut ja epäeuklidisia ympäristöjä onkin tehty. Luultavasti paljonkin, mutta seuraavia kahta olen käyttänyt. Molemmissa on kyseessä hyperbolinen epäeuklidisen geometrian Poincarén malli:

GeoGebraan pohjautuva Poincare Disk for Hyperbolic Space, tekijänä Heather Pierce, https://www.geogebra.org/m/fUCCfAEj;

Javascript-pohjainen NonEuclid, tekijänä Joel Castellanos, https://www.cs.unm.edu/~joel/NonEuclid/NonEuclid.html.

Molemmat toimivat verkkoselaimessa, mutta myös omalle koneelle lataaminen on mahdollista.

Osoitteessa http://www.malinc.se/noneuclidean/en/index.php on Malin Christerssonin sivusto, jossa GeoGebraan pohjautuvan Poincarén mallin lisäksi on käsitelty mallin taustalla olevaa geometriaa ja GeoGebra-työkalujen muodostamista. Tiivistelmä aiheesta on Wikipedia-artikkelissa Hyperbolic Geometry, https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_geometry. Tämä on selvästi laajempi kuin vastaava suomenkielinen.

Poincarén epäeuklidisen geometrian mallissa geometrista tasoa vastaa vain kiinteän ympyrän sisäpuoli, ts. geometrian pisteitä ovat tämän rajaympyrän sisäpuolen pisteet. Geometrian suoria ovat rajaympyrän sisäpuolella olevat ympyränkaaret, jotka kohtaavat rajaympyrän kohtisuorasti. Näiden erikoistapauksena ovat rajaympyrän halkaisijat, joita voi ajatella rajaympyrän keskipisteen kautta kulkevina ääretönsäteisinä ympyränkaarina. Tällä tavoin määritellyillä suorilla on suorien tyypillinen ominaisuus: kaksi pistettä määrää suoran yksikäsitteisesti. (Ks. alussa olevaa kuvaa.)

Malliin voidaan määritellä myös sen oma metriikka, ts. tapa laskea kahden pisteen välinen etäisyys. Lauseke ei ole aivan yksinkertainen, mutta sillä on luontevat etäisyyden ominaisuudet: lyhin kahden pisteen välinen etäisyys saavutetaan pisteiden määräämää suoraa (siis ympyränkaarta) pitkin; minkä tahansa pisteen etäisyys rajaympyrästä on äärettömän suuri. Etäisyyden määrittely mahdollistaa geometrian omien ympyröiden muodostamisen: tällaisen kehä muodostuu niistä pisteistä, joiden etäisyys keskipisteestä on vakio. Osoittautuu, että tällainen Poincarén mallin ympyrä on ympyrä myös tavanomaisessa mielessä.

Yksikkösäteisiä ympyröitä, joiden keskipisteet ovat samalla suoralla.

 Kun suoria ja ympyröitä voidaan muodostaa — ts. käytettävissä ovat epäeuklidisen geometrian viivoitin ja harppi — voidaan tehdä kaikki tavanomaisen geometrian konstruktiot. Tämän jälkeen voidaankin kysyä, mitkä tavanomaisen euklidisen geometrian tulokset ovat voimassa epäeuklidisessa geometriassa tai ainakin Poincarén mallissa. Jätän lukijan ihmeteltäväksi ja kokeiltavaksi.

Napoleonin lause ei päde, kuten vihreät ympyrät osoittavat.
(Vrt. http://matta.hut.fi/matta/geogebra/Napoleon.html.)

Lupasin kerran ohjata muutamaa lukiolaista, jotka halusivat tehdä projektityön epäeuklidisesta geometriasta. Ongelmaksi muodostui aihepiirin laajuus. Lukiolaiset etsivät kaikenlaisia asiaan liittyviä verkkodokumentteja suhteellisuusteoriaa myöten, ja näitähän löytyy paljon. Yritin rajata aihetta, mutta en onnistunut rajoittamaan heidän intoaan eikä työ sitten valmistunutkaan. Projektityöt ovat hyvä ajatus, mutta vaativat usein aika tiukkaa ohjausta. Intoa ei toisaalta tietenkään pitäisi kahlita.

Jatkuvuuden epsilon-delta-määrittely

Funktiota $f$ sanotaan jatkuvaksi pisteessä $a$, jos seuraava pätee:
\[
\forall(\varepsilon > 0)\exists(\delta > 0)(|x - a| < \delta \implies |f(x) - f(a)| < \varepsilon),
\]
ts. jokaista positiivilukua $\varepsilon$ (epsilon) kohden on olemassa positiiviluku $\delta$ (delta) siten, että jos $x$:n etäisyys $a$:sta on pienempi kuin $\delta$, niin $f(x)$:n etäisyys $f(a)$:sta on pienempi kuin $\varepsilon$.

Jatkuvuuden määrittely tällä tavoin on eräänlaista šokkihoitoa aloittelevalle matematiikan opiskelijalle. Tokihan tämäntyyppisiä lausekkeita on syytä oppia lukemaan ja kirjoittamaankin, mutta jatkuvuuden opettaminen tällä tavoin on kuin uimaan opettaminen heittämällä oppilas veteen ja katsomalla uppoaako. Ainakin pitäisi olla valmis onkimaan oppilas kuiville.

Tällaista šokkihoitoa sain itsekin aloittaessani matematiikan opinnot 1960-luvulla Helsingin yliopistossa opiskeltuani lukiossa lyhyen matematiikan. Kuiville pääsin kevätlukukauteen mennessä tyytyväisenä: 'Eikö se tämän kummallisempaa ollutkaan?'

Ei jatkuvuuden määrittely tällä tavoin ole kovin vaikeaa, kunhan määritelmää hieman avataan. Kyseessä on eräänlainen kahden pelaajan, A ja B, hieman epäreilu peli. Jos A voittaa, funktio on epäjatkuva, jos B, niin se on jatkuva. Alussa pelaaja A valitsee positiiviluvun $\varepsilon$ ja pelaajan B pitää löytää positiiviluku $\delta$ siten, että implikaatio toteutuu. Jos B ei löydä, A on voittanut eikä funktio ole jatkuva. Jos B löytää, A antaa uuden epsilonin ja otetaan uusi kierros. Näin jatketaan tarvittaessa äärettömän monta kierrosta, minkä jälkeen B on voittaja ja funktio on jatkuva.  Jatkuvuuteen tarvitaan äärettömän monta kierrosta, koska testattavana ovat kaikki positiiviset epsilonit.

Tarkastelupisteessä jatkuva funktio

Yllä oleva GeoGebralla tehty graafinen sovellus tekee pelistä inhimillisemmän ja samalla määritelmä tulee helpommin ymmärrettäväksi. A valitsee epsilonin liukusäätimellä, jolloin vihreät vaakasuorat viivat rajaavat y-akselilla alueen, jossa etäisyys funktion arvosta $f(a)$ (musta piste) on pienempi kuin $\varepsilon$. B hakee vastaavaa deltaa toisella liukusäätimellä, jolloin punaiset pystysuorat viivat rajaavat x-akselilla alueen, jossa etäisyys pisteestä $a$ on pienempi kuin $\delta$. Kun sopiva delta löytyy, merkkivalo muuttuu punaisesta vihreäksi. Tällöin funktion kuvaaja pysyy vihreiden viivojen välissä punaisten viivojen rajaamalla alueella, mikä tarkoittaa implikaation toteutumista. Pienellä kokeilulla on melko helppoa oppia ymmärtämään, miten $\delta$ on valittava.

Kuvan funktio on jatkuva eikä tämä vielä auta ymmärtämään, miksi jatkuvuus on järkevää määritellä juuri näin. Tässä — kuten monissa muissakin matematiikan määrittelyissä — on oleellista katsoa, miten määritelmä erottaa tapaukset, joissa ehto ei ole voimassa. Alla olevat kuvat ovat muutoin samanlaisia kuin edellä, mutta kyseessä ei ole jatkuva funktio. Tällöin on toki olemassa epsiloneja, joita vastaava delta löytyy ongelmitta. Mutta on myös epsiloneja — riittävän pieniä — joille vastaavaa deltaa ei löydy. Epäjatkuvuus näkyy tällä tavoin. Deltanhan pitää löytyä kaikilla positiivisilla epsiloneilla.

Funktio jolla on hyppyepäjatkuvuus

Origossa epäjatkuva funktio $\sin(1/x)/2$, origossa arvo $0$

Edellä sanottu on oikeastaan vasta puolet asiasta: määritelmän idea. Toinen puoli jatkuvuuden osoittamisessa on hakea laskemalla annettua epsilonia vastaava delta. Piirroskuviahan ei ole tapana hyväksyä todistuksiksi. Tällöin lähtökohtana on kiinnitetty luku $\varepsilon$, jota käsitellään symbolina. Tavoitteena on hakea tähän liittyvä $\delta$, ts. esittää delta jonkinlaisena funktiona epsilonista. Hakeminen merkitsee yleensä epäyhtälöiden manipulointia, mikä sekin on sinänsä tarpeellinen taito, mutta eri asia kuin jatkuvuuden määrittely. Epäjatkuvuuden osoittamiseen taas riittää löytää yksi epsilon, jota vastaavaa deltaa ei todistettavasti ole.

Arvelen, että osa määritelmän vaikeudesta johtuu siitä, että idea hukkuu teknisen epäyhtälöiden manipuloinnin taakse. Kun jälkimmäinen vie päähuomion, ymmärtämiselle ei riitä energiaa.

Edellä olevat kuvat ovat staattisia, mutta GeoGebralla tehty sovellus löytyy verkko-osoitteesta http://matta.hut.fi/matta/demot.html.  Siellä on myös Mathematica-versio, jonka käyttöön tarvitaan laskentaohjelma Mathematica tai katseluohjelma Wolfram Player (CDF Player).

Väärin opetettu?

Korkeakoulujen valintamenettelyä kehitettäessä on päädytty ylioppilaskokeen arvosanoihin perustuvaan malliin, jossa varsinkin pitkällä matematiikalla on suuri merkitys. Taustana on huoli pitkän matematiikan kirjoittaneiden määrästä tilanteessa, jossa matematiikan merkitys monilla aloilla on kasvamassa ja pelkona on puute osaavasta työvoimasta. Kirjoittaneiden vuotuinen määrä on juuttunut noin 12000:een, vaikka jo toistakymmentä vuotta sitten tavoitteeksi asetettiin 16000. Uudistusta on kritisoitu voimakkaasti siitä, että se pakottaa lähes mitä tahansa alaa tavoittelevan lukiolaisen valitsemaan varmuuden vuoksi pitkän matematiikan.

Lukion matematiikanopettaja Timo Salminen kritisoi Helsingin Sanomissa 26.5.2019 uudistusta siitä, että se tuo pitkän matematiikan opiskelijoiksi aiheesta kiinnostumattomia opiskelijoita, jotka varsinaisesti tähtäävät muualle. Seurauksena vaatimustaso saattaa jopa laskea. Matematiikan opetuksen tutkija Marika Toivola on samana päivänä Uuden Suomen puheenvuorossaan asettunut vastustamaan Salmisen näkemystä ja korostanut, että opettajan tehtävänä on auttaa kaikkia oppilaita uskomaan kyvykkyyteensä oppia matematiikkaa. Ongelmat voidaan ratkaista pedagogisesti.

Siinä missä Salmisen näkemyksessä on kyynisyyttä, Toivola on idealisti. Usko mahdollisuuksiin pitää toki säilyttää, mutta entä jos Salmisen näkemyksissä onkin perää ja opettaja joutuu mahdottoman tehtävän eteen heterogeenisen ryhmänsä ohjaamisessa?

Salmisen ja Toivolan kirjoituksia on kommentoitu vilkkaasti ja moneen kertaan tuotu esiin näkemys matematiikassa opittujen asioiden hyödyttömyydestä työelämässä. Matematiikka nähdään joidenkin alojen ammattilaisten työkaluna, jolla ei ole mitään tekemistä yleissivistyksen kanssa. Samat käsitykset nousevat lähes aina esiin, kun missä tahansa keskustelussa sivutaan matematiikan opetusta. Jotakin on ilmeisesti tällöin jäänyt oppimatta ja ehkä opettamatta. On kyllä opetettu ratkaisemaan ylioppilaskirjoituksissa esiintyviä tehtäviä, mutta yhteys kulttuurin ja ajattelun kehitykseen sekä maailman hahmottamiseen on unohtunut. Matematiikka on suljettu yleissivistyksen ulkopuolelle.

Puutetta ei korjata muutamalla kirjoituksella ja juhlapuheella, joissa painotetaan matematiikan tärkeyttä ja kerrotaan sen olevan läsnä kaikkialla. Ei myöskään hallinnollisella päätöksellä ajaa lukiolaiset pitkän matematiikan karsinaan.

Pitkää matematiikkaa opetetaan lukiossa kolmetoista kurssia. Tämä on varsin paljon ja se on ollut perusteena myös vahvalle asemalle korkeakoulujen valintaperusteissa. Kevään 2019 ylioppilaskokeessa oli kolmetoista tehtävää ja läpipääsyyn riitti, että osasi ratkaista yhden tehtävän ja sai lisäksi muutaman hajapisteen. Hyväksyttyyn arvosanaan pääsi myös keräämällä hajapisteitä useammasta tehtävästä ilman että yhtäkään oli kokonaisuudessaan ratkaistu. Mitä lukion matematiikan kursseilla oikeastaan on tehty, jos tämän enempää osaamista ei synny? Toki suurin osa suorituksista on parempia, jopa erinomaisia, mutta osa lukiolaisista ei ole oppinut juuri mitään. Heille kurssit ovat olleet hyödyttömiä, hukkaan heitettyä aikaa. Vaikuttaa siltä, että Salmisen pelko saattaa olla aiheellinen.

Onko tässä kyse siitä, että matematiikkaa opetetaan jotenkin väärin? Olisi helppoa sanoa, että opettajat eivät vain ole hoitaneet tehtäväänsä. En kuitenkaan usko, että asia on näin yksinkertainen.

Opetushallituksen julkaisemat opetussuunnitelman perusteet ja kirjantekijöiden tulkinta näistä kiinnittävät sen, mitä lukiokursseilla tapahtuu. Opettajalla ei käytännössä ole sisällön ja painotusten suhteen kovin paljon valinnan varaa. Olen pitkään ihmetellyt, miten matematiikasta onkin saatu aika hengetöntä ja tylsää. Siitä on muodostunut silppukokoelma, josta on vaikeata löytää punaista lankaa. Erillisiä asioita, jotka vain pitää osata ylioppilaskokeessa. Ajattelun taitojen kehittyminenkin jäänee toiveajatteluksi.

Ei ole kovin suuri ihme, jos motivaatiota ei synny ja aletaan kysellä, missä tiettyä temppua tarvitaan työelämässä. Eihän matematiikkaa tämän takia opeteta, ehkä peruslaskutoimituksia lukuunottamatta.  Opin pitäisi jäsentyä laajemmaksi näkemykseksi ja yleissivistykseksi, kyvyksi tarpeen tullen paneutua niihin matemaattisluontoisiin ongelmiin, joita elämässä tulee vastaan.

Vertailuna historian opetukseen: Ei siinäkään kerrota juttua sieltä, toista täältä ja jaeta vuosilukutaulukkoa. Ei tavoitteena ole oppia tietämään vaikkapa Ranskan vallankumouksen aikaisia puoluejakoja, vaan että vallankumous ylipäätään tapahtui ja mikä oli sen merkitys. Vaikeutena tietenkin on, että yleistä näkemystä ei oikein voi syntyä ilman aika isoa määrää detaljeja. Sekä historiassa että matematiikassa.

Olisiko aika matematiikan opetuksen revisiointiin? Ehkä tämän jälkeen mielenkiintokin heräisi paremmin ja valintamenettelyssä käyttö olisi perustellumpaa.

Mietteitä kevään 2019 ylioppilaskokeesta

En ole enää muutamaan vuoteen kovinkaan tarkasti tutkinut matematiikan ylioppilastehtäviä.  Tämän kevään koe oli kuitenkin ensimmäinen sähköinen koe ja sellaisena mielenkiintoinen: millaisia tehtäviä, miten käytetään ohjelmistotyökaluja. Keskityn seuraavassa vain pitkän matematiikan kokeeseen.

Tärkeimmät yleiset kokeen piirteet ovat sen vaikeustaso ja kattavuus, ts. miten hyvin lukiokurssien sisältö tulee katetuksi. Molempia pitäisin aika onnistuneina.

Koe alkaa varsin helpoilla tehtävillä, mutta vaikeutuu tasaisesti ja lopussa päästään varsin vaativiin tehtäviin. Myös yläpäähän syntynee hajontaa. Vaikka tehtäviä itsekin laatineena toki tiedän, että varsinkin alussa täytyy olla helppoja tehtäviä, en silti voi olla ihmettelemättä vaatimustasoa läpipääsyrajan kohdalla. Kolme ensimmäistä tehtävää ovat minusta sellaisia, että pitkän matematiikan kurssit opiskelleen pitäisi saada niistä täydet pisteet joutumatta erityisemmin miettimään. Arvelen kuitenkin, että läpipääsyraja jää tätä alemmaksi. Mihin ihmeeseen on käytetty oppimäärän lähes 500 tuntia?

Tehtävien tulisi kattaa lukiokurssit pääpiirteissään ja keskittyä oleellisiin asioihin. Ainoana kritiikin kohteena pitäisin vektoreiden vähäistä osuutta. Myös differentiaali- ja integraalilaskennan osuutta on pidetty vähäisenä, mutta tähän en yhtyisi. Aina ei ole selvää, mihin kurssiin tehtävä liittyy, mutta ei minusta pidäkään. Tarkoituksena on testata kykyä käyttää matematiikkaa, ei yksinomaan tietyn kurssin osaamista.

Ensimmäisessä sähköisessä kokeessa mielenkiinto tietenkin kohdistuu koekäyttöliittymän näppäryyteen ja toisaalta laskentaohjelmistojen hyödyntämiseen. Edellisestä en osaa sanoa; olisi pitänyt osallistua kokeeseen. Jälkimmäisen osalta kyseessä on selvästi varovainen aloitus, ja hyvä niin. Arvelen, että ohjelmistoja ei ole ainakaan vielä opittu käyttämään tutkimusvälineinä tehtävien ratkaisemisessa, vaan keskitytään lähinnä tiettyjen laskujen suorittamiseen: ratkaistaan yhtälö, derivoidaan tai integroidaan jotakin, piirretään kuvaaja, jos sitä pyydetään.

Symboliset ohjelmat (CAS) saattavat aiheuttaa yllätyksiä myös tehtävien laatijoille. Arvelen, että tehtävää 10.2 ($\sum_{n=0}^\infty \tan(x)^n = \frac{3}{2}$) ei ehkä tarkoitettu ratkaistavaksi yhdellä solve-komennolla. Ei paljoa puutu, ettei tehtävässä 11 ($\cos(x)^{\sin(x)} = \sin(x)^{\cos(x)}$) ole samanlainen tilanne: Tehtävän voi ratkaista Mathematicalla muutamalla komennolla laskematta yhtään mitään (liite). Mathematica ei ole kokeessa käytettäviä ohjelmistoja, mutta muutkin saattavat ennen pitkää kyetä tähän. Ehkä jo ensi vuonna.

Tällaiset tilanteet ovat haasteita kokeen arvostelulle. Mihin kaikkeen laskentaohjelmaa saa käyttää?  Milloin ja millaisia perusteluja pitää kirjoittaa? Säännöt eivät saisi olla kovin monimutkaisia.  Lukiolaisenhan tulisi oppia matematiikkaa, ei lautakunnan määräysten tulkintaa. En oikein usko, että on muuta ratkaisua kuin sanoa jokaisessa tehtävässä erikseen, mitä halutaan: Osoita, miten käsinlaskulla voidaan ratkaista seuraava tehtävä. Kirjoita algoritmi, joka ratkaisee seuraavan tehtävän. Selosta integraalin määrittelyn ja pinta-alan välinen yhteys.

Kaksi viimeistä — vaikeinta — tehtävää ovat minusta sinänsä hyviä, mutta 'Hyvän vastauksen piirteiden' ratkaisuja pidän vähän kummallisina.

Tehtävälle 12 (kolmion pinta-ala, kun piiri on vakio) esitettyä ratkaisua en jaksanut miettiä läpi.  Ratkaisun 'Havainto 1' on minusta samantasoinen kuin todistettava väite, jolloin herää kysymys, mitä kaikkea voi pitää tunnettuna. Kuitenkin kyseessä on laskentaohjelmien aikakaudelle sopiva tehtävä. Liitteenä on oma ratkaisuni Mathematicalla. Ehkä joku voisi testata, miten hyvin sama onnistuu jollakin muulla ohjelmistolla.

Tehtävään liittyi myös GeoGebra-aineisto, jolla ei oikeastaan ollut merkitystä. En tiedä, tulisiko liian vaativa tehtävä, jos aineistona annettaisiin dynaaminen kolmio, jonka piiri on pakotettu vakioksi (liite), ja kysyttäisiin hypoteesia kolmion alasta verrattuna tasasivuisen kolmion alaan.  Hypoteesi tulisi lopuksi todistaa.

Tehtävän 13 kakkoskohdan ($\ (\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n a_k^2)^{1/2} \leq (\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n a_k^4)^{1/4}\ $) todistus on aika vaativa ainakin 'Hyvän vastauksen piirteissä' esitetyllä tavalla tehtynä. Sen hahmottaminen on helpompaa, jos ensin yrittää arvoa $n=3$. Tämä olisi tietenkin voinut olla myös vihjeenä, ellei sitten ole tarkoitus testata, keksiikö kokelas itse lähestyä ongelmaa esimerkiksi tällä tavoin. Induktiotodistus on minusta selkeämpi, vaikka toki sekin vaatii näppäryyttä lausekkeiden käsittelyssä. Varsin hyvä loppuhuipennus.

Lopuksi en malta olla pohtimatta todennäköisyystehtävän 6 sanamuotoa. Šakkilaudalle pudotetaan riisinjyviä satunnaisesti, millä kaiketi tarkoitetaan, että jyvien jakauma šakkilaudan alueella on tasainen. Satunnaisilmiössä jakauma kuitenkin voi olla muutakin ja riisinjyvien heittelyssä varmaan sitä onkin. Kielenkäytöllä on merkitystä asioiden mieltämisessä.  Eräs ystäväni kerran määritteli, että satunnaisuus tai umpimähkäisyys tarkoittaa yksiulotteisessa tapauksessa tasaista jakaumaa, useampiulotteisessa se voi tarkoittaa mitä tahansa. Ehkei ihan näinkään.

Sieventämisen kauneus ja kauheus

Lupauduin auttamaan lukiolaista matematiikan kertaamisessa ja taitojen testaamiseksi annoin ratkaistavaksi muutaman sievennystehtävän. Tällaisiahan on hieno kokoelma Kalle Väisälän klassikossa, Algebran oppi- ja esimerkkikirjan ensimmäisessä osassa, jota aikoinani itse käytin. Sievennystehtäviä ratkaistiin keskikoulun viimeisellä luokalla vastaten nykyistä peruskoulun viimeistä vuotta.

Sievennystehtävissä tuli kerratuksi polynomien ja rationaalilausekkeiden perusalgebra.  Niistä opittiin jotakin yleisempääkin: Yhtä ainoaa tietä lausekkeen sieventämiseen ei ole, vaan voidaan edetä montaa erilaista reittiä joko paljon työtä tehden tai hyvän oikotien löytäen. Lopputuloskaan ei ole yksikäsitteinen, vaan sievyys riippuu mieltymyksistä ja siitä, mitä lausekkeella on seuraavaksi tarkoitus tehdä.

Väisälällä on yhtenä esimerkkinä lauseke
\[ \frac{x^2 + \frac{1 }{x^2} + 2}{x + \frac{1}{x}}, \] jossa osoittaja ja nimittäjä voidaan ensin saattaa samannimiseiksi ja sitten suorittaa murtolausekkeiden jakolasku:
\[ \frac{\dfrac{x^4 + 1 + 2x^2}{x^2}}{\dfrac{x^2 + 1}{x}} = \frac{x(x^4 + 1 + 2x^2)}{x^2(x^2 + 1)}. \] Tekijällä $x$ voidaan supistaa ja osoittaja tunnistaa binomin neliöksi:
\[ \frac{(x^2 + 1)^2}{x(x^2 + 1)} = \frac{x^2 + 1}{x}. \]
Hieman suorempaan olisi päästy laventamalla alkuperäinen murtolauseke tekijällä $x^2$ ja tunnistamalla binomin neliö (tai suorittamalla polynomien jakolasku):
\[ \frac{x^4 + 1 + 2x^2}{x^3 + x} = \frac{(x^2 + 1)^2}{x(x^2 + 1)} = \frac{x^2 + 1}{x}. \]
Lyhin tie kuitenkin varmaan olisi tunnistaa alkuperäisen lausekkeen osoittaja binomin neliöksi:
\[ \frac{\left(x + \frac{1}{x}\right)^2}{x + \frac{1}{x}} = x + \frac{1}{x} \] Lopputulos on hieman erinäköinen kuin edellä, mutta kuitenkin yhtäpitävä. Molempia voidaan pitää kohtuullisen sievinä.

Tällaisia sievennyksiä ei nykyään enää taideta koulussa juurikaan opetella. Pitäisikö kuitenkin?

Pelkkä lausekkeiden sieventäminen sujuu kyllä helposti symbolisilla ohjelmilla. Tällöin ei kuitenkaan kehity laskijan taito hahmottaa rakenteita ja tarpeen tullen muuntaa lauseke johonkin muuhun kuin ohjelman sievänä pitämään muotoon. Arvelen, ettei Väisäläkään pitänyt tärkeänä konstikkaiden lausekkeiden sieventämistä sinänsä vaan taitoa yleensä muokata lausekkeita, ja tähän sievennystehtävät olivat hyvää harjoitusta. Aivan kuten polkupyörällä temppuilu johtaa varmuuteen pyörän hallitsemisessa yllättävissäkin tilanteissa.

Symbolisissa laskentaohjelmissakaan lausekkeen muokkaus ei ole aina suoraviivaista.  Esimerkiksi Mathematica tarjoaa yleiskäyttöisen Simplify-komennon lisäksi joukon spesiaalimpia muokkauskomentoja: Expand, ExpandAll, TrigExpand, PowerExpand, ComplexExpand, FunctionExpand, Reduce, TrigReduce, ExpToTrig, TrigToExp, Together, Apart, Cancel, ... Näiden käyttö edellyttää näkemystä siitä, mitä on tekemässä. Mekaanisen työn ne kyllä hoitavat.

Miten laskea reitti Korvatunturilta Pääsiäissaarelle

Reitti Korvatunturilta Pääsiäissaarelle

Edellisessä blogikirjoituksessani — Joulusadussa — oli kyse lyhimmän reitin laskemisesta Korvatunturilta Pääsiäissaarelle. Sadussa Korvatunturin tontut eivät suoriutuneet tehtävästä ja se tilattiin konsultilta, jonka palkkio osoittautui isoksi. Miten reitti — pituus ja lähtösuunta — pitäisi laskea, kun lähtötietoina ovat Korvatunturin ja Pääsiäissaaren maantieteelliset koordinaatit?

Digitaalimaailmassa on tarjolla ohjelmistoja, joilla laskenta sujuu lähes asioita ymmärtämättä.  Koordinaatit löytyvät vaikka Googlen karttojen avulla: klikkaus kyseiseen pisteeseen ja valinta 'Mitä täällä on?'.  Tuloksena saadaan leveys ja pituus: ktunturi = {68.07, 29.32}, psaari = {-27.11, -109.35}.  Ainakin laskentaohjelma Mathematica tarjoaa valmiit funktiot etäisyyden ja lähtösuunnan laskemiseen:

Reitin piirtäminenkään ei ole vaikeata (kuva alussa):

Sadussa tarvittu pienoiskopterin viimeinen mahdollinen huoltopaikkakin saadaan valmiilla funktiolla:

Tämä osuu Meksikon Tyynenmeren rannikolle.

Olisiko tällaisten työkalujen hallinta sitten matematiikkaa? Kun lukion opetussuunnitelmakin painottaa teknisten apuvälineiden käyttöä, tulisiko matematiikan opetuksessa keskittyä ohjelmistotyökaluihin?  Seuraamalla ns. CAS-laskentaa ja ohjelmistojen ongelmia koskevaa keskustelua syntyy käsitys, että tällainen ajattelu valtaa alaa. Muuhun ei aikaa ole.

Ohjelmistojen käyttökoulutus ei kuitenkaan ole matematiikkaa, eikä koulumaailman digitalisointia voisi pahemmin väärin ymmärtää. Silti digitalisoinnilla on paikkansa. Sen järkevä ja hyödyllinen käyttö on vain jäänyt paljolti pohtimatta.

Millä muulla tavalla sitten joulusadun tehtävät voitaisiin laskea? Kovin vaativasta asiasta ei ole kyse. Trigonometriset funktiot — lähinnä sini ja kosini — on ymmärrettävä, lisäksi tarvitaan vektorialgebraa ristitulo mukaan luettuna. Tämän jälkeen tervettä järkeä ja kykyä sommitella asioita yhteen. Viimeksi mainitut ovat hyödyllisiä taitoja muuallakin kuin matematiikassa. Paikallaan oppia lukiossa.

Entä digitaalisuus? Ohjelmointi on hyödyllinen taito, jonka tunteminen auttaa ymmärtämään modernin maailman toimintaa. Joulusadun ongelmien ohjelmointikaan ei ole liian vaativa tehtävä, jos käytettävissä on yksinkertainen mutta hyvä ohjelmointiympäristö (jota ei kyllä nykyään kouluihin tarjottavista ohjelmistoista taida löytyä). Toimiva itse tehty ohjelma myös osoittaa, että tarvittava matematiikka on ymmärretty. Saattaisi antaa kiinnostavan näkökulman matematiikkaan ja sen sovelluksiin.

Tämäntyyppisellä ohjelmoinnilla olisi paikkansa lukion matematiikassa. Se myös pakottaisi syventymään varsinaiseen matematiikkaan vain lukiossa käytettävien ohjelmistojen sijasta.

En selvittele joulusadussa tarvittavaa laskentaa tarkemmin. Kiinnostuneet löytävät sen kirjastani Vaellusretkiä matematiikkaan (http://www.elisanet.fi/simo.kivela/vaellmat.html).