Poincarén konjektuuri

Henri Poincaré muotoili vuonna 1904 julkaistussa artikkelissaan ns. Poincarén konjektuurin (otaksuman). Hän ei onnistunut todistamaan tätä ja todistamattomana se pysyi satakunta vuotta, kunnes venäläinen Grigori Perelman esitti vuonna 2003 sille suurta huomiota herättäneen todistuksen. Kyseessä oli yksi Clay Mathematics Instituten ns. Millenium-probleemoista, joista jokaisen ratkaisusta oli luvassa miljoonan dollarin palkinto. Perelman ei ottanut palkintoa vastaan.

Poincarén konjektuuri esitetään yleensä seuraavassa muodossa: Jokainen kompakti yhdesti yhtenäinen kolmiulotteinen monisto on homeomorfinen kolmiulotteisen pallopinnan kanssa. Tämä sisältää käsitteitä, joiden sisältö ei ole niinkään selvää muille kuin alan spesialisteille. Jo kolmiulotteinen pallopinta on ongelmallinen: tavallisen kolmiulotteisessa avaruudessa sijaitsevan pallon pinta on kaksiulotteinen monisto. Kolmiulotteinen pallopinta on vastaavanlainen, mutta dimensiota ylempänä: tällaisen muodostavat esimerkiksi neliulotteisen avaruuden pisteet, joille pätee $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 = 1$.

Homeomorfinen puolestaan tarkoittaa topologista samanlaisuutta. Karkeistaen voidaan sanoa, että jos kaksi monistoa (kappaletta, pintaa tms.) voidaan muokata toisikseen venyttämällä, rypistämällä tai muulla vastaavalla tavalla, mutta ei repimällä, niin ne ovat homeomorfiset.

Seurauksena onkin, että monet Poincarén konjektuuria käsittelevät populaariartikkelit antavat epämääräisen tai peräti virheellisen kuvan siitä, mistä on kysymys. Mielestäni selkein (ja lyhin) yleistajuinen selitys Poincarén konjektuurista löytyy Clay-instituutin sivulta http://www.claymath.org/millennium/Poincare_Conjecture/.

En itsekään tunne Poincarén konjektuurin taustana olevaa algebrallista topologiaa kovinkaan hyvin. Tämän takia tartuin kiinnostuksella Terra Cognitan julkaisemaan suomenkieliseen kirjaan Poincarén konjektuuri, alaotsikkona Maailmankaikkeuden muotoa etsimässä. Tekijä on amerikkalainen Donal O'Shea, Mount Holyoke Collegen matematiikan professori. Syitä oli kaksi: halusin paremmin ymmärtää, mistä on kyse, ja toisekseen katsoa, miten vaikean asian popularisoinnissa on onnistuttu.

Yleisvaikutelma kirjasta oli ehdottomasti myönteinen. Historiallinen tausta tulee esiin, eihän matematiikka synny tyhjästä; Poincarén loikka eteenpäin oli kuitenkin melkoinen. Konjektuurin idean suhteen lähdetään liikkeelle aika yksinkertaisesti: Kaksi ympyrälevyä liitetään reunoistaan toisiinsa, jolloin syntyy pallo, kun levyjä sopivasti pullistetaan.  Levyistä siis ikään kuin muodostetaan pohjoinen ja eteläinen pallonpuolisko ja ne liitetään yhteen päiväntasaajaa pitkin. Ja sitten kysytään, mitä vastaava konstruktio antaisi yhtä dimensiota ylempänä: kaksi palloa sisuksineen, niiden pinnat liitetään yhteen tai pikemminkin samastetaan, havainnollinen mielikuva kun ei enää ole mahdollinen.

Vähitellen teksti kyllä vaikeutuu. Paikoin täytyi ryhtyä kertaamaan muinoin opiskeltua (mutta ei tentittyä) algebrallista topologiaa, nykymaailmassa vaivattomimmin netistä. Lukemisen helpottamiseksi kirjan lopussa on kaikkiaan 271 tarkempia tietoja sisältävää huomautusta, joihin varsinaisessa tekstissä vain viitataan. Tästä huolimatta teksti paikoin puuroutuu: vaikeasta asiasta yritetään sanoa lyhyesti paljon kuitenkaan täsmällisyydestä tinkimättä eikä lukija enää ymmärrä paljoakaan.

Käännös on yleisesti ottaen hyvä, mutta joissakin kohdissa täytyi miettiä, mitähän asia mahdollisesti on ollut englanniksi, jotta ideaan pääsi kiinni. Tällaisten kirjojen kääntäminen on vaativa tehtävä. Kääntäjän pitäisi ymmärtää asia, jotta lauserakenteet tulevat oikein. Vaarana ovat myös kaksitulkintaiset rakenteet: käännös sinänsä voi olla aivan oikein, mutta suomenkielisellä lauseella on toinenkin tulkinta, eikä lukijaparka tiedä kumpaa tarkoitetaan.

Matematiikkaa popularisoivien kirjojen kääntäminen on ehdottomasti kulttuuriteko ja voisikin toivoa, että kääntämiseen olisi käytettävissä enemmän resursseja. Lukiomatematiikan jälkeen Poincarén konjektuurista lukeminen avaa varmasti uusia näköaloja. Kyse on enemmän ajattelusta ja maailman mahdollisesta monimutkaisuudesta kuin mekaanisesta laskemisesta.