Irrationaalikävelyllä

Luvulle $\pi$ voidaan laskea yhä tarkempia ja tarkempia likiarvoja, loppumattomiin. Toisin sanoen sen desimaalikehitelmä ei pääty koskaan.  Jaksotonkin se on, eivätkä samat numerot siis ala toistua samassa järjestyksessä mistään kohdasta lähtien. Matemaatikko sanoo, että kyseessä on irrationaaliluku. Mistä tiedetään, että näin todella on, on oma tarinansa enkä tässä puutu siihen.

Likiarvo 3.14159 riittää likimain kaikkiin käytännöllisiin tarkoituksiin, mutta desimaalien laskeminen on oma urheilumuotonsa. Tällä hetkellä ennätys on noin 10 biljoonaa (siis $10^{13}$) desimaalia (http://www.numberworld.org/misc_runs/pi-10t/details.html; huomattakoon, että amerikkalainen triljoona on meikäläinen biljoona). Yhdelle a-neloselle voisi fontin koosta riippuen mahtua ehkä 10000 numeroa, tuhatsivuiseen kirjaan 10 miljoonaa ($10^7$) numeroa. Melkoinen kirjasarja siis tarvittaisiin kaikkien desimaalien esittämiseen. Oma tarinansa on myös, miten desimaaleja saadaan lasketuksi, enkä siihenkään tässä puutu.

Kymmenjärjestelmän numerot 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ja 9 esiintyvät $\pi$:n desimaaleina lähes yhtä usein. Esiintymisfrekvenssejä ja paljon muutakin kiintoisaa löytyy osoitteesta http://www.pi314.net/.

Kymmenjärjestelmä ei ole ainoa lukujärjestelmä. Kantaluku voi kymmenen sijasta olla mikä tahansa muukin ykköstä suurempi kokonaisluku. Jos kantaluku on 4, järjestelmän numerot ovat 0, 1, 2 ja 3. Nämäkin varmaan esiintyvät lähes yhtä usein $\pi$:n nelikantaisessa kehitelmässä. Mitäpä jos lähtisimme kävelemään tämän kehitelmän mukaan? Numero 0 tarkoittaa askelta itään, 1 pohjoiseen, 2 länteen ja 3 etelään. Millainen hoipertelu tästä syntyisi?

Runsaalla 16000 askeleella tällainen:

Jos omaan koneeseen on asennettuna ilmainen CDF Player, voi animaation http://www.elisanet.fi/simo.kivela/blg/pi4.nbp (tai http://www.elisanet.fi/simo.kivela/blg/pi4.cdf) avulla katsella, missä järjestyksessä kuvio syntyy. Animaation yläreunassa olevalla säätimellä voi hallita kävelyä.

Mutta kävellä voi myös kymmenjärjestelmän mukaan. Tällöin askeleita otetaan kymmeneen eri suuntaan 36 asteen välein ja kunkin askeleen suunta määräytyy tavallisen desimaalikehitelmän numeroiden mukaan. Tulos 10000 askeleella:

Kuvat on laskettu Mathematica-ohjelmistolla käyttäen seuraavaa koodia:

n = 10;
lst = RealDigits[N[Pi, 10000], n][[1]];
repl = Table[k -> N[{Cos[2 k Pi/n], Sin[2 k Pi/n]}], {k, 0, n - 1}];
step = lst /. repl;
path = Prepend[Accumulate[step], {0, 0}];
Graphics[Line[path], Frame -> True, GridLines -> Automatic, ImageSize -> 800]

Tässä n on käytettävän lukujärjestelmän kantaluku, 10 tai 4 tai jotakin muuta.  Lukija, jolla on Mathematica käytettävissään, voi tehdä omia kokeilujaan.

Luvun $\pi$ (Pi) paikalle voi tietenkin vaihtaa jotakin muutakin. Paitsi irrationaalikävelyjä voi harrastaa myös rationaalikävelyjä valitsemalla rationaaliluvun. Rationaalikävelyt saattavat olla aika ikävystyttäviä, mutta huomattavan kiintoisiakin löytyy:

En tiedä, onko rationaali- tai irrationaalikävelyistä julkaistu mitään (lukuunottamatta American Mathematical Societyn Notices-lehteä Aug/2013, joka on ollut tämänkin jutun virikkeenä). Voisiko tarkasteltavasta luvusta päätellä jotakin kuvion avulla? Kommentteja otetaan vastaan.