tiistai 30. tammikuuta 2018

Ihmettelen

Ellipsi?
Runsas puolivuosisataa sitten — siis muinaisuudessa, silloin kun minä kävin koulua — oppikoulun matematiikan kaksi ensimmäistä vuotta olivat aritmetiikkaa, minkä jälkeen se jakaantui algebraan ja geometriaan. Nykykouluun tulkittuna kyse oli peruskoulun luokista 5–9 ja lukiosta.

Geometria oli ajatusmaailmaltaan kelpo Eukleideen oppien mukaista: deduktiivista päättelyä, jolla todistettiin geometriset tulokset eli teoreemat tai lauseet. Lisäksi hyödynnettiin algebraa Pythagoraan lauseeseen ja verrannollisuuteen perustuvissa yhteyksissä.  Algebran puolella käsiteltiin analyyttista geometriaa, ts. tutkittiin suoria ja eräitä käyriä xy-tasossa niiden yhtälöiden avulla.  Vektoreita ei lainkaan käsitelty.

Puolen vuosisadan kuluessa opetussuunnitelmat ovat muuttuneet useaan kertaan. Lyhyesti sanottuna Eukleideen mallin mukainen deduktiivinen päättely on siirtynyt historiaan, vektoreita on alettu opettaa, analyyttinen geometria on hieman supistunut, mutta muuten ennallaan.  Kyseessä ovat lukion kurssit 3, 4 ja 5. Näiden kirjoja olen viime päivinä selannut, peruskoulupuolesta en tiedä, mutta koko geometria näyttää siirtyneen lukioon.

Kirjoja selatessa tulee kuitenkin tunne, että isoista muutoksista huolimatta kokonaisuutta ei ole koskaan harkittu uudelleen.  Analyyttinen geometria ei ole muuta kuin vektorigeometrian komponenttimuoto, mutta tätä ei hyödynnetä, vaan kyseessä on kaksi eri asiaa. Monet geometriset tulokset formuloidaan edelleen lauseiksi, vaikka minkäänlaisesta deduktiosta ei ole kyse. Joitakin tuloksia todistetaan (puhuisin mieluummin niiden johtamisesta tai perustelemisesta), monet annetaan vain ilmoitusasioina.

Kokonaisuutta hämärtävät asiat, jotka oikeastaan kuuluisivat muuhun yhteyteen, mutta jotka täytyy käsitellä geometrian seassa, koska niitä tarvitaan. Esimerkkinä itseisarvot ja yhtälöryhmien ratkaiseminen.

Kirjojen selailu on tietenkin varsin pintapuolista asioiden tarkastelua, mutta on vaikeata välttyä käsitykseltä, että aikaa tuhlataan asioiden sekavaan käsittelyyn. Varsin ihmeellistä, kun lukiokursseja usein pidetään aika raskaina. Selkeämpi rakenne saattaisi auttaa opiskelijaakin asioiden hahmottamisessa.

Olisi kiinnostavaa tietää, miten geometriaa tai matematiikkaa yleensäkin opetetaan esimerkiksi Ruotsin, Saksan, Englannin, Ranskan tai Venäjän kouluissa.

Niin geometrian kuin muidenkin asioiden käsittelyä vaivaa oppikirjojen tarve asioiden puhkiselittämiseen. Opiskelijan oivalluksille ei anneta tilaa. Pyrkimyksenä on esittää jokaisesta asiasta yksityiskohtaisesti ratkaistu esimerkki. Syntyy tunne, että nämä pitää opetella ulkoa eikä muuta tarvita. Eikä kai kokeessa saisi muuta kysyäkään.

Kyse on tietenkin siitä, miksi matematiikkaa oikein opetetaan. Onko tarkoitus oppia ratkaisemaan tehtäviä, joita samassa muodossa ei koskaan enää tapaa? Onko tarkoitus oppia jonkinlaista johdonmukaista ajattelua?  Onko tarkoitus oppia ymmärtämään keinoja, joilla maailmaa paljolti hallitaan?

Oman lisämausteensa keittoon tuo digitalisaatio ja laskentatyökalujen käyttö: lisää detaljeja opittavaksi ohjelmista, joita ei koskaan myöhemmin käytetä. Silti laskentatyökalut ovat tämän aikakauden työkaluja kuten logaritmitaulut olivat runsas puoli vuosisataa sitten. Niiden käyttöön on syytä tottua, mutta oikea tapa niiden hyödyntämiseen ei löydy hetkessä.

tiistai 16. tammikuuta 2018

En ymmärrä

Funktiokone (© Tuula Kivelä)
Koulumaailman ulkopuolisen kansalaisen on hieman vaikeata saada selville, mitä koulussa nykyään oikein opetetaan. Jos ei ole sopivan ikäisiä omia tai tuttavien lapsia eikä lähipiiriin kuulu opettajia, ei ole muuta mahdollisuutta kuin kävellä kirjakauppaan.  Kirjastoissahan koulukirjoja ei ole, eikä kirjakaupassakaan muita kuin lukion kirjoja. Digitaalimateriaalien yleistyessä tilanne menee vielä vaikeammaksi.

Minulla on kuitenkin sen verran hyvät suhteet erääseen lähiseudun lukioon, että sain lainaksi joulunpyhien yli nipun lukion pitkän matematiikan kirjoja. Näitä olen selannut ja ihmetellyt, tosin kyllä tehnyt muutakin joulun aikaan.

Lukion ensimmäinen matematiikan kurssi on yhteinen lyhyelle ja pitkälle matematiikalle tarkoituksena antaa jonkinlainen kuva matematiikasta, ennen kuin valinta täytyy tehdä. Järjestely on saanut paljon kritiikkiä. En pidä ajatusta sinänsä huonona, mutta kirjaa selattuani en voi pitää toteutusta onnistuneena. Kyllähän se on omiaan ruokkimaan näkemystä, että matematiikkaa ei voi ymmärtää eikä siitä hyötyä ole, ehkä prosenttilaskua lukuunottamatta.

Ehkä on syytä todeta, että selaamani kirja on Sanoma Pron kirja, mutta en usko muiden tästä olennaisesti poikkeavan. Osa ongelmista johtuu opetussuunnitelmasta.

Mitä hirvittävyyksiä kirjasta sitten löytyy? Tai siis pedagogisia ratkaisuja, joita minä en ymmärrä.

Ensimmäinen huomio koskee esitystapaa. Peräkkäisiä esimerkkejä hengessä 'tee näin', sitten harjoitustehtäviä, joissa on tarkoitus apinoida esimerkkejä. Opitaan ratkaisemaan mallitehtäviä, ajattelu jää sivuseikaksi.

Kirja alkaa lukujoukkojen esittelyllä, luonnolliset luvut, kokonaisluvut, rationaaliluvut, reaaliluvut. Seuraava joukko aina edellistä laajempi. Joitakin laskusääntöjä siinä hengessä, että reaalilukujen aksioomista on poimittu jotakin, kun täyttä aksioomalistaa ei ymmärrettävistä syistä voida esittää. Mutta ei kai lukiolainen lukuja näin miellä? Eivät laskusäännöt tule siitä, että ne julistetaan. Kyllä ne on mielletty jollakin muulla tavalla.

Aksiomatiikka sinänsä voisi ainakin osalle lukiolaisista olla kiinnostava lähestymistapa, mutta reaalilukujen kohdalla se on aika toivoton ajatus.  Tie on pitkä ja täynnä trivialiteetteja, jos jotakin halutaan todistaa aksioomista lähtien. Tylsää, ei varmasti innosta.

Tämä olisi ollut luonnollinen paikka opetella itseisarvojen käyttöä, mutta se on siirretty johonkin myöhempään kurssiin. Irrationaalilukujakin olisi voinut pohtia: miksi niitä tarvitaan ja mitä ne oikein ovat.  (Enkä tarkoita Cauchyn jonoja tai Dedekindin leikkauksia.)

Seuraavaksi kerrataan potenssin määritelmä ja laskusäännöt, tosin vain kokonaislukueksponentein. Sitten tulee yllätys: logaritmifunktio. Opitaan muun muassa, että yhtälön $3^x = 25$ ratkaisu on $x = \log_3 25 \approx 2.93$.  Siis $3^{2.93}$ on $25$, ainakin likimain. Mutta mitä tarkoittaa $3^{2.93}$?  Se saadaan laskimesta eikä sitä yritetä sen kummemmin ymmärtää. Matematiikka on täynnä asioita, joita ei ole tarkoituskaan ymmärtää. Vai lisäisikö tämä kiinnostusta pitkään matematiikkaan, koska opittavaa vielä tuntuu riittävän?

En ymmärrä, miksi edes rationaalisista eksponenteista ei puhuta mitään.  Eivätkä irrationaalisetkaan kovin mystisiä olisi, jos irrationaaliluvut olisi jotenkin pohjustettu. Kysyin tuttavaperheen lukiolaiselta, tietääkö hän, mitä $2^{1/2}$ tarkoittaa. Sanoi kyllä tietävänsä, mutta ei koulussa oppineensa.

Funktio on matematiikan yleisimpiä käsitteitä ja sellaisena kaikille yhteisen kurssin luonnollista sisältöä. Yhden muuttujan funktioiden ja niiden kuvaajien käsittely on hyvä pohja myöhemmille matematiikan opinnoille, olivat ne sitten lyhyttä tai pitkää.

Mahdollisuus kiinnostavien asioiden esiin tuomiseen kuitenkin hukataan, jos funktioista ei enempää sanota. Kun funktiokone ajatuksena kuitenkin esitellään, olisi saman tien voinut esitellä vaikkapa kahden muuttujan funktiot tai käyttää esimerkkinä jokaisen oppilaan omaa mahtavaa funktiokonetta, jossa on varsin monta funktiota valmiina: laskinta. Näiden määritelmiin voidaan palata myöhemmin, mutta kuvaajia niille voidaan jo tässä vaiheessa piirtää. Samalla tulisi laskinharjoittelua.

Sanottakoon selvyyden vuoksi, että toki Sanoma Pron oppikirjassa on hyvääkin.  Tämän jutun otsikko on kuitenkin 'En ymmärrä', joten keskityn siihen.

Oleellista on, että asiat käsitellään luonnollisissa yhteyksissä. Ei matematiikka ole kokoelma irrallisia silpputietoja. Nykyiseen repaleiseen kurssirakenteeseen on ajauduttu vuosien kuluessa. Monia asioita on poistettu, toisia lisätty, nekin ehkä poistettu, vanhoja edelleen hellitään, vähänkään radikaalimpaa revisiota ei ole tahdottu/uskallettu tehdä. Lopputulos on valitettavasti sellainen, etten lainkaan ihmettele, jos matematiikalla on vähän huono maine.

Minut kutsuttiin kerran erään kustantajan oppikirjaprojektin ohjausryhmään. Esitin tuolloin, että voisi olla hyvä katsoa, miten asiat on ratkaistu muissa maissa, lähinnä Euroopassa. Vaikka ratkaisuja ei varmasti voikaan kopioida, niistä voi oppia uusia ehkä hyödyllisiä näkökulmia. Kustantaja ei innostunut hankkimaan kirjoja eivätkä oppikirjantekijätkään. Oli kiire. Tehtiin mieluummin ihka omaa sutta.

keskiviikko 20. joulukuuta 2017

Joulurauhan konvergenssi


Samalla kun toivotan lukijoille hyvää joulua, tarjoilen pientä puuhaa joulunpyhien ja jouluvieraiden ratoksi.

Tarkastelun kohteena on joulurauhan julistus, suomen- ja ruotsinkielinen versio peräkkäin pantuina. Löytyy vaikkapa Wikipedia-sivulta https://fi.wikipedia.org/wiki/Joulurauha. Puuhaan osallistujia tulisi olla useampia, ja jokainen heistä valitsee oman aloitussanansa julistuksen ensimmäisiltä riveiltä.

Aloitussanasta lähtien muodostetaan sanaketju seuraavasti: Lasketaan aloitussanan kirjaimien lukumäärä. Siirrytään eteenpäin niin monta sanaa kuin tämä lukumäärä osoittaa. Saadaan ketjun seuraava sana. Toistetaan askel tämän suhteen ja saadaan kolmas sana. Jatketaan näin, kunnes ruotsinkielisessä tekstissä sanat loppuvat, ts. jouduttaisiin hyppäämään ulos tekstistä.

Mikä on viimeinen sana? Miten tämä riippuu valitusta aloitussanasta? Miksi?

Tekstiksi voi valita muutakin kuin joulurauhan julistuksen. Latinistille voisi sopia jouluevankeliumi (Luukas 2:1-20) Vulgata-käännöksenä, esimerkiksi https://www.biblestudytools.com/vul/luke/2.html. Suomalaisen kirjallisuuden ystävälle jouluinen teksti Seitsemästä veljeksestä: kolme kappaletta kuudennesta luvusta alkaen kohdasta 'On joulu-ilta.' Tämäkin löytyy netistä: http://www.gutenberg.org/cache/epub/11940/pg11940.txt.

Tekstejä voi toki lukea paperiltakin, mutta sähköinen versio voi olla hyödyksi, jos innostuu kirjoittamaan ohjelmakoodin konvergenssin tutkimista varten.

En jää miettimään, onko tämä matematiikkaa ja sopiiko se siis matematiikkablogiin.  Mutta hyvää joulua toivotan.

sunnuntai 10. joulukuuta 2017

Vierailin lukiossa


Poincarén malli: hyperbolinen epäeuklidinen geometria. Kahden pisteen määräämä suora ja kolme ulkopuolisen pisteen kautta kulkevaa suoraa, jotka ovat tämän suuntaisia.
Kävin paikallisessa lukiossa esitelmöimässä ykkös- ja kakkosluokkalaisille geometriasta.  Opettajat esittivät aiheeksi 'Mitä geometria on', mikä onkin pohtimisen arvoinen kysymys.

Geometrialla on pitkä historia, joka alkaa muinaisesta Egyptistä. Kreikkalaiset kuitenkin vasta tekivät geometriasta tiedettä ryhtymällä päättelemään asioita deduktiivisesti ja luomalla pohjaksi määritelmät, aksioomat tai postulaatit ja yleiset päättelysäännöt. Eukleides kiteytti esityksen tunnetussa teoksessaan Stoikheia, suomennettuna Alkeet.

Deduktiivisen geometrian aloitus siten kuin se suomalaisessa oppikoulussa opetettiin 1950-luvulla.
Minun käydessäni koulua 1950-luvulla tämä ehkä jollakin tavoin koululaiselle hahmottui.  Nykyopiskelijoista en ole oikein varma. Paralleeliaksiooman hylkäämisestä ja epäeuklidisen geometrian luonteesta minun geometrian kirjani kyllä mainitsi, mutta en koulussa koskaan ymmärtänyt, mistä oikein olisi kyse. Asia ei kuitenkaan ole kovin ihmeellinen, jos on valmis hyväksymään suoran käsitteelle hieman abstraktimman näkökulman runsaan sadan vuoden ikäisen Hilbertin aksiomatiikan mukaisesti.

Voiko tällaisista sitten puhua tämän päivän lukiolaisille? Mielestäni voi ja pitää puhua.  Kyseessä on olennainen vaihe siinä kehityksessä, joka on tehnyt matematiikasta niin abstraktia kuin se nykyään on. Esitystapaa on kuitenkin syytä harkita. Matemaatikko herkästi aloittaa täsmällisillä määritelmillä ja siirtyy sitten todistamaan lauseita.  Tämä johtaa tietenkin eksaktiin esitykseen, mutta lukiolaista jää vaivaamaan kysymys, mitä kaikki oikein tarkoittaa. Mihin se liittyy? Miksi tehdään sellaista kuin tehdään?

Eksaktisuudesta tinkimistä ei pitäisi pelätä, kunhan ei väitetä, että kyseessä olisi eksakti kaiken kattava esitys. Oikeiden mielikuvien synnyttäminen on tärkeää, täsmällisen päättelyn aika on joskus myöhemmin, jos lukiolainen päättää ryhtyä matemaatikoksi. Jos ei, niin yksityiskohtaisella päättelyllä ei ole väliäkään. Mutta sopiva kuva tai havainnollistus avaa usein näköaloja.

Tämä saattaa selittää, miksi matematiikka usein mielletään ikäväksi ja hyödyttömäksi.  On opittu ainakin muodollisesti täsmällistä päättelyä, perustehtävissä tarvittavaa laskutekniikkaa ja ylioppilaskokeessa tarvittavia esitystapoja, mutta matematiikan ajattelutapa ja sen kulttuurihistoriallinen kehitys ovat jääneet hämäriksi. Jos matemaattista päättelyä ja laskutekniikkaa ei ylioppilaskokeen jälkeisessä elämässä tarvitse, on aika luonnollista pitää matematiikkaa hyödyttömänä.

En tarkoita, ettei täsmällistä päättelyäkin pitäisi oppia, mutta näkökulman pitäisi kantaa sen yli. Tärkeä työkalu, mutta metsä pitää nähdä puilta. Ei historiaakaan opiskella vuosilukulistoina, mutta aikaskaalan hahmottamiseen vuosilukuja tarvitaan.

Mitä muuta sitten kerroin lukiolaisille? Jos kerran paralleeliaksioomasta voidaan tinkiä, voi aksioomia muutoinkin asetella eri tavoin ja luoda erilaisia geometrioita, vaikkapa äärellisiä tai projektiivisia. Aksioomia tai todistuksia en esittänyt, mutta kuvia kyllä: Fanon taso ja Pappoksen lause. Lopuksi vielä muutama sana algebran käytöstä geometriassa, joko ns. analyyttisen geometrian tai vektorigeometrian muodossa, ja analyysin, ts. differentiaali- ja integraalilaskennan tarjoamista mahdollisuuksista.

Äärellinen geometria, Fanon taso. Vain seitsemän pistettä ja vain seitsemän suoraa.
Ymmärsivätkö kuulijat? Eivät varmaankaan kaikkea, mutta mielikuva geometrian moninaisuudesta varmasti syntyi. Jos ennen luentoa kuvittelivat tietävänsä, mitä geometria on, niin tuskin enää luennon jälkeen. Hämmennys kuitenkin avaa näköaloja.

lauantai 4. marraskuuta 2017

Ylioppilastehtävä ennen ja nyt

Jossakin Facebook-keskustelussa nousi esiin vuoden 1960 ylioppilastehtävien vertailu digiajan mahdollisuuksiin. Kevään ensimmäinen pitkän matematiikan tehtävä oli tuolloin seuraava:

Laske kaikkien niiden positiivisten kolminumeroisten kokonaislukujen summa, jotka eivät ole jaollisia 9:llä eivätkä 11:llä.

Epäilen, olisiko tehtävä voinut olla ensimmäisenä enää muutaman viime vuosikymmenen aikana, vaikka se onkin puhtaasti numeerinen. Jotta työmäärästä ei tulisi kohtuutonta tarvitaan kyllä jokin matemaattinen idea: tietyllä tekijällä jaolliset luvut muodostavat aritmeettisen jonon. Laskemalla muutama aritmeettinen summa päädytään melko helposti tulokseen 399 996.

Toisiko laskenta- tai digitaalitekniikka sitten jotakin uutta tehtävän ratkaisemiseen?

Jos yksinkertainen ohjelmointi ohjausrakenteineen on käytettävissä, tehtävä ratkeaa sangen suoraviivaisesti. Muutama vuosikymmen sitten olisi käytetty BASIC-kieltä:
 
Sama onnistuu Nspire-laskimella tai vastaavalla tietokoneohjelmalla, joskin käsittääkseni suoraa skriptiä ei voida kirjoittaa vaan laskenta on paketoitava ohjelmaksi:

Tällainen laskenta on tietenkin periaatteessa raa'an voiman käyttöä, käydäänhän siinä lävitse kaikki kolminumeroiset kokonaisluvut ja testataan jokaisen jaollisuus. Käsin laskettaessa tässä ei olisi mieltä, mutta koneella laskettaessa tulos tulee saman tien ja ohjelman kirjoittaminenkin on varsin suoraviivaista.

On esitetty, että ohjelmoinnin opettaminen koulussa voisi perustua eräänlaisen palikkamallin käyttöön. Silmiini osui sattumalta Mika Spåran kehittelemä BlockyMath, PalikkaMatikka, http://beeblebrox.edu.hel.fi/bm/. Tällä myös onnistuu:
Ohjelmointityylejä on erilaisia eikä toistosilmukan käyttö ole välttämätöntä, jos kielestä löytyy muita sopivia komentoja tai funktioita. Esimerkkeinä Nspire ja GeoGebra:



Nspiren koodi on tosin hieman kryptinen: iso sigma -summaus syntyy funktiolla sumSeq (tai valikosta) ja symboli ifFn on myös erikoinen. Käyttäjänhän täytyy hallita tämmöiset. GeoGebra on myös hieman ongelmallinen: jos syötteestä jättää Sequence-funktion pois, mistään syntaksivirheestä ei varoiteta, mutta tulos on väärä. Sama rakenne toimii oikein Mathematicassa.

Kumpi ratkaisutapa sitten olisi parempi, ohjelmointi vai aritmeettiset summat käsin laskettuina? Riippuu tietenkin paremmuuden kriteereistä. Ehkä aritmeettisten summien käyttö painottaa jonkinlaista matemaattista ajattelua, ohjelmointi taitoa jäsentää ongelma ja muodostaa algoritmi sen ratkaisemiseen. En osaa valita näiden välillä, mielelläni ottaisin molemmat. Opetussuunnitelman laatijan ongelma on tietenkin juuri tässä. Kaikkea ei voi saada.

Esimerkki kuitenkin osoittaa, että ohjelmoinnilla on sijansa matematiikassa. Sitä ei pidä perusteitta hylätä, vaan etsiä luontevaa sijoituspaikkaa kurssirakenteeseen.

maanantai 30. lokakuuta 2017

Leonhard Euler ja eräs saksalainen prinsessa

Friederike-Charlotte-Preussen
Leonhard Euler by Handmann
Kuvat: Public domain, via Wikimedia Commons

American Mathematical Society julkaisee Bulletin-nimistä lehteä, joka leviää amerikkalaisille matemaatikoille, mutta sangen laajasti myös Amerikan ulkopuolelle. Viime heinäkuun numerossa oli matemaattisemman sisällön ohessa myös muutaman sivun juttu Leonhard Eulerista. Lehden kansikuvana oli Eulerin teoksen Lettres à une Princesse d'Allemagne sur divers sujets de physique et de philosophie nimiösivu.

Minulla ei ole käsitystä, missä vaiheessa suomalaisen matematiikan opiskelijan tajuntaan tunkeutuu tieto Leonhard Eulerista. Varmaankin aluksi käsitteiden nimissä: Eulerin kaava, differentiaaliyhtälö, vakio, funktio, suora, lause jne. Myöhemmin kuva henkilöstä ja hänen merkityksestään matematiikassa toivottavasti syvenee. Tätä auttaisivat muutaman sivun mittaiset, nopeasti luettavat artikkelit kuten Bulletinin juttu. Tällaisia voisi toivoa julkaistavan myös suomenkielisissä lehdissä niin opiskelijoiden — lukiosta lähtien — kuin opettajienkin tarpeisiin.

Kyse ei ole siitä, ettei tietoja Eulerista — tai monesta muusta merkittävästä henkilöstä — olisi löydettävissä. Digitaaliaikana vallitsee pikemminkin runsauden pula, kuten esimerkiksi seuraavat linkit osoittavat:
Näiden tutkiminen edellyttää kuitenkin aika selkeää tarvetta asiaan paneutumiseen.

Kuka sitten oli Leonhard Euler? Syntynyt Baselissa Sveitsissä 1707, kuollut Pietarissa 1783, työskenteli Pietarissa ja Fredrik Suuren kutsusta Berliinissä, myöhemmin Katariina Suuren kutsusta uudelleen Pietarissa. Euler oli tavattoman tuottelias: luettelossa http://eulerarchive.maa.org/ on 866 nimekettä. Aihepiirejä olivat matematiikka, fysiikka ja tähtitiede, mutta Euler oli kiinnostunut myös monenlaisista luonnonfilosofisista näkökohdista. Eulerin vaikutus siihen matematiikkaan, jota nykyään opetetaan yliopistollisissa peruskursseissa, oli suuri. Melkoinen osa standardiharjoitustehtävistä lienee peräisin Eulerilta.

Saksalainen prinsessa oli Eulerin ystävän, maakreivi von Brandenburg-Schwedtin tytär Friederike Charlotte Leopoldine Luise (https://en.wikipedia.org/wiki/Friederike_Charlotte_of_Brandenburg-Schwedt), jolle Euler aluksi opetti alkeisgeometriaa. Maakreivin muutettua hovinsa Berliinistä Magdeburgiin vuonna 1760 opetus jatkui kirjeitse. Kaikkiaan kirjeitä kertyi 234. Siirryttyään Berliinistä uudelleen Pietariin Euler julkaisi kirjeet kolmena niteenä vuosina 1768-1772. Teos käännettiin monelle kielelle ja siitä tuli eurooppalaista sivistyneistöä kiinnostava tieteellisen valistuksen merkkiteos.

Kirjeet antavat mielenkiintoisen kuvan Eulerin monipuolisuudesta, mutta myös siitä, millaisia asioita ja näkökulmia aikakausi piti tärkeinä. Joitakin kirjeiden aiheita:
  • Ilmakehästä ja ilmapuntarista
  • Taivaan sinisestä väristä
  • Maailmankaikkeuden rakenteesta
  • Sielun ja ruumiin liittymisestä toisiinsa
  • Ehdollisista lauseista ja niille perustuvista päätelmistä
  • Moraalisesta ja fyysisestä pahasta
  • Ajatuksia sähkön alkuperästä ja eri tavoista sen tuottamiseksi
  • Tavasta määrittää paikan leveys eli napakorkeus
  • Objektiivien aukon koosta
Teoksesta on vuonna 2007 ilmestynyt omakustanteena suomenkielinen käännös nimenä Kirjeitä saksalaiselle prinsessalle fysiikasta ja filosofiasta. Suomentaja ja julkaisija on Johan Stén.  Edellä olevat aiheet ovat Sténin käännöksen mukaiset. Kirja näkyy olevan edelleen saatavana joistakin verkkokaupoista.

maanantai 9. lokakuuta 2017

Kolmion korkeusjanat kreikkalaisittain ja mesopotamialaisittain

Eräs kollegani luonnehti kerran matemaattisten ongelmien lähestymistapoja kreikkalaisiksi tai mesopotamialaisiksi. Kolmion korkeusjanat tunnetusti leikkaavat samassa pisteessä, ja kreikkalainen lähestymistapa tämän todistamiseen on se, jota perinteisessä koulugeometriassa on harrastettu: Kolmion $ABC$ ympäri piirretään toinen kolmio $DEF$ alla olevan kuvan mukaisesti. Tällöin alkuperäisen kolmion korkeusjanoista tulee isomman kolmion sivujen keskinormaalit. Aiemmin on osoitettu, että nämä leikkaavat samassa pisteessä, ja tämä siis on myös korkeusjanojen leikkauspiste. Perinteistä euklidista geometriaa.



Mesopotamialainen lähestymistapa on laskennallinen. Vektorialgebra on tällöin käyttökelpoinen työkalu, vaikka toki vektorialgebran kutsuminen mesopotamialaiseksi onkin melkoinen anakronismi. Kolmion kärkipisteiden $A$, $B$ ja $C$ paikkavektorit olkoot $\vec{a}$, $\vec{b}$ ja $\vec{c}$. Pisteistä $A$ ja $B$ alkavien korkeusjanojen leikkauspisteen (jollainen varmasti on olemassa) $P$ paikkavektori olkoon $\vec{p}$.

Koska tietyn kärjen kautta kulkeva korkeusjana ja vastakkainen sivu ovat kohtisuorat, on
\begin{align*} (\vec{a} - \vec{p})\cdot(\vec{b} - \vec{c}) &= 0, \\ (\vec{b} - \vec{p})\cdot(\vec{c} - \vec{a}) &= 0. \end{align*}
Laskemalla yhtälöt yhteen ja sieventämällä päädytään yhtälöön
\[ (\vec{c} - \vec{p})\cdot(\vec{a} - \vec{b}) = 0, \]
mikä tarkoittaa, että piste $P$ on myös kärjestä $C$ alkavalla korkeusjanalla. Korkeusjanojen leikkaaminen samassa pisteessä on tullut todistetuksi.

Laskennallinen mesopotamialainen menettely antaa tavan johtaa lausekkeet pisteen $P$ koordinaateille. Jos $A = (x_1,y_1)$, $B = (x_2,y_2)$ ja $C = (x_3,y_3)$, muodostavat kaksi ensimmäistä yhtälöä lineaarisen yhtälöryhmän pisteen $P = (x_4,y_4)$ koordinaateille. Ryhmän ratkaiseminen käsin laskemalla on työlästä ja virhealtista, mutta tällaisissa tilanteissa symboliset laskentaohjelmat ovat vahvoilla:


Laskentaohjelmaa voidaan käyttää myös todistamisessa yksinkertaisella tavalla: sievennetään väite, kun oletetaan määrittelyehtojen voimassaolo. Ohjelma tekee raa'an työn, on vain kerrottava, mitä halutaan:


Jos tarkoituksena on vain tuloksen todistaminen, niin tarvitaanko pisteiden koordinaatteja lainkaan? Eikö voitaisi sieventää vektorimuotoinen väite vektorimuotoisten määrittelyehtojen ollessa voimassa? Periaatteessa voitaisiin. Kyse on siitä, millaista algebraa laskentaohjelma osaa, ts. mitä se on ohjelmoitu tekemään. Hyvistä ohjelmista työkalut usein löytyvät, mutta ensin on kerrottava, millaista algebraa halutaan. Oletuksena on yleensä reaali- tai kompleksilukualgebra. Jos halutaan muuta, esimerkiksi vektorialgebraa, tämä on ilmoitettava.