keskiviikko 29. elokuuta 2018

Miksi matematiikasta ei pidetä?

Felice Casorati, Gli scolari (Koululaiset) 1927-1928 (Ateneum, Fantastico!)
Matematiikalla on julkisuudessa hieman huono maine. Se on kuivaa ja hyödytöntä, elämälle vierasta, vain harva sitä tarvitsee. Poikkeuksena teknillisiin tehtäviin suuntautuvat henkilöt. Periaatteessa sen tärkeys modernissa yhteiskunnassa kyllä tunnustetaan, mutta kulttuuriahan se ei ole. Kieliä ei pidetä vastaavalla tavalla hyödyttöminä, biologiankin merkitys yleensä ymmärretään. Historiaa ehkä pidetään tylsänä vuosilukuluettelona, mutta kai sillä kuitenkin on jotakin tekemistä kulttuurin kanssa. Kirjallisuus toki on kulttuuria ja hyödyllistä, vaikka elämänsä voikin elää kaunokirjallisuutta lukematta.

Matematiikan mainetta ei kannata itkeä, mutta sen syitä voisi ehkä pohtia. Tavallisen kansalaisen käsitys matematiikasta perustuu siihen, mitä hän on koulussa oppinut. Aluksi numeroilla laskemista, mutta senkin merkitys on vähentynyt. Enää ei ole aikoihin laskettu kaupassa hintoja yhteen kynällä käärepaperin palalle kirjoittaen. Koneet hoitavat asiat paljon näppärämmin. Sen jälkeen kirjaimilla laskemista, kuvioiden piirtelyä, eksoottisen tuntuisia käsitteitä, kaavoja. Paloja sieltä ja täältä, punainen lanka puuttuu. Toki paikoin sovellustehtäviä, mutta nekin usein tuntuvat jotenkin keinotekoisilta.

Ylioppilaskokeen digitalisoiminen on tuonut omat lisänsä. Lisää silppua, eikä aina edes kovin matemaattista. Opetellaan joidenkin laskimien tai ohjelmistojen yksityiskohtia, mutta näitä ei elämässä sen koommin tarvita. Ei edes tekniikan alan opinnoissa, joissa on eri työkalut. Tietoteknistä kikkailua kyllä opitaan, ja sillä voi olla käyttöäkin. Punainen lanka kuitenkin puuttuu tässäkin.

Olen aikoinani lukenut lukiossa lyhyen matematiikan. Silloisen oppikoulun ensimmäisellä luokalla (vastaa nykyään peruskoulun viidettä luokkaa) aloitin nimittäin kielilinjalla enkä lukiossa enää voinut säädösten mukaan valita pitkää matematiikkaa. Olisin halunnut, sillä kiinnostus matematiikkaan heräsi joskus 13-14-vuotiaana. En tietysti tiedä, miten suhtautuisin, jos nyt olisin aloittamassa lukiota, mutta minulla on epäily, että en samalla tavoin olisi innostunut matematiikkaan.

Lukija saattaa ajatella, että tätä se digitalisaatio tekee. Matematiikka ei innosta kuten vanhoina hyvinä aikoina. Ei aivan näinkään. En aikoinani erityisemmin pitänyt numeerisista laskuista, en yliopistotasollakaan. Virhealtista pikkunäpertelyä logaritmitauluineen ja laskutikkuineen, myöhemmin peruslaskimineen. Asenteeni muuttui, kun pääsin käsiksi ohjelmointiin. Ei enää pikku virheitä, oleellista saada ohjelman logiikka toimimaan ja pitää isompi laskentatyö hallinnassa. Matematiikan osaamiselle löytyi käyttö.

Epäilen, että matematiikan huono maine paljolti johtuu siitä, että koulu ei anna siitä innostavaa kuvaa. Ongelmat alkavat 60-luvun uudesta matematiikasta ja siihen liittyvästä abstraktiotason nostosta. Uudistus epäonnistui ja sen jälkeen palattiin takaisin. Vuosien kuluessa karsittiin paisuneita sisältöjä ja yritettiin saada koko ikäluokka mukaan spiraaliperiaatteella. Seurauksena sisältö pirstoutui eikä enää muodostunut kokonaiskuvaa. Punainen lanka katosi. Ohjelmointiin oli vielä 80-luvulla innostusta, mutta tämä laantui. Digitaalitekniikka tunkeutui kouluihin todella vasta muutama vuosi sitten ylioppilaskokeen digitalisoinnin pakottamana.

Perusvikana on, että sitten uuden matematiikan ei kokonaisuutta ole kertaakaan ajateltu uudelleen. Pieniä muutoksia kerta toisensa jälkeen tietämättä, mihin halutaan mennä. Matematiikka — ainakin koulumatematiikka — on toisaalta laskemista, toisaalta käsitteiden muodostamista ja niiden ominaisuuksien tutkimista. Alkeisaritmetiikan jälkeen laskeminen on nykymaailmassa laskimien ja tietokoneohjelmien käyttöä sekä ohjelmointia. Käytännöllisiä taitoja ja digitaalimaailman perusymmärrystä. Käsitteellinen puoli on osa kulttuurihistoriaa ja antaa ajatusmalleja laskemiseen, tilan hahmottamiseen ja päättelyyn. Kulttuuria kaikki tämä.

Laskentamahdollisuuksien monipuolistuminen vaikuttaa tai ainakin sen pitäisi vaikuttaa myös koekäytäntöihin: Ennen saattoi ajatella, että jos opiskelija suoriutui laskentatehtävästä, myös käsitteellinen puoli oli riittävästi hallinnassa. Enää näin ei ole. Oikean vastauksen saaminen voi riippua vain siitä, osaako painaa oikeata näppäintä tai antaa oikean komennon. Ratkaisu ei ole laskentavälineiden kieltäminen, vaan on kysyttävä sitä, mitä halutaan testata.

Hätäisen opetussuunnitelmien uudistamisen sijasta onkin syytä lähteä pohtimaan, mitä matematiikan opetuksella digitaaliaikana oikein tavoitellaan ja rakentaa opetussuunnitelma tältä pohjalta. Vanha kunnon komiteatyö kunniaan. Jos vielä saataisiin punainen lanka säilymään, matematiikka ei enää näyttäisi hyödyttömältä silppukokoelmalta, vaan voisi myös herättää kiinnostusta. Mainekin varmaan paranisi.

maanantai 23. heinäkuuta 2018

Planigrafi

Kostean helteisenä päivänä ryhdyin mahdollisimman vähän fyysistä ponnistelua vaativaan puuhaan: raivaamaan vuosien varrella kertyneitä Mathematica-tiedostoja. Joukossa oli muun ohella planigrafin ominaisuuksia selvittelevä tiedosto.

Mikäkö on planigrafi, tarkemmin sanottuna Darboux´n – Koenigsin planigrafi? Kyseessä on mekanismi, jota on tutkittu ns. kinemaattisessa geometriassa. Geometriahan on sikäli monipuolinen tiede, että eteen voidaan asettaa melkoinen määrä erilaisia attribuutteja.

Planigrafissa on pystyakseli, jolla on kolme kiinteää pistettä ($A_1$, $B_1$, $C_1$). Jokaisessa pisteessä on vapaasti liikkuva pallonivel ja niihin on kiinnitetty kolme eripituista tankoa, voivat toki olla yhtä pitkiäkin. Näiden toiset päät on kiinnitetty palloniveliin, jotka sijaitsevat kiinteästi omalla tangollaan ($A$, $B$, $C$). Pisteet $A$, $B$ ja $C$ sijaitsevat tällöin $A_1$-, $B_1$- ja $C_1$-keskisillä pallokuorilla. Rakenne ei kiinnitä $ABC$-tangon asemaa, vaan se pääsee jossain määrin liikkumaan. Ongelmana on, millaisella pinnalla tangolla oleva piste $P$ tällöin liikkuu.

Oheinen kuvio on peräisin vuonna 1911 Leipzigissa ilmestyneestä Martin Schillingin myyntiluettelosta. Yritys myi runsaat sata vuotta sitten geometrisia matemaattisia malleja moniin yliopistoihin. Tällaisia hankittiin myös Teknilliseen korkeakouluun, Aalto-yliopiston edeltäjään.  Kokoelma on nähtävänä matematiikan laitoksella, planigrafi on malli numero 91 (http://math.aalto.fi/models/).

Millaisella pinnalla piste $P$ sitten liikkuu? Yleensä kyseessä on pallopinta, jonka keskipiste on akselisuoralla. Yksi pisteen $P$ asema on poikkeuksellinen: piste liikkuukin tasossa, joka on kohtisuorassa akselia vastaan. Tämä ei ole kovin yllättävää: taso voidaan ajatella pallopinnaksi, jonka keskipiste on äärettömän kaukana.

Miten tuloksen voisi todistaa? Puhtaasti geometrinen todistus löytyy kirjasta E. J. Nyström, Korkeamman geometrian alkeet sovellutuksineen, Otavan Tiedekirjasto n:o 6, 1948. Harvan nykymatemaatikon geometrian taidot kuitenkaan riittävät todistuksen sujuvaan lukemiseen.

Järjestäessäni mainittua matematiikan mallikokoelmaa joitakin vuosia sitten jäin miettimään, onnistuisiko planigrafia koskevan tuloksen todistaminen analyyttista geometriaa käyttäen, toisin sanoen raa'alla laskemisella. Käsin laskentaa tuskin jaksaisi tehdä, sen verran monimutkaisista lausekkeista on kyse. Koska ne kuitenkin ovat enintään toista astetta olevia polynomeja, symboliset laskentaohjelmat ovat vahvoilla. Onnistui; katso http://www.elisanet.fi/simo.kivela/blg/planigrafi.pdf.

Pisteen $P$ mahdolliset sijainnit eivät toki peitä koko tasoa (tai pallokuorta). Jatkokysymys voisi ollakin, mikä on se alue, jossa piste $P$ voi sijaita. Jätän lukijan pohdittavaksi. Eksaktia tapaa laskea asia en ole löytänyt, mutta symboliset ohjelmat suovat myös mahdollisuuden kokeellisen matematiikan harjoittamiseen ja tällä tavoin kyllä näkee, mikä ilmeisesti on vastaus.

sunnuntai 10. kesäkuuta 2018

Deltafunktio

Edellisessä postauksessani esittelin deltafunktion: $\delta(x) = 0$, jos $x \neq 0$, ja $\delta(0)$ niin vahvasti ääretön, että
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x)\,dx = 1.
\]

Määrittely 'niin vahvasti ääretön' ei kuulosta matemaattisen täsmälliseltä eikä integraaliehtokaan ole uskottava: integraalin määrittelytavasta (näitä on useita) riippuen kuvatunkaltainen $\delta$ joko ei ole integroituva tai integraalin arvo on $0$.  Mistä siis olisi kysymys?

Lähtökohdaksi voidaan ottaa ns. deltajono, funktiot, jotka on välillä $[-1/n,1/n]$ määritelty lausekkeella
\[
\delta_n(x) =
\frac{e^{-\frac{1}{1-n^2x^2}}}{\int_{-1/n}^{1/n}e^{-\frac{1}{1-n^2u^2}}\,du}
\]
ja jotka ovat $= 0$ tämän välin ulkopuolella; $n = 1,\,2,\,3,\,4,\,\dots$.  Jakajana olevasta integraalista seuraa, että jokaisen funktion integraali reaaliakselin yli on $= 1$. Kun $n$ lähestyy ääretöntä (ts. $n \to \infty$) funktion kuvaaja kapenee ja arvolla $x = 0$ lähestyy ääretöntä. Rajalla syntyy siis deltafunktio:
\[
\lim_{n \to \infty} \delta_n(x) = \delta(x).
\]
Funktiot $\delta_n(x)$, $n = 1,2,3,4,5$.


Funktion $\delta_n$ määritelmän perusteella on
\[
\lim_{n \to \infty} \int_{-\infty}^{\infty} \delta_n(x)\,dx = 1.
\] Tässä raja-arvon muodostamista ei kuitenkaan voida siirtää integraalimerkin sisään kuten edellä on todettu. Deltafunktion määrittelyssä on tässä kohden virhe.

Yleisesti hyväksyttyjen deltafunktion laskusääntöjen mukaan on
\[
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\delta(x)\,dx = f(0), \qquad
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\delta(x-1)\,dx = f(1).
\] Kuitenkin integraalin määritelmien perusteella nämä integraalit joko eivät ole olemassa tai ovat $= 0$. Integroitava funktiohan eroaa nollasta enintään yhdessä pisteessä. On siis tehty toinen virhe.

Deltafunktiolla laskemisen taidokkuutta osoittaa kuitenkin, että lopputulokset $f(0)$ ja $f(1)$ ovat aivan oikein. Tehdyt kaksi virhettä nimittäin kumoavat toisensa.

Itse asiassa integraalilaskun vaikeamman väliarvolauseen mukaan on
\[
\lim_{n \to \infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\delta_n(x)\,dx =
\lim_{n \to \infty} f(t) \int_{-\infty}^{\infty} \delta_n(x)\,dx =
\lim_{n \to \infty} f(t),
\] missä $-1/n \le t \le 1/n$. Kun $n \to \infty$, lähestyy $t$ nollaa ja $f(t)$ arvoa $f(0)$, mikäli $f$ on jatkuva funktio. Tulos siis pätee.

Deltafunktio ei ole ainoa tämäntyyppinen olio, vaan niille on kehitetty oma teoriansa, jota kutsutaan distribuutioteoriaksi. Pisteeseen keskittyvästä jakaumasta deltassakin on kyse. Olioita kutsutaan distribuutioiksi tai yleistetyiksi funktioiksi.

Varsinkin fyysikot laskevat sujuvasti deltafunktiolla sekä yhdessä että useammassa ulottuvuudessa. Matemaatikotkin voivat olla rauhallisia, sillä pätevä teoria on olemassa.

lauantai 19. toukokuuta 2018

Kumpi on vaikeampaa: määritelmän tekeminen vai teoreeman todistaminen?

Matemaatikon tehtävä nähdään toisinaan lauseiden eli teoreemojen todistamiseksi. Joku on antanut määritelmät ja formuloinut lauseet, minkä jälkeen matemaatikko todistaa ne. Pätee ehkä koulussa ja ylioppilaskokeessa, matematiikkakilpailuissa, mutta vaativampi tehtävä voi hyvinkin olla luoda järkeviä määritelmiä ja formuloida lauseita tai otaksumia, jotka osoittautuvat paikkansapitäviksi.

Lukija voi vaikkapa pohtia — ellei ennestään tiedä — miksi kakkonen määritellään alkuluvuksi, mutta ykköstä ei. Toisena esimerkkinä puolisuunnikkaan määritelmä.

Esitän seuraavassa hieman mutkikkaamman asetelman lukijan ihmeteltäväksi. Ne lukijat, jotka tietävät, mistä on kyse, vaietkoot, jotta ei pilata muiden iloa liian aikaisin. Lähteitä toki saa käyttää, mutta asiasta tietävät älkööt kavaltako avainsanoja.

Siis: Olkoon $\delta$ reaaliakselilla määritelty funktio, jolle pätee $\delta(x) = 0$, kun $x \neq 0$. Origossa funktion arvo on niin vahvasti ääretön, että
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x)\,dx = 1.
\]

Ja sitten pohtimaan:

Mitä on $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\delta(x)\,dx\,$?

Entä $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\delta(x-1)\,dx\,$?

Miten nämä integraalit oikein tulisi ymmärtää? Ja ovatko ne edes integraaleja? Lausuma 'niin vahvasti ääretön, että ...' ei kuulosta oikein vakuuttavalta eikä matematiikkaan sopivalta.

Fyysikot kuitenkin laskevat tällaisilla integraaleilla ja saavat ihan järkeviä tuloksia. Mistä tässä voisi olla kyse? Mitä matemaatikko sanoisi?  Jonkinlaiseksi vihjeeksi alussa oleva kuva.

torstai 26. huhtikuuta 2018

Penrose-laattoja Oxfordissa

Kirjoitin elokuussa 2014 Helsingin Keskuskadun Penrose-laatoista, jotka muodostavat jaksottoman kuvion. Laattoja on vain kahta tyyppiä, joita kutsutaan nuoliksi (engl. dart) ja leijoiksi (kite). Keskuskadun laattojen nuoli on kuitenkin koottu kolmesta erillisestä palasta ilmeisesti teknisistä syistä, joten aivan oikeaoppinen ei laatoitus ole. Laatoituksia tutki englantilainen matemaatikko ja fyysikko Roger Penrose 1970-luvulla.

Keskuskadun Penrose-laatoitus

Keskuskatu ei tietenkään ole ainoa paikka maailmassa, joka on päällystetty Penrosen laatoilla. Penrosen nimeä kantavia laatoituksiakin on erilaisia.

Pistäydyin kuluneella viikolla Oxfordissa. Etsin myös Oxfordin yliopiston matematiikan instituutin, joka sijaitsee uudessa ja hienossa toisen tunnetun matemaatikon, Andrew Wilesin nimeä kantavassa rakennuksessa. Andrew Wiles todisti Oxfordissa vuonna 1995 ns. Fermat'n suuren lauseen (engl. Fermat's Last Theorem), joka oli ollut todistamatta siitä lähtien, kun Pierre de Fermat 1637 kirjoitti erään kirjan marginaaliin todistaneensa sen. Marginaali oli kuitenkin liian kapea todistuksen esittämiseen eikä hänen (ilmeisesti virheellistä) todistustaan ole muualtakaan löytynyt.

Oxfordin Andrew Wiles Building

Andrew Wiles Buildingin edustalla on Penrosen laatoitus, joka koostuu sekin kahdesta eri laattatyypistä, molemmat suunnikkaita.  Nämä on sidottu toisiinsa ruostumattomasta teräksestä tehdyillä ympyröillä ja ympyränkaarilla, joiden matemaattista merkitystä en tarkemmin tunne.

Andrew Wiles Buildingin Penrose-laatoitus

Matematiikan perinteet ovat pitkät. Rakennuksen kynnyksellä on teksti, jonka sanotaan olleen myös Platonin Akatemiassa.

Kynnysteksti: Αγεωμέτρητος μηδείς εισίτω

sunnuntai 25. maaliskuuta 2018

CAS: luonne ja käyttötapa

Laskettaessa integraalia
\[
\int_0^{2\pi} \frac{dx}{2+\cos x}
\]
perinteinen menettely on hakea ensin integraalifunktio ja sijoittaa sitten rajat tähän.

Standardisijoituksella $u = \tan(x/2)$ saadaan integraali muotoon
\[
\int \frac{2du}{3+u^2},
\]
josta saadaan integraalifunktio
\[
\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\tan(\frac{x}{2})\right).
\]
Saman voi tietenkin saada symbolisella ohjelmalla, ja tuloksen voi verifioida derivoimalla.

Sijoittamalla tähän rajat $0$ ja $2\pi$ saadaan kummassakin tapauksessa $0$, ja määrätty integraali siis näyttäisi olevan $0$.

Ajattelevalla laskijalla pitäisi tällöin hälytyskellojen soida: Eihän se näin voi olla, koska integraalifunktio $1/(2+\cos x)$ on koko integroimisvälillä aidosti positiivinen.

Ongelman syy paljastuu piirtämällä integraalifunktion kuvaaja: kohdassa $x = \pi$ näyttää olevan epäjatkuvuus. Tällaistahan integraalifunktiolla ei saisi olla, sen pitää olla jatkuva.

Sininen:funktio $1/(2+\cos x)$; punainen: edellä saatu integraalifuntkio

Kovin kaukana ratkaisusta ei kuitenkaan olla, koska integraalifunktioon voidaan aina liittää additiivinen vakio $C$. Jos vakio kohdan $x = \pi$ vasemmalla puolella on $0$ ja oikealla puolella käytetään hypyn suuruista arvoa $2\pi/\sqrt{3}$, saadaan jatkuva integraalifunktio ja tämän avulla määrätyn integraalin arvoksi $2\pi/\sqrt{3}$.

Tähän tulokseen päästäänkin useimmilla symbolisilla ohjelmilla suoraan, kun lasketaan määrätty integraali.

Onko saatua integraalifunktiota sitten pidettävä virheellisenä? Riippuu siitä, mitä integraalifunktiolla tarkoitetaan. Useimmille ohjelmille (kuten kynä-paperi-laskijoillekin) se on antiderivaatta, ts. funktio, joka on derivoituva mahdollisesti yksittäisiä pisteitä lukuunottamatta ja derivaatta yhtyy alkuperäiseen funktioon.

Toisaalta ohjelmat saattavat myös huolehtia integraalifunktion jatkuvuudesta. Esimerkiksi Nspire näyttää lisäävän em. lausekkeeseen hieman kryptiseltä näyttävän termin
\[
-\frac{1}{\sqrt{3}} \left(\mathrm{mod}(x-\pi,2\pi) - x\right),
\]
mikä tekee funktiosta jatkuvan.

Symbolisia ohjelmia pidetään usein välineinä, joilla pitäisi ratkaista matemaattisia tehtäviä samassa hengessä kuin kynällä ja paperilla tavoitteena tehtävän ainoa oikeaoppinen ratkaisu. Asennetta on syytä muuttaa.

Ohjelmilla on oma käsitteistönsä ja oma logiikkansa, joka ei aina ole sama kuin totutussa matematiikan opetuksessa. Vain yhtä oikeaoppista ratkaisuakaan ei ole. Samaa ongelmaa voidaan lähestyä monella eri tavalla, joista toiset ehkä kertovat tilanteesta enemmän kuin toiset, mutta kaikilla on ansionsa.

Ohjelmia on ajateltava enemmän välineinä tutkimisessa ja kokeilemisessa, ei niinkään valmiin ratkaisun laatimisessa. Niitä ei ehkä edes tarvita, jos tehtävät ovat perinteisen kaltaisia.

maanantai 26. helmikuuta 2018

$(-1)^\pi$ ja muita kummallisuuksia

Yleisen potenssin $a^r$ määrittelyssä yleensä oletetaan, että $a$ on positiivinen.  Eksponentti $r$ voi olla mikä tahansa reaaliluku. Määrittely etenee sallimalla $r$:lle aluksi positiiviset kokonaisluvut, sitten kaikki kokonaisluvut, rationaaliluvut ja lopuksi reaaliluvut. Siten esimerkiksi $5^{1/2} = \sqrt{5} = 2.236\dots$ ja $e^{-\pi} = 0.0432\dots$ tulevat määritellyiksi.

Laskentaohjelmat antavat kuitenkin tuloksia myös tapauksissa, joissa $a$ on negatiivinen tai peräti kompleksinen. Myös $r$ voi kompleksiluku. Mitä nämä itse asiassa tarkoittavat?

Negatiivisen luvun kokonaislukupotenssi on ongelmaton.

Jos eksponentti on muotoa $1/n$, kyseessä on $n$:s juuri, ts. yhtälön $x^n = a$ ratkaisu $\sqrt[n]{a}$. Jos $a$ on positiivinen, tälle löytyy aina yksi reaalinen ratkaisu. Jos $a$ on negatiivinen, näkökulmaa täytyy hieman muuttaa ja tarkastella asiaa kompleksilukujoukossa.

Juuren ja juurifunktion käsitteet on tällöin syytä erottaa. Luvun $a$ $n$:s juuri on em.  yhtälön $x^n = a$ ratkaisu ja näitä on kompleksitasossa $n$ kappaletta. Jokin näistä kiinnitetään juuren päähaaraksi eli juurifunktioksi. Merkintä $\sqrt[n]{a}$ tai $a^{1/n}$ viittaa yleensä tähän. Yleensä juurifunktioksi kiinnitetään se, jonka napakulma on itseisarvoltaan pienin. Tämä voi olla kompleksinen, ja varsin usein onkin. Jos halutaan pysyä reaalialueella, voidaan kiinnittää reaalinen vaihtoehto, jos sellainen on olemassa. Siis:
\[
(-8)^{1/3} = \sqrt[3]{-8} = 1 + i\sqrt{3} \quad\text{tai}\quad
(-8)^{1/3} = \sqrt[3]{-8} = -2.
\]
Tietokoneohjelmissa voidaan yleensä valita, kumpaa kiinnitystä käytetään.

Kiinnittämisellä on kuitenkin haittansa: kaikki tavalliset laskusäännöt eivät enää päde. Yllä olevassa kuvassa on yksi esimerkki, toinen saadaan luvuista $a = -1 + i\sqrt{3}$, $b = i$, joille $\sqrt{a}\sqrt{b}$ ja $\sqrt{ab}$ ovat vastakkaismerkkiset eivätkä yhtä suuret.  Laskusäännöt ovat voimassa, jos juuri valitaan eri vaihtoehdoista tilanteeseen sopivalla tavalla.

Ongelmaa voidaan lähestyä myös kirjoittamalla potenssin mahdollisesti kompleksinen kantaluku napakoordinaattimuotoon:
\[
a = x +iy = |a| (\cos\varphi + i\sin\varphi) = |a| e^{i\varphi},
\] missä $\varphi$ on luvun $a$ napakulma, $-\pi < \varphi \le \pi$. Jos $a$ on negatiivinen (ja reaalinen), esitys on muotoa $a = |a| e^{i\pi}$, sillä $e^{i\pi} = -1$. Kompleksisen eksponenttifunktion $e^z$ määritelmä on luontevimmin sarjakehitelmä, mutta tässä yhteydessä riittää ajatella yhteyttä $e^{it} = \cos t + i\sin t$, $t$ reaalinen.

Napakoordnaattimuoto antaa mahdollisuuden potenssin yleiseen määrittelyyn:
\[
a^r = |a|^r e^{ir\varphi},
\] jolloin on määritelty, että kompleksinen eksponenttifunktio korotetaan potenssiin kertomalla eksponentit. Tällä tavoin saadaan lasketuiksi esimerkiksi oheisen kuvan potenssien likiarvot. Jätän tarkat arvot lukijan selvitettäviksi; edellä sanottu antaa eväät.
Miten napakoordinaattimuodon käyttö sitten suhtautuu juurten monikäsitteisyyteen?  Saadaanko kaikki juuren kaikki arvot sen avulla? Napakulma normeerataan yleensä välille $-\pi < \varphi \le \pi$, mutta periaatteessa ei ole estettä lisätä siihen mielivaltainen määrä luvun $2\pi$-termejä. Nämä antavat muut juuren arvot.  $n$:nnen juuren tapauksessa samat arvot alkavat toistua $2\pi$-termien määrän kasvaessa, joten eri suuria arvoja saadaan vain $n$ kappaletta. Lukija miettiköön, mitä tapahtuu, jos eksponentti on esimerkiksi $\pi$.