torstai 15. marraskuuta 2018

Pallon pyöreydestä

Pallo GeoGebralla tehtynä
Pallon piirtäminen sujuu nykyisissä kolmiulotteisuutta tukevissa geometriaohjelmistoissa vaivatta. Oheinen kuvio on tehty GeoGebralla ja pallon ääriviiva näkyy ympyränä, kuten kaiketi pitääkin.

Kynä ja paperi -aikaan kolmiulotteisia kuvioita piirrettiin kaksiulotteiselle paperille usein ns. kavaljeeriprojektiota (kavaljeeriperspektiiviä) käyttäen. Tällöin paperi ajatellaan yz-tasoksi ja x-akseli on alunperin sitä vastaan kohtisuorassa. Sen ajatellaan kuvautuvan 45 asteen kulmaan alavasemmalle siten, että yksikönpituus on puolet y- ja z-akselien yksikönpituudesta. Tällöin kaikki yz-tason suuntaiset tasokuviot kuvautuvat kokonsa ja muotonsa säilyttäen.

Pallon konstruktio kavaljeeriprojektiossa (itse asiassa hieman tästä poikkeavaa ns. ruutumenetelmää käyttäen)
Pallon kuva kavaljeeriprojektiossa voidaan siten hahmotella leikkaamalla palloa yz-tason suuntaisilla tasoilla. Leikkauskuviot ovat ympyröitä ja ne siis kuvautuvat kokonsa ja muotonsa säilyttäen. Jos pallon keskipiste on origossa, ympyröiden keskipisteet ovat x-akselilla ja helposti löydettävissä. Leikkausympyröiden kuvat voidaan siten piirtää harppia käyttäen, kuten oheisessa kuviossa on tehty. Oikeanpuolinen ympyrä on apukonstruktio leikkausympyröiden säteiden määrittämistä varten. Pallon ääriviiva saadaan leikkausympyröiden kuvien verhokäyränä, ts. käyränä joka sulkee sisäänsä kaikki ympyrät. Tätä ei ole kuvioon piirretty, mutta se hahmottuu helposti, kun vihreät leikkausympyrät ovat riittävän tiheässä.

Verhokäyrä näyttää kuitenkin olevan hieman elliptinen ja pallo venähtänyt x-akselin suunnassa. Tämä näkyy punaisesta ympyrästä, joka ympäröi pallon kuvaa. Eikö pallon ääriviiva siis olekaan ympyrä?

Tässä tapauksessa se ei ole ympyrä vaan ellipsi, mikä johtuu siitä, että kavaljeeriprojektio on vino projektio. Yleinen yhdensuuntaisprojektio syntyy siten, että kiinnitetään kuvataso ja projektiosäteiden suunta. Pisteen kuva saadaan asettamalla suora — projektiosäde — pisteen kautta ja hakemalla tämän ja kuvatason leikkauspiste. Selvää on, että projektiosäteet eivät saa olla kuvatason suuntaisia. Luontevinta on, että ne ovat kuvatasoa vastaan kohtisuoria, jolloin puhutaan ortogonaaliprojektiosta. Ne voivat kuitenkin olla vinossa asennossa kuvatasoon nähden, jolloin projektion sanotaan olevan vino.

3D-geometriaohjelmistot tekevät oletuksena ortogonaaliprojektiokuvia, kuten luonnollista onkin. Aikoinaan käytettiin kavaljeeriprojektiota, koska tällöin käsin piirtämisestä tuli melko helppoa: yz-tason suuntaiset kuviot kuvautuivat sellaisinaan.

Millaisia yhdensuuntaisprojektiot — ortogonaaliset tai vinot — sitten voivat olla? Erään vastauksen antaa ns. Pohlken lause: Jos piirretään kolme samasta pisteestä $O$ lähtevää sädettä ja asetetaan jokaiselle yksi piste, $E_x$, $E_y$, $E_z$, niin nämä ovat positiivisten (suorakulmaisten) koordinaattiakseleiden $x$, $y$ ja $z$ kuvat eräässä yhdensuuntaisprojektiossa ja pisteet $E_x$, $E_y$, $E_z$ ovat yksikköpisteiden $(1,0,0)$, $(0,1,0)$, $(0,0,1)$ kuvat. Edellytyksenä on, että pisteet $O$, $E_x$, $E_y$ ja $E_z$ eivät kaikki ole samalla suoralla. (Lisätietoja kirjoittajan kirjoista Perspektiivikuvan geometriset perusteet ja Vaellusretkiä matematiikkaan.)

Pohlken kuvio, ts. suorakulmaisen avaruuskoordinaatiston kuva eräässä yhdensuuntaisprojektiossa

Karl Wilhelm Pohlke (1810-1876) oli saksalainen taiteilija ja geometrikko, joka esitti lauseen 1860, mutta ei liene todistanut sitä. Todistuksen esitti Hermann Amandus Schwarz 1864.

Pohlken lauseen mukainen yhdensuuntaisprojektio on joko ortogonaalinen tai vino. Kummasta on kyse, on selvitettävissä hieman yllättävällä kriteerillä: Asetetaan piste $O$ kompleksitason origoksi ja tulkitaan pisteet $E_x$, $E_y$ ja $E_z$ kompleksiluvuiksi $z_1$, $z_2$ ja $z_3$. Kyseessä on ortogonaaliprojektio, jos ja vain jos $z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = 0$. En oikein osaa sanoa, onko tässä jotakin syvällistä, vai onko kyseessä pikemminkin sattuma, mitä se tässä yhteydessä sitten tarkoittaisikin.

tiistai 30. lokakuuta 2018

SAT-testi ja ylioppilaskoe

Ilman laskinta ratkaistava SAT-tehtävä.

Tuttavapiirin lukiolainen aloitti lukio-opintonsa Suomessa, mutta jatkaa niitä nyt New Yorkissa. Tilanne on siten otollinen suomalaisen ja amerikkalaisen systeemin vertailuun. Sain nähdäkseni sikäläisen SAT-testin, jolla arvioidaan mm. matematiikan osaamista. Näistä testeistä löytyy tietoa myös netistä — kuinkas muuten: https://collegereadiness.collegeboard.org/. Harjoitteluun tarkoitettuja esimerkkikokeitakin on saatavissa:
https://collegereadiness.collegeboard.org/sat/practice/full-length-practice-tests tai
https://collegereadiness.collegeboard.org/psat-nmsqt-psat-10/practice/full-length-practice-tests.
Näissä on neljä osaa, kaksi ensimmäistä liittyvät englannin kieleen, kaksi viimeistä ovat matematiikkaa.

En tarkoin tunne amerikkalaista systeemiä enkä tiedä, mikä on SAT-testien käyttö ja missä määrin ne vaikuttavat esimerkiksi jatko-opintoihin valittaessa, ts. ovatko ne verrattavissa suomalaiseen ylioppilastutkintoon. Tästä riippumatta ne ovat mahdollinen malli päättökokeiden järjestämiseen. Yhden maan ratkaisuja ei yleensä ole mahdollista eikä järkevää sellaisenaan kopioida toiseen maahan, toisenlaisiin oloihin. Eri mahdollisuuksiin kannattaa silti perehtyä: aina voi oppia uutta, saada uusia ideoita. Myös PISA-menestyksellä mitaten maailman parhaassa Suomessa. (En tiedä, missä määrin näin on tehty. Ainakaan en ole nähnyt vertailuihin perustuvia pohdiskeluja ylioppilastutkintoa uudistettaessa. Jos joku tietää, niin kertokoon.)

Jos SAT-testiä ja suomalaista ylioppilastutkintoa verrataan matematiikan osalta, niin mitkä ovat havainnot?

Ensinnäkin SAT-testi on matemaattisessa mielessä selvästi suomalaista ylioppilaskoetta helpompi. Silti arvelen, että monet tehtävistä eivät olisi mitenkään liian helppoja suomalaiseen ylioppilaskokeeseen. Painotus on suomalaista koetta käytännöllisempi.

SAT-koe on kaksiosainen: ilman laskinta ja laskimen kanssa. Ohjelmistoja ei käytetä. Monissa laskinosion tehtävissä laskinta ei millään tavoin tarvita ja on vaikeata keksiä, miten sitä voisi käyttää.

Suurin osa tehtävistä on monivalintatehtäviä, tarjolla on neljä vaihtoehtoa, joista yksi oikea. Vastaukset annetaan koneellisesti luettavalle vastauslomakkeelle. Loppupään tehtävissä annetaan vastaus numeerisesti tietynlaiseen taulukkoon, joka myös luetaan koneellisesti. Arvostelu perustuu siten yksinomaan vastauksiin. Minkäänlaisia selityksiä tai perusteluja ei kirjoiteta.

Hämmästyttävin ero on kuitenkin käytettävissä oleva aika. Eräässä esimerkkikokeessa on laskimettomassa osiossa 20 tehtävää ja aikaa 25 minuuttia. Laskinosiossa on 38 tehtävää ja aikaa 55 minuuttia. Kiire tulee, vaikka tehtävät ovatkin helppoja. Voisi kuvitella, että tulosten hajonta syntyy opiskelijan nopeuden ja paineen sietämisen perusteella. Tällöin voi kysyä, mitä koe oikeastaan mittaa.

Toteutukseltaan koe on varmasti yksinkertaisempi kuin suomalainen ylioppilastutkinto, jonka tietotekninen vaativuus hakee vertaistaan. (Minua hämmästyttää, miten innokkaasti opettajakunta paneutuu aika eksoottiseen tietotekniseen virittelyyn, kun ylioppilastutkintolautakunta käyttää työnantajan valtaa ja käskee.)

Ei SAT-mallia varmastikaan kannata kopioida, mutta siinä voisi olla aineksia, joita kannattaisi harkita. Kyse on paljolti siitä, mitä ylioppilaskokeen halutaan olevan. Jokaisella systeemillä on enemmän tai vähemmän heikkoutena, että se ohjaa opetusta kokeesta selviämisen suuntaan. SAT-mallia on kritisoitu siitä, että opetuksesta tulee testien harjoittelua, mutta ei Suomessakaan vastaavasta kaukana olla. Olisi syytä pitää mielessä lukio-opintojen tarkoitus. Mikä se sitten onkin.

SAT-tehtävä, jossa laskimen käyttö on sallittu.

tiistai 16. lokakuuta 2018

Matematiikan yksikäsitteisyydestä

K. Väisälä, Trigonometria, 5. painos, s. 46
En oikein ymmärrä, mitä matematiikan yksikäsitteisyys voisi tarkoittaa, mutta olen tavannut koko joukon henkilöitä, jotka pitävät matematiikkaa yksikäsitteisenä siinä mielessä, että jokainen matematiikan tehtävä voidaan ratkaista vain yhdellä oikealla tavalla. Käsitys tuntuu minusta aika erikoiselta, mutta ehkä se on yleisempikin, koska didaktikotkin ovat siihen kiinnittäneet huomiota: Riikka Palkki, Matematiikan opettajien ja opettajaopiskelijoiden käsityksiä vertailumenetelmästä (https://www.lumat.fi/index.php/lumat/article/view/327/324). Artikkelin vertailumenetelmä tarkoittaa, että oppilaat joko itse laativat tai heille esitetään erilaisia ratkaisutapoja samaan tehtävään ja että asiaa tämän jälkeen pohditaan.

Milloinkahan tällainen yksikäsitteisyyskäsitys on syntynyt?

Olen käynyt lukioni 50-luvun lopulla ja 60-luvulla opiskellut matematiikkaa yliopistossa. Jo kouluaikana minulle oli selvää, että tehtäviä saattoi ratkaista eri tavoilla, kaikki oikeita. Ei asiaa mitenkään erityisesti painotettu, näin vain tapahtui ja tilanne tuntui täysin luonnolliselta. Se oli myös osa matematiikan viehätystä: asiaa saattoi lähestyä eri näkökulmista ja taustalla oli jotakin invarianttia, näkökulmista riippumatonta.

Onko jossakin vaiheessa noiden aikojen jälkeen matematiikan opetus muuttunut siten, että tehtäviin pyritään tarjoamaan valmis tietyn reseptin mukainen ratkaisu, joka oppilaan tulee oppia? Tavallaan siis opetellaan ulkoa tiettyjä rutiineja: näin ratkaistaan ensimmäisen asteen yhtälö, näin haetaan funktion maksimikohta, näin tämän tyypin tehtävä. Kuvittelen, että ennen opetettiin pikemminkin toisin päin: esimerkiksi erilaisia työkaluja lausekkeen muokkaamiseen ja näiden ominaisuuksia, sitten näitä eri tavoin kombinoimalla ratkaistiin tehtävä. Kombinointi saattoi tapahtua monella tavalla ja syntyi erilaisia ratkaisutapoja.

Toki olen omissa opinnoissani moneen kertaan opetellut myös rutiineja, mutta ainoina mahdollisuuksina en ole niitä koskaan ajatellut. Esimerkkinä vaikkapa rationaalifunktion integrointi: jos et mitään fiksumpaa keksi, niin tee seuraavasti ... Olen myös opettanut tällaisia rutiineja, mutta en toivoakseni koskaan ainoana sallittuna tai ainoana mahdollisena lähestymistapana.

Pitkään matematiikkaan kuului lukioaikanani erillinen trigonometrian osuus. Tässä ratkaistiin myös trigonometrisia yhtälöitä ja jopa epäyhtälöitä. Nämä muodostivat erinomaisen esimerkin mahdollisuuksista käyttää erilaisia lähestymistapoja. Käytettävissä olivat trigonometrian peruskaavat ja näitä saattoi käyttää monella eri tavalla. Tuloksena monia erilaisia ratkaisutapoja. Ehkä kuvaavaa on, että kun säästin lukioaikaiset laskuni käyttääkseni niitä myöhemmin yksityistunteja antaessani, totesin ne aika pian hyödyttömiksi. Omat taidot olivat kehittyneet sen verran, että lähes poikkeuksetta löysin tehtävälle lyhyemmän ja fiksumman ratkaisutavan.

Vaikka trigonometriset yhtälöt olivatkin opettavaisia, olivat ne jo tuolloin aika eksoottinen pitkän matematiikan osa. Vielä enemmän ne olisivat sitä nyt. Sopivia joustavuuden harjoittelukohteita löytyy kuitenkin muitakin, vaikkapa lausekkeiden algebrallinen sievennys. Tämä on sikälikin hyvä vaihtoehto, että sievyys ei ole yksikäsitteistä, vaan riippuu siitä, mitä tuloksella on seuraavaksi tarkoitus tehdä. Eikä symbolisista laskentaohjelmistakaan ole aina apua. Niillä on omat periaatteensa ja tulosten saattaminen johonkin vaihtoehtoiseen muotoon voi olla vaativa tehtävä.

Jos rutiinien sijaan painotetaan sopivien työkalujen opettelua, nousee oleelliseksi kysymykseksi, mitkä ovat tarpeellisia ja sopivia työkaluja. Trigonometria on tässäkin kohdassa hyvä — tai usein huono — esimerkki. Trigonometrisia kaavoja on paljon ja usein esitetään aika sekalainen näistä valittu kokoelma. Oleellisempaa olisi esittää varsin harvoja kaavoja ja näyttää näiden riippuvuudet ja johtaminen. Kyse on matemaattisen tiedon jäsentämisestä, minkä pitäisi olla opetuksen tärkeimpiä tavoitteita. Oman näkemykseni trigonometriasta olen esittänyt lukiolaiselle sopivassa tietosanakirjassa M niinkuin matematiikka, http://matta.hut.fi/matta/isom/isom.pdf#page.106. (Olemassa myös painettuna kirjana, ks. http://www.elisanet.fi/simo.kivela/kirjat.html.)

sunnuntai 23. syyskuuta 2018

Kimurantti Bolzano

Bolzanon lause
Jokainen pitkän matematiikan lukija taitaa nykyään oppia Bolzanon lauseen ja sen tärkeyden: Jos jatkuva funktio saa erimerkkiset arvot välin päätepisteissä, niin sillä on tällä välillä ainakin yksi nollakohta. Miksi tämä sitten on niin tärkeä tulos? Eikö ajattelevan lukiolaisen pitäisi pikemminkin pitää asiaa triviaalina: jos x-akselin alapuolella oleva piste ja yläpuolella oleva piste yhdistetään yhtenäisellä käyrällä, niin pakkohan käyrän on leikata x-akseli jossakin pisteessä? Miksi tässä pitää vannoa 1800-luvun alkupuoliskolla vaikuttaneen tšekkiläisen matemaatikon Bernard Bolzanon nimiin? Onhan sekin selvää, että jos ympyrän keskipiste ja ympyrän ulkopuolinen piste yhdistetään, niin yhdysjana leikkaa ympyrän jossakin pisteessä.

Kyseessä on yllättävän pitkän iän saavuttanut jäänne ajalta, jolloin analyysia — differentiaali- ja integraalilaskentaa — pyrittiin lukiossakin opettamaan nykyistä täsmällisemmin. Ajankohta on 60-luku, jolloin matematiikan opetusta kehitettäessä abstraktiotasoa pyrittiin nostamaan ja iskettiin kyllä myös kirves joukko-opin kiveen. Sen jälkeen muutokset ovat olleet oppimäärän supistuksia ja trivialisointeja, mutta joitakin kohokohtia on jäänyt kuin oksankohtia kuluneeseen lattiaan. Bolzanon lause on näitä.

Jos jatkuvuus määritellään huolellisesti epsilonien ja deltojen avulla eikä vain epämääräisesti funktion kuvaajan katkeamattomuutena, asia ei ole aivan yksinkertainen. Reaalilukuihinkin voi suhtautua vain lujasti uskoen sen enempää ihmettelemättä. Täsmällisempään käsittelyyn tarvitaan aksiomatiikka mukaan luettuna pienimmän ylärajan olemassaoloa koskeva täydellisyysaksiooma. Vaihtoehtona on Cauchyn jonojen käyttö. Mitään näistä ei oikein voi sisällyttää lukion oppimäärään ehkä poisluettuna matematiikkaan vahvasti panostavat lukiot.

Tässä ympäristössä Bolzanon lause ei ole lainkaan triviaali. Sen todistuksessa tarvitaan sekä jatkuvuuden täsmällinen karakterisointi että reaalilukujoukon täydellisyys. Eihän se edes ole voimassa rationaalilukujoukossa. Arvelen, että Bolzanon lauseen luonne ei ole selvä monille opettajillekaan, vaikka ehkä ovatkin sen aikanaan yliopistossa opiskelleet.

Voisi olla parempi, että Bolzanon lausetta ei lukiossa käsiteltäisi, ellei sitten voida avata sen todellista luonnetta. Ei ole syytä antaa mielikuvaa, että matematiikka on selviin asioihin kohdistuvaa saivartelua ja pilkunviilausta.

Lopuksi pientä pohdittavaa asiaan liittyen.

Cantorin funktioksi, joskus myös paholaisen portaiksi kutsutaan oheisen kuvan mukaista välillä $[0,1]$ määriteltyä funktiota $f$:
Cantorin funktio

Päätepisteissä on $f(0) = 0$ ja $f(1) = 1$. Väli $[0,1]$ jaetaan kolmeen yhtä suureen osaan ja keskimmäisellä kolmanneksella (suljetulla välillä) funktio saa vakioarvon päätepistearvojen puolivälistä, siis $\frac{1}{2}$. Jäljellä olevat osat, ensimmäinen ja viimeinen kolmannes jaetaan jälleen kolmeen yhtä suureen osaan. Keskimmäisillä (suljetuilla) osilla funktio saa vakioarvon päätepistearvojen puolivälistä, siis $\frac{1}{4}$ ja $\frac{3}{4}$. Jäljellä olevat palat jaetaan jälleen kolmeen yhtä suureen osaan ja jatketaan samaan tapaan loputtomiin.

Funktio tulee tällöin määritellyksi osaväleillä, joiden yhteinen pituus on
\[
\frac{1}{3} + 2\cdot\frac{1}{9} + 4\cdot\frac{1}{27} + \dots =
\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^k = 1,
\]
ts. se on määritelty koko välillä $[0,1]$. Ilmeisesti funktio on myös jatkuva.

Bolzanon lauseesta seuraa, että tällainen funktio saa kaikki arvot pienimmän ja suurimman arvonsa väliltä, siis esimerkiksi irrationaaliarvon $1/\sqrt{2}$. Edellä olevan mukaan funktio saa kuitenkin vain arvoja, jotka ovat luvun $\frac{1}{2}$ potenssien monikertoja, ts. muotoa $\displaystyle\frac{n}{2^k}$, missä $n$ ja $k$ ovat luonnollisia lukuja. Nämä ovat rationaaliarvoja.

On siis syntynyt ristiriita. Vai onko?

keskiviikko 29. elokuuta 2018

Miksi matematiikasta ei pidetä?

Felice Casorati, Gli scolari (Koululaiset) 1927-1928 (Ateneum, Fantastico!)
Matematiikalla on julkisuudessa hieman huono maine. Se on kuivaa ja hyödytöntä, elämälle vierasta, vain harva sitä tarvitsee. Poikkeuksena teknillisiin tehtäviin suuntautuvat henkilöt. Periaatteessa sen tärkeys modernissa yhteiskunnassa kyllä tunnustetaan, mutta kulttuuriahan se ei ole. Kieliä ei pidetä vastaavalla tavalla hyödyttöminä, biologiankin merkitys yleensä ymmärretään. Historiaa ehkä pidetään tylsänä vuosilukuluettelona, mutta kai sillä kuitenkin on jotakin tekemistä kulttuurin kanssa. Kirjallisuus toki on kulttuuria ja hyödyllistä, vaikka elämänsä voikin elää kaunokirjallisuutta lukematta.

Matematiikan mainetta ei kannata itkeä, mutta sen syitä voisi ehkä pohtia. Tavallisen kansalaisen käsitys matematiikasta perustuu siihen, mitä hän on koulussa oppinut. Aluksi numeroilla laskemista, mutta senkin merkitys on vähentynyt. Enää ei ole aikoihin laskettu kaupassa hintoja yhteen kynällä käärepaperin palalle kirjoittaen. Koneet hoitavat asiat paljon näppärämmin. Sen jälkeen kirjaimilla laskemista, kuvioiden piirtelyä, eksoottisen tuntuisia käsitteitä, kaavoja. Paloja sieltä ja täältä, punainen lanka puuttuu. Toki paikoin sovellustehtäviä, mutta nekin usein tuntuvat jotenkin keinotekoisilta.

Ylioppilaskokeen digitalisoiminen on tuonut omat lisänsä. Lisää silppua, eikä aina edes kovin matemaattista. Opetellaan joidenkin laskimien tai ohjelmistojen yksityiskohtia, mutta näitä ei elämässä sen koommin tarvita. Ei edes tekniikan alan opinnoissa, joissa on eri työkalut. Tietoteknistä kikkailua kyllä opitaan, ja sillä voi olla käyttöäkin. Punainen lanka kuitenkin puuttuu tässäkin.

Olen aikoinani lukenut lukiossa lyhyen matematiikan. Silloisen oppikoulun ensimmäisellä luokalla (vastaa nykyään peruskoulun viidettä luokkaa) aloitin nimittäin kielilinjalla enkä lukiossa enää voinut säädösten mukaan valita pitkää matematiikkaa. Olisin halunnut, sillä kiinnostus matematiikkaan heräsi joskus 13-14-vuotiaana. En tietysti tiedä, miten suhtautuisin, jos nyt olisin aloittamassa lukiota, mutta minulla on epäily, että en samalla tavoin olisi innostunut matematiikkaan.

Lukija saattaa ajatella, että tätä se digitalisaatio tekee. Matematiikka ei innosta kuten vanhoina hyvinä aikoina. Ei aivan näinkään. En aikoinani erityisemmin pitänyt numeerisista laskuista, en yliopistotasollakaan. Virhealtista pikkunäpertelyä logaritmitauluineen ja laskutikkuineen, myöhemmin peruslaskimineen. Asenteeni muuttui, kun pääsin käsiksi ohjelmointiin. Ei enää pikku virheitä, oleellista saada ohjelman logiikka toimimaan ja pitää isompi laskentatyö hallinnassa. Matematiikan osaamiselle löytyi käyttö.

Epäilen, että matematiikan huono maine paljolti johtuu siitä, että koulu ei anna siitä innostavaa kuvaa. Ongelmat alkavat 60-luvun uudesta matematiikasta ja siihen liittyvästä abstraktiotason nostosta. Uudistus epäonnistui ja sen jälkeen palattiin takaisin. Vuosien kuluessa karsittiin paisuneita sisältöjä ja yritettiin saada koko ikäluokka mukaan spiraaliperiaatteella. Seurauksena sisältö pirstoutui eikä enää muodostunut kokonaiskuvaa. Punainen lanka katosi. Ohjelmointiin oli vielä 80-luvulla innostusta, mutta tämä laantui. Digitaalitekniikka tunkeutui kouluihin todella vasta muutama vuosi sitten ylioppilaskokeen digitalisoinnin pakottamana.

Perusvikana on, että sitten uuden matematiikan ei kokonaisuutta ole kertaakaan ajateltu uudelleen. Pieniä muutoksia kerta toisensa jälkeen tietämättä, mihin halutaan mennä. Matematiikka — ainakin koulumatematiikka — on toisaalta laskemista, toisaalta käsitteiden muodostamista ja niiden ominaisuuksien tutkimista. Alkeisaritmetiikan jälkeen laskeminen on nykymaailmassa laskimien ja tietokoneohjelmien käyttöä sekä ohjelmointia. Käytännöllisiä taitoja ja digitaalimaailman perusymmärrystä. Käsitteellinen puoli on osa kulttuurihistoriaa ja antaa ajatusmalleja laskemiseen, tilan hahmottamiseen ja päättelyyn. Kulttuuria kaikki tämä.

Laskentamahdollisuuksien monipuolistuminen vaikuttaa tai ainakin sen pitäisi vaikuttaa myös koekäytäntöihin: Ennen saattoi ajatella, että jos opiskelija suoriutui laskentatehtävästä, myös käsitteellinen puoli oli riittävästi hallinnassa. Enää näin ei ole. Oikean vastauksen saaminen voi riippua vain siitä, osaako painaa oikeata näppäintä tai antaa oikean komennon. Ratkaisu ei ole laskentavälineiden kieltäminen, vaan on kysyttävä sitä, mitä halutaan testata.

Hätäisen opetussuunnitelmien uudistamisen sijasta onkin syytä lähteä pohtimaan, mitä matematiikan opetuksella digitaaliaikana oikein tavoitellaan ja rakentaa opetussuunnitelma tältä pohjalta. Vanha kunnon komiteatyö kunniaan. Jos vielä saataisiin punainen lanka säilymään, matematiikka ei enää näyttäisi hyödyttömältä silppukokoelmalta, vaan voisi myös herättää kiinnostusta. Mainekin varmaan paranisi.

maanantai 23. heinäkuuta 2018

Planigrafi

Kostean helteisenä päivänä ryhdyin mahdollisimman vähän fyysistä ponnistelua vaativaan puuhaan: raivaamaan vuosien varrella kertyneitä Mathematica-tiedostoja. Joukossa oli muun ohella planigrafin ominaisuuksia selvittelevä tiedosto.

Mikäkö on planigrafi, tarkemmin sanottuna Darboux´n – Koenigsin planigrafi? Kyseessä on mekanismi, jota on tutkittu ns. kinemaattisessa geometriassa. Geometriahan on sikäli monipuolinen tiede, että eteen voidaan asettaa melkoinen määrä erilaisia attribuutteja.

Planigrafissa on pystyakseli, jolla on kolme kiinteää pistettä ($A_1$, $B_1$, $C_1$). Jokaisessa pisteessä on vapaasti liikkuva pallonivel ja niihin on kiinnitetty kolme eripituista tankoa, voivat toki olla yhtä pitkiäkin. Näiden toiset päät on kiinnitetty palloniveliin, jotka sijaitsevat kiinteästi omalla tangollaan ($A$, $B$, $C$). Pisteet $A$, $B$ ja $C$ sijaitsevat tällöin $A_1$-, $B_1$- ja $C_1$-keskisillä pallokuorilla. Rakenne ei kiinnitä $ABC$-tangon asemaa, vaan se pääsee jossain määrin liikkumaan. Ongelmana on, millaisella pinnalla tangolla oleva piste $P$ tällöin liikkuu.

Oheinen kuvio on peräisin vuonna 1911 Leipzigissa ilmestyneestä Martin Schillingin myyntiluettelosta. Yritys myi runsaat sata vuotta sitten geometrisia matemaattisia malleja moniin yliopistoihin. Tällaisia hankittiin myös Teknilliseen korkeakouluun, Aalto-yliopiston edeltäjään.  Kokoelma on nähtävänä matematiikan laitoksella, planigrafi on malli numero 91 (http://math.aalto.fi/models/).

Millaisella pinnalla piste $P$ sitten liikkuu? Yleensä kyseessä on pallopinta, jonka keskipiste on akselisuoralla. Yksi pisteen $P$ asema on poikkeuksellinen: piste liikkuukin tasossa, joka on kohtisuorassa akselia vastaan. Tämä ei ole kovin yllättävää: taso voidaan ajatella pallopinnaksi, jonka keskipiste on äärettömän kaukana.

Miten tuloksen voisi todistaa? Puhtaasti geometrinen todistus löytyy kirjasta E. J. Nyström, Korkeamman geometrian alkeet sovellutuksineen, Otavan Tiedekirjasto n:o 6, 1948. Harvan nykymatemaatikon geometrian taidot kuitenkaan riittävät todistuksen sujuvaan lukemiseen.

Järjestäessäni mainittua matematiikan mallikokoelmaa joitakin vuosia sitten jäin miettimään, onnistuisiko planigrafia koskevan tuloksen todistaminen analyyttista geometriaa käyttäen, toisin sanoen raa'alla laskemisella. Käsin laskentaa tuskin jaksaisi tehdä, sen verran monimutkaisista lausekkeista on kyse. Koska ne kuitenkin ovat enintään toista astetta olevia polynomeja, symboliset laskentaohjelmat ovat vahvoilla. Onnistui; katso http://www.elisanet.fi/simo.kivela/blg/planigrafi.pdf.

Pisteen $P$ mahdolliset sijainnit eivät toki peitä koko tasoa (tai pallokuorta). Jatkokysymys voisi ollakin, mikä on se alue, jossa piste $P$ voi sijaita. Jätän lukijan pohdittavaksi. Eksaktia tapaa laskea asia en ole löytänyt, mutta symboliset ohjelmat suovat myös mahdollisuuden kokeellisen matematiikan harjoittamiseen ja tällä tavoin kyllä näkee, mikä ilmeisesti on vastaus.

sunnuntai 10. kesäkuuta 2018

Deltafunktio

Edellisessä postauksessani esittelin deltafunktion: $\delta(x) = 0$, jos $x \neq 0$, ja $\delta(0)$ niin vahvasti ääretön, että
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x)\,dx = 1.
\]

Määrittely 'niin vahvasti ääretön' ei kuulosta matemaattisen täsmälliseltä eikä integraaliehtokaan ole uskottava: integraalin määrittelytavasta (näitä on useita) riippuen kuvatunkaltainen $\delta$ joko ei ole integroituva tai integraalin arvo on $0$.  Mistä siis olisi kysymys?

Lähtökohdaksi voidaan ottaa ns. deltajono, funktiot, jotka on välillä $[-1/n,1/n]$ määritelty lausekkeella
\[
\delta_n(x) =
\frac{e^{-\frac{1}{1-n^2x^2}}}{\int_{-1/n}^{1/n}e^{-\frac{1}{1-n^2u^2}}\,du}
\]
ja jotka ovat $= 0$ tämän välin ulkopuolella; $n = 1,\,2,\,3,\,4,\,\dots$.  Jakajana olevasta integraalista seuraa, että jokaisen funktion integraali reaaliakselin yli on $= 1$. Kun $n$ lähestyy ääretöntä (ts. $n \to \infty$) funktion kuvaaja kapenee ja arvolla $x = 0$ lähestyy ääretöntä. Rajalla syntyy siis deltafunktio:
\[
\lim_{n \to \infty} \delta_n(x) = \delta(x).
\]
Funktiot $\delta_n(x)$, $n = 1,2,3,4,5$.


Funktion $\delta_n$ määritelmän perusteella on
\[
\lim_{n \to \infty} \int_{-\infty}^{\infty} \delta_n(x)\,dx = 1.
\] Tässä raja-arvon muodostamista ei kuitenkaan voida siirtää integraalimerkin sisään kuten edellä on todettu. Deltafunktion määrittelyssä on tässä kohden virhe.

Yleisesti hyväksyttyjen deltafunktion laskusääntöjen mukaan on
\[
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\delta(x)\,dx = f(0), \qquad
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\delta(x-1)\,dx = f(1).
\] Kuitenkin integraalin määritelmien perusteella nämä integraalit joko eivät ole olemassa tai ovat $= 0$. Integroitava funktiohan eroaa nollasta enintään yhdessä pisteessä. On siis tehty toinen virhe.

Deltafunktiolla laskemisen taidokkuutta osoittaa kuitenkin, että lopputulokset $f(0)$ ja $f(1)$ ovat aivan oikein. Tehdyt kaksi virhettä nimittäin kumoavat toisensa.

Itse asiassa integraalilaskun vaikeamman väliarvolauseen mukaan on
\[
\lim_{n \to \infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\delta_n(x)\,dx =
\lim_{n \to \infty} f(t) \int_{-\infty}^{\infty} \delta_n(x)\,dx =
\lim_{n \to \infty} f(t),
\] missä $-1/n \le t \le 1/n$. Kun $n \to \infty$, lähestyy $t$ nollaa ja $f(t)$ arvoa $f(0)$, mikäli $f$ on jatkuva funktio. Tulos siis pätee.

Deltafunktio ei ole ainoa tämäntyyppinen olio, vaan niille on kehitetty oma teoriansa, jota kutsutaan distribuutioteoriaksi. Pisteeseen keskittyvästä jakaumasta deltassakin on kyse. Olioita kutsutaan distribuutioiksi tai yleistetyiksi funktioiksi.

Varsinkin fyysikot laskevat sujuvasti deltafunktiolla sekä yhdessä että useammassa ulottuvuudessa. Matemaatikotkin voivat olla rauhallisia, sillä pätevä teoria on olemassa.