lauantai 4. marraskuuta 2017

Ylioppilastehtävä ennen ja nyt

Jossakin Facebook-keskustelussa nousi esiin vuoden 1960 ylioppilastehtävien vertailu digiajan mahdollisuuksiin. Kevään ensimmäinen pitkän matematiikan tehtävä oli tuolloin seuraava:

Laske kaikkien niiden positiivisten kolminumeroisten kokonaislukujen summa, jotka eivät ole jaollisia 9:llä eivätkä 11:llä.

Epäilen, olisiko tehtävä voinut olla ensimmäisenä enää muutaman viime vuosikymmenen aikana, vaikka se onkin puhtaasti numeerinen. Jotta työmäärästä ei tulisi kohtuutonta tarvitaan kyllä jokin matemaattinen idea: tietyllä tekijällä jaolliset luvut muodostavat aritmeettisen jonon. Laskemalla muutama aritmeettinen summa päädytään melko helposti tulokseen 399 996.

Toisiko laskenta- tai digitaalitekniikka sitten jotakin uutta tehtävän ratkaisemiseen?

Jos yksinkertainen ohjelmointi ohjausrakenteineen on käytettävissä, tehtävä ratkeaa sangen suoraviivaisesti. Muutama vuosikymmen sitten olisi käytetty BASIC-kieltä:
 
Sama onnistuu Nspire-laskimella tai vastaavalla tietokoneohjelmalla, joskin käsittääkseni suoraa skriptiä ei voida kirjoittaa vaan laskenta on paketoitava ohjelmaksi:

Tällainen laskenta on tietenkin periaatteessa raa'an voiman käyttöä, käydäänhän siinä lävitse kaikki kolminumeroiset kokonaisluvut ja testataan jokaisen jaollisuus. Käsin laskettaessa tässä ei olisi mieltä, mutta koneella laskettaessa tulos tulee saman tien ja ohjelman kirjoittaminenkin on varsin suoraviivaista.

On esitetty, että ohjelmoinnin opettaminen koulussa voisi perustua eräänlaisen palikkamallin käyttöön. Silmiini osui sattumalta Mika Spåran kehittelemä BlockyMath, PalikkaMatikka, http://beeblebrox.edu.hel.fi/bm/. Tällä myös onnistuu:
Ohjelmointityylejä on erilaisia eikä toistosilmukan käyttö ole välttämätöntä, jos kielestä löytyy muita sopivia komentoja tai funktioita. Esimerkkeinä Nspire ja GeoGebra:



Nspiren koodi on tosin hieman kryptinen: iso sigma -summaus syntyy funktiolla sumSeq (tai valikosta) ja symboli ifFn on myös erikoinen. Käyttäjänhän täytyy hallita tämmöiset. GeoGebra on myös hieman ongelmallinen: jos syötteestä jättää Sequence-funktion pois, mistään syntaksivirheestä ei varoiteta, mutta tulos on väärä. Sama rakenne toimii oikein Mathematicassa.

Kumpi ratkaisutapa sitten olisi parempi, ohjelmointi vai aritmeettiset summat käsin laskettuina? Riippuu tietenkin paremmuuden kriteereistä. Ehkä aritmeettisten summien käyttö painottaa jonkinlaista matemaattista ajattelua, ohjelmointi taitoa jäsentää ongelma ja muodostaa algoritmi sen ratkaisemiseen. En osaa valita näiden välillä, mielelläni ottaisin molemmat. Opetussuunnitelman laatijan ongelma on tietenkin juuri tässä. Kaikkea ei voi saada.

Esimerkki kuitenkin osoittaa, että ohjelmoinnilla on sijansa matematiikassa. Sitä ei pidä perusteitta hylätä, vaan etsiä luontevaa sijoituspaikkaa kurssirakenteeseen.

maanantai 30. lokakuuta 2017

Leonhard Euler ja eräs saksalainen prinsessa

Friederike-Charlotte-Preussen
Leonhard Euler by Handmann
Kuvat: Public domain, via Wikimedia Commons

American Mathematical Society julkaisee Bulletin-nimistä lehteä, joka leviää amerikkalaisille matemaatikoille, mutta sangen laajasti myös Amerikan ulkopuolelle. Viime heinäkuun numerossa oli matemaattisemman sisällön ohessa myös muutaman sivun juttu Leonhard Eulerista. Lehden kansikuvana oli Eulerin teoksen Lettres à une Princesse d'Allemagne sur divers sujets de physique et de philosophie nimiösivu.

Minulla ei ole käsitystä, missä vaiheessa suomalaisen matematiikan opiskelijan tajuntaan tunkeutuu tieto Leonhard Eulerista. Varmaankin aluksi käsitteiden nimissä: Eulerin kaava, differentiaaliyhtälö, vakio, funktio, suora, lause jne. Myöhemmin kuva henkilöstä ja hänen merkityksestään matematiikassa toivottavasti syvenee. Tätä auttaisivat muutaman sivun mittaiset, nopeasti luettavat artikkelit kuten Bulletinin juttu. Tällaisia voisi toivoa julkaistavan myös suomenkielisissä lehdissä niin opiskelijoiden — lukiosta lähtien — kuin opettajienkin tarpeisiin.

Kyse ei ole siitä, ettei tietoja Eulerista — tai monesta muusta merkittävästä henkilöstä — olisi löydettävissä. Digitaaliaikana vallitsee pikemminkin runsauden pula, kuten esimerkiksi seuraavat linkit osoittavat:
Näiden tutkiminen edellyttää kuitenkin aika selkeää tarvetta asiaan paneutumiseen.

Kuka sitten oli Leonhard Euler? Syntynyt Baselissa Sveitsissä 1707, kuollut Pietarissa 1783, työskenteli Pietarissa ja Fredrik Suuren kutsusta Berliinissä, myöhemmin Katariina Suuren kutsusta uudelleen Pietarissa. Euler oli tavattoman tuottelias: luettelossa http://eulerarchive.maa.org/ on 866 nimekettä. Aihepiirejä olivat matematiikka, fysiikka ja tähtitiede, mutta Euler oli kiinnostunut myös monenlaisista luonnonfilosofisista näkökohdista. Eulerin vaikutus siihen matematiikkaan, jota nykyään opetetaan yliopistollisissa peruskursseissa, oli suuri. Melkoinen osa standardiharjoitustehtävistä lienee peräisin Eulerilta.

Saksalainen prinsessa oli Eulerin ystävän, maakreivi von Brandenburg-Schwedtin tytär Friederike Charlotte Leopoldine Luise (https://en.wikipedia.org/wiki/Friederike_Charlotte_of_Brandenburg-Schwedt), jolle Euler aluksi opetti alkeisgeometriaa. Maakreivin muutettua hovinsa Berliinistä Magdeburgiin vuonna 1760 opetus jatkui kirjeitse. Kaikkiaan kirjeitä kertyi 234. Siirryttyään Berliinistä uudelleen Pietariin Euler julkaisi kirjeet kolmena niteenä vuosina 1768-1772. Teos käännettiin monelle kielelle ja siitä tuli eurooppalaista sivistyneistöä kiinnostava tieteellisen valistuksen merkkiteos.

Kirjeet antavat mielenkiintoisen kuvan Eulerin monipuolisuudesta, mutta myös siitä, millaisia asioita ja näkökulmia aikakausi piti tärkeinä. Joitakin kirjeiden aiheita:
  • Ilmakehästä ja ilmapuntarista
  • Taivaan sinisestä väristä
  • Maailmankaikkeuden rakenteesta
  • Sielun ja ruumiin liittymisestä toisiinsa
  • Ehdollisista lauseista ja niille perustuvista päätelmistä
  • Moraalisesta ja fyysisestä pahasta
  • Ajatuksia sähkön alkuperästä ja eri tavoista sen tuottamiseksi
  • Tavasta määrittää paikan leveys eli napakorkeus
  • Objektiivien aukon koosta
Teoksesta on vuonna 2007 ilmestynyt omakustanteena suomenkielinen käännös nimenä Kirjeitä saksalaiselle prinsessalle fysiikasta ja filosofiasta. Suomentaja ja julkaisija on Johan Stén.  Edellä olevat aiheet ovat Sténin käännöksen mukaiset. Kirja näkyy olevan edelleen saatavana joistakin verkkokaupoista.

maanantai 9. lokakuuta 2017

Kolmion korkeusjanat kreikkalaisittain ja mesopotamialaisittain

Eräs kollegani luonnehti kerran matemaattisten ongelmien lähestymistapoja kreikkalaisiksi tai mesopotamialaisiksi. Kolmion korkeusjanat tunnetusti leikkaavat samassa pisteessä, ja kreikkalainen lähestymistapa tämän todistamiseen on se, jota perinteisessä koulugeometriassa on harrastettu: Kolmion $ABC$ ympäri piirretään toinen kolmio $DEF$ alla olevan kuvan mukaisesti. Tällöin alkuperäisen kolmion korkeusjanoista tulee isomman kolmion sivujen keskinormaalit. Aiemmin on osoitettu, että nämä leikkaavat samassa pisteessä, ja tämä siis on myös korkeusjanojen leikkauspiste. Perinteistä euklidista geometriaa.



Mesopotamialainen lähestymistapa on laskennallinen. Vektorialgebra on tällöin käyttökelpoinen työkalu, vaikka toki vektorialgebran kutsuminen mesopotamialaiseksi onkin melkoinen anakronismi. Kolmion kärkipisteiden $A$, $B$ ja $C$ paikkavektorit olkoot $\vec{a}$, $\vec{b}$ ja $\vec{c}$. Pisteistä $A$ ja $B$ alkavien korkeusjanojen leikkauspisteen (jollainen varmasti on olemassa) $P$ paikkavektori olkoon $\vec{p}$.

Koska tietyn kärjen kautta kulkeva korkeusjana ja vastakkainen sivu ovat kohtisuorat, on
\begin{align*} (\vec{a} - \vec{p})\cdot(\vec{b} - \vec{c}) &= 0, \\ (\vec{b} - \vec{p})\cdot(\vec{c} - \vec{a}) &= 0. \end{align*}
Laskemalla yhtälöt yhteen ja sieventämällä päädytään yhtälöön
\[ (\vec{c} - \vec{p})\cdot(\vec{a} - \vec{b}) = 0, \]
mikä tarkoittaa, että piste $P$ on myös kärjestä $C$ alkavalla korkeusjanalla. Korkeusjanojen leikkaaminen samassa pisteessä on tullut todistetuksi.

Laskennallinen mesopotamialainen menettely antaa tavan johtaa lausekkeet pisteen $P$ koordinaateille. Jos $A = (x_1,y_1)$, $B = (x_2,y_2)$ ja $C = (x_3,y_3)$, muodostavat kaksi ensimmäistä yhtälöä lineaarisen yhtälöryhmän pisteen $P = (x_4,y_4)$ koordinaateille. Ryhmän ratkaiseminen käsin laskemalla on työlästä ja virhealtista, mutta tällaisissa tilanteissa symboliset laskentaohjelmat ovat vahvoilla:


Laskentaohjelmaa voidaan käyttää myös todistamisessa yksinkertaisella tavalla: sievennetään väite, kun oletetaan määrittelyehtojen voimassaolo. Ohjelma tekee raa'an työn, on vain kerrottava, mitä halutaan:


Jos tarkoituksena on vain tuloksen todistaminen, niin tarvitaanko pisteiden koordinaatteja lainkaan? Eikö voitaisi sieventää vektorimuotoinen väite vektorimuotoisten määrittelyehtojen ollessa voimassa? Periaatteessa voitaisiin. Kyse on siitä, millaista algebraa laskentaohjelma osaa, ts. mitä se on ohjelmoitu tekemään. Hyvistä ohjelmista työkalut usein löytyvät, mutta ensin on kerrottava, millaista algebraa halutaan. Oletuksena on yleensä reaali- tai kompleksilukualgebra. Jos halutaan muuta, esimerkiksi vektorialgebraa, tämä on ilmoitettava.

maanantai 25. syyskuuta 2017

Kolmion kulmien summa digitaaliaikana

Kolmion kulmien summa on tunnetusti 180 astetta tai radiaaneina ilmaistuna $\pi$. Perinteinen euklidisen geometrian todistus asialle perustuu alla olevaan kuvioon ja edellyttää paralleeliaksiooman voimassaoloa. Muutoinhan kyseessä ei olisikaan euklidinen geometria.

Digitaaliaika tai tarkemmin sanottuna laskentaohjelmat antavat mahdollisuuden muunkinlaiseen lähestymistapaan.

Kolmion sivut olkoot $a$, $b$ ja $c$. Kosinilause antaa tällöin kolmion kulmien suuruudet:
\begin{align*}
\alpha &= \arccos\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \\
\beta  &= \arccos\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca} \\
\gamma &= \arccos\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \\
\end{align*}

Voitaisiinko näiden summa sieventää symbolisen laskennan ohjelmalla siten, että tulokseksi tulisi $\pi$?

Tehtävä on aika haastava enkä usko, että monikaan symbolinen ohjelma selviää siitä. Olen kokeillut vain Mathematicaa, joka ei siitä suoraan selviä. Periaatteessa kyse on siitä, että mikään symbolinen ohjelma tuskin hallitsee kaikkia menettelyjä, joita alykäs (?) ihminen saattaa tulla ajatelleeksi. Mutta symbolinen ohjelma on tehokas työkalu, jolla päästään pitkälle, kun sitä hieman autetaan.

Ei lasketakaan kulmien summaa, vaan summan kosinia. Sievennettävä lauseke on tällöin periaatteessa muotoa
\[
\cos(\arccos(\dots) + \arccos(\dots) + \arccos(\dots)).
\]
Voisi olla luonnollista käyttää kosinin yhteenlaskukaavaa, aluksi ensimmäisen termin ja kahden jälkimmäisen muodostamaan summaan, sitten uudelleen kahden jälkimmäisen muodostaman summan purkamiseen. Tähän tarvitaan lisäksi sinin yhteenlaskukaavaa.

Onneksi hyvissä ohjelmissa on mahdollisuus ohjata sieventämistä käskemällä käyttämään haluttuja kaavoja tai menettelyjä.

Tuloksessa on muotoa $\sin(\arccos(\dots))$ ja $\cos(\arccos(\dots))$ olevia termejä, joissa trigonometriset funktiot ja arcusfunktiot kumoutuvat. Jäljelle jää algebrallinen lauseke muuttujina $a$, $b$ ja $c$. Tällaisten sieventämisessä symboliset ohjelmat ovat yleensä vahvoja, ja tulokseksi saadaan $-1$, siis sivujen pituuksista riippumaton vakio.

Mutta tällöin ollaan perillä: jos kulman kosini on $-1$, niin kulma on $\pi$. Jaksoja vaille tosin, mutta muut mahdollisuudet eivät tule kyseeseen.

Joitakin kysymyksiä herää: Onko tämä pätevä todistus? Jos ei, niin miksi ei? Missä kohden tarvitaan paralleeliaksioomaa? Epäeuklidisessa geometriassahan tulos ei ole $\pi$. Eikö lasku edellytä, että kyseessä todella on kolmio? Kolmiossahan on aina kahden sivun summa suurempi ja erotus pienempi kuin kolmas sivu. Mitä tapahtuu, jos $a$, $b$ ja $c$ eivät täytä tätä ehtoa?

Jätän lukijalle pohdittavaksi. Ja kokeiltavaksi. Myös matematiikka voi olla empiiristä.

Esimerkki osoittaa, että symboliset ohjelmat eivät ole mustia laatikoita, jotka tekevät käyttäjän matemaattiset taidot tarpeettomiksi.  Sieventämisohjeiden antaminen ohjelmalle tuskin onnistuu, ellei käyttäjällä ole näkemystä.

keskiviikko 16. elokuuta 2017

Kävin kirjakaupassa

En ostanut kuvan kirjoja eikä niitä kaupassa ollutkaan. Ovat omasta hyllystäni.

Etsiydyin kirjakauppaan. Sehän ei enää hienossa (in spe) Espoon Tapiolassa sijaitse katutason kulkureittien varrella vaan kauppakeskuksen syövereissä.  Poikkeaminen ohi kulkiessa ei ole helppoa.

Tapani mukaan katsoin muun ohella, mitä matematiikasta ja luonnontieteistä on tarjolla. Ei juuri mitään. Tähtitiedettä on, kiitos Ursan, joka on jo pitkään popularisoinut alaansa erinomaisesti. Matematiikasta on vain koulukirjoja. Silmäilin niitäkin. Aika tylsän kuvan matematiikasta antavat. Kuka voisi kiinnostua, jos henki on 'tee näin, niin ylioppilastutkintolautakunta antaa pisteitä'. Voiko edes lukiolainen kiinnostua — aidosti?

Vertailu Ursaan ei tietysti ole reilu. Tähtitiedehän ei — onneksi — ole kouluaine, jolloin siitä kiinnostutaan aidosti ja kirjat suunnataan harrastajille. Matematiikkaa rasittaa sen asema tärkeäksi julistettuna kouluaineena, jolloin sitä ei muusta näkökulmasta herkästi nähdä. Ehkä silti voisi yrittää ja pyrkiä julkaisemaan kirjoja harrastajille lukion kurssijako ja ylioppilaskoe unohtaen.

Verkkolehti Solmu on aikojen kuluessa julkaissut melkoisen määrän matematiikkaa käsitteleviä artikkeleita. Olisiko aika koota näistä kirja 'Solmun parhaat'? Verkossa olevat artikkelit ovat jollakin tavoin hajallaan eikä niitä lueta samalla tavoin kuin kirjaa puhumattakaan siitä, että annettaisiin lahjaksi.

Toimitustyötä kirjan koostaminen vaatisi. Matemaatikko herkästi kirjoittaa aika tiivistä tekstiä ja on tyytyväinen, kun asia on tullut täsmällisesi sanotuksi. Tekstin ymmärtäminen jää lukijan vastuulle.  Kirjan pitäisi olla ihmisystävällisempi senkin uhalla, että täsmällisyyteen jää toivomisen varaa. Siinä on haastetta toimittajalle.  Ja matemaatikkopiireille: minun on vaikeata uskoa, että toimittamisesta voisi selvitä ilman matemaatikkotaustaa.

Kirjojen saaminen myyntiin ns. kivijalkakirjakauppoihin voi olla vaikeata, vaikka Ursa onkin aika hyvin onnistunut. Ehkä maailma on muuttunut siten, että kirjoja pitää oppia etsimään verkkokirjakaupoista.

Jos kielen ei tarvitse olla suomi, löytyy verkkokirjakaupoista, vaikka Amazonilta runsaasti myös matemaattista kirjallisuutta. Ongelmana on usein kiinnostavan kirjan löytäminen runsaasta tarjonnasta. Esittelyjen ja arvostelujen julkaiseminen olisi avuksi, vaikka monet verkkokirjakaupat tarjoavatkin mahdollisuuden selata ainakin joitakin kirjan sivuja.  Esittelyjä vain pitäisi kirjoittaa ja julkaista. Voisiko Solmulla olla kumuloituva kirjallisuuspalsta, josta esittelyt olisivat helposti löydettävissä?

Kirja tarvitsee kustantajan. Omakustantajakin on kustantaja, mutta asiansa jo valmiiksi osaava kustantaja olisi tietenkin parempi. En yritä listata mahdollisuuksia, mutta kiinnostuneet voivat ilmoittautua.

sunnuntai 30. heinäkuuta 2017

How to slay dragons


Lueskelin American Mathematical Societyn Notices-lehden kesä-heinäkuun numeroa, jossa on myös matematiikan opettamista koskeva artikkeli What Is Inquire-Based Learning? (http://www.ams.org/journals/notices/201706/rnoti-p570.pdf).

Matematiikan opettamisen ongelmat tuntuvat olevan paljolti samanlaisia kaikkialla maailmassa, mutta yhden maan ratkaisuja ei kuitenkaan yleensä voi sellaisinaan siirtää toiseen maahan. Jotakin niistä kuitenkin voi oppia ja tuulettaa niiden avulla omia ajatuksiaan. Artikkelissa viitataan muun ohella sivustoon http://math.colorado.edu/activecalc, josta löytyy esimerkiksi funktioiden kuvaajia käsittelevä tehtävä http://math.arizona.edu/~calc/m124/Equations.pdf. Annettuna on neljä melko yksinkertaista funktiota ja ohjeistuksena 'Use your graphing calculator to graph each of the following functions. Use your mathematical skills to determine the real characteristics of the function. Does your calculator show these features?  Include detailed sketches.' Teknologian käyttöä siis.

Esimerkkifunktioista ei kuitenkaan selvitä antamalla vain piirtokomento. Laskin ei välttämättä näytä kaikkia kuvaajan oleellisia piirteitä, joten käyttäjän tulee suhtautua tulokseen kriittisesti ja tutkia asiaa lähemmin käyttämällä laskintaan työvälineenä ja yhdistämällä tähän matemaattiset tietonsa. Laskinta ei siis voikaan käyttää mustana laatikkona, joka antaa totuuden, vaan luovuutta vaativana työvälineenä.  Meillä saattaisi Suomessa olla opittavaa.

Selasin myös Solmussa ilmestynyttä Markku Halmetojan kokoelmaa Sata lukion matematiikan tehtävää (http://matematiikkalehtisolmu.fi/2017/sata.pdf). Ansiokas kokoelma, jossa esipuheen mukaan 'kantavana periaatteena on ollut välineistä riippumattoman matematiikan esilläpito'. Joukossa on kuitenkin monia tehtäviä, joissa mahdollisesti hieman muunnettuina voitaisiin hyödyntää teknologiaa järkevällä tavalla. Esimerkkinä tehtävä 53, jossa pyydetään määrittämään funktion $f(x) = e^x + e^{-x} - x^2$ ääriarvot. Lisätään tähän kerroin, $f(x) = e^x + e^{-x} - a x^2$, ja pyydetään tarkastelemaan ääriarvoja, kun $0.8 < a < 1.2$.  Lähtökohtana voi piirtää kuvaajia, laskea ääriarvokohtia numeerisesti sopivilla $a$:n arvoilla ja tapaus $a = 1$ vaatii edelleen saman huomion kuin ennenkin.

Tällä tavoin painottuisi matematiikan käyttö työvälineenä, eikä kyse olisi sen ainoan oikean ratkaisun etsimisestä, jonka opettaja tietää. Matematiikka voisi alkaa näyttää hyödylliseltä myös niille, joiden ensisijainen mielenkiinto ei ole matematiikassa sinänsä.

En oikein voi mitään sille, että Halmetojan kokoelma tuo mieleeni 70-luvulla talteen ottamani kirjamainoksen, joka on tämän jutun alkukuvana. Totuuden siemenhän tässä on.  Eikä Halmetoja (eivätkä monet muutkaan) ole mitenkään huonossa seurassa: Dschuang Dsi (Zhuangzi) oli neljännellä vuosisadalla eaa. elänyt taolainen filosofi eikä René Thomkaan (1923-2002) mitätön matemaatikko ole. En ole mainokseen kirjoittanut sen lähdettä, mutta internetin ihmemaasta se löytyy hakusanoilla 'dschuang dsi rene thom'. Kuva (ja runo) on Th. Bröckerin ja L. Landerin kirjassa Differential Germs and Catastrophes (Cambridge University Press, 1975) sisällysluettelosivun kääntöpuolella.

keskiviikko 28. kesäkuuta 2017

Talon nurkka ja GPS


Merkittiin kesämökillä maastoon suunnitellun uuden talon paikkaa.  Mittaukset narulla, jossa oli merkit kolmen metrin välein. Suorakaide saatiin merkityksi, lävistäjämitatkin olivat yhtä suuret.

Lupa-anomukseen tarvitaan karttapiirros, joten suorakulmion kärjet täytyy viedä kartalle. Yksinkertaisinta on tietenkin mitata etäisyyksiä tunnetuista karttapisteistä, mutta mieleen juolahti kokeilla, miten pitkälle modernilla tekniikalla ja matematiikalla pääsee.

GPS-kännykkäsovellus lupaa sijaintipisteen maantieteelliset koordinaatit — pituuden ja leveyden — parhaimmillaan kolmen metrin tarkkuudella. Ei oikein riittävältä tunnu, mutta ainahan voi yrittää. Mitattiin siis GPS:llä talon neljä nurkkaa, talletettiin arvot kännykän muistiin ja lähetettiin sähköpostilla kotitietokoneeseen laskemista varten. Työvälineenä oli käytettävissä laskentaohjelma Mathematica.


Maantieteellisten koordinaattien avulla ei voi suoraan tutkia kuvion suorakulmaisuutta, koska leveysasteen pituus ja pituusasteen pituus eivät ole yhtä suuria. Pallokoordinaattimuunnoksella (missä $r$ on maapallon säde, $\vartheta$ leveysaste ja $\varphi$ pituusaste)
\[ \begin{aligned}
x &= r\cos\vartheta\cos\varphi\ ,\\
y &= r\cos\vartheta\sin\varphi\ ,\\
z &= r\sin\vartheta\
\end{aligned} \]
saadaan kuitenkin vastaavat suorakulmaiset avaruuskoordinaatit, jolloin tiedetään avaruusnelikulmion kärkien koordinaatit. Nelikulmio sijaitsee likimain tasossa, kyseisen mökkitontin horisonttitasossa. Sen sivujen pituuksia ja kulmien suuruuksia laskemalla voi tutkia, onko kyseessä suorakulmio.

Ei ollut, mutta muutaman metrin tarkkuudella oikeat sivujen pituudet kyllä saatiin. Enempää ei toki voinut toivoakaan, koska jo lähtöarvoissa oli epätarkkuutta muutaman metrin verran.

Avaruuskoordinaatit eivät sellaisinaan auta mökin paikan piirtämistä kartalle, vaan on laskettava karttakoordinaatit jossakin sopivassa järjestelmässä. Tämä vaatii jo enemmän kartoittajan tietoja, mutta Maanmittauslaitos tarjoaa työkalut koordinaatistomuunnoksiin: http://coordtrans.fgi.fi/transform.jsp. Sähköpostilla lähetetyt koordinaatit saattoi syöttää sovellukselle suoraan tiedostosta (kuten Mathematicallekin), ja tuloksena olevat karttakoordinaatitkin saatiin suoraan tekstitiedostoon. Digitalisaatio alkaa toimia.

Mökin pohjan olisi siis voinut piirtää karttaan, jos kännykkä-GPS olisi antanut tarkemmat arvot. En tiedä, miten suureen tarkkuuteen nykyään on mahdollista GPS:llä päästä. Joko kiväärin luodin voi ohjata silmien väliin? Sotilaalliset tavoitteethan tuottavat innovaatioita ihmiskunnalle.

Mitä tästä kokeilusta tulisi oppia matematiikan opettamisen kannalta?  Ainakin seuraavaa:
  • Avaruusgeometria on asioiden hahmottamisen kannalta tärkeää.
  • Pallokoordinaatit ja niiden muuntaminen ei ole lukiolaiselle mitenkään ylivoimaista. Avaruuskuvioita täytyy osata hahmottaa, trigonometrisia funktioita käyttää. Tällöin jo aukeaakin tie moniin reaalimaailman ongelmiin.
  • Karttakoordinaattien ymmärtäminen kuuluu yleissivistykseen. Tiettyä henkistä joustavuutta tarvitaan: Pohjoiskoordinaatti esitetään ensin, sitten itäkoordinaatti. Edellinen kasvaa ylöspäin, jälkimmäinen oikealle.  Siis toisinpäin kuin $x$ ja $y$. (Tein kerran ylioppilastehtävän, jossa piti laskea jotakin sijaintia Helsingin edustalla oikeilla karttakoordinaateilla. Sain opettajakunnalta kritiikkiä siitä, että koordinaatit esitettiin päinvastaisessa järjestyksessä kuin tutut $x$ ja $y$. Opimme ylioppilaskoetta, emme elämää varten.)
  • Laskentaohjelma on hyvä työkalu. Edellä kuvattujen asioiden laskeminen käsin olisi tylsää ja virhealtista. Oleellista on hahmottaa kokonaisuus ja mitä ollaan tekemässä. Sen jälkeen kone tekee työt. Numeeriset ominaisuudet ovat lukiotasolla tärkeämpiä kuin symboliset. Digitalisaatio muuttaa myös koulua. Tai ainakin sen pitäisi, järkevään suuntaan.