sunnuntai 17. toukokuuta 2020

Geodeettinen käyrä

Pallon geodeettinen käyrä
(iso ympyrä)
Lieriön geodeettinen käyrä
(ruuviviiva)

Minua on aina jollakin tavoin viehättänyt differentiaali- ja integraalilaskennan käyttö geometriassa, ns.  differentiaaligeometria. Käyrät ja pinnat esitetään parametriesityksen avulla, lasketaan kaarenpituuksia, normaalisuuntia, kaarevuuksia, pinta-aloja jne. Vähänkään kummallisemman käyrän tai pinnan tapauksessa johdutaan herkästi mutkikkaisiin lausekkeisiin tai integraaleihin, joiden laskeminen alkeisfunktioiden avulla ei onnistu. Opiskeluaikanani kuvien piirtämisestä tuli työlästä tai lähes mahdotonta. Oppikirjojen tai luentojen esimerkit olivat niitä muutamia lähes itsestään selviä tapauksia, joissa laskeminen ja piirtäminen oli mahdollista.

Helposti käytettävien laskentaohjelmien tulo on muuttanut tilanteen. Hankalista lausekkeista huolimatta kuva syntyy vaivatta (joskus tosin vaivoin); jos symbolinen integrointi ei onnistu, käytetään numeerista.  Jäin miettimään, miltä geodeettiset käyrät mahtaisivat näyttää jollakin hieman kummallisemmalla pinnalla. Pallo ja lieriö ovat helppoja tapauksia, mutta miten olisi vaikkapa ellipsoidi?

Ensin on kuitenkin päätettävä, mitä geodeettisen käyrän luonnehdintaa halutaan käyttää. Tavallisinta lienee ajatella geodeettista käyrää lyhimpänä pintaa pitkin kulkevana käyränä, joka yhdistää kaksi annettua pistettä. Tämä ei kuitenkaan kata koko ongelmaa. Esimerkiksi pallon pinnalla lyhin kahta pistettä yhdistävä käyrä on ison ympyrän kaari, kahdesta pisteitä yhdistävästä kaaresta lyhyempi.  Pallon toiselta puolelta kiertävää pitempää kaarta on kuitenkin järkevää myös ajatella geodeettisena käyränä. Onhan se jonkinlainen 'suora viiva' pallon pinnalla. Toinen luonnehdinta onkin ajatella geodeettista käyrää pinnalla kulkevana käyränä, joka ei tarpeettomasti mutkittele. Tämä luonnollisesti vaatii täsmällisemmän määrittelyn.

Edellinen luonnehdinta johtaa variaatiolaskentaan. Parametripinnalla \[ s(u,v) = \Bigl(x(u,v),y(u,v),z(u,v)\Bigr) \] olevalle käyrälle \[ c(t) = \Bigl(x\bigl(u(t),v(t)\bigr),y\bigl(u(t),v(t)\bigr),z\bigl(u(t),v(t)\bigr)\Bigr) \] on etsittävä sellainen parametrisointi $\bigl(u(t),v(t)\bigr)$, joka antaa minimiarvon (tai ääriarvon) käyrän kaarenpituudelle $\int_0^1 \lVert c'(t)\rVert\,dt$. Variaatiolaskennan tavanomainen menettely antaa tällöin toisen kertaluvun differentiaaliyhtälön funktioille $u(t)$ ja $v(t)$ (variaatiolaskennan Eulerin yhtälö). Lisäksi tarvitaan ehto säätämään parametrin $t$ kasvunopeutta, esimerkiksi $\lVert(u'(t),v'(t))\rVert =$ vakio eli $u'(t)u''(t) + v'(t)v''(t) = 0$. Kyseessä on kahden tuntemattoman funktion ja kahden yhtälön toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöryhmä. Koska käyrän päätepisteet ovat kiinnitetyt, tiedetään $u(0)$, $v(0)$, $u(1)$ ja $v(1)$, jolloin kyseessä on reuna-arvoprobleema.

Pinnan parametriesityksestä riippuu, onnistuuko reuna-arvoprobleeman ratkaisu alkeisfunktioiden avulla; useimmiten ei. Hyvät laskentaohjelmat — minulla Mathematica — onnistuvat kuitenkin usein ratkaisemaan tällaiset ongelmat numeerisesti. Tällöin $u(t)$ ja $v(t)$ saadaan interpoloivina funktioina, joita voidaan käyttää esimerkiksi kuvan piirtämiseen. Aina ratkaisu ei onnistu eikä reuna-arvoprobleeman ratkaisu ole välttämättä edes yksikäsitteinen.

Toinen luonnehdinta, geodeettinen käyrä 'suorana viivana' pinnalla, voidaan täsmällistää vaatimalla, että käyrän tangenttivektorin $c'(t)$ muutos — sen derivaatta $c''(t)$ — on kohtisuorassa pintaa vastaan jokaisessa käyrän pisteessä. Tämä sisältää sekä sen, että käyrä ei tarpeettomasti mutkittele, että parametrin tasaisen kasvamisen (suhteessa kaarenpituuteen). Kohtisuoruus pintaa vastaan tarkoittaa kohtisuoruutta pinnan tangenttivektoreita $\mathrm{D}_u s\bigl(u(t),v(t)\bigr)$ ja $\mathrm{D}_v s\bigl(u(t),v(t)\bigr)$ vastaan, ts. että skalaaritulot ovat $= 0$. Tuloksena on tässäkin kahden tuntemattoman funktion ja kahden yhtälön toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöryhmä funktioille $u(t)$ ja $v(t)$. Tälle on luonnollista antaa alkuehdot: alkupiste ja alkusuunta, ts. arvot $u(0)$, $v(0)$, $u'(0)$ ja $v'(0)$. Tällöin ratkaisukin on yksikäsitteinen differentiaaliyhtälöiden yleisen yksikäsitteisyyslauseen mukaisesti.

Millaisia kuvia sitten syntyy?

Pallon tapauksessa saadaan ison ympyrän kaaria kuten odotettavissa onkin. Lieriön geodeettiset käyrät ovat ruuviviivoja (tai lieriön emäsuoria). Kumpikin voidaan laskea alkeisfunktioiden avulla eikä numeerisia ratkaisuja tarvita.

Ellipsoidin geodeettiset käyrät ovat hieman erikoisempia: ne eivät välttämättä sulkeudu. Alla oleva kuvio on laskettu alkuarvoprobleemana antamalla käyrän alkupiste ja alkusuunta (ja parametrin maksimiarvo).
Ellipsoidin geodeettinen käyrä

Pinta $z = 5/(1+x^2+y^2)$ kuvaa jonkinlaista vuorenhuippua. Jos lasketaan reuna-arvoprobleemana kahta vastakkaista pistettä yhdistävä käyrä, saadaan vuorenhuipun yli kulkeva käyrä, siis mahdollisimman pitkä reitti. Samoja pisteitä yhdistää kuitenkin myös lyhin reitti, mutta Mathematican reuna-arvoprobleeman ratkaisualgoritmi ei löydä tätä. Alkuarvoprobleemana se löytyy, mutta oikea lähtösuunta on haettava kokeilemalla. Muuttamalla alkuarvoprobleeman lähtösuuntaa löydetään hieman erikoisempiakin geodeettisia käyriä (alin kuvio).




Laskentaohjelma tarjoaa myös kokonaan toisenlaisen tavan etsiä kahden pisteen lyhin etäisyys pintaa pitkin kulkemalla. Yritän palata tähän jossakin tulevassa postauksessa.

perjantai 24. huhtikuuta 2020

Differentiaaliyhtälöiden vaikeus

Differentiaaliyhtälöiden alkeiskurssilla keskitytään usein ratkaisemaan yhtälöiden yksinkertaisia perustyyppejä ja näkemään teoria näiden kautta. Opiskelijalle jää helposti käsitys, että lähes kaikki differentiaaliyhtälöt voidaan ratkaista jollakin algebrallisluonteisella tempulla. Ratkaiseminen tarkoittaa tällöin ns. yleisen ratkaisun löytämistä tavallisten alkeisfunktioiden avulla esitettynä. Tavallisiksi alkeisfunktioiksi kutsutaan potensseja, eksponentti-, logaritmi- ja trigonometrisia funktioita sekä näiden käänteisfunktioita ja niistä peruslaskutoimituksilla tai funktioiden yhdistämisellä saatuja funktioita.

Differentiaaliyhtälön ratkaisun olemassaolo on eri asia. Esimerkiksi varsin yksinkertaiselle differentiaaliyhtälölle $y' = x^2 - y^2$ voidaan piirtää suuntakenttä, koska suoraan yhtälöstä voidaan laskea ratkaisukäyrän derivaatta, ts. sen suunta missä tahansa pisteessä $(x,y)$. Suuntakenttäkuva antaa aiheen uskoa, että jokaisen tason pisteen kautta todellakin kulkee jonkin ratkaisufunktion kuvaaja. Voidaanko funktio lausua alkeisfunktioiden avulla, on täysin eri ongelma. Tietyn pisteen kautta kulkevan (eli tietyn alkuehdon täyttävän) ratkaisufunktion olemassaolon varsinainen todistaminen on hankalampi asia enkä tässä siihen paneudu.


Differentiaaliyhtälön $y' = x^2-y^2$ suuntakenttä
(https://homepages.bluffton.edu/~nesterd/apps/slopefields.html)

Differentiaaliyhtälön $y' = x^2 - y^2$ yleisen ratkaisun lausekkeen löytäminen ei peruskurssitiedoilla onnistu. Hyvät laskentaohjelmat suoriutuvat kuitenkin monista differentiaaliyhtälöistä peruskurssitaitoja paremmin. Esimerkiksi laskentaohjelma Mathematica antaa em. yhtälölle yleisen ratkaisun
\[
y(x)=-\frac{i x^2 \left(-C J_{-\frac{5}{4}}\left(\frac{i x^2}{2}\right)+C
   J_{\frac{3}{4}}\left(\frac{i x^2}{2}\right)-2 J_{-\frac{3}{4}}\left(\frac{i
   x^2}{2}\right)\right)-C J_{-\frac{1}{4}}\left(\frac{i x^2}{2}\right)}{2 x \left(C
   J_{-\frac{1}{4}}\left(\frac{i x^2}{2}\right)+J_{\frac{1}{4}}\left(\frac{i
   x^2}{2}\right)\right)}.
\]
Tässä $C$ on yleisessä ratkaisussa esiintyvä vakio, jonka eri arvoilla saadaan eri pisteiden kautta kulkevat ratkaisukäyrät (ei tosin aivan ongelmitta). Ratkaisussa esiintyy imaginaariyksikkö $i$, vaikka funktion arvot ovatkin reaalisia, kun $x$ on reaalinen. Funktio $J$ eri alaindekseillä on Besselin funktio. Tämä on yksi ns. erikoisfunktioista ja $J_n$ on määritelty eräänä Besselin differentiaaliyhtälön $x^2y'' + xy' + (x^2-n^2)y =0$ ratkaisuna. Tämäkin on sellainen yhtälö, jonka ratkaisua ei voida lausua alkeisfunktioiden avulla. Besselin differentiaaliyhtälö esiintyy monissa fysiikan ilmiöiden mallinnuksissa ja sen seurauksena sen ominaisuudet tunnetaan ja arvot voidaan laskea varsin tarkasti. Laskentaohjelmien kannalta se ei ole sen ihmeellisempi funktio kuin $\sin(x)$ tai $\cos(x)$ (jotka myös voidaan määritellä erään differentiaaliyhtälön ratkaisuina, nimittäin $y'' + y = 0$).

Yleinen ratkaisu kovin monimutkaisen lausekkeen avulla esitettynä ei välttämättä ole käyttökelpoinen.  Sellaistakaan ei läheskään aina voida löytää edes erikoisfunktioiden avulla. Usein onkin luontevampaa etsiä ratkaisua numeerisesti, jolloin tavoitteena on löytää yleisen ratkaisun sijaan vain yksi, sopivan lisäehdon täyttävä ratkaisu.

Tälle hetkelle tyypillinen esimerkki on epidemian kehitystä koskeva SIR-malli. Tämä on kolmen differentiaaliyhtälön ryhmä, jossa on kolme tuntematonta funktiota $S(t)$, $I(t)$ ja $R(t)$, muuttujana aika $t$:
\[
\left\{
\begin{aligned}
S'(t) &=-\beta I(t) S(t), \\ I'(t) &= \beta I(t) S(t) - \gamma I(t), \\ R'(t) &= \gamma I(t).
\end{aligned}
\right.
\]
En puutu tässä yhteydessä siihen, miten malli on muodostettu ja mikä on funktioiden $S$, $I$ ja $R$ merkitys. $\beta$ ja $\gamma$ ovat epidemialle ominaisia vakioita. (Tiivis esitys mallista on esimerkiksi Mikko Rahikan blogissa.  Muutoinkin verkosta löytyy aiheeseen liittyvää materiaalia runsain mitoin.)

Odotin, että Mathematica ei löytäisi mallille yleistä ratkaisua, mutta yllätyksekseni tällainen löytyi. Se on kuitenkin siinä määrin monimutkainen, että käytännöllistä merkitystä ei varmastikaan ole. Jonkinlaisella kritiikilläkin siihen lienee syytä suhtautua.

Numeerisen ratkaisun etsiminen on tarkoituksenmukaisempaa. Tällöin tarvitaan lisäehtoja, esimerkiksi ns. alkuehdot, ts. funktioiden arvot aloitushetkellä. Jos näiksi valitaan $S(0) = 10000$, $I(0) = 1$, $R(0) = 0$ ja vakioille käytetään arvoja $\beta = 0.0007$, $\gamma = 1.5$, saadaan epidemialle tyypilliset ratkaisufunktioiden kuvaajat:

SIR-mallin tyypilliset ratkaisukäyrät

Mathematica antaa ratkaisufunktiot interpoloivina funktioina (InterpolatingFunction). Nämä ovat sopivalla algoritmilla laskettuja approksimaatioita, mutta niitä voidaan Mathematicassa käsitellä funktioina samalla tavoin kuin mitä tahansa muuta funktiota, mm. niitä voidaan derivoida. Jos ratkaisut sijoitetaan alkuperäiseen yhtälöryhmään, tämä ei tarkalleen toteudu, mutta saadaan jonkinlainen kuva approksimaation tarkkuudesta. Alla oleva kuva esittää keskimmäisen yhtälön toteutumisessa olevaa virhettä. Ratkaisujen tarkkuus on käytännössä riittävä, mutta tietty varauksellisuus on paikallaan. Vaikka Mathematican interpoloivia funktioita voidaankin esimerkiksi derivoida, ei derivaattojen tarkkuus ole enää yhtä hyvä.

SIR-mallin keskimmäisen yhtälön toteutumisessa oleva virhe

Mitä tästä pitäisi oppia? Laskentaohjelma on hyvä työkalu, mutta ei pidä odottaa, että se ratkaisee kaikki matemaattiset ongelmat vaivatta. Käyttäjän tulee ymmärtää, mitä on tekemässä.


torstai 26. maaliskuuta 2020

Mietteitä pitkän matematiikan ylioppilaskokeesta

Entisenä ylioppilastutkintolautakunnan matemaatikkojäsenenä seuraan edelleen ainakin jonkinlaisella kiinnostuksella ylioppilaskokeita. Muutoksiahan on minun aikani jälkeen tapahtunut paljon. Tutkinto on digitalisoitu useallakin tavalla: tehtävissä on aiempaa monipuolisempia materiaaleja, käytetään erilaisia tietokoneohjelmistoja, kokeiden organisaatio perustuu aika laajaan tietotekniikan hyödyntämiseen.

Aktiivisesta työstä poisjääminen antaa usein mahdollisuuden katsella asioita hieman etäämmältä, kun akuutit ongelmat eivät enää kaadu päälle. Pohdin seuraavassa eräitä näkökulmia, vaikka osuutta tutkinnon kehittämiseen minulla ei olekaan.

Tavalliseen tapaan pitkän matematiikan koetta on pidetty vaikeana. Taktisista syistä koulukollektiivin kannattaa tietenkin olla tätä mieltä, toiveena saada seuraavalla kierroksella helpompi koe, ts. sama arvosana vähemmällä työllä. Jos kuitenkin yritän objektiivisesti arvioida koetta, en voi pitää sitä kovin vaikeana. Joukossa toki on vaikeita tehtäviä, mutta myös sellaisia, joista aika helposti voi kerätä pisteitä, vaikka tehtävän täydellinen ratkaisu ei onnistuisikaan. Näin minusta pitääkin olla.

Tehtävä 6 ratkaistuna GeoGebralla

Perinteisen laskemisen ja ohjelmistojen käytön välinen rajanveto tuntuu ongelmalliselta.  Tämä tulee esiin erityisesti tehtävässä 6, jossa annetaan paraabeli ja sen ulkopuolinen piste. On määrättävä ne paraabelin pisteet, joihin asetettu tangentti kulkee annetun pisteen kautta, ja annettua pistettä lähinnä oleva paraabelin piste sekä etäisyys tähän. Vastaukseksi kelpaavat myös likiarvot. Hyvin klassinen tehtävä ja hyvän vastauksen piirteissäkin on klassinen ratkaisu. Mutta tehtävä ratkeaa näppärästi myös GeoGebran funktioilla Tangentti, Etäisyys ja LähinPiste (Tangent, Distance, ClosestPoint), kuten yllä oleva kuva osoittaa. Muita kokeessa sallittuja ohjelmistoja minulla ei ole, joten en osaa sanoa, löytyykö niistäkin vastaavat työkalut.

Vaikka GeoGebraa käytettäessä ei tarvitsekaan laskea yhtään mitään, tehtävän hahmottaminen kyllä edellyttää jonkinlaisia matemaattisia perustietoja GeoGebran hallitsemisen lisäksi. Eri ratkaisutavat pohjautuvat kuitenkin hyvin erilaisiin matemaattisiin taitoihin. Tällöin joudutaan pohtimaan, mitä tehtävä oikeastaan mittaa. Halutaanko painottaa ohjelmistoihin perehtymisen tärkeyttä? Pitäisikö kokelaan perehtyä useisiin kokeessa tarjolla oleviin ohjelmistoihin, koska niissä saattaa olla tiettyyn tehtävään eritasoisia työkaluja? Näin, vaikka juuri näitä ohjelmistoja myöhemmissä opinnoissa tai elämässä yleensäkään ei enää käytettäisi? Taustalla on aika olennainen kysymys: Mitä varten matematiikkaa koulussa oikeastaan opetetaan? Mitä sen opetuksen pitäisi kattaa?

Olen aikoinani pitänyt tarpeellisena laskentavälineiden ja ohjelmistojen tuomista koulun matematiikan opetukseen. Samalla olen sanonut, että se edellyttää muutoksia monissa asioissa eikä muutos ole tämän takia helppo. Periaatteessa olen samaa mieltä edelleen, mutta muutos olisi pitänyt toteuttaa toisin, eikä missään tapauksessa yrittää digitalisoida ylioppilastutkintoa kaikissa suhteissa samaan aikaan. Ohjelmistot ovat ohjanneet opetusta liiaksi, eikä niiden kehitys aina ole edennyt hyvään suuntaan. GeoGebrakin oli lähtökohdiltaan hyvä, mutta minusta se on mennyt pilalle ominaisuuksien lisääntyessä. Eroonkaan siitä ei helposti enää päästä. (Onneksi olen eläkkeellä eikä minun tarvitse kirjoittaa muistiota asiasta.)

Ohjelmistojen käytön kannalta ongelmallisia ovat myös pitkän matematiikan kokeen tehtävät 8 (polynomien jakoalgoritmi), 11 (lukujono) ja 12 (geometrisen keskiarvon todennäköisyyksiä).  Polynomien jakolaskuun on GeoGebrassa valmis komento, jota kyllä tässä ei sanamuodon perusteella ilmeisestikään voi käyttää, mutta yleisemmin voi pohtia, miten tehtävien tulisi suhtautua tarjolla oleviin laskentatyökaluihin. Millaisia laskentatyökaluja tulisi oppia käyttämään? Lukujonotehtävässä raja-arvo on löydettävissä numeerisella rekursiivisella laskulla. Tällöin lasketaan likiarvoilla, mutta tulos tulee täysin selväksi. Riittäisikö tämä, kun kerran luotamme laskimeen monissa muissakin numeerisissa laskuissa?

Tehtävän 12 ratkaiseminen kaikki tapaukset taulukoimalla tai simuloinnilla on mielenkiintoinen avaus.  Millaisia ja miten näppäriä tapoja eri ohjelmistot tarjoavat tähän? Hyvän vastauksen piirteissä on annettu kaksi taulukkolaskentatiedostoa, joiden mielekkyyttä en oikein ymmärrä. Alla on vertailun vuoksi tiivis ratkaisu Mathematicalla, joka tosin ei ole kokeessa käytettäviä ohjelmistoja.

Tehtävän 12 jälkiosa ratkaistuna Mathematicalla

Ohjelmistojen käytöstä huolimatta kokeen on syytä mitata nimenomaan matematiikan osaamista, ei ohjelmistojen ehkä hieman eksoottistenkin piirteiden hallitsemista. En oikein usko, että tähän on muuta tietä kuin muotoilla tehtävänannot osoittamaan näkökulma, josta asiaa tulee tarkastella.  Joskus oli aika, jolloin saattoi luottaa siihen, että tehtävän ratkaiseminen osoitti myös tietyn matematiikan osaamista. Ohjelmistojen aikana tämä ei enää päde.

lauantai 29. helmikuuta 2020

Lisää silmän huijaamisesta

Kirjoitin viimeksi kirjasta, jossa esiteltiin trompe l'œil -maalauksia ja -rakenteita Roomasta. Ei toki tarvitse mennä juuri Roomaan, vaan vastaavia ilmiöitä löytyy muualtakin, myös Suomesta. Helsingin elokuvateatteri Orionissa on kapeneva perspektiivinen käytävä samaan tapaan kuin Vatikaanissa.  Ehkä Vatikaanissa on komeampi; en kylläkään ole käynyt katsomassa. Helsingin Suomalaisen Yhteiskoulun (SYK) pihalla on Anssi Asunnan teos Valekuutio, joka panee ohikulkijan hieraisemaan silmiään. Tiedekeskus Heurekan ulkoseinältä löytyy myös samankaltaisia kuutioita, nekin Anssi Asunnan teoksia.


SYK:n valekuutio kaukaa ja läheltä

Mikä Valekuutiossa sitten hämää ja miksi käy näin? SYK:n kuutio sijaitsee piha-aukion laidassa.  Hieman etäämmällä kulkevasta näyttää, että kuutio kääntyy ja seuraa hänen kulkuaan. Jos hän pysähtyy, niin kuutiokin pysähtyy. Ja kun hän jatkaa kulkuaan, kuutio alkaa taas kiertyä. Lähemmäksi mennessä salaisuus paljastuu: kyseessä ei olekaan kuution muotoinen kappale, vaan ainoastaan yksi kuution nurkka sisältäpäin katsottuna. Mutta miksi katsoja tulee hämätyksi?

Geometrisista kappaleista on tapana piirtää mallikuvia, jotka ovat ns. aksonometrisia kuvia, ts.  muodostettu yhdensuuntaisprojektion avulla. Tällöin kappaleen yhdensuuntaiset suorat näkyvät kuvassakin yhdensuuntaisina. Ohessa on tällainen kuva kuutiosta, ns. rautalankamallista, ei massiivisesta kuutiosta. Sinisellä piirretyt särmät ovat katsojaan päin, punaiset katsojasta poispäin, ja kuutiota katsotaan yläviistosta. Mutta kuva on kaksikäsitteinen: yhtä hyvin voidaan ajatella, että kuutiota katsotaankin alaviistosta ja punaiset särmät ovat katsojaan päin, siniset takana. Useimmille ihmisille edellinen tulkinta dominoi. Syynä ehkä se, että olemme tottuneet katsomaan kuutioita yleensä vähän ylempää, emme alempaa.

Aksonometrinen ja perspektiivinen kuutio

Aksonometrinen kuution kuva näyttää herkästi hieman venähtäneeltä. Keskusprojektiolla muodostettu perspektiivikuva näyttää yleensä paremmalta. Syynä on, että niin silmä kuin kamerakin noudattaa keskusprojektiota (kohtalaisen tarkasti). Perspektiivikuvassa yhdensuuntaisten suorien kuvat eivät aina olekaan yhdensuuntaisia, vaan ne tähtäävät yhteiseen pakopisteeseen. Oheisessa kuvassa vaakasuorat ovat tällaisia, pystysuorat kyllä ovat yhdensuuntaisia (mikä ei olisi välttämätöntä).  Kaksitulkintaisuus ei tässä oikein toimi. Siniset särmät ovat katsojaan päin, punaiset takana.  Päinvastainen näyttää omituiselta. Tässäkin on kysymys oppimisesta: olemme tottuneet näkemään asiat säännöllisinä, ja jos punaiset viivat olisivat etualalla, kyseessä ei olisi säännöllinen kuutio.  Hylkäämme siis toisen tulkinnan.

Jos jätetään etualan särmät pois, saadaan kuva, jonka yleensä tulkitsemme kuution takaosan soppea esittäväksi. Jos se esittäisi katsojaan päin olevaa kuution kärkeä, olisivat vaakasuorien suuntien pakopisteet väärällä puolella, ja tämän takia tulkinta hylätään. Mutta katsojaahan voi huijata: Pidetään soppi muutoin ennallaan, mutta muutetaan hieman sen sivutahkoja. Veistetään niiden reunoista pois kolmionmuotoiset palat siten, että saadaan pakopisteet toiselle puolelle.  Sivutahkot eivät tällöin ole oikeastaan enää neliöiden kuvia, mutta tulos hahmotetaan säännöllisen kuution nurkaksi, jonka kärki on katsojaan päin.

Kuution soppi sisältäpäin ja pakopistesuunnat korjattuina

Valekuutiossa on tehty tämäntyyppinen konstruktio. Senkään sivutahkot eivät ole neliöitä, ja tämän takia se hahmotetaan ulkoapäin katsotuksi kuutioksi, vaikka se onkin vain soppi.

Toki Anssi Asunta ei ole jättänyt hämäystä vain tämän varaan. Sivutahkojen pinnat ja niissä olevat pintakäsittelyt vahvistavat hämäävää vaikutusta.

Viime aikoina paljon siteeratun sanonnan mukaan matematiikkaa on kaikkialla. Ehkei aivan kaikkialla, mutta aika yllättävissäkin paikoissa. Eikä aina ole suinkaan kyse modernista digitaalitekniikasta.

Projektiokuvista enemmän kiinnostuneelle lukijalle tarjoan kirjaani Perspektiivikuvan geometriset perusteet (http://www.elisanet.fi/simo.kivela/kirjat.html).

sunnuntai 16. helmikuuta 2020

Silmän huijaaminen ja perspektiivin geometria


American Mathematical Society ja Mathematical Association of America ovat yhdessä julkaisseet viime vuonna kirjan Optical Illusions of Rome, jonka tilasin joulun alla.  Tekijä on matematiikan historiaa tutkinut Kirsti Andersen Aarhusin yliopistosta, ja teos on alunperin ilmestynyt tanskaksi. Aiheena ovat pääosin renessanssiaikaiset perspektiiviset seinäkuvat ja arkkitehtoniset rakenteet sekä niiden taustana oleva keskusprojektion — eli perspektiivikuvien — teoria. Kolmiulotteista projektiivista geometriaa siis.

Perspektiivikuvien piirtämisen lait selvitettiin renessanssiaikana. Monet taiteilijat ja arkkitehdit tekivät erilaisia perspektiivikokeiluja, ja asiaa tutkittiin myös geometrisesti. Erityisesti Albrecht Dürer (1471–1528) oli paitsi taiteilija myös geometrikko, ja hänen teoksensa Underweysung der messung mit dem zirckel und richtscheyt in Linien ebnen unnd gantzen corporen vuodelta 1525 on deskriptiivisen geometrian klassikko.

Perspektiivikuvan muodostaminen Dürerin teoksessa Underweysung ...

Perspektiivilakien tunteminen ja innostus kokeiluihin johti ns. trompe l'œil -illuusioiden konstruointiin.  Tavoitteena oli huijata silmää (ransk. tromper l'œil) luomalla vaikutelma tilasta, jota todellisuudessa ei ollut. Esimerkiksi huoneen seinään maalattiin perspektiivikuva, jossa pylväikön takaa aukeni avara näköala kauniiseen ympäristöön. Jos rakennusteknisistä (tai taloudellisista) syistä kirkon päälaivan päälle ei voitu rakentaa kupolia, kattoon maalattiin kupolin perspektiivikuva. Alla olevat kirjassa käsitellyt esimerkit ovat Roomasta, mutta vastaavia on toki tehty muuallakin.

Virtuaalinen takaseinä, Villa Farnesina, Sala delle prospettive,
Combusken (Wikimedia Commons) [CC BY-SA]
Virtuaalinen kupoli,Chiesa di Sant'Ignazio,
Jean-Christophe Benoist (Wikimedia Commons) [CC BY-SA]

Ongelmana oli, että periaatteessa perspektiivikuva näyttää oikealta vain katsottuna yhdestä ainoasta pisteestä, siitä projektiokeskuksesta, jota käyttäen kuva on muodostettu. Muualta katsottaessa kuva näyttää enemmän tai vähemmän vääristyneeltä. Ihmissilmä on kuitenkin niin tottunut katsomaan kuvia, että pienet vääristymät eivät häiritse, vaan aivot tulkitsevat kuvan parhain päin. Tästä huolimatta kuvien laatiminen edellytti perspektiivilakien tarkkaa tuntemista sekä taidokkaita valintoja ja kompromisseja.

Saatettiin toimia myös toisin päin. Seinälle maalattiin kuva, joka näytti omituiselta ja venähtäneeltä ja jonka hahmottaminen ei oikein onnistunut. Se oli kuitenkin oikein konstruoitu perspektiivikuva, mutta oikea katselupaikka on hieman sivussa yllättävässä paikassa. Tästä katsottuna kuva hahmottuu helposti.

Paitsi maalauksia — perspektiivikuvia — tehtiin myös kolmiulotteisia kokeiluja. Vatikaanissa on sisätiloihin johtava porraskäytävä (Scala Regia), joka vähitellen kapenee ja madaltuu ja jonka reunoilla olevat pylväät ovat yhä tiheämmässä. Seurauksena on vaikutelma mahtavammasta portaikosta kuin todellisuudessa on kyse. Paikassa ei myöskään olisi tilaa näyttävämmälle portaikolle.

Scala Regia -portaikko,
Sailko (Wikimedia Commons) [CC BY]

Portaikko on arkkitehti Gian Lorenzo Berninin suunnittelema, eikä sen geometrinen konstruktio ole aivan yksinkertainen.  Periaatteessa kyseessä on kollineaarinen kuvaus (kollineaatio) kolmiulotteisesta avaruudesta siihen itseensä.  Tässä suorat kuvautuvat suoriksi. Olemassa oleva portaikko on fiktiivisen kapenemattoman portaikon kollineaarinen kuva.

Andersenin kirja sisältää myös lyhyen ja selkeän johdatuksen perspektiivin geometriaan sekä muutamia harjoitustehtäviä. Jos lukija haluaa yksityiskohtaisemman esityksen, tällainen on olemassa myös suomeksi: Alan klassikko on Teknillisen korkeakoulun sovelletun matematiikan professorin E. J. Nyströmin kaksikielinen (painettu) moniste Perspektiivioppi – Perspektivlära vuodelta 1947. Tätä saattaa olla vaikeata löytää. Uudempi vaihtoehto on oma teokseni Perspektiivikuvan geometriset perusteet (http://www.elisanet.fi/simo.kivela/kirjat.html).

lauantai 25. tammikuuta 2020

Neliulotteinen kuvaaja

Tavallisen reaalifunktion $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ kuvaaja muodostuu xy-tason pisteistä $(x,f(x))$, missä $x$ sijaitsee määrittelyjoukossa (tai siinä alueessa, jossa kuvaaja halutaan piirtää).  Kuvaaja asuu siis kaksiulotteisessa tasossa, kuten jokainen lukiolainen tietää.

Entäpä jos kyseessä olisikin kahden muuttujan funktio, jonka arvotkin ovat lukupareja, siis vaikkapa $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$, $f(x,y) = (x^2 - y^2, xy)$? Tällöin kuvaaja muodostuu pisteistä $((x,y),(x^2 - y^2, xy))$ tai hieman toisin kirjoitettuna $(x,y,x^2 - y^2, xy)$.  Nämä ovat neliulotteisen avaruuden pisteitä ja kuvaaja siis asuu neliulotteisessa avaruudessa.

Tällaisia funktioita ovat myös kompleksifunktiot: Jos $w = f(z)$ eli $u + iv = f(x + iy)$, ovat sekä $u$ että $v$ funktioita muuttujista $x$ ja $y$. Piste $(x,y)$ kuvautuu siis pisteeksi $(u,v) = (u(x,y),v(x,y))$ ja kuvaaja muodostuu pisteistä $(x,y,u(x,y),v(x,y))$. Tällainen on esimerkiksi kompleksinen eksponenttifunktio, joka yksinkertaisimmin määritellään seuraavasti: \[w = u + iv = \exp(z) = \exp(x + iy) = e^x (\cos(y) + i\sin(y)),\] jolloin \[u(x,y) = e^x \cos(y), \quad v(x,y) = e^x \sin(y).\]
Neliulotteinen avaruus ei ole kovin havainnollinen. Maailmamme on (tai ainakin näyttää olevan) kolmiulotteinen eikä ihmisellä ole ainakaan luonnostaan neliulotteista havaintokykyä tai mielikuvitusta. Voitaisiinko neliulotteisessa avaruudessa asuvaa kuvaajaa kuitenkin jotenkin havainnollistaa?

Kolmiulotteisen avaruuden asioista piirretään kaksiulotteisia kuvia. Matemaattisesti ajatellen tässä on kyseessä projektiokuvaus kolmiulotteisesta avaruudesta sopivasti asetettuun kaksiulotteiseen tasoon (kuvatasoon). Projektiokuvaus on yleensä joko keskusprojektio, jolloin syntyy perspektiivikuvia, tai yhdensuuntaisprojektio, jolloin syntyy ns. aksonometrisia kuvia.

Yhdensuuntaisprojektio on helpompi yleistää neliulotteiseen avaruuteen. Tällöin valitaan neliulotteisessa avaruudessa jokin projisiointisuunta, ts. yksiulotteinen aliavaruus, ja projisioidaan kohde — kuvaaja — tämän kolmiulotteiseen ortogonaalikomplementtiin, kuten lineaarialgebrikko sanoisi. Sitten hän muodostaisi projektiokuvaukselle matriisin. Projektiokuva on siten kolmiulotteisessa avaruudessa asuva pinta.

Laskenta on sen verran suuritöistä, että se on luontevaa tehdä sopivalla laskentaohjelmalla.  Näissä on yleensä myös valmiina työkalut kolmiulotteisen avaruuden objektien katseluun ja pyörittelyyn, jolloin pintaa on helppoa tarkastella kaksiulotteisella näytöllä.

Neliulotteista kuvaajaa voidaan tällöin tarkastella muuttamalla projisiointisuuntaa neliulotteisessa avaruudessa tai pyörittelemällä projektiona saatua pintaa kolmiulotteisessa avaruudessa.

Millaisia kuvia sitten saadaan ja miten helppoa niiden avulla on hahmottaa neliulotteista kuvaajaa? Aivan helppoa se ei ole. Ehkä neliulotteisuudesta ei oikein synny mielikuvaa, mutta projisiointisuuntaa vaihtamalla voidaan saada esiin erilaisia kuvaajan piirteitä.

Eksponenttifunktion tapauksessa kuvaajan pisteet neliulotteisessa avaruudessa ovat muotoa $(x,y,e^x \cos(y),e^x \sin(y))$. Muuttujat on oheisissa kuvissa rajattu ehdoilla $-3 \le x \le 3/2$, $-2\pi \le y \le 2\pi$. Laskenta on tehty Mathematicalla ja artikkelin alussa oleva kuva näyttää Mathematican tarjoaman työskentely-ympäristön. Tässä projektiosuunta annetaan säätimillä, jotka viittaavat neliulotteisen avaruuden pallokoordinaatteihin. Säätimien arvot ovat asteita. Kuvaan on lisätty myös neliulotteisen avaruuden akselit $x$, $y$, $u$ ja $v$.

Alla olevissa kuvissa projisiointisuunnaksi neliulotteisessa avaruudessa on valittu ensin x-akseli ja sitten y-akseli, jolloin nämä projisioituvat yhdeksi pisteeksi.

Valitsemalla projisiointisuunnat sopivasti saadaan alla oleva kuvapari, joka antaa hieman yleisemmin käytetyn tavan kuvata kompleksista eksponenttifunktiota: xy-tason suorakulmainen ruudukko kuvautuu uv-tasoon samakeskisiksi ympyröiksi.

torstai 12. joulukuuta 2019

Joulupukin liikenneympyrä ja Fredericus-tontun ongelma


Liikenne ja ruuhka joulupukin pajan edustalla oli siinä määrin lisääntynyt, että katsottiin välttämättömäksi rakentaa pajan eteen liikenneympyrä, jossa kuljettaisiin vain positiiviseen kiertosuuntaan. Lahjojen toimittamista varten joulupukilla oli myös lukuisia poroja ja moottorikelkkoja, joille tarvittiin pysäköintitilaa mahdollisimman läheltä pajan ulko-ovea.

Niinpä pajan oven eteen päätettiin rakentaa liikenneympyrä, jonka keskiympyrän halkaisija olisi 40 metriä.  Pysäköintipaikat päätettiin sijoittaa keskiympyrään, puolet ympyrän alasta poroille ja toinen puoli moottorikelkoille. Tarvittavan kaavamuutoksen saaminen kesti kauan eikä rakennustyökään ihan nopeasti sujunut. Kun ympyrä lopulta valmistui, pukin kuljetuskalusto oli siinä määrin motorisoitunut, että poroja oli jäljellä enää yksi. Kaavamääräykset olivat kuitenkin tiukat: poroille oli varattava tasan puolet keskiympyrän alasta.

Aitauksen rakentamista yhdelle ainoalle porolle ei enää pidetty taloudellisesti järkevänä, vaan poro päätettiin panna sopivan pituiseen liekaan, joka kiinnitettäisiin keskiympyrän reunaan. Liean pituus tuli määrätä siten, että poro pääsisi syömään jäkälää täsmälleen puolella ympyrän alasta eikä se voisi käydä pureskelemassa moottorikelkkojen satuloita tai muita maistuvia osia.

Joulupukki-konsernissa oli matemaattinen osasto, joka varsinaisesti vastasi lahjojen hinnoittelusta ja konsernin tulokseen liittyvistä laskelmista. Lisäksi sillä oli tilastomatemaattista asiantuntemusta mielipidekyselyjen analysointiin. Tarvittaessa sitä käytettiin muihinkin matemaattisiin tehtäviin.  Osasto sai tehtäväkseen selvittää liekanarun pituuden.

Osaston päämatemaatikko oli Stefanus Superbus -niminen tonttu, joka hallitsi erinomaisesti matemaattisten laskentaohjelmien käytön, mutta joka inhosi kynään tarttumista ja varsinkin paperia, ellei se tullut ulos tulostimesta. Osastolla omassa kammiossaan yleensä suljetun oven takana pohdiskeli matemaattisia ongelmia myös tonttu nimeltään Fredericus Minimus. Hän oli Stefanuksen täydellinen vastakohta: kulutti suunnattomasti paperia luonnosteluihin ja pohdiskeluihin ennen kuin kirjoitti lopullisen tiiviin esityksen pienellä ja selkeällä käsialalla. Teknisiin apuvälineisiin hän tarttui vain äärimmäisessä hädässä pahoinvointia tuntien. Kumpikin paneutui liekanaruongelmaan.


Stefanus kirjoitti keskiympyrän muotoon $x^2+y^2 = 1$, jolloin yksikkönä on keskiympyrän säde.  Liean kiinnityspisteeksi hän valitsi $(0,-1)$. Jos liean pituus on $r$, poro pääsee alueelle $x^2 + (y+1)^2 \le r^2$, jolloin keskiympyrän sisäpuolelle jäävän alueen ala saadaan integraalista
\[
\int_{-r\sqrt{1-r^2/4}}^{r\sqrt{1-r^2/4}} \left(-1+\sqrt{r^2-x^2}+\sqrt{1-x^2}\right)\,dx.
\]
Tässä tulee olla $0 \le r \le \sqrt{2}$. Laskentaohjelma antoi integraalille arvon
\[
-r\sqrt{1-r^2/4} + r^2 \mathrm{arccot}\left(\frac{r}{\sqrt{4-r^2}}\right) + \arcsin\left(r\sqrt{1-r^2/4}\right).
\]
Koska tämän tulee olla puolet keskiympyrän alasta eli $\pi/2$, on saatu yhtälö liean pituudelle.  Laskentaohjelman Newtonin iteraatio antoi nollakohdaksi $r = 1.1587\dots$. Koska keskiympyrän säde on 20 metriä, sai Stefanus liean pituudeksi noin 23.17 metriä.


Fredericus puolestaan piirteli kuvan, jossa poron laidunalueen puolikas muodostui kahdesta osittain päällekkäin olevasta sektorista keskipisteinä $K$ ja $P$. Yhteinen osa oli kolmio, ja Fredericus laski pinta-alan vähentämällä kolmion alan sektoreiden yhteispinta-alasta. Koko laidunalueen pinta-alaksi tuli tällöin
\[
\pi - r\sqrt{1-r^2/4} + (r^2 - 2)\arctan\left(\sqrt{4/r^2 - 1}\right).
\]
Tämän oli siis oltava puolet keskiympyrän alasta eli $\pi/2$. Ratkaisun olemassaolon Fredericus päätteli helposti, mutta lukuarvon laskemiseen hän joutui käyttämään taskulaskinta.  Tulokseksi tuli sama kuin Stefanuksella.

Liean pituus oli siis saatu selvitetyksi. Heräsi kuitenkin kysymys, olivatko saadut pinta-alan lausekkeet samat. Stefanus syötti lausekkeet laskentaohjelmaan ja pani ohjelman sieventämään niiden erotusta. Tulisiko tulokseksi 0? Ei tullut. Lauseke hieman yksinkertaistui, mutta se sisälsi edelleen molemmat funktiot $\arcsin$ ja $\arctan$. Jäi avoimeksi, voisiko tulosta sieventää edelleen.  Stefanus oli kuitenkin toiminnan tonttu: hän piirsi ohjelmalla kummankin lausekkeen kuvaajan, ja kun ne osuivat päällekkäin, totesi niiden olevan samat ja asian tulleen loppuun käsitellyksi.

Käsin laskuun luottava ja tarkkaa päättelyä arvostava Fredericuskin ryhtyi puuhaan ja vannoi selvittävänsä asian täsmällisesti ennen joulupuuron syöntiä. Aika kului ja joulu lähestyi.  Fredericuksen kammion lattia alkoi peittyä revittyihin suttupapereihin, ja hän pyysi lisää paperia.  Tuskanhiki nousi hänen otsalleen. Eikö käsin laskeminen johtaisikaan tulokseen ja jäisikö joulupuuro syömättä?

Jouluun on vielä muutama päivä. Osaisitko auttaa Fredericus-parkaa?