Mitä matematiikan tehtävässä kysytään 2

Tammikuun blogikirjoituksessani (26.1.2023) esitin seuraavan, mielestäni lukiolaisillekin aivan hyvin sopivan tehtävän, johon ei niinkään haeta tiettyä ratkaisua, vaan tavoitteena on lähteä tutkimaan tilannetta ja katsomaan, mihin ehkä päädytään:

Tasavälisiä kokonaislukuja korotetaan tiettyyn (positiiviseen) kokonaislukupotenssiin. Syntyvästä lukujonosta lasketaan perättäisten lukujen erotukset, jolloin saadaan uusi lukujono. Tästä lasketaan uudelleen perättäisten lukujen erotukset, jolloin syntyy jälleen uusi lukujono. Näin jatketaan ja todetaan, että jossakin vaiheessa saadaan vakiolukujono, ts. kaikki luvut yhtä suuria. Seuraava askel tuottaisi nollajonon. Miksi näin käy? Mistä tässä on kysymys?

Millaista pohdiskelua sitten — esimerkiksi — odottaisin?

Ensimmäinen vaihe ehkä olisi kokeilu joillakin konreettisilla luvuilla, esimerkiksi korottamalla parilliset luvut seitsemänteen potenssiin. Jotta kokeiluista ei tule toivottoman työläitä, tarvitaan jonkinlainen ohjelmointiympäristö. Minä olen käyttänyt Mathematicaa, mutta vaatimattomampi ympäristökin toki käy, kunhan se helposti sallii yksinkertaisen koodin kirjoittamisen. Jonkinlainen ymmärrys ohjelmoinnin perusrakenteista täytyy kokeilijalla tietenkin olla.

Esimerkkitapauksessa saadaan seuraavat erotukset ja kahdeksannella rivillä vakiojono, seuraavilla riveillä nollaa:

Tämän jälkeen varmaan tekisi mieli kokeilla hieman eri luvuilla ja miettiä, millaisten laskujen tuloksena viimeisen rivin vakio syntyy. Ehkä vastauksenkin voi kokeilujen perusteella arvata.

Jos käytettävissä on symbolinen laskenta (kerrankin käyttöä tällekin), voi seuraavaksi katsoa, mitä tapahtuu, kun tasaväliset luvut $a + kd$, $k = 0,1,2,\dots,n$ korotetaan potenssiin $p$. Jotta symbolilaskenta onnistuisi, on luvuille $n$ ja $p$ annettava numeeriset arvot. Tuloksena saadaan iso taulukko muuttujien $a$ ja $d$ polynomeja. Kun näissä ehkä olevat sulkulausekkeet kehitetään (expand, ts. poistetaan sulut, tai ohjelmasta riippuen ehkä myös simplify), saadaan vakioriville monomi, joka ilmeisestikin on $p!\,d^p$. Näyttäisi siis toimivan, eikä lukujen $a$ ja $d$ edes tarvitse olla kokonaislukuja.

Lähtökohtana olivat siis tasavälisten lukujen kokonaislukupotenssit. Mitä tapahtuu, jos kokonaislukupotenssin $x^p$ sijasta käytettäisiinkin jotakin muuta funktiota? Tässä vaiheessa on ehkä helpointa siirtyä symboleista takaisin lukuihin. Toki symbolejakin voi kokeilla, mutta tulokset saattavat olla monimutkaisia ja vaikeasti hahmotettavia. Eikä lukujen käyttökään ole aivan ongelmatonta: murtoluvuilla laskettaessa nollat näyttävät nollilta, mutta desimaaliluvuilla laskettaessa ne saattavat olla esimerkiksi muotoa $1.23 \times 10^{-15}$, mikä on laitteen laskentatarkkuuden rajoissa sama kuin nolla.

Ehkä on helpointa valita aluksi funktioksi polynomi. Astelukua ei kannata valita kovin korkeaksi, jotta polynomin arvot eivät ole kovin suuria. Esimerkiksi voisi verrata polynomeilla $x^3$ ja vaikkapa $x^3 - 3x^2 + 2x$ laskettuja erotuksia. Numeerisessa kokeilussa täytyy vakiot $a$, $d$ ja $n$ valita jollakin tavoin. Tässä on kokeilun vaikeus. Jotkin arvot saattavat antaa kiinnostavia tuloksia, kun jotkin toiset kätkevät kiintoisat ilmiöt, esimerkiksi pienimittakaavaiset muutokset isojen lukujen seassa. Symbolisen laskun perusteella voi arvella, että luvulla $a$ ei ole kovin suurta merkitystä; valitaan siis yksinkertaisuuden vuoksi $a = 0$. Tasavälisiä lukuja pitää varmaan olla riittävän monta, jotta joitakin ilmiöitä saadaan esiin. Luku $n$ voisi ehkä olla muutamia kymmeniä, esimerkiksi $n = 30$. Luvun $d$ valinta on vaikeinta. Kannattaa kokeilla sekä pientä että suurta, esimerkiksi $d = 0.1$ ja $d = 2$. Kummallakin polynomilla saadaan erotusten neljännelle riville sama luku, jos $d = 0.1$, niin $0.006$, ja jos $d = 2$, niin $48$. Muissa erotuksissa kyllä on eroja.

Polynomi $x^3$, $d = 0.1$.

Polynomi $x^3 - 3x^2 + 2x$, $d = 0.1$.

Mielenkiintoisemmaksi osoittautuu jälkimmäinen taulukko. Hahmojen näkeminen pelkistä luvuista on yleensä vaikeata, mutta usein graafinen esitys auttaa. Piirretään jokaisen erotusrivin kuvaaja murtoviivana. Ensimmäisen rivin kuvaaja muistuttaa kolmannen asteen polynomia; tietenkin, koska lähtökohtana on polynomi $x^3 - 3x^2 + 2x$. Seuraava rivi näyttäisi pohjautuvan paraabeliin, ts. toisen asteen polynomiin. Kolmas rivi antaa suoran, ts. ensimmäisen asteen polynomin kuvaajan. Ja neljäs on vakiorivi. Vertailemalla lisäksi nollakohtia ja ääriarvoja voi alkaa epäillä, että asialla on jotakin tekemistä derivoinnin kanssa.

Polynomi $x^3 - 3x^2 + 2x$, $d = 0.1$.

Mitä tapahtuu, jos funtioksi valitaankin $\sin(x)$? Arvoa vakiolle $d$ täytyy taas hieman hakea; $d = 0.3$ voisi olla sopiva. Eri rivien erotukset näyttäisivät nyt antavan kuvaajat, jotka jotenkin näyttäisivät vastaavan funktioita $\sin(x)$, $\cos(x)$, $-\sin(x)$ ja $-\cos(x)$. Amplitudi kuitenkin pienenee ja viimeinen ei enää kovin hyvin erotu. Derivointiarvelu saa kuitenkin vahvistusta.

Funktio $\sin(x)$, $d = 0.3$.

Taulukon erotukset ovatkin itse asiassa erotusosamääriä, joista nimittäjät on unohdettu. Jos jokainen erotus lisäksi jaetaan luvulla $d$, niistä tulee erotusosamääriä, jotka lähestyvät ensimmäisen rivin funktion ensimmäistä, toista, kolmatta jne. derivaattaa, kun $d \to 0$. Tämän pohjalta on ymmärrettävää, että ensimmäisessä esimerkissä laskettu potenssin $x^p$ erotusten $p$:s rivi antaa vakion $p!\,d^p$. Kyseessä on sama asia kuin derivoinnissa \[\mathrm{D}^p\,x^p = p!.\]

Tammikuun blogikirjoituksen viimeisessä kuvassa on kyse Newtonin interpolaatiopolynomin laskemisesta menettelyllä, jota numeerisessa laskennassa aikoinaan käytettiin. Luvut $\Delta^n x_j$ ovat edellä kuvatun taulukon erotuksia laskettuna approksimoitavasta funktiosta (tai datasta) $x$. Näiden avulla muodostettiin interpolaatiopolynomi. Menettely on jäänyt menneisyyteen laskentaohjelmien kehityksen myötä ja varsin harva osaisi yhdistää erotustaulukon interpolaatiopolynomiin. Käsin laskettavan erotustaulukon sijasta numeerikko kirjoittaisikin vaikka seuraavan Mathematica-koodin:

Newtonin interpolaatio

Paikantamisesta

Mistä auto tietää, missä se kulkee, ja miten kartoille on saatu kaikki paikat oikeaan paikkaan? Erilaisia paikannusmenettelyjä on käytetty pitkään, ja viime vuosien aikana niiden käyttö on valtavasti lisääntynyt. Jokainen älykännykän omistaja kantaa niitä mukanaan. Mutta millaiseen matematiikkaan ne perustuvat?

Kolmiomittausta on kartoituksessa käytetty jo pitkään. Esimerkkinä vaikkapa 1800-luvun alkupuoliskolla mitattu maailmanperintökohteisiinkin kuuluva  Struven ketju, joka Suomessa ulottuu Suomenlahdelta Enontekiölle. Pohjana on kolmioverkko, jonka pisteiden koordinaattien laskeminen havaintoarvoista on trigonometriaa. Kehittelin aiheesta ylioppilastehtävän vuoden 2011 kevään lyhyen matematiikan ylioppilaskokeeseen (tehtävä 12, http://matta.hut.fi/matta/yoteht/). Malliratkaisu tosin on pikemmin analyyttistä geometriaa kuin trigonometriaa (mikä olisi laskennallisesti helpompaa eikä tarvitsisi käsitellä isoja lukuja).

Ylioppilastehtävän trigonometrinen ratkaisu: tuntemattomat $x$ ja $y$ voidaan ratkaista
kahden suorakulmaisen kolmion avulla muodostetusta trigonometrisesta yhtälöryhmästä.

Kolmiomittauksen pohjana on sopivien kulmien mittaaminen ja sivujen pituuksien laskeminen näiden avulla. Entäpä jos meneteltäisiinkin toisin ja mitattaisiin etäisyyksiä, joiden avulla laskettaisiin uusien kärkipisteiden koordinaatit? Tämä luonnollisesti edellyttää, että tekniikka etäisyyksien mittaamiseen on olemassa. 1800-luvulla ei ollut, nykyään on. Mitataan siis etäisyydet kahdesta tunnetusta pisteestä kolmanteen pisteeseen sen sijaan, että mitattaisiin tähtäyssuuntien suuntakulmat. Tällöin saadaan kaksi ympyränkaarta, joiden leikkauspisteessä kolmas piste on.

Tunnetut pisteet $K_1$ ja $K_2$ sekä näistä mitatut etäisyydet $r_1$ ja $r_2$;
etsittävä piste on  $P_1$ tai $P_2$.

Jos tunnettujen pisteiden koordinaatit ovat $(x_1,y_1)$ ja $(x_2,y_2)$ ja mitatut etäisyydet $r_1$ ja $r_2$, niin tuntemattoman pisteen koordinaateille $(x,y)$ saadaan yhtälöt \begin{align*} &(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 = r_1^2, \\ &(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 = r_2^2. \end{align*} Tämä on epälineaarinen yhtälöpari, jolla on kaksi ratkaisua. Jollakin lisäargumentilla on pääteltävä (tilanteen mukaan), kumpaa ratkaisua haetaan.

Maailma kuitenkin on kolmiulotteinen ja vaikkapa lentoliikenteessä (tai sodassa ...) tarvitaan myös korkeuskoordinaatteja. Tällöin tarvitaan kolme tunnettua pistettä, joista etäisyydet mitataan. Ympyrät korvautuvat tällöin kolmella pallolla, joiden keskipisteinä ovat tunnetut pisteet ja säteinä mitatut etäisyydet. Yhtälöryhmässä on kolme pallon yhtälöä: \begin{align*} &(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 + (z - z_1)^2 = r_1^2, \\ &(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 + (z - z_2)^2= r_2^2, \\ &(x - x_3)^2 + (y - y_3)^2 + (z - z_3)^2 = r_3^2. \end{align*} Tälläkin on kaksi ratkaisua.

Kyseessä on satelliittipaikannuksen perusidea. Tunnetut pisteet ovat satelliittien sijaintipisteet. Jokainen satelliitti lähettää signaalia, josta ilmenee sen sijainti ja tarkka kellonaika. Paikannettavassa pisteessä otetaan signaalit vastaan ja lasketaan vastaanottimen kellonajan ero signaalissa ilmoitettuun aikaan. Satelliitti kiertää yleensä noin $20\,000$ kilometrin etäisyydellä maapallon pinnasta ja signaali etenee valon nopeudella, jolloin aikaero on kymmenesosasekunnin luokkaa. Tästä voidaan laskea etäisyys (= aika $\times$ nopeus).

Laskenta edellyttää kuitenkin erittäin tarkkaa ajanmittausta. Satelliteissa on synkronoidut atomikellot, joten ne ovat aina samassa ajassa. Paikannettavassa pisteessä olevassa laitteessa ei kuitenkaan samaan tarkkuuteen ja synkronointiin päästä, vaan ajanmittaukseen sisältyy tuntematon virhetermi $e$. Ratkaisuna on neljän satelliitin käyttö kolmen sijasta. Jos $c$ on valonnopeus ja lasketut aikaerot ovat $d_i$, saadaan yhtälöryhmäksi \begin{align*} &(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 + (z - z_1)^2 = (c(d_1 + e))^2, \\ &(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 + (z - z_2)^2= (c(d_2 + e))^2, \\ &(x - x_3)^2 + (y - y_3)^2 + (z - z_3)^2 = (c(d_3 + e))^2, \\ &(x - x_4)^2 + (y - y_4)^2 + (z - z_4)^2 = (c(d_4 + e))^2. \end{align*} Tässä on neljä tuntematonta, paikannettavan pisteen koordinaatit $(x,y,z)$ ja aikaeron virhetermi $e$.

Neljän pallon leikkaus yhdessä pisteessä, kun säteet on saatu sopiviksi
määrittämällä aikaeron virhetermi. Kuvio on periaatteellinen eikä liity
mihinkään satelliittipaikannustilanteeseen.

Yhtälöryhmän (nopea) ratkaiseminen ei ole aivan yksinkertaista, mutta siihen on kehitetty sekä numeerisia että algebrallisia menetelmiä. Laskenta tapahtuu vastaanottimessa (esimerkiksi autossa), joten kyseessä ei ole mikään suurtietokone. Ratkaisuja on tässäkin periaatteessa kaksi, joten oikea on tunnistettava muilla keinoin (esimerkiksi aikaeron, periaatteellisen sijainnin tai hetkeä aiemmin lasketun sijainnin avulla).

Edellä sanottu antaa vain periaatteellisen kuvan satelliittipaikannuksesta. Käytännössä siihen liittyy paljon muutakin. Jos vastaanotin esimerkiksi löytää neljää useamman satelliitin signaalit, näitä voidaan käyttää tuloksen tarkentamiseen. Koordinaattienmääritys on tällöin ylimäärätty probleema, jolla ei yleensä ole kaikki yhtälöt toteuttavaa ratkaisua, vaan haetaan ratkaisua, joka toteuttaa kaikki yhtälö mahdollisimman tarkoin (esimerkiksi ns. pienimmän neliösumman menettelyllä).

Tarkempia tietoja löytyy esimerkiksi Wikipedia-artikkeleista
https://www.maanmittauslaitos.fi/tutkimus/teematietoa/satelliittipaikannus,
https://en.wikipedia.org/wiki/Satellite_navigation,
https://en.wikipedia.org/wiki/Global_Positioning_System.

Laajasti käytettyjä satelliittipaikannusjärjestelmiä ovat seuraavat: amerikkalainen GPS (Global Positioning System), Euroopan Unionin Galileo, venäläinen GLONASS (Глобальная навигационная спутниковая система) ja kiinalainen BeiDou (北斗卫星导航系统). Usein on tapana puhua GPS-järjestelmistä, koska amerikkalainen oli ensimmäinen. Nykyään kuitenkin mieluummin käytetään lyhennettä GNSS, Global Navigation Satellite System, ja GPS tarkoittaa vain amerikkalaista järjestelmää.

Mitä matematiikan tehtävässä kysytään?

Selasin erästä sosiaalisen median matematiikkaryhmää ja havahduin postaukseen, jossa ihmeteltiin seuraavaa ongelmaa:

Tasavälisiä kokonaislukuja korotetaan tiettyyn (positiiviseen) kokonaislukupotenssiin. Syntyvästä lukujonosta lasketaan perättäisten lukujen erotukset, jolloin saadaan uusi lukujono. Tästä lasketaan uudelleen perättäisten lukujen erotukset, jolloin syntyy jälleen uusi lukujono. Näin jatketaan ja todetaan, että jossakin vaiheessa saadaan vakiolukujono, ts. kaikki luvut yhtä suuria. Seuraava askel tuottaisi nollajonon. Miksi näin käy? Mistä tässä on kysymys?

Pohdin asiaa hetken ja mieleeni tuli moniakin matemaattisia asioita, joilla on yhteys ongelmaan. Tilanteen konkretisoimiseksi alla on Mathematicalla laskettu esimerkki, jossa lähtökohtana ovat parilliset luvut korotettuina seitsemänteen potenssiin (kuva suurenee klikkaamalla).

Yleensä matematiikan tehtävissä pyydetään laskemaan jotakin tai todistamaan jotakin. Nämä ovat selväpiirteisiä tehtäviä: opiskelija tietää, mihin pyrkiä, ja opettajan on melko yksiselitteistä arvioida esimerkiksi koetehtävässä, miten pitkälle on päästy. Edellä olevan ongelman asettelu on kuitenkin avoimempi. Kysytään miksi näin käy, mistä oikeastaan on kysymys. Voitaisiin vielä kysyä, mihin muihin asioihin ongelma voisi liittyä. Tällaisena ongelma ei oikein kelpaa koetehtäväksi, mutta hyvin opettavainen se voi olla. Tutki asiaa, käytä kaikkia välineitä mitä sinulla on, mieti kaikkea mitä jostakin tämäntyyppisestä tiedät. Vastaus olisi luonnollisimmin aihetta käsittelevä essee. 

Esseen tai työskentelyä kuvaavan dokumentin kirjoittaminen on asia, johon varmasti olisi hyvä oppia jo kouluaikana. Matematiikassahan kirjoittamiseen usein opitaan vasta muutaman vuoden yliopisto-opintojen jälkeen. Siihen asti matematiikan tehtävien käsittely on kaavojen kirjoittamista allekkain, viereen ehkä jokunen sana perusteluiksi. Matematiikastakin on kuitenkin hyvä oppia kirjoittamaan normaalilla kielellä kielioppisääntöjä noudattaen ja kaavat selittävään tai kommentoivaan tekstiin upottaen. (Vaikka eivät edes oppimateriaalit useinkaan näin tee.)

Matemaattisilta taidoiltaan samatasoisten henkilöiden tuotokset voivat olla hyvin erilaisia, puhumattakaan siitä, että eri tasoilla olevat henkilöt päätyvät laajempiin tai suppeampiin esityksiin. 'Oikeaa vastausta' ei ole. Tämän takia kyse ei yleensä voi olla osaamisen arvioimisesta vaan asioiden tutkimisen oppimisesta avoimessa tilanteessa. Luontevaa on, että tällöin käytössä ovat kaikki tarjolla olevat välineet, kynän ja paperin ohella erilaiset laskenta- ja grafiikkavälineet. Kokeilevaa matematiikkaa voi harrastaa. Nettiä ja miksei tekoälyäkin voi hyödyntää. Tuotoksen täytyy kuitenkin olla itse sisäistetty ja käytettyjen lähteiden tulee ilmetä.

Tehtävän avoimuus antaa myös mahdollisuuden retkeillä oman mielenkiinnon mukaan tehtävänantoa laajemmalle, kunhan esseen aihepiiri jotenkin säilyy ehjänä. Esimerkissä voisin vaikka luopua kokonaislukuoletuksesta.

Mitä kaikkea sitten mieleeni johtui tehtävää pohtiessani? Mitä johtuu lukijan mieleen? Kommentteja voi esittää  joko blogiin tai Facebook-ympäristön blogi-ilmoituksen yhteyteen (esseetä ei toki tarvitse kirjoittaa). Omasta ajatusmaailmastani olkoon esimerkkinä seuraava, joka voisi löytyä jostakin numeerisen analyysin oppikirjasta: \[\begin{aligned}p_n(t) &= p_n(t_0 + sd) = x_0 + \binom{s}{1} \Delta^1 x_0 + \dots + \binom{s}{n} \Delta^n x_0, \\ \Delta^n x_j &= \Delta^{n-1} x_{j+1} - \Delta^{n-1} x_j, \quad \Delta^0 x_j = x_j. \end{aligned}\] Vastailen mahdollisiin kommentteihin ja ehkä palaan asiaan jossakin myöhemmässä blogikirjoituksessa.

Edellä oleva esimerkki antaa myös kuvan matemaattisen lukutaidon merkityksestä. Mitä kaavoista oikeastaan purkautuu ja mitä niistä pitäisi nähdä? Matemaattinen teksti on usein tapana kirjoittaa aika tiiviiksi (tarpeettomastikin) ja lukijalle jää pohdittavaa.

Tekoäly, joulu ja matematiikka

Yllä oleva ei ole minun tekstiäni vaan tekoälybotin ChatGPT vastaus pyyntööni Kirjoita lämminhenkinen joulutervehdys matematiikkablogin lukijoille. Marraskuussa koemielessä julkaistu ChatGPT (https://chat.openai.com/) on saanut mediassa aika paljon huomiota viime aikoina. Rekisteröitymällä pääsee kokeilemaan.

ChatGPT tuottaa tekstiä perustuen siihen materiaaliin, jolla se on opetettu. Mitä opettaminen tarkkaan ottaen tarkoittaa, ei ole aivan yksinkertaista. Sille voi esittää kysymyksen, pyynnön tai kommentin jollakin kielellä ja se pyrkii vastaamaan samalla kielellä. Olen kokeillut suomea, englantia, saksaa, ranskaa, venäjää ja latinaa, ja kaikissa tapauksissa vastaus on tullut kohtalaisen hyvällä kielellä. Pieniä virheitä voi olla, mutta yleisesti ottaen kieli on hyvää. Pitäisin aika hämmästyttävänä suorituksena.

Sisällön suhteen tulos on heikompi. Teksti on jollakin tavoin latteaa ja saattaa sisältää vakaviakin asiavirheitä. Syötin kokeeksi kysymyksen Oliko Venäjän vallan aika onnellista Suomessa? ja tuloksena oli mitäänsanomatonta pyörittelyä ja selkeitä virhearveluita. Voisiko toisin ollakaan, ellei järjestelmää ole opetettu syöttämällä sille riittävästi aihetta käsittelevää kirjallisuutta? Suoriutuisiko se tällöin yhtä hyvin kuin keskimääräinen ihminen tai ehkä jopa paremmin?

Entä sitten matematiikka?

Kerrottakoon taustaksi lineaarialgebran tenttitehtäväni vuosikymmenien takaa: Mitä tarkoitetaan matriisin häiriöalttiudella (engl. condition number)? Eräs tentissä ollut henkilö kirjoitti aiheesta puolen sivun esseen pyörittelemällä häiriöiden vaikutusta ja alttiutta niihin sekä liittämällä tämän jotenkin matriiseihin. Itse käsitteestä hän ei tiennyt mitään. Nolla pistettä.

Tein saman kysymyksen ChatGPT:lle. Ensin englanniksi, sitten suomeksi käyttäen nimitystä häiriöalttius ja lopulta myös usein käytetyn virheellisen käännöksen ehtoluku avulla. Kaikissa tapauksissa moitteeton suoritus, joko englanniksi tai suomeksi. Olisin antanut täydet pisteet.

Onko tämä sitten hämmästyttävää? Ei. Vastauksen jälkeen esitettyyn kysymykseen How do you know this? ChatGPT vastasi:

The definition of the condition number of a matrix and its properties are well-documented in standard texts on numerical linear algebra and in research papers in the field. I have learned about the concept of the condition number of a matrix through my training as a language model, which included learning about various mathematical concepts and principles from a wide range of sources such as textbooks, research papers, and online resources.

Ja suomenkielisessä tapauksessa jatkokysymykseen Mistä tiedät, että englannin condition number on suomeksi häiriöalttius (tai häiriöluku)?:

Käännökset ovat yleensä tehty käyttäen kielten välistä sanakirjaa tai käännöstietokantaa, jotka sisältävät yleisesti käytettyjä käännöksiä eri kielten välillä. Tämän lisäksi käännöksiin voidaan käyttää apuna myös kielten asiantuntijoita, jotka ovat perehtyneet käännösten tekemiseen ja tietävät, miten eri käsitteitä voidaan kääntää eri kielillä. Näin ollen olen pystynyt selvittämään, että englannin condition number on suomeksi häiriöalttius tai häiriöluku, käyttämällä kielten välistä sanakirjaa tai käännöstietokantaa sekä tietämällä, miten eri käsitteitä voidaan kääntää eri kielillä.

Kaikki matematiikka ei kuitenkaan mene yhtä hyvin. Kysyin, miten ratkaistaan yhtälö $x^2 = x + 1$. ChatGPT muunsi sen ensin muotoon $x(x - 1) = 1$ ja sitten muotoon $x = \dfrac{1}{x - 1}$. Tästä ja alkuperäisestä yhtälöstä se päätteli juuriksi $x = 1$ ja $x = -2$, koska $1^2 = 1 + 1$ ja $-2^2 = -2 + 1$. Ei kovin vakuuttavaa. Opetus ei ilmeisesti ole sisältänyt pitkän matematiikan lukiokurssia.

Mitä tekoälystä sitten pitäisi ajatella? ChatGPT on kokeellinen järjestelmä, jolla varmasti on pitkä kehitys edessään. Mutta mihin oikeastaan olemme menossa? Jonakin päivänä koevastauksensa tai gradunsa ehkä voi tilata tekoälyltä. Pitäisikö tekoälyn käyttö kieltää? Ja onnistuisiko se? Vai pitäisikö miettiä, mitä oikeastaan pitää tietää ja miten elää maailmassa, jossa tekoäly tuottaa paljon hyvää ja paljon pahaa?

Tässä on jonkinlaisesta jatkumosta kysymys. Matematiikkaa harjoitettiin ennen kynällä ja paperilla (tai sitä ennen ehkä tikulla ja hiekalla), sitten tulivat erilaiset laskukoneet, ohjelmoitavat laitteet (laskin, tietokone, kännykkä), verkkoresurssit (kuten Google ja Wolfram Alpha). Mikä on seuraava askel?

Omasta puolestani toivotan hyvää joulua ja rauhallista uutta vuotta 2023.

Fibonacci

Leonardo Pisalainen (noin 1170-1250) tunnetaan paremmin nimellä Fibonacci. Nimi on lyhentymä ilmaisusta filius Bonacci, Bonaccin poika, jossa Bonacci viittaa sukuun eikä isään. Hänet tiedetään lähinnä nimeään kantavasta lukujonosta, mutta Fibonacci oli paljon monipuolisempi matemaatikko. Vuonna 1202 ilmestyneessä teoksessaan Liber abaci ('laskemisen kirja') hän esittelee intialais-arabialaisen lukujärjestelmän, ts. meidän käyttämämme kymmenkantaisen paikkajärjestelmän (ykköset oikealla, kymmenet seuraavaksi vasemmalla, sitten sadat jne.), jonka käyttö alkoi tuohon aikaan vähitellen levitä Eurooppaan. Kesti kuitenkin nelisensataa vuotta, ennen kuin järjestelmä kaikkine desimaalilukumerkintöineen vakiintui. Tämän ohella Liber abaci käsittelee kaupankäynnin matematiikkaa, erilaisia matemaattisia probleemoja sekä geometriaan ja lukuteoriaan luettavia konstruktioita. Muutama muukin Fibonaccin teos on säilynyt.

Liber abacin probleemojen joukossa on myös kanien lisääntymistä koskeva tehtävä: Kanipari pannaan suljettuun aitaukseen. Ne synnyttävät joka kuukausi uuden parin. Nämä ovat kuukauden kuluttua sukukypsiä ja synnyttävät uuden parin jne. Kuinka monta paria aitauksessa on vuoden kuluttua? Fibonacci osoittaa, että kuukausittaiset määrät ovat $1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233$ ja vuoden kuluttua $377$. Yllä olevassa kuvassa Fibonaccin alkuperäinen teksti; määrät laskettu oikeassa reunassa.

Syntyvää lukujonoa on alettu kutsua Fibonaccin luvuiksi. Ne määritellään usein rekursiivisesti: \[f(0)=0,\ f(1)=1,\ f(n)=f(n-1)+f(n-2),\ n \ge 2.\] Seuraava luku on siis aina kahden edellisen luvun summa: \[0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765,\dots\] Kaniparien lukumäärät alkavat luvusta $f(2)$. Kanien lisääntymisen ohella Fibonaccin luvuilla on osoittautunut olevan yhteys moneen asiaan. Tunnetuin lienee kultaisen leikkauksen suhde, jota peräkkäisten Fibonaccin lukujen suhde lähestyy. Hieman erikoisempana esimerkkinä olkoon istumajärjestysongelma: Tuolirivissä on $n$ tuolia ja siihen sijoitetaan kahdenlaisia ihmisiä, rauhallisia ja herkästi riitaantuvia, joita ei voida sijoittaa rinnakkain. Kuinka monella tavalla tuolirivi voidaan täyttää? Vastauksena on Fibonaccin luku. (Esimerkki on peräisin Ron Knottin dokumentista.) 

Hakukone löytää lisää verkkodokumentteja Fibonaccin luvuista. Lähtökohtana voi myös käyttää kanadalaisen Fibonacci Associationin sivua tai edellä mainitun Ron Knottin sivua.

Rekursiivisen määrittelyn sijaan Fibonaccin lukuja voidaan tarkastella myös eksplisiittisesti: $f(n)$ lausekkeena, joka riippuu indeksistä $n$. Rekursiokaavaa $f(n)=f(n-1)+f(n-2)$ ajatellaan tällöin ns. differenssiyhtälönä, jolle etsitään ratkaisu. Menettely on samankaltainen kuin lineaarisen vakiokertoimisen differentiaaliyhtälön ratkaiseminen: muodostetaan sopiva yrite, jossa on tuntematon symboli, ja pyritään määrittämään tämä. Osoittautuu, että yritteeksi kannattaa valita $f(n) = r^n$ ja pyrkiä määrittämään $r$. Kun yrite sijoitetaan differenssiyhtälöön, saadaan \[r^n = r^{n-1} + r^{n-2}.\] Kun tämä jaetaan potenssilla $r^{n-2}$, saadaan luvulle $r$ toisen asteen yhtälö \[r^2 = r + 1.\] Tällä on kaksi juurta: $r_1 = \frac{1}{2}(1 + \sqrt{5})$ ja $r_2 = \frac{1}{2}(1 - \sqrt{5})$. Differenssiyhtälöllä on siis ratkaisuna potenssit $r_1^n$ ja $r_2^n$. Mutta sijoittamalla differenssiyhtälöön todetaan, että sillä on ratkaisuna myös jokainen lauseke $f(n) = c_1 r_1^n + c_2 r_2^n$, missä $c_1$ ja $c_2$ ovat mitä tahansa vakioita (so. riippumattomia luvusta $n$). (Tähän viitataan sanomalla, että differenssiyhtälö on lineaarinen.)

Fibonaccin luvuilla on lisäksi ominaisuudet $f(0) = 0$, $f(1) = 1$. Nämä ovat differenssiyhtälön kannalta ns. alkuehtoja, ja niistä seuraa yhtälöt $c_1 + c_2 = 0$, $c_1r_1 + c_2r_2 = 1$. Tällöin $c_1 = -c_2 = \frac{1}{\sqrt{5}}$ ja Fibonaccin luvun lausekkeeksi saadaan \[f(n) = \frac{1}{\sqrt{5}}\biggl(\Bigl(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\Bigr)^n - \Bigl(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\Bigr)^n\biggr).\]

Luku $r_1$ on itse asiassa kultaisen leikkauksen suhde. Tässä jana jaetaan kahteen osaan, pituuksiltaan $a$ ja $b$ ($a > b$). Näiden suhde $q = a/b$ on kultaisen leikkauksen suhde, jos pidemmän osan suhde lyhyempään on sama kuin koko janan suhde pitempään, ts. \[\frac{a}{b} = \frac{a+b}{a}.\] Tämä johtaa yhtälöön $q^2 = q + 1$, jonka positiiviseksi juureksi edellä todettiin $q = r_1 = \frac{1}{2}(1 + \sqrt{5})$. Negatiivinen juuri on $r_2 = \frac{1}{2}(1 - \sqrt{5}) = -1/q$.

Eksplisiittisen lausekkeen avulla nähdään, että Fibonaccin lukujen suhde $f(n+1)/f(n)$ lähestyy kultaisen leikkauksen suhdetta, kun $n$ lähestyy ääretöntä.

Fibonaccin luvut toteuttavat koko joukon erilaisia algebrallisia identiteettejä. Kokeilemalla voi todeta, että esimerkiksi lauseke $f(n)f(m) + f(n+1)f(m+1)$ antaa aina jonkin Fibonaccin luvun. Esimerkiksi arvoilla $n=6$, $m=9$ saadaan $8 \cdot 34 + 13 \cdot 55 = 987$. Saattaa olla hieman vaikeata todistaa rekursiokaavan avulla, että näin todella on (en ainakaan nopeasti löytänyt todistusta), mutta eksplisiittisen lausekkeen avulla se on suora lasku: \begin{align*}&f(n)f(m) + f(n+1)f(m+1)\\ &= \tfrac{1}{5}(r_1^n - r_2^n)(r_1^m - r_2^m) + \tfrac{1}{5}(r_1^{n+1} - r_2^{n+1})(r_1^{m+1} - r_2^{m+1})\\ &= \tfrac{1}{5}(r_1^{n+m} + r_2^{n+m} - r_1^nr_2^m - r_2^nr_1^m + r_1^{n+m+2} + r_2^{n+m+2} - r_1^{n+1}r_2^{m+1} - r_2^{n+1}r_1^{m+1})\\ &= \tfrac{1}{5}(r_1^{n+m}(1+r_1^2) + r_2^{n+m}(1+r_2^2) - (r_1^nr_2^m + r_2^nr_1^m)(1 + r_1r_2)).\end{align*} Koska \[1+r_1^2 = \tfrac{1}{2}(5+\sqrt{5}) = \sqrt{5}r_1, \quad 1+r_2^2 = \tfrac{1}{2}(5-\sqrt{5}) = -\sqrt{5}r_2, \quad 1+r_1r_2 = 0,\] tämä saadaan muotoon \[\frac{1}{\sqrt{5}}\left(r_1^{n+m+1} - r_2^{n+m+1}\right) = f(n+m+1).\] Esimerkissä on siten $987 = f(6+9+1) = f(16)$.

Jos tulos on tiedossa tai kokeilujen perusteella arvattu, niin todistamisessa tarvittava mekaaninen lasku sujuu vaivatta symbolisella laskentaohjelmalla (alla käytetty Mathematicaa ja GeoGebraa):

Fibonaccin luvuista ja niitä koskevista identiteeteistä on laaja artikkeli Wolfram MathWorld -sivustossa.

Ei geometrikko viivoitinta tarvitse

Geometrisissa konstruktioissa tai piirustuksissa sallitut työkalut ovat olleet Eukleideen ajoista lähtien viivoitin ja harppi. Viivoittimella voidaan piirtää suora, kun kaksi sen pistettä tunnetaan. Harpilla voidaan piirtää ympyrä, kun sen keskipiste ja yksi kehäpiste tunnetaan. Suorien ja ympyröiden leikkauspisteet voivat olla pohjana uusille piirroksille, so. uudelle viivoittimen tai harpin käytölle. Muunlainen käyttö, kuten janan pituuden siirtäminen uuteen paikkaan harpin kärkien välissä tai merkintöjen tekeminen viivoittimen reunaan ei ole sallittua. Janan siirto harpin kärkien välissä voidaan kuitenkin sallia, koska se voidaan tehdä myös edellä mainituilla perusoperaatioilla, tosin hieman pidemmällä konstruktiolla.

Viivoitinkin on kuitenkin tarpeeton työkalu, kun sovitaan, että suora tunnetaan, kun kaksi sen pistettä tunnetaan, eikä suoraa pyritä varsinaisesti piirtämään. Kaikki geometriassa tarvittavat konstruktiot voidaan nimittäin tehdä yksinomaan harppia käyttäen. Esimerkkinä ympyrän piirtäminen annettu piste $K$ keskipisteenä ja annettu jana $AB$ säteenä siirtämättä sädettä harpin kärkien välissä:

$K$-keskisen ympyrän piirtäminen säteenä jana $AB$
siirtämättä sädettä harpin kärkien välissä;
piirtämisjärjestys: vihreä, sininen, punainen.

Harpin riittävyys perustuu käänteissäteiseen muunnokseen eli ympyräpeilaukseen. Tässä tasoon asetetaan kiinteä ympyrä (keskipisteenä $K$, säteenä $r$) ja mielivaltaisen pisteen $P$ kuvapiste $P'$ sijaitsee säteellä $KP$ siten, että etäisyyksille pätee \[|KP||KP'| = r^2.\] Poikkeuksena on piste $K$, jolla ei kuvapistettä ole. Puute voidaan poistaa liittämällä tasoon yksikäsitteinen äärettömän kaukainen piste (johon voidaan ajatella päädyttävän siirtymällä äärettömän kauaksi mihin tahansa suuntaan) ja asettamalla tämä $K$:n kuvaksi. Kuvapiste $P'$ voidaan määrittää yksinomaan harppia käyttäen:

Kuvapisteen $P'$ määritys käänteissäteisessä muunnoksessa; piirtämisjärjestys
vihreä, sininen, punainen. Konstruktion pätevyyden voi osoittaa katkoviivojen
muodostamien yhdenmuotoisten kolmioiden avulla.

Käänteissäteinen muunnos kuvaa yleensä ympyrän ympyräksi. Poikkeuksena ovat pisteen $K$ kautta kulkevat ympyrät, jotka kuvautuvat suoriksi. Suorat muunnos kuvaa pisteen $K$ kautta kulkeviksi ympyröiksi, poikkeuksena pisteen $K$ kautta kulkevat suorat, jotka kuvautuvat itselleen. Suoraa voidaankin ajatelle ympyränä, jonka säde on ääretön. Muunnoksen kiinteän ympyrän pisteet ovat omia kuviaan.

Käänteissäteisen muunnoksen käänteiskuvaus on se itse, ts. kuvapisteen kuvapiste on alkuperäinen piste. Tähän viitataan sanomalla, että käänteissäteinen muunnos on involutorinen. Piste $P$ ja sen kuvapiste $P'$ ovat siten symmetrisessä asemassa ja niitä kutsutaan peilipisteiksi muunnoksen kiinteän ympyrän suhteen.

GeoGebra-ohjelmisto tarjoaa työkalun ympyräpeilausten tekemiseen: reflect in circle / peilaus ympyrän suhteen. Esimerkkinä muutamien kuvioiden peilikuvat:

Kuvio ja sen peilikuva käänteissäteisessä muunnoksessa,
kukin pari omalla värillään.

Käänteissäteisessä muunnoksessa mikä tahansa suorista ja ympyröistä muodostuva geometrinen kuvio voidaan asettaa siten, että sen suorat ja ympyrät ja näiden osat kuvautuvat (peilautuvat) ympyröiksi tai ympyrän kaariksi. Kuva voidaan määrittää yksinomaan harpilla. Geometrisissa konstruktioissa tarvittavat perusoperaatiot (leikkauspisteiden määritys, ympyrän piirtäminen keskipisteen ja kehäpisteen avulla, kolmen annetun pisteen kautta kulkevan ympyrän piirtäminen) kohdistetaan tällöin vain ympyräkaarten muodostamaan kuvioon. Voidaan osoittaa, että nämä voidaan tehdä yksinomaan harpilla. Lopuksi konstruoinnin tulokset peilataan takaisin.

Alla on esimerkkinä suorien $AB$ ja $CD$ leikkauspisteen määritys, kun kumpikin suora on annettu kahden pisteen avulla. Pisteet peilataan ensin kiinteässä $K$-keskisessä ympyrässä, jolloin saadaan pisteet $A'$, $B'$, $C'$ ja $D'$. Edellä olevan esimerkin mukaisesti tämä voidaan tehdä yksinomaan harpilla. Suorien kuvat peilauksessa ovat keskipisteen $K$ kulkevia ympyröitä, joista kumpikin siis määräytyy kolmen pisteen avulla: $K$, $A'$, $B'$ ja $K$, $C'$, $D'$. Näiden konstruoiminen onnistuu yksinomaan harpilla (vaikkakaan ei aivan lyhyesti). Peilaamalla ympyröiden leikkauspiste $X'$ saadaan etsitty suorien leikkauspiste $X$.

Harppikonstruktio: suorien $AB$ ja $CD$ leikkauspiste;
peilausympyrä musta, piirtämisjärjestys: vihreä, sininen, punainen.
Suorat katkoviivalla.

Menettelyn todistus (ja monia harppikonstruktioita) on esitetty itävaltalaisen August Adlerin kirjassa Theorie der geometrischen Konstruktionen vuodelta 1906 (löytyy verkosta). Harpin riittävyys ei sinänsä ollut uutta, mutta todistusta käänteissäteistä muunnosta käyttäen ei ollut aiemmin esitetty. Tarvittavat harppikonstruktiot oli esittänyt italialainen Lorenzo Mascheroni vuonna 1797 teoksessaan Geometria del compasso ja tätäkin aikaisemmin tanskalainen Georg Mohr tanskaksi ja hollanniksi ilmestyneessä teoksessaan Euclides danicus vuonna 1672 (kuva artikkelin alussa). Mohrin teos jäi kuitenkin huomiotta ehkä kielen takia, latinahan tuohon aikaan olisi ollut luontevampi valinta. Suomeksi harppikonstruktioita on käsitelty Erkki Rosenbergin kirjassa Geometria (Limes 1983).

Euclides danicuksen tiivis esitys: ympyrä kolmen pisteen kautta.

Lopuksi lukijalle pohdittavaa: Jos $A$ ja $B$ ovat peilipisteitä ympyrän $c$ suhteen ja sekä ympyrä että pisteet kuvataan toiseen ympyrään liittyvällä käänteissäteisellä muunnoksella, niin ovatko kuvapisteet peilipisteitä kuvaympyrän suhteen? Työkaluksi sopii GeoGebra.

-----

Jonkin matematiikan alan hyödyllisyyttä tai hyödyttömyyttä arvioidessa täytyy olla hyvin varovainen. Hyvä esimerkki on lukuteoria, jota on pidetty sovellusten kannalta tarpeettomana puhtaana matematiikkana, mutta johon tietoliikenteen salausalgoritmit nykyään perustuvat. Geometriset harppikonstruktiot voisivat sen sijaan olla hyvä kandidaatti hyödyttömäksi, mutta ehkä kuitenkin jollakin tavoin viehättäväksi matematiikaksi. Kommenteissa voi esittää vastaväitteitä tai muita näkökohtia.

Geometrian probleema ja sen moderni versio

Vanha geometrian tehtävä saattaa antaa aihetta monenlaisiin pohdiskeluihin, kun avuksi otetaan laskentaohjelmat.

Annettuna on yllä olevan kuvion mukainen tilanne, jossa $\alpha = 60^\circ$ ja $\beta = 45^\circ$. Kysytään kulman $\gamma$ suuruutta. Tämä on tyypillinen tehtävä omalta kouluajaltani. Vaikeutena on liikkeelle lähtö, sopivan idean — ja apupiirroksen — löytäminen. Jos idea löytyy, tehtävä on melko helppo, ellei, ei synny juuri mitään.

Piirretään pisteestä $A$ normaali janalle $BD$ ja yhdistetään sen kantapiste pisteeseen $C$. Tällöin syntyy ns. muistikolmioita ja tasakylkisiä kolmiota. Kulmia päästään laskemaan vaiheittain eikä tarvita muuta tietoa kuin kolmion kulmien summa. Tuloksena on $\gamma = 75^\circ$. Kuva alla.

Mutta miksi tyytyä vain kulmien arvoihin $\alpha = 60^\circ$, $\beta = 45^\circ$? Voihan $\alpha$ olla mitä tahansa väliltä $]0^\circ,180^\circ[$ ja $\beta$ jotakin $\alpha$:aa pienempää.

Sijoitetaan tilanne koordinaatistoon, piste $A$ origoon ja pisteet $B$ ja $C$ x-akselille. Otetaan tuntemattomiksi kulman $\gamma$ ohella pisteen $D$ koordinaatit $(x,y)$. Jos $\vec{i}$ on tavanomainen yksikkövektori, skalaaritulon avulla saadaan ehdot \[ \cos(\alpha) = \frac{-\vec{i}\cdot\vec{BD}}{|\vec{BD}|}, \quad \cos(\beta) = \frac{-\vec{i}\cdot\vec{CD}}{|\vec{CD}|}, \] jotka määrittävät tilanteen. Nämä tuottavat yhtälöt \[ \cos(\alpha) = \frac{2-x}{\sqrt{(2-x)^2 + y^2}}, \quad \cos(\beta) = \frac{3-x}{\sqrt{(3-x)^2 + y^2}}, \] joista voidaan ratkaista $x$ ja $y$. Ratkaiseminen käsin voi olla työlästä, mutta (ainakin hyvä) symbolisen laskennan ohjelma suoriutuu. Kokeilin Mathematicalla ja GeoGebralla. Kumpikin antaa neljä ratkaisua, GeoGebra tavattoman paljon hankalammat lausekkeet. Tuloksiin on syytä suhtautua rauhallisesti. Ei laskentaohjelma tee sitä, mitä käyttäjä haluaisi, vaan mitä se on ohjelmoitu tekemään, ja tulokset voivat olla mutkikkaita eivätkä aina edes oikeita. Ohjelma pyrkii ottamaan huomioon kaikki tapaukset, mutta ei välttämättä onnistu.

Sijoittamalla Mathematicassa tulokset takaisin yhtälöihin nähdään, että vain kaksi ratkaisuista toteuttaa yhtälöt. Kaksi muuta on ilmeisesti syntynyt neliöjuurien käsittelyn myötä. Vastaavasta sijoittamisesta ei ainakaan käyttämäni GeoGebran versio suoriutunut, mutta numeerisen tarkastelun perusteella tässäkin on kaksi oikeaa ja kaksi väärää ratkaisua. Oikeissa ratkaisuissa x-koordinaatit ovat samat, y-koordinaatit vastalukuja, joten toinen tarkoittaa vain kuvion peilaamista x-akselin alapuolelle.

Mathematican tapauksessa tulos on \[ x = \tfrac{1}{2}(5 - \csc(\alpha - \beta)\sin(\alpha + \beta)), \quad y = \csc(\alpha - \beta)\sin(\alpha)\sin(\beta). \] Suomalaiselle nämä saattavat näyttää hieman oudoilta $\csc$-funktion takia. Tämä on kosekantti, yksinkertaisesti sinin käänteisarvo. Vastaavasti $\sec$, sekantti on kosinin käänteisarvo. Monissa maissa ja sen seurauksena laskentaohjelmissa usein käytetään näitä.

Kun pisteen $D$ koordinaattien lausekkeet ovat käytettävissä, voidaan laskea kaikenlaista. Kulma $\gamma$ saadaan kaksiargumenttisella $\arctan(x,y)$-funktiolla, joka antaa pisteen $(x,y)$ napakulman ja joka on useimmissa ohjelmissa käytettävissä.

Sijoittamalla ratkaisuun esimerkiksi $\beta = \alpha - 15^\circ$ voidaan etsiä ne pisteet $D$, jotka vastaavat kulmien $\alpha$ ja $\beta$ 15 asteen erotusta. Pisteitä voi piirtää ohjelmasilmukalla tai parametrikäyränä, jota useimmat ohjelmistot tukevat. Alkeisgeometriansa hallitsevaa henkilöä ei yllätä, että kyseessä on ympyränkaari. Laskentaohjelma saattaa parametriesityksen perusteella kyetä löytämään myös ympyrälle yhtälön: $x^2 + y^2 - 5x - (2 + \sqrt{3})y + 6 = 0$. Kuva alla, pisteen $D$ mahdollinen sijainti punaisella.

Pienillä muutoksilla voidaan tutkia erilaisia tehtävän variaatioita, mikä usein johtaa algoritmiseen ajatteluun ja kirjoittamaan muutaman rivin ohjelmakoodeja. Edellytyksenä on, että laskentaohjelma tukee ainakin pienimuotoista ohjelmointia. Mathematicassa sujuu hyvin, GeoGebrassa on hankalaa. Mikä esimerkiksi olisi kulman $\gamma$ maksimiarvo, kun kulmien $\alpha$ ja $\beta$ erotus on vakio? Miten maksimiarvo riippuu erotuksen suuruudesta? Sopivatko nämä geometriseen havaintoon?

Ylhäällä: Pisteen $D$ sijainti tapauksessa $\beta = \alpha/3$. Alhaalla vasemmalla: Kulma $\gamma$ kulman $\alpha$ funktiona, kun $\beta = \alpha - 15^\circ$. Alhaalla oikealla: Kulma $\gamma$ kulmien $\alpha$ ja $\beta$ funktiona sekä edellä mainittu käyrä, joka sijaitsee pinnalla.

Erilaisen lähestymistavan tehtävään tarjoavat dynaamisen geometrian ohjelmat, joista GeoGebra lienee tunnetuin. Näissä tarkasteltava kuvio konstruoidaan ohjelman tarjoamien geometristen operaatioiden avulla piirtämällä, jolloin ohjelma laskee pisteiden koodinaatit ja suorien yhtälöt, usein myös perustyyppisten käyrien yhtälöt. Jälkikäteen kuviota voidaan muunnella pisteitä siirtämällä. Urakäyriä (locus) saadaan myös piirretyksi. Symbolisiin lausekkeisiin tai ns. tarkkoihin arvoihin (joita ehkä olisi parempi kutsua symbolisiksi arvoiksi, onhan kymmendesimaalinen likiarvokin jo kohtalaisen tarkka) ei yleensä päästä käsiksi ilman symbolista laskentaa.