Deltafunktio

Edellisessä postauksessani esittelin deltafunktion: $\delta(x) = 0$, jos $x \neq 0$, ja $\delta(0)$ niin vahvasti ääretön, että
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x)\,dx = 1.
\]

Määrittely 'niin vahvasti ääretön' ei kuulosta matemaattisen täsmälliseltä eikä integraaliehtokaan ole uskottava: integraalin määrittelytavasta (näitä on useita) riippuen kuvatunkaltainen $\delta$ joko ei ole integroituva tai integraalin arvo on $0$.  Mistä siis olisi kysymys?

Lähtökohdaksi voidaan ottaa ns. deltajono, funktiot, jotka on välillä $[-1/n,1/n]$ määritelty lausekkeella
\[
\delta_n(x) =
\frac{e^{-\frac{1}{1-n^2x^2}}}{\int_{-1/n}^{1/n}e^{-\frac{1}{1-n^2u^2}}\,du}
\]
ja jotka ovat $= 0$ tämän välin ulkopuolella; $n = 1,\,2,\,3,\,4,\,\dots$.  Jakajana olevasta integraalista seuraa, että jokaisen funktion integraali reaaliakselin yli on $= 1$. Kun $n$ lähestyy ääretöntä (ts. $n \to \infty$) funktion kuvaaja kapenee ja arvolla $x = 0$ lähestyy ääretöntä. Rajalla syntyy siis deltafunktio:
\[
\lim_{n \to \infty} \delta_n(x) = \delta(x).
\]

Funktiot $\delta_n(x)$, $n = 1,2,3,4,5$.

Funktion $\delta_n$ määritelmän perusteella on
\[
\lim_{n \to \infty} \int_{-\infty}^{\infty} \delta_n(x)\,dx = 1.
\] Tässä raja-arvon muodostamista ei kuitenkaan voida siirtää integraalimerkin sisään kuten edellä on todettu. Deltafunktion määrittelyssä on tässä kohden virhe.

Yleisesti hyväksyttyjen deltafunktion laskusääntöjen mukaan on
\[
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\delta(x)\,dx = f(0), \qquad
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\delta(x-1)\,dx = f(1).
\] Kuitenkin integraalin määritelmien perusteella nämä integraalit joko eivät ole olemassa tai ovat $= 0$. Integroitava funktiohan eroaa nollasta enintään yhdessä pisteessä. On siis tehty toinen virhe.

Deltafunktiolla laskemisen taidokkuutta osoittaa kuitenkin, että lopputulokset $f(0)$ ja $f(1)$ ovat aivan oikein. Tehdyt kaksi virhettä nimittäin kumoavat toisensa.

Itse asiassa integraalilaskun vaikeamman väliarvolauseen mukaan on
\[
\lim_{n \to \infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\delta_n(x)\,dx =
\lim_{n \to \infty} f(t) \int_{-\infty}^{\infty} \delta_n(x)\,dx =
\lim_{n \to \infty} f(t),
\] missä $-1/n \le t \le 1/n$. Kun $n \to \infty$, lähestyy $t$ nollaa ja $f(t)$ arvoa $f(0)$, mikäli $f$ on jatkuva funktio. Tulos siis pätee.

Deltafunktio ei ole ainoa tämäntyyppinen olio, vaan niille on kehitetty oma teoriansa, jota kutsutaan distribuutioteoriaksi. Pisteeseen keskittyvästä jakaumasta deltassakin on kyse. Olioita kutsutaan distribuutioiksi tai yleistetyiksi funktioiksi.

Varsinkin fyysikot laskevat sujuvasti deltafunktiolla sekä yhdessä että useammassa ulottuvuudessa. Matemaatikotkin voivat olla rauhallisia, sillä pätevä teoria on olemassa.

Kumpi on vaikeampaa: määritelmän tekeminen vai teoreeman todistaminen?

Matemaatikon tehtävä nähdään toisinaan lauseiden eli teoreemojen todistamiseksi. Joku on antanut määritelmät ja formuloinut lauseet, minkä jälkeen matemaatikko todistaa ne. Pätee ehkä koulussa ja ylioppilaskokeessa, matematiikkakilpailuissa, mutta vaativampi tehtävä voi hyvinkin olla luoda järkeviä määritelmiä ja formuloida lauseita tai otaksumia, jotka osoittautuvat paikkansapitäviksi.

Lukija voi vaikkapa pohtia — ellei ennestään tiedä — miksi kakkonen määritellään alkuluvuksi, mutta ykköstä ei. Toisena esimerkkinä puolisuunnikkaan määritelmä.

Esitän seuraavassa hieman mutkikkaamman asetelman lukijan ihmeteltäväksi. Ne lukijat, jotka tietävät, mistä on kyse, vaietkoot, jotta ei pilata muiden iloa liian aikaisin. Lähteitä toki saa käyttää, mutta asiasta tietävät älkööt kavaltako avainsanoja.

Siis: Olkoon $\delta$ reaaliakselilla määritelty funktio, jolle pätee $\delta(x) = 0$, kun $x \neq 0$. Origossa funktion arvo on niin vahvasti ääretön, että
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x)\,dx = 1.
\]

Ja sitten pohtimaan:

Mitä on $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\delta(x)\,dx\,$?

Entä $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\delta(x-1)\,dx\,$?

Miten nämä integraalit oikein tulisi ymmärtää? Ja ovatko ne edes integraaleja? Lausuma 'niin vahvasti ääretön, että ...' ei kuulosta oikein vakuuttavalta eikä matematiikkaan sopivalta.

Fyysikot kuitenkin laskevat tällaisilla integraaleilla ja saavat ihan järkeviä tuloksia. Mistä tässä voisi olla kyse? Mitä matemaatikko sanoisi?  Jonkinlaiseksi vihjeeksi alussa oleva kuva.

CAS: luonne ja käyttötapa

Laskettaessa integraalia
\[
\int_0^{2\pi} \frac{dx}{2+\cos x}
\]
perinteinen menettely on hakea ensin integraalifunktio ja sijoittaa sitten rajat tähän.

Standardisijoituksella $u = \tan(x/2)$ saadaan integraali muotoon
\[
\int \frac{2du}{3+u^2},
\]
josta saadaan integraalifunktio
\[
\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\tan(\frac{x}{2})\right).
\]
Saman voi tietenkin saada symbolisella ohjelmalla, ja tuloksen voi verifioida derivoimalla.

Sijoittamalla tähän rajat $0$ ja $2\pi$ saadaan kummassakin tapauksessa $0$, ja määrätty integraali siis näyttäisi olevan $0$.

Ajattelevalla laskijalla pitäisi tällöin hälytyskellojen soida: Eihän se näin voi olla, koska integraalifunktio $1/(2+\cos x)$ on koko integroimisvälillä aidosti positiivinen.

Ongelman syy paljastuu piirtämällä integraalifunktion kuvaaja: kohdassa $x = \pi$ näyttää olevan epäjatkuvuus. Tällaistahan integraalifunktiolla ei saisi olla, sen pitää olla jatkuva.

Sininen:funktio $1/(2+\cos x)$; punainen: edellä saatu integraalifuntkio

Kovin kaukana ratkaisusta ei kuitenkaan olla, koska integraalifunktioon voidaan aina liittää additiivinen vakio $C$. Jos vakio kohdan $x = \pi$ vasemmalla puolella on $0$ ja oikealla puolella käytetään hypyn suuruista arvoa $2\pi/\sqrt{3}$, saadaan jatkuva integraalifunktio ja tämän avulla määrätyn integraalin arvoksi $2\pi/\sqrt{3}$.

Tähän tulokseen päästäänkin useimmilla symbolisilla ohjelmilla suoraan, kun lasketaan määrätty integraali.

Onko saatua integraalifunktiota sitten pidettävä virheellisenä? Riippuu siitä, mitä integraalifunktiolla tarkoitetaan. Useimmille ohjelmille (kuten kynä-paperi-laskijoillekin) se on antiderivaatta, ts. funktio, joka on derivoituva mahdollisesti yksittäisiä pisteitä lukuunottamatta ja derivaatta yhtyy alkuperäiseen funktioon.

Toisaalta ohjelmat saattavat myös huolehtia integraalifunktion jatkuvuudesta. Esimerkiksi Nspire näyttää lisäävän em. lausekkeeseen hieman kryptiseltä näyttävän termin
\[
-\frac{1}{\sqrt{3}} \left(\mathrm{mod}(x-\pi,2\pi) - x\right),
\]
mikä tekee funktiosta jatkuvan.

Symbolisia ohjelmia pidetään usein välineinä, joilla pitäisi ratkaista matemaattisia tehtäviä samassa hengessä kuin kynällä ja paperilla tavoitteena tehtävän ainoa oikeaoppinen ratkaisu. Asennetta on syytä muuttaa.

Ohjelmilla on oma käsitteistönsä ja oma logiikkansa, joka ei aina ole sama kuin totutussa matematiikan opetuksessa. Vain yhtä oikeaoppista ratkaisuakaan ei ole. Samaa ongelmaa voidaan lähestyä monella eri tavalla, joista toiset ehkä kertovat tilanteesta enemmän kuin toiset, mutta kaikilla on ansionsa.

Ohjelmia on ajateltava enemmän välineinä tutkimisessa ja kokeilemisessa, ei niinkään valmiin ratkaisun laatimisessa. Niitä ei ehkä edes tarvita, jos tehtävät ovat perinteisen kaltaisia.

Kokeellisen matemaatikon painajainen

Olen aina toisinaan tallettanut osoitteita matemaattisiin verkkodokumentteihin, jotka mahdollisesti ansaitsevat lähempää huomiota. Muutama päivä sitten tulin uudelleen katsoneeksi blogikirjoitusta, jossa pohdittiin seuraavantyyppisiä integraaleja:
\begin{align*}
I_1 &= \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\,dx\,, \\
I_2 &= \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\,\frac{\sin(x/3)}{x/3}\,dx\,, \\
I_3 &= \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\,\frac{\sin(x/3)}{x/3}\,\frac{\sin(x/5)}{x/5}\,dx\,, \\
I_4 &= \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\,\frac{\sin(x/3)}{x/3}\,\frac{\sin(x/5)}{x/5}\,\frac{\sin(x/7)}{x/7}\,dx\,, \\
\vdots
\end{align*}
tai yleisemmin
\[
I_n = \int_0^\infty \prod_{k=1}^n \frac{\sin(x/(2k-1))}{x/(2k-1)}\,dx.
\]

Näiden laskeminen ei ole aivan helppoa, mutta matematiikassakin voi harrastaa kokeilua.  Tuloksena voi olla hypoteesi tai vastaesimerkki. Katsotaan siis, suoriutuisiko laskentaohjelma integraaleista ja millaisia tuloksia se antaisi. Mathematica suoriutuu:
\[
I_1 = I_2 = I_3 = I_4 = I_5 = I_6 = I_7 = \pi/2.
\]
Tämän perusteella tuntuu jo aika selvältä, että tulos on aina $\pi/2$.

Seuraava integraali tuottaa kuitenkin yllätyksen:
\[
I_8 = \frac{467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}\,\pi.
\]
Onko asia todella näin vai onko Mathematica yksinkertaisesti laskenut väärin? Numeerisen integroinnin kokeilukaan ei auta, sillä edessä oleva kerroin ei paljoa puolikkaasta poikkea: 15-desimaalinen likiarvo nimittäin on $0.499999999992647$. Numeerisella integroinnilla saattaa olla vaikeata päästä näin suureen tarkkuuteen.

Ei siis liene muuta keinoa kuin pyrkiä laskemaan integraalit analyyttisesti. Tämäkin kyllä onnistuu: työkaluiksi kelpaavat esimerkiksi konvoluutio ja Fourier'n muunnos. Yksityiskohtainen esitys löytyy Hanspeter Schmidin artikkelista: http://www.schmid-werren.ch/hanspeter/publications/2014elemath.pdf.  Hakusanoilla 'borwein integral' Google löytää materiaalia enemmänkin.

Lähteenäni ollut blogiartikkeli on osoitteessa http://www.thebigquestions.com/2012/03/26/loose-ends/. Se kertoo myös Jonathan Borweinin Maplelle tekemästä kepposesta (= practical joke).

Niin, laskiko Mathematica siis väärin? Ei laskenut, tulos on aivan oikea. Hieman yllättävä se on, mutta Hanspeter Schmidin artikkeli antaa ilmiölle luontevan selityksen. Indeksistä 8 eteenpäin integraalien arvot hiljakseen pienenevät.

Mitä symbolilaskentaohjelmalta voi odottaa ja mitä ei, osa 2

Kollega Pekka Alestalo esitti kommentoitavaksi Mathematicalla  lasketun esimerkin, jossa tulos on virheellinen: Integraalin
\[
\int_0^{2\pi} \sqrt{1 - \cos(nx)}\,dx
\]
arvoksi saadaan
\[
\frac{2\sqrt{2}}{n} - \frac{2\sqrt{1 - \cos(2n\pi)}\cot(n\pi)}{n}.
\]
Jos $n$ on positiivinen kokonaisluku, osoittajaan syntyy $0 \cdot \infty$. Raja-arvotarkastelulla saadaan joko $0$ tai $4\sqrt{2}/p$ riippuen siitä, kummalta puolelta $n$ lähestyy kokonaislukuarvoa $p$.

Tuntuu omituiselta, sillä kyseessä on ei-negatiivisen funktion integraali, eikä kokonaislukuparametrissa $n$ pitäisi olla mitään kummallista.  Integraali on mahdollista laskea trigonometrisen kaavan $1 - \cos(nx) = 2\sin^2(nx/2)$ avulla, ja tulokseksi saadaan $4\sqrt{2}$ kokonaislukuparametrin $n$ arvosta riippumatta. Tämä saadaan myös Mathematican avulla antamalla $n$:lle riittävän pieni numeerinen arvo. Liian suuri numeerinen arvo saattaa antaa väärän tuloksen (esimerkiksi $n = 10\,000$).  Numeerinen integrointi antaa tulokseen $4\sqrt{2}$ sopivat likiarvot.

Esimerkki osoittaa, että symboliseen laskentaan on suhtauduttava varovaisesti.  Tulosten järkevyys on vähänkin epäilyttävässä tapauksessa varmistettava esimerkiksi numeerisella laskennalla tai graafisilla tarkasteluilla.  Symboliikka on vaikeata eikä siihen pidä sokeasti luottaa.

Miksi laskenta sitten menee väärin?

Kaupallisen ohjelmiston koodit eivät ole julkisia eikä niistä todennäköisesti olisi kovin helppoa löytääkään syytä. Yksinkertaisempi esimerkki sen sijaan vihjaa mahdolliseen ongelmakohtaan.

Integraalin
\[
\int_0^{2\pi} \frac{1}{2 + \cos(x)}\,dx
\]
arvoksi saadaan $2\pi/\sqrt{3}$ Mathematican komennolla
Integrate[1/(2 + Cos[x]),{x,0,2 Pi}].
Tämä sopii myös yhteen numeerisen integroinnin kanssa, jolloin komento on
NIntegrate[1/(2 + Cos[x]),{x,0,2 Pi}].

Integraalifunktio on (komento Integrate[1/(2 + Cos[x]),x])
\[
\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\left(\frac{\tan(x/2)}{\sqrt{3}}\right).
\]
Kummankin rajan sijoittaminen tähän antaa tulokseksi $0$. Tämän mukaan intgeraalin arvo olisi siis $0$, mikä ilmiselvästi on virheellinen tulos.

Virhe näkyy piirtämällä integraalifunktion kuvaaja:

Funktiolla on hyppyepäjatkuvuus kohdassa $x = \pi$ eikä se siis kelpaakaan sellaisenaan integraalifunktioksi, jonka tulee olla jatkuva. On lisättävä integroimisvakio, erilainen epäjatkuvuuskohdan eri puolilla, jotta saadaan jatkuva funktio.

Alun esimerkissä on samanlainen ongelma. Vaikuttaa siltä, että Mathematican integrointialgoritmi toimii, jos epäjatkuvuuskohdat eivät riipu symbolista eikä niitä ei ole liian paljon.

--------------------
Jatkoa:

Kokeilin esimerkkejä myös TI-Nspire-ohjelmistolla (versio 3.9). Funktion \[ \frac{1}{2+\cos(x)} \] integraalifunktioksi saadaan \[ \frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\left(\frac{\tan(x/2)}{\sqrt{3}}\right) - \frac{\text{mod}(x-\pi,2\pi) - x}{\sqrt{3}} \] missä jatkuvuus on hoidettu aivan oikein, mutta hintana tietenkin on mod-funktion ilmestyminen lausekkeeseen. Integraalin \[ \int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos(nx)}\,dx \] laskeminen ei onnistunut, integraalifunktiota ei myöskään löytynyt, ts. vastaukseksi tuli integraali muuttumattomana. Numeerisella $n$:n arvolla vastaukseksi tuli likiarvo.

Onko 0 = 1 ?

Usein käytettyjä integroinnin työkaluja on osittaisintegrointi:
\[
\int u(x)v'(x)\,dx = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x)\,dx
\]
(ks. esim. Wikipediaa tai MathWorldia ).

Soveltamalla tätä funktioihin $u(x) = 1/x$ ja $v(x) = x$ saadaan
\[
\int \frac{1}{x} \cdot 1\,dx = \frac{1}{x} \cdot x - \int -\frac{1}{x^2} \cdot x\,dx
\]
eli
\[
\int \frac{1}{x}\,dx = 1 + \int \frac{1}{x}\,dx.
\]
Tässä integraalit kumoutuvat ja jäljelle jää $0 = 1$.

Kyseessä ei tunnetusti ole ainoa mahdollisuus yrittää todistaa, että $0 = 1$. Tällaisilla paradokseilla on merkityksensä: Emme suinkaan ala uskoa, että nolla ja ykkönen olisivat sama asia, jolloin päättelyssä täytyy olla jotakin vikaa. Tämän löytäminen saattaa hyvinkin opettaa jotakin uutta, panna ajattelemaan muutoin huomaamatta jääviä asioita. Jätän pohtimisen lukijalle.

Olen muutaman kerran esittänyt edellä olevan päättelyn luennoillani vain eräänä esimerkkinä osittaisintegroinnista ajoitettuna kaksoisluennon ensimmäisen tunnin loppuun, jolloin tulos tuli kuulijoille yllätyksenä. Poistuin tauolle. Sali jäi tuijottamaan hölmistyneenä eikä kenelläkään ollut kiirettä kahvijonoon. Tauon jälkeen asiaan toki oli syytä palata.

Potenssin integraalifunktio

Potenssi $x^n$ integroidaan tunnetusti kaavalla \[ \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.  \] Poikkeuksena on arvo $n = -1$, jolloin \[ \int \frac{1}{x}\,dx = \ln(x) + C.  \]

Peruskursseja luennoidessani en ole koskaan tullut miettineeksi, syntyisikö erikoistapaus peruskaavasta rajaprosessilla $n \to -1$ enkä muista nähneeni tällaista myöskään oppikirjoissa. Jotenkin luonnolliselta ajatus kuitenkin tuntuisi. Eihän kyseessä voi olla kaksi täysin toisistaan riippumatonta faktaa.

Tutkimisen voisi laskentaohjelmien aikakaudella aloittaa luonnollisimmin piirtelemällä kuvaajia. Tämähän sujuu helposti ja sillä näkee, onko ajatuksessa mitään mieltä. Koska integraalifunktioihin liittyy määräämätön vakio $C$, on luonnollista panna käyrät kulkemaan saman pisteen kautta. Olkoon siis vaikkapa $x = 1$ jokaisen kuvaajan nollakohta, jolloin on piirrettävä käyrät \[ y = \ln(x) \quad\text{ja}\quad y = \frac{x^{n+1}}{n+1} - \frac{1}{n+1} \] sopivilla eksponentin $n$ arvoilla.

Liitekuva on tehty GeoGebralla. Kun liukusäätimellä pienennetään parametria $h$, eksponentit lähestyvät ylhäältä ja alhaalta arvoa $n = -1$ ja kuvaajat muuttuvat vastaavasti. Näyttävät lähestyvän logaritmikäyrää.

Seuraava askel olisi katsoa, mitä symbolilaskenta antaa raja-arvoksi \[ \lim_{n \to -1} \left(\frac{x^{n+1}}{n+1} - \frac{1}{n+1}\right).  \] Tuloksena on $\ln(x)$ ja asia siis näyttäisi olevan selvä. Symbolinen ohjelma on kuitenkin käyttäjälle musta laatikko, joka toivottavasti laskee oikein. Lähempää tietoa tuloksen perusteista se harvoin antaa.  Wolfram|Alpha pyrkii olemaan poikkeus, mutta tässä tapauksessa se ei minusta varsinaista valoa asiaan tuo, vaikka jonkinlaiset perusteet onkin mahdollista saada.

Lausekkeen voi kirjoittaa muotoon \[ \frac{x^h-1}{h} \quad (h = n+1) \] ja soveltaa tämän jälkeen l'Hospitalin sääntöä $h$:n suhteen. Perustavampaa olisi kuitenkin palauttaa raja-arvo eksponenttifunktion derivaatan määrittämiseen, kyseessähän on erotusosamäärä. Eksponenttifunktion derivaatan puolestaan voi perustella eri tavoin riippuen siitä, mikä useista vaihtoehdoista on otettu määritelmäksi. Pohjalla voi esimerkiksi olla Neperin luvun määrittely raja-arvona: \[ e = \lim_{p \to \infty} \biggl(1 + \frac{1}{p}\biggr)^p.  \]

Täten onkin johduttu analyysin perusraja-arvoihin! Lukija miettiköön, miten Neperin luvun määrittelystä päästään eksponenttifunktion derivaattaan. (Vihjeeksi Iso-M-tietosanakirjan funktion raja-arvoa käsittelevä artikkeli.)