Kranssin vihreä osa esittää astetta 14 olevien Littlewoodin polynomien nollakohtia kompleksitasossa. Littlewoodin polynomi taas on polynomi, jonka kaikki kertoimet ovat lukuja $+1$ ja $-1$. Astetta 14 olevia polynomeja on tällöin rajallinen määrä, $2^{15} = 32768$ kappaletta, joten kaikkien nollakohdat on mahdollista laskea. Aivan kaikkia näitäkään ei tarvitse laskea, koska polynomin nollakohdat eivät muutu, kun se kerrotaan luvulla $-1$. Puolet voidaan siis jättää pois, ja riittää hakea $16384$ polynomin nollakohdat.
Laskin kuvion Mathematica-ohjelmistolla kotikoneessani. Aikaa meni vajaa minuutti. Ei siis mikään raskas laskentatyö, vaikka käsin laskettaessa aikaa epäilemättä hieman enemmän meneekin. Alla on hiomaton Mathematica-koodi. Tässä ei edes ole otettu huomioon polynomien määrän puolittamista. Varsin vähäisellä vaivalla voi tehdä matemaattisia kokeiluja tai leikittelyjä.
Polynomin asteluvun noustessa nollakohtien määrä kasvaa nopeasti ja niiden muodostama rengas tihenee. Nollakohdat pysyvät kuitenkin rajatulla alueella. Voidaan osoittaa, että kaikkien eriasteisten Littlewoodin polynomien nollakohtien joukko $D$ sijaitsee renkaassa $\{\frac{1}{2} < |z| < 2\}$. Rengas $\{2^{-1/4} < |z| < 2^{1/4}\}$ puolestaan sisältyy nollakohtien joukon sulkeumaan $\overline{D}$. Alla 10. asteen polynomista syntyvä kuvio.
Erilaisten kuvioiden muodostamista voidaan tietenkin jatkaa valitsemalla polynomien kertoimet jollakin muulla vastaavalla tavalla. Alla olevat kuviot syntyvät 12. asteen polynomista, jonka kertoimina ovat luvut $0$ ja $1$ (vasen kuvio) tai $i$ ja $1$ (oikea kuvio).
Toivotan lukijoille rauhallista joulua!
Ei kommentteja:
Lähetä kommentti