Littlewoodin joulukranssi

Joulukoristeeksi sopii varmaankin yllä olevan kuvion mukainen kranssi. Ajattelin kutsua tätä englantilaisen matemaatikon John Edensor Littlewoodin  mukaan Littlewoodin kranssiksi. Toivon, että hänellä ei ole mitään nimitystä vastaan.

Kranssin vihreä osa esittää astetta 14 olevien Littlewoodin polynomien nollakohtia kompleksitasossa. Littlewoodin polynomi taas on polynomi, jonka kaikki kertoimet ovat lukuja $+1$ ja $-1$. Astetta 14 olevia polynomeja on tällöin rajallinen määrä, $2^{15} = 32768$ kappaletta, joten kaikkien nollakohdat on mahdollista laskea. Aivan kaikkia näitäkään ei tarvitse laskea, koska polynomin nollakohdat eivät muutu, kun se kerrotaan luvulla $-1$. Puolet voidaan siis jättää pois, ja riittää hakea $16384$ polynomin nollakohdat.

Laskin kuvion Mathematica-ohjelmistolla kotikoneessani. Aikaa meni vajaa minuutti. Ei siis mikään raskas laskentatyö, vaikka käsin laskettaessa aikaa epäilemättä hieman enemmän meneekin. Alla on hiomaton Mathematica-koodi. Tässä ei edes ole otettu huomioon polynomien määrän puolittamista. Varsin vähäisellä vaivalla voi tehdä matemaattisia kokeiluja tai leikittelyjä.

Polynomin asteluvun noustessa nollakohtien määrä kasvaa nopeasti ja niiden muodostama rengas tihenee. Nollakohdat pysyvät kuitenkin rajatulla alueella. Voidaan osoittaa, että kaikkien eriasteisten Littlewoodin polynomien nollakohtien joukko $D$ sijaitsee renkaassa $\{\frac{1}{2} < |z| < 2\}$. Rengas $\{2^{-1/4} < |z| < 2^{1/4}\}$ puolestaan sisältyy nollakohtien joukon sulkeumaan $\overline{D}$. Alla 10. asteen polynomista syntyvä kuvio.

Erilaisten kuvioiden muodostamista voidaan tietenkin jatkaa valitsemalla polynomien kertoimet jollakin muulla vastaavalla tavalla. Alla olevat kuviot syntyvät 12. asteen polynomista, jonka kertoimina ovat luvut $0$ ja $1$ (vasen kuvio) tai $i$ ja $1$ (oikea kuvio).

  

Toivotan lukijoille rauhallista joulua!

Tekoäly, joulu ja matematiikka

Yllä oleva ei ole minun tekstiäni vaan tekoälybotin ChatGPT vastaus pyyntööni Kirjoita lämminhenkinen joulutervehdys matematiikkablogin lukijoille. Marraskuussa koemielessä julkaistu ChatGPT (https://chat.openai.com/) on saanut mediassa aika paljon huomiota viime aikoina. Rekisteröitymällä pääsee kokeilemaan.

ChatGPT tuottaa tekstiä perustuen siihen materiaaliin, jolla se on opetettu. Mitä opettaminen tarkkaan ottaen tarkoittaa, ei ole aivan yksinkertaista. Sille voi esittää kysymyksen, pyynnön tai kommentin jollakin kielellä ja se pyrkii vastaamaan samalla kielellä. Olen kokeillut suomea, englantia, saksaa, ranskaa, venäjää ja latinaa, ja kaikissa tapauksissa vastaus on tullut kohtalaisen hyvällä kielellä. Pieniä virheitä voi olla, mutta yleisesti ottaen kieli on hyvää. Pitäisin aika hämmästyttävänä suorituksena.

Sisällön suhteen tulos on heikompi. Teksti on jollakin tavoin latteaa ja saattaa sisältää vakaviakin asiavirheitä. Syötin kokeeksi kysymyksen Oliko Venäjän vallan aika onnellista Suomessa? ja tuloksena oli mitäänsanomatonta pyörittelyä ja selkeitä virhearveluita. Voisiko toisin ollakaan, ellei järjestelmää ole opetettu syöttämällä sille riittävästi aihetta käsittelevää kirjallisuutta? Suoriutuisiko se tällöin yhtä hyvin kuin keskimääräinen ihminen tai ehkä jopa paremmin?

Entä sitten matematiikka?

Kerrottakoon taustaksi lineaarialgebran tenttitehtäväni vuosikymmenien takaa: Mitä tarkoitetaan matriisin häiriöalttiudella (engl. condition number)? Eräs tentissä ollut henkilö kirjoitti aiheesta puolen sivun esseen pyörittelemällä häiriöiden vaikutusta ja alttiutta niihin sekä liittämällä tämän jotenkin matriiseihin. Itse käsitteestä hän ei tiennyt mitään. Nolla pistettä.

Tein saman kysymyksen ChatGPT:lle. Ensin englanniksi, sitten suomeksi käyttäen nimitystä häiriöalttius ja lopulta myös usein käytetyn virheellisen käännöksen ehtoluku avulla. Kaikissa tapauksissa moitteeton suoritus, joko englanniksi tai suomeksi. Olisin antanut täydet pisteet.

Onko tämä sitten hämmästyttävää? Ei. Vastauksen jälkeen esitettyyn kysymykseen How do you know this? ChatGPT vastasi:

The definition of the condition number of a matrix and its properties are well-documented in standard texts on numerical linear algebra and in research papers in the field. I have learned about the concept of the condition number of a matrix through my training as a language model, which included learning about various mathematical concepts and principles from a wide range of sources such as textbooks, research papers, and online resources.

Ja suomenkielisessä tapauksessa jatkokysymykseen Mistä tiedät, että englannin condition number on suomeksi häiriöalttius (tai häiriöluku)?:

Käännökset ovat yleensä tehty käyttäen kielten välistä sanakirjaa tai käännöstietokantaa, jotka sisältävät yleisesti käytettyjä käännöksiä eri kielten välillä. Tämän lisäksi käännöksiin voidaan käyttää apuna myös kielten asiantuntijoita, jotka ovat perehtyneet käännösten tekemiseen ja tietävät, miten eri käsitteitä voidaan kääntää eri kielillä. Näin ollen olen pystynyt selvittämään, että englannin condition number on suomeksi häiriöalttius tai häiriöluku, käyttämällä kielten välistä sanakirjaa tai käännöstietokantaa sekä tietämällä, miten eri käsitteitä voidaan kääntää eri kielillä.

Kaikki matematiikka ei kuitenkaan mene yhtä hyvin. Kysyin, miten ratkaistaan yhtälö $x^2 = x + 1$. ChatGPT muunsi sen ensin muotoon $x(x - 1) = 1$ ja sitten muotoon $x = \dfrac{1}{x - 1}$. Tästä ja alkuperäisestä yhtälöstä se päätteli juuriksi $x = 1$ ja $x = -2$, koska $1^2 = 1 + 1$ ja $-2^2 = -2 + 1$. Ei kovin vakuuttavaa. Opetus ei ilmeisesti ole sisältänyt pitkän matematiikan lukiokurssia.

Mitä tekoälystä sitten pitäisi ajatella? ChatGPT on kokeellinen järjestelmä, jolla varmasti on pitkä kehitys edessään. Mutta mihin oikeastaan olemme menossa? Jonakin päivänä koevastauksensa tai gradunsa ehkä voi tilata tekoälyltä. Pitäisikö tekoälyn käyttö kieltää? Ja onnistuisiko se? Vai pitäisikö miettiä, mitä oikeastaan pitää tietää ja miten elää maailmassa, jossa tekoäly tuottaa paljon hyvää ja paljon pahaa?

Tässä on jonkinlaisesta jatkumosta kysymys. Matematiikkaa harjoitettiin ennen kynällä ja paperilla (tai sitä ennen ehkä tikulla ja hiekalla), sitten tulivat erilaiset laskukoneet, ohjelmoitavat laitteet (laskin, tietokone, kännykkä), verkkoresurssit (kuten Google ja Wolfram Alpha). Mikä on seuraava askel?

Omasta puolestani toivotan hyvää joulua ja rauhallista uutta vuotta 2023.

Miltä $\pi$ kuulostaa?

 Blogijutussani Irrationaalikävelyllä  tarkastelin luvun $\pi$ desimaalien mukaan eri suuntiin eteneviä askelia ja näistä muodostuvaa polkua. Luvun irrationaalisuus näkyy polun ennakoimattomuutena.
Olisiko muita tapoja havainnollistaa piitä tai ainakin leikitellä sillä? Mitä saadaan, jos esimerkiksi asetetaan desimaalit vastaamaan tiettyjä sävelkorkeuksia? Ja miten helposti tällaisia kokeiluja pääsee tekemään.

Olen kokeiluissani yleensä käyttänyt laskentaohjelma Mathematicaa, johon on versio versiolta kertynyt jatkuvasti lisää kaikenlaisia, usein hieman sekavia ja kokeellisia ominaisuuksia. Esimerkiksi 12-sävelasteikon sävelet yksiviivaisesta c:stä alkaen saadaan muutamalla komennolla ja tulos voidaan tallentaa äänitiedostona:

Piin esitykseen päästäänkin tämän jälkeen varsin vähällä:

Ajatus piin esittämisestä äänitiedostona ei toki ole uusi. Piin desimaalit ovat lukujono A000796 kokonaislukujonojen ensyklopediassa (The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences) ja täällä on myös mahdollista kuunnella pii jopa useana erilaisena esityksenä.

Vähän yksitoikkoiselta pii toki kuulostaa. Mathematican kokeelliset piirteet antavat mahdollisuuden muuhunkin. Sävelet voidaan määritellä myös suoraan nuotteina, niiden kesto voidaan määritellä erikseen ja jopa soitinkin voidaan valita. Viimeksi mainittu on kyllä musta laatikko: missään ei käsittääkseni ole dokumentoituna, miten eri soitinten äänet on muodostettu. Pii voidaan tietenkin esittää muutoinkin kuin 10-kantaisena ja esityksen numerot sitoa sävelkorkeuksiin miten halutaan. En esittele tarvittavia komentoja, niissä tuskin on mitään yleispätevää kiinnostavuutta.

Ensimmäisenä esimerkkinä on 10-kantainen pii 12-asteikossa uruilla soitettuna, sävelten kestot Neperin luvun 10-kantaisesta esityksestä. Tästä voi piirtää kuvankin, eräänlaiset nuotit nämäkin:

Toisena esimerkkinä on 'kolmisointu-pii', ts. pii esitettynä 3-kantaisena, tämän numerot sidottuina säveliin c, e, ja g, kestot Neperin luvun 3-kantaisesta esityksestä, soittimena edelleen urut.

Monilla matemaattisilla ongelmilla on käänteiset ongelmansa. Niin tässäkin. Edellä kuvatulla tavalla voidaan muuntaa luku musiikiksi, tai siis ainakin ääneksi, mutta entä musiikin muuntaminen luvuksi? Sitäkin voi kokeilla:

Olkoon \begin{align*} a &= \frac{2819342985735813859733523604893034305465368787123665428766810701824}{1730765619511609209510165443073365}, \\[5pt] b &= \frac{2934443644746840392851674865259212716387069853696}{4238682002231055}. \end{align*} Tällöin komennot

tuottavat joulunaikaan sopivan äänitiedoston. (Miksi heksadesimaalikanta? Jotta 12-järjestelmässä saadaan esitetyksi tarvittava ääniala ...)

Lopuksi toivotan kaikille lukijoille riemullista joulujuhlaa.

Digijoulu

Tonttu Digi Bittinuttu oli toiminut Joulupukin Paja Oy:n logistiikkapäällikkönä melkein 100 vuotta. Hän oli tullut taloon nuorena tonttuna yli 200 vuotta sitten sulkemaan joulupaketteja lakalla ja ollut tuolloin nimeltään Petteri Pikkunuttu. Hän oli vähitellen edennyt urallaan, kohonnut logistiikkapäälliköksi ja viimeisen 70 vuoden aikana kiinnostunut tietotekniikan tarjoamista mahdollisuuksista. Häntä oli tämän takia alettu kutsua Bittinutuksi ja hän oli lopulta virallistanut sen nimekseen. Tämän jälkeen hän oli saanut uuden lyhyemmän lempinimen "Digi".

Joulupukin Pajan periaatteena oli edelleen, että lahjat jaetaan pulkkakuljetuksilla ja käyttövoimana on poro.  Digin tehtävänä oli näiden järjestely ja se harmitti häntä tavattomasti. Hän olisi jo kauan halunnut siirtyä modernimman tekniikan käyttöön (mönkijöitä, putkijärjestelmiä, droneja, kevyitä suihkukoneita, raketteja jne.), virtuaalilahjat voitaisiin toimittaa perille yksinomaan sähköisesti. Koko järjestelmä kuljetusreitteineen olisi kaivannut optimointia. Mutta Pajan johdossa oleva Joulupukki oli auttamattoman konservatiivinen, pulkista ja poroista ei luovuta, virtuaalilahjoihin ei siirrytä. Vaikka lahja olisi ollut ohjelmistotuote, se talletettiin muistitikulle, joka pakattiin kauniiseen joulupakettiin. Pulkkauratkin olivat pyhiä, vaikka lunta ei sataisikaan.

Digi alkoi vähitellen kyllästyä ja suunnitteli uusiin kuvioihin siirtymistä. Hän oli kaikessa hiljaisuudessa perustanut startup-yrityksen, jonka ideana oli joulun kaikinpuolinen digitalisointi. Joulupukin Pajan tontuilla oli kyllä kilpailukielto ja salassapitosopimus, joka kattoi irtisanoutumisen jälkeiset 100 vuotta jouluun liittyvien toimintojen osalta, mutta Digi arveli saavansa tarvittaessa korkeimman oikeuden uskomaan, että digijoulu on täysin eri toimiala.

Startup-yrityksen ensimmäinen hanke oli virtuaalijoulukuusen kehittäminen. Tämä sai nimekseen X-Spruce ja se voitiin räätälöidä asiakkaan toiveiden mukaan. Kuusi generoitiin matemaattisella algoritmilla, jonka parametrien arvot asiakas valitsi. Se toimitettiin verkon kautta koodina, jonka avulla asiakas saattoi katsella kuusta eri puolilta, luoda olohuoneeseensa laajennetun todellisuuden joulukuusineen tai tulostaa kuusen 3D-tulostimella. Muitakin mahdollisuuksia kehitettäisiin myöhemmin. Toistaiseksi kyseessä oli prototyyppi, joka oli vielä varsin köyhä esimerkiksi koristeiden suhteen.

Generointialgoritmin pohjana oli ruuviviiva \[c(u) = (r\cos(wu), r\sin(wu), au),\] missä $r$, $w$ ja $a$ olivat asiakkaan valitsemia parametreja. $r$ saattoi olla myös käyräparametrista $u$ riippuva funktio $r(u)$ asiakkaan valinnan mukaan. Ruuviviiva määräsi kuusen oksien ulottuvuuden rungosta.

Paitsi ruuviviivaan oksat tuettiin kuusen runkoon pisteeseen $q(u) = (0,0,au+b)$. Tämä oli parametrista $b$ riippuen joko ylempänä tai alempana kuin ruuviviivalla oleva oksan toinen pää. Oksat suuntautuivat tällöin joko ylös- tai alaspäin. Parametrin $b$ valitsi asiakas. Kuusen oksia kuvattiin tällöin lausekkeella \[s(u,v) = vc(u) + (1-v)q(u).\] Tämä esittää ruuvipinnaksi kutsuttua pintaa, jolla oksat sijaitsevat. $u$ ja $v$ ovat pintaparametrit, $u \ge 0$, $0 \le v \le 1$.

Kuusen tuuheuttamiseksi sen rakenne saattoi perustua useaan ruuviviivaan.

Prototyypissä ei vielä ollut muita koristeita kuin dodekaedriin perustuva latvatähti.

Esimerkiksi valintoihin \[r(u) = \frac{60-u}{15},\ w_1 = 1,\ w_2 = 0.8,\ a = 0.2,\ b = 1\] pohjautuva kahden ruuviviivan kuusi näytti seuraavalta:

Saadakseen käsityksen markkinoista Digi päätti julkaista kuusesta 3D-tulostimelle tarkoitetun koodin, joka oli laadittu Mathematicalla: x_spruce.stl (32 MB). Toiveena on, että 3D-tulostimen omistavat potentiaaliset asiakkaat kokeilevat tulostusta ja raportoivat kokemuksistaan. Digi odottaa tuloksia jännittyneenä.

Joulupukin liikenneympyrä ja Fredericus-tontun ongelma

Liikenne ja ruuhka joulupukin pajan edustalla oli siinä määrin lisääntynyt, että katsottiin välttämättömäksi rakentaa pajan eteen liikenneympyrä, jossa kuljettaisiin vain positiiviseen kiertosuuntaan. Lahjojen toimittamista varten joulupukilla oli myös lukuisia poroja ja moottorikelkkoja, joille tarvittiin pysäköintitilaa mahdollisimman läheltä pajan ulko-ovea.

Niinpä pajan oven eteen päätettiin rakentaa liikenneympyrä, jonka keskiympyrän halkaisija olisi 40 metriä.  Pysäköintipaikat päätettiin sijoittaa keskiympyrään, puolet ympyrän alasta poroille ja toinen puoli moottorikelkoille. Tarvittavan kaavamuutoksen saaminen kesti kauan eikä rakennustyökään ihan nopeasti sujunut. Kun ympyrä lopulta valmistui, pukin kuljetuskalusto oli siinä määrin motorisoitunut, että poroja oli jäljellä enää yksi. Kaavamääräykset olivat kuitenkin tiukat: poroille oli varattava tasan puolet keskiympyrän alasta.

Aitauksen rakentamista yhdelle ainoalle porolle ei enää pidetty taloudellisesti järkevänä, vaan poro päätettiin panna sopivan pituiseen liekaan, joka kiinnitettäisiin keskiympyrän reunaan. Liean pituus tuli määrätä siten, että poro pääsisi syömään jäkälää täsmälleen puolella ympyrän alasta eikä se voisi käydä pureskelemassa moottorikelkkojen satuloita tai muita maistuvia osia.

Joulupukki-konsernissa oli matemaattinen osasto, joka varsinaisesti vastasi lahjojen hinnoittelusta ja konsernin tulokseen liittyvistä laskelmista. Lisäksi sillä oli tilastomatemaattista asiantuntemusta mielipidekyselyjen analysointiin. Tarvittaessa sitä käytettiin muihinkin matemaattisiin tehtäviin.  Osasto sai tehtäväkseen selvittää liekanarun pituuden.

Osaston päämatemaatikko oli Stefanus Superbus -niminen tonttu, joka hallitsi erinomaisesti matemaattisten laskentaohjelmien käytön, mutta joka inhosi kynään tarttumista ja varsinkin paperia, ellei se tullut ulos tulostimesta. Osastolla omassa kammiossaan yleensä suljetun oven takana pohdiskeli matemaattisia ongelmia myös tonttu nimeltään Fredericus Minimus. Hän oli Stefanuksen täydellinen vastakohta: kulutti suunnattomasti paperia luonnosteluihin ja pohdiskeluihin ennen kuin kirjoitti lopullisen tiiviin esityksen pienellä ja selkeällä käsialalla. Teknisiin apuvälineisiin hän tarttui vain äärimmäisessä hädässä pahoinvointia tuntien. Kumpikin paneutui liekanaruongelmaan.

Stefanus kirjoitti keskiympyrän muotoon $x^2+y^2 = 1$, jolloin yksikkönä on keskiympyrän säde.  Liean kiinnityspisteeksi hän valitsi $(0,-1)$. Jos liean pituus on $r$, poro pääsee alueelle $x^2 + (y+1)^2 \le r^2$, jolloin keskiympyrän sisäpuolelle jäävän alueen ala saadaan integraalista
\[
\int_{-r\sqrt{1-r^2/4}}^{r\sqrt{1-r^2/4}} \left(-1+\sqrt{r^2-x^2}+\sqrt{1-x^2}\right)\,dx.
\]
Tässä tulee olla $0 \le r \le \sqrt{2}$. Laskentaohjelma antoi integraalille arvon
\[
-r\sqrt{1-r^2/4} + r^2 \mathrm{arccot}\left(\frac{r}{\sqrt{4-r^2}}\right) + \arcsin\left(r\sqrt{1-r^2/4}\right).
\]
Koska tämän tulee olla puolet keskiympyrän alasta eli $\pi/2$, on saatu yhtälö liean pituudelle.  Laskentaohjelman Newtonin iteraatio antoi nollakohdaksi $r = 1.1587\dots$. Koska keskiympyrän säde on 20 metriä, sai Stefanus liean pituudeksi noin 23.17 metriä.

Fredericus puolestaan piirteli kuvan, jossa poron laidunalueen puolikas muodostui kahdesta osittain päällekkäin olevasta sektorista keskipisteinä $K$ ja $P$. Yhteinen osa oli kolmio, ja Fredericus laski pinta-alan vähentämällä kolmion alan sektoreiden yhteispinta-alasta. Koko laidunalueen pinta-alaksi tuli tällöin
\[
\pi - r\sqrt{1-r^2/4} + (r^2 - 2)\arctan\left(\sqrt{4/r^2 - 1}\right).
\]
Tämän oli siis oltava puolet keskiympyrän alasta eli $\pi/2$. Ratkaisun olemassaolon Fredericus päätteli helposti, mutta lukuarvon laskemiseen hän joutui käyttämään taskulaskinta.  Tulokseksi tuli sama kuin Stefanuksella.

Liean pituus oli siis saatu selvitetyksi. Heräsi kuitenkin kysymys, olivatko saadut pinta-alan lausekkeet samat. Stefanus syötti lausekkeet laskentaohjelmaan ja pani ohjelman sieventämään niiden erotusta. Tulisiko tulokseksi 0? Ei tullut. Lauseke hieman yksinkertaistui, mutta se sisälsi edelleen molemmat funktiot $\arcsin$ ja $\arctan$. Jäi avoimeksi, voisiko tulosta sieventää edelleen.  Stefanus oli kuitenkin toiminnan tonttu: hän piirsi ohjelmalla kummankin lausekkeen kuvaajan, ja kun ne osuivat päällekkäin, totesi niiden olevan samat ja asian tulleen loppuun käsitellyksi.

Käsin laskuun luottava ja tarkkaa päättelyä arvostava Fredericuskin ryhtyi puuhaan ja vannoi selvittävänsä asian täsmällisesti ennen joulupuuron syöntiä. Aika kului ja joulu lähestyi.  Fredericuksen kammion lattia alkoi peittyä revittyihin suttupapereihin, ja hän pyysi lisää paperia.  Tuskanhiki nousi hänen otsalleen. Eikö käsin laskeminen johtaisikaan tulokseen ja jäisikö joulupuuro syömättä?

Jouluun on vielä muutama päivä. Osaisitko auttaa Fredericus-parkaa?

Miten laskea reitti Korvatunturilta Pääsiäissaarelle

Reitti Korvatunturilta Pääsiäissaarelle

Edellisessä blogikirjoituksessani — Joulusadussa — oli kyse lyhimmän reitin laskemisesta Korvatunturilta Pääsiäissaarelle. Sadussa Korvatunturin tontut eivät suoriutuneet tehtävästä ja se tilattiin konsultilta, jonka palkkio osoittautui isoksi. Miten reitti — pituus ja lähtösuunta — pitäisi laskea, kun lähtötietoina ovat Korvatunturin ja Pääsiäissaaren maantieteelliset koordinaatit?

Digitaalimaailmassa on tarjolla ohjelmistoja, joilla laskenta sujuu lähes asioita ymmärtämättä.  Koordinaatit löytyvät vaikka Googlen karttojen avulla: klikkaus kyseiseen pisteeseen ja valinta 'Mitä täällä on?'.  Tuloksena saadaan leveys ja pituus: ktunturi = {68.07, 29.32}, psaari = {-27.11, -109.35}.  Ainakin laskentaohjelma Mathematica tarjoaa valmiit funktiot etäisyyden ja lähtösuunnan laskemiseen:

Reitin piirtäminenkään ei ole vaikeata (kuva alussa):

Sadussa tarvittu pienoiskopterin viimeinen mahdollinen huoltopaikkakin saadaan valmiilla funktiolla:

Tämä osuu Meksikon Tyynenmeren rannikolle.

Olisiko tällaisten työkalujen hallinta sitten matematiikkaa? Kun lukion opetussuunnitelmakin painottaa teknisten apuvälineiden käyttöä, tulisiko matematiikan opetuksessa keskittyä ohjelmistotyökaluihin?  Seuraamalla ns. CAS-laskentaa ja ohjelmistojen ongelmia koskevaa keskustelua syntyy käsitys, että tällainen ajattelu valtaa alaa. Muuhun ei aikaa ole.

Ohjelmistojen käyttökoulutus ei kuitenkaan ole matematiikkaa, eikä koulumaailman digitalisointia voisi pahemmin väärin ymmärtää. Silti digitalisoinnilla on paikkansa. Sen järkevä ja hyödyllinen käyttö on vain jäänyt paljolti pohtimatta.

Millä muulla tavalla sitten joulusadun tehtävät voitaisiin laskea? Kovin vaativasta asiasta ei ole kyse. Trigonometriset funktiot — lähinnä sini ja kosini — on ymmärrettävä, lisäksi tarvitaan vektorialgebraa ristitulo mukaan luettuna. Tämän jälkeen tervettä järkeä ja kykyä sommitella asioita yhteen. Viimeksi mainitut ovat hyödyllisiä taitoja muuallakin kuin matematiikassa. Paikallaan oppia lukiossa.

Entä digitaalisuus? Ohjelmointi on hyödyllinen taito, jonka tunteminen auttaa ymmärtämään modernin maailman toimintaa. Joulusadun ongelmien ohjelmointikaan ei ole liian vaativa tehtävä, jos käytettävissä on yksinkertainen mutta hyvä ohjelmointiympäristö (jota ei kyllä nykyään kouluihin tarjottavista ohjelmistoista taida löytyä). Toimiva itse tehty ohjelma myös osoittaa, että tarvittava matematiikka on ymmärretty. Saattaisi antaa kiinnostavan näkökulman matematiikkaan ja sen sovelluksiin.

Tämäntyyppisellä ohjelmoinnilla olisi paikkansa lukion matematiikassa. Se myös pakottaisi syventymään varsinaiseen matematiikkaan vain lukiossa käytettävien ohjelmistojen sijasta.

En selvittele joulusadussa tarvittavaa laskentaa tarkemmin. Kiinnostuneet löytävät sen kirjastani Vaellusretkiä matematiikkaan (http://www.elisanet.fi/simo.kivela/vaellmat.html).

Joulusatu

Pikku Rapa asui Pääsiäissaarella. Hän oli kuullut, että kaukana pohjoisessa Korvatunturilla, maapallon toisella puolella asui Joulupukki, joka huolehti siitä, että maailman kaikki kiltit lapset saivat joululahjoja, ainakin yhden. Joulupukille saattoi lähettää kirjeen ja toivoa, mitä kaikkein mieluimmin haluaisi joululahjaksi.

Pikku Rapa tiesi, että Joulupukilla oli tontuiksi kutsuttuja apulaisia, jotka käyttivät tonttulakkia, eräänlaista punaista pipoa, jonka päässä heilui valkoinen tupsu. Joulupukillakin oli tällainen lakki ja siinä oli oikein iso tupsu. Rapa oli nähnyt kuviakin ja hän halusi tuollaisen lakin. Ehkäpä joku Pääsiäissaarella ihastuisi lakkiin ja päättäisi tehdä vähän isomman, joka pantaisiin jonkun saarella olevan kivipatsaan päähän. Se vasta olisi hieno näky. Rapa kirjoitti Joulupukille.

Postilaitos kuljetti kirjettä, moneen kertaan se harhautui, mutta löysi lopulta tiensä Korvatunturille täynnä erilaisia leimoja ja uudelleenlähetysmerkintöjä. Joulupukki luki kirjeen ja päätti toteuttaa toiveen.

Joulupukin lähettämössä oli juuri otettu käyttöön moderni tekniikka ja varsinkin kauas toimitettavat lahjat lähetettiin pienoishelikopterilla, dronella.Tätä päätettiin kokeilla myös Pääsiäissaaren yhteyteen. Lennon piti tapahtua mahdollisimman suoraan, jotta kopterin akkujen varaus varmasti riittäisi. Etäisyys piti saada lasketuksi, samoin suunta, johon kopterin piti Korvatunturilta lähteä.

Tästä syntyi ongelma. Osa tontuista oli kyllä suorittanut ylitonttututkinnon, johon sisältyi myös matematiikkaa, mutta ei niin paljoa, että he olisivat osanneet laskea suunnan ja etäisyyden. Päätettiin käyttää ulkopuolista konsulttia lähimmästä yliopistokaupungista. Tämä laski hetkessä halutut luvut ja kirjoitti palveluksistaan varsin suolaisen laskun. Joulupukki totesi, että laskun takia 5000 lapsen lahjat oli valittava alemmasta hintaluokasta. Lahjojen tekemisestä vastasi Tonttupaja, joka oli osa samaa konsernia kuin Joulupukkipalvelu, mutta konsernin sisällä sovellettiin sisäistä laskutusta. Joulupukkipalvelulle kuului vain logistiikka, ja tällä tavoin konsultin lasku siirtyi Tonttupajan kannettavaksi.

Etäohjattava kopteri saatiin matkaan. Akkujen latauksen oli määrä riittää Pääsiäissaarelle saakka. Muutaman päivän kuluttua kopterilta kuitenkin tuli ilmoitus, että akkujen varaustila oli laskenut odotettua nopeammin ja uusi lataus tarvittaisiin viimeistään 10000 kilometrin lennon jälkeen. Joulupukkipalvelussa jouduttiin pohtimaan, mistä lataus olisi tilattava ja mihin kopteri olisi ohjattava laskeutumaan.

Aiemmin käytetty konsultti tuli avuksi, ja selvitti hetkessä sopivan latauspaikan. Toiset 5000 lasta joutuivat tyytymään alemman hintaluokan lahjaan.

Lataus järjestyi, ja kopteri pääsi onnellisesti Pääsiäissaarelle, jossa Rapa oli jo jonkin aikaa tähyillyt horisonttiin kopteria odottaen. Oikean tähyilysuunnan hän oli itse laskenut.

Korvatunturilla konsultin palkkiot herättivät kiivaan keskustelun. Vaadittiin, että ylitonttututkintoon oli lisättävä trigonometriaa ja vektorialgebraa niin paljon, että tontut itsekin suoriutuisivat suunnistukseen tarvittavista laskuista. Toiset kuitenkin katsoivat, että tämänkaltainen panostus oli ylimitoitettua ja riittäisi, että hankittaisiin laskentaohjelma, jossa tarvittavat laskut olisivat valmiiksi ohjelmoituina; modernissa maailmassa matematiikka on ohjelmistojen käyttöä ja niiden opettelu riittäisi. Asiaa ei jaksettu pohtia ja vähitellen keskustelu laantui. Sen sijaan siirryttiin pohtimaan tutkinnon yleistä tietokoneistamista: tulisiko kokeessa kirjoittaa vastaukset Times-, Lucida- vai Comic Sans -fontilla.


Sen pituinen se.

----------
Joulupohdittavaa lukijalle: Mikä on etäisyys Korvatunturilta Pääsiäsissaarelle ja mihin suuntaan kopterin on lähdettävä? Miltä lentoreitti näyttää kartalla? Mitkä olisivat sopivia paikkoja kopterin akkujen lataamiseen? Mihin suuntaan Rapa tähyili kopteria odottaessaan? Työvälineinä kynä ja paperi tai jokin ohjelmisto tai jotakin muuta, mikä lukijaa miellyttää. Vastauksen voi jättää kommenttina, mukaan tieto välineistä.

Joulurauhan konvergenssi

Samalla kun toivotan lukijoille hyvää joulua, tarjoilen pientä puuhaa joulunpyhien ja jouluvieraiden ratoksi.

Tarkastelun kohteena on joulurauhan julistus, suomen- ja ruotsinkielinen versio peräkkäin pantuina. Löytyy vaikkapa Wikipedia-sivulta https://fi.wikipedia.org/wiki/Joulurauha. Puuhaan osallistujia tulisi olla useampia, ja jokainen heistä valitsee oman aloitussanansa julistuksen ensimmäisiltä riveiltä.

Aloitussanasta lähtien muodostetaan sanaketju seuraavasti: Lasketaan aloitussanan kirjaimien lukumäärä. Siirrytään eteenpäin niin monta sanaa kuin tämä lukumäärä osoittaa. Saadaan ketjun seuraava sana. Toistetaan askel tämän suhteen ja saadaan kolmas sana. Jatketaan näin, kunnes ruotsinkielisessä tekstissä sanat loppuvat, ts. jouduttaisiin hyppäämään ulos tekstistä.

Mikä on viimeinen sana? Miten tämä riippuu valitusta aloitussanasta? Miksi?

Tekstiksi voi valita muutakin kuin joulurauhan julistuksen. Latinistille voisi sopia jouluevankeliumi (Luukas 2:1-20) Vulgata-käännöksenä, esimerkiksi https://www.biblestudytools.com/vul/luke/2.html. Suomalaisen kirjallisuuden ystävälle jouluinen teksti Seitsemästä veljeksestä: kolme kappaletta kuudennesta luvusta alkaen kohdasta 'On joulu-ilta.' Tämäkin löytyy netistä: http://www.gutenberg.org/cache/epub/11940/pg11940.txt.

Tekstejä voi toki lukea paperiltakin, mutta sähköinen versio voi olla hyödyksi, jos innostuu kirjoittamaan ohjelmakoodin konvergenssin tutkimista varten.

En jää miettimään, onko tämä matematiikkaa ja sopiiko se siis matematiikkablogiin.  Mutta hyvää joulua toivotan.

Funktioteoreettiset piparit

Joulun kunniaksi esittelen funktioteoreettisen sovelluksen piparimuottien valmistamiseen. Älköön kukaan kuitenkaan ajatelko, että tämä on esimerkki matematiikan soveltamisesta arkielämään tai osoitus matematiikan tarpeellisuudesta.  Jouluhan on sitä paitsi juhla eikä arkea.

Kompleksimuuttujan kompleksiarvoisia funktioita $f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ voi tutkiskella selvittämällä, millaiseksi käyräksi kuvautuu sopivasti valittu lähtötason käyrä, esimerkiksi suora tai yksikköympyrä.

Funktion
\[
f(z) = \left(z^p + \frac{1}{2z^p}\right)^{1/p}
\]
tapauksessa sopiva käyrä on yksikköympyrä. Luontevinta on, että $p$ on luonnollinen luku, mutta myös puoliluvut $1/2$, $3/2$, $5/2$ jne. kelpaavat. Tuloksena on piparkakkumuottikäyriä:

$2p = 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10,\ 200$

Aivan ongelmaton tilanne ei ole, sillä piparkakkumuotin tulee olla umpinainen käyrä, mutta kompleksiluvun vaihekulman eli argumentin antava funktio $\arg$ saa arvonsa väliltä $]-\pi,\pi]$ ja jaksolliseksi laajennettuna sillä on hyppyepäjatkuvuus kohdissa $\pi + 2n\pi$ ($n$ kokonaisluku tavanomaiseen tapaan). Tämä on korjattava jatkuvaksi, jotta saadaan umpinainen piparkakkumuotti.  Saman asian voi tehdä valitsemalla sopiva arvo funktion lausekkeessa olevalle $p$:nnelle juurelle (eli potenssille $1/p$). Kompleksitasossahan $p$:nnellä juurella on $p$ eri suurta arvoa.

Jotkut ratkovat ristisanatehtäviä aikansa kuluksi. Matemaattisemmin orientoituneet henkilöt saattavat olla kiinnostuneita matemaattisen ohjelmakoodin selvittelystä. Tarjoan pohdittavaksi Mathematica-koodin, joka piirtää piparimuotteja. Ongelmana siis on, mitä mikäkin koodirivi tekee.

Vihjeeksi Mathematica-ohjelmiston käyttämän kielen, ns. Wolfram Languagen verkkodokumentti: http://reference.wolfram.com/language/.

Tämän jälkeen voikin ryhtyä tekemään piparkakkumuotteja 3D-tulostuksella.  Minulla itselläni on vanhemmalla tekniikalla tehdyt: peltiä leikkaamalla ja taivuttelemalla.

Lopuksi toivotan kaikille riemullista joulujuhlaa.