Gauss ja 17-kulmio

Kaikkien aikojen merkittävimpänä matemaatikkonakin tunnettu Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855) osoitti teoksessaan Disquisitiones Arithmeticae (julkaistu 1801) paljon muun ohella, että säännöllinen 17-kulmio on mahdollista konstruoida geometrisesti, ts. ainoastaan harppia ja viivoitinta käyttäen. Konstruktiota Gauss ei kuitenkaan esittänyt.

Säännöllisten monikulmioiden geometrinen konstruointi on kiinnostanut geometrikkoja antiikin ajoista lähtien. Esimerkiksi viisikulmion konstruktion esittää Eukleides Stoikheia- (Elementa-) teoksensa neljännessä kirjassa propositioina 10 ja 11. (Katso esimerkiksi englanninkielistä tai kreikankielistä esitystä.) Seitsemäntoistakulmion ongelmaa ei kuitenkaan kukaan ole ennen Gaussia ratkaissut.

Miten asiaa voisi nykyisillä työvälineillä tutkia?

Seitsemäntoistakulmio

Seitsemäntoistakulmion piirtäminen grafiikkaohjelmalla on helppoa: Koska piste $(\cos(t),\sin(t))$ sijaitsee origokeskisellä yksikköympyrällä kulman $t$ (radiaaneissa) suunnassa, saadaan 17 tasavälistä ympyrän pistettä lausekkeista \[(\cos(2\pi k/17),\sin(2\pi k/17)),\] missä $k$ saa arvot $0,\ 1,\ 2,\ \dots\,\ 16$. Antamalla $k$:lle lisäksi arvo $17$ saadaan ensimmäinen piste uudelleen. Piirtämällä murtoviiva näiden pisteiden kautta saadaan yksikköympyrän sisällä oleva säännöllinen 17-kulmio.

Toinen vaihtoehto on laskea vaikkapa valmiilla laskentaohjelman komennolla numeerinen ratkaisu polynomiyhtälölle $x^{17} - 1 = 0$. Tällä on 17 ratkaisua, joista yksi on reaalinen, $x = 1$, ja muut kompleksisia. Näiden reaali- ja imaginaariosat antavat samat 17-kulmion kärkipisteiden koordinaatit kuin edellä.

Gauss tutki 18-vuotiaana vuonna 1796 polynomiyhtälöiden ratkaisemista ratkaisukaavoilla, ts. neljän peruslaskutoimituksen ja juurenoton avulla. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavat olivat tunnettuja jo vanhalla ajalla, kolmannen ja neljännen asteen yhtälön ratkaisukaavat olivat löytyneet 1500-luvulla. Viidennen asteen yhtälölle oli yleistä ratkaisukaavaa yritetty menestyksettä löytää parin sadan vuoden ajan, ja alkoi vaikuttaa ilmeiseltä, että sellaista ei ehkä voitaisikaan löytää. Vuonna 1824 Nils Henrik Abel lopulta todisti, että viidennen ja korkeamman asteen yhtälöille ei yleistä ratkaisukaavaa ole.

Gaussin esitys Disquisitiones Arithmeticae -teoksessa. Juurilausekkeessa
on painovirhe: neljännen termin edessä tulee olla plusmerkki.

Ratkaisu peruslaskutoimitusten ja juurten ottojen avulla voi kuitenkin olla erikoistapauksissa mahdollista. Gauss tutki muun muassa muotoa $x^n - 1 = 0$ olevia yhtälöitä ja totesi, että eräissä tapauksissa niiden ratkaisut voidaan lausua juurilausekkeita käyttäen. Arvo $n = 17$ on tällainen. Siten esimerkiksi pisteen $P_1$ x-koordinaatille $\cos(2\pi/17)$ saadaan lauseke \[-\frac{1}{16}+\frac{\sqrt{17}}{16}+\frac{1}{16} \sqrt{34-2\sqrt{17}}+\frac{1}{8} \sqrt{17+3 \sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2 \sqrt{34+2 \sqrt{17}}}.\] Tämän löytäminen ei ole aivan helppoa enkä paneudu siihen, en myöskään lukua $n$ koskeviin ehtoihin.

Symbolisen laskentaohjelman käyttäjä voi yrittää löytää edellä mainitun juurilausekkeen muokkaamalla kosinifunktion arvoa $\cos(2\pi/17)$. Laskentaohjelma Mathematican komento ToRadicals tuottaa lausekkeen \[\frac{1}{4 \sqrt{\frac{2}{15+\sqrt{17}-\sqrt{2\left(17-\sqrt{17}\right)}+\sqrt{2 \left(34+6\sqrt{17}+\sqrt{2 \left(17-\sqrt{17}\right)}-\sqrt{34\left(17-\sqrt{17}\right)}+8 \sqrt{2\left(17+\sqrt{17}\right)}\right)}}}}.\] En saanut Mathematicaa sieventämään tätä. Sen ja edellä saadun juurilausekkeen erotuksen ohjelma kuitenkin sieventää nollaksi, joten ne esittävät samaa lukua.

Mistä Gauss sitten päätteli, että 17-kulmio voidaan piirtää geometrisesti? Mainittu kosinin arvo riippuu vain yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolaskusta sekä neliöjuuren otosta, ja jokainen operaatio voidaan erikseen toteuttaa harpilla ja viivoittimella. Janojen $a$ ja $b$ yhteen- tai vähennyslasku tarkoittavat janojen asettamista samalle suoralle, kerto- ja jakolasku niiden sekä yksikköjanan asettamista kahdelle toisensa leikkaavalle suoralle ja nelijuuren otto suorakulmaisen kolmion piirtämistä puoliympyrän sisään; kuviot alla. Täten juurilausekkeen edustama pituus saadaan vaiheittain konstruoiduksi. Kun yhden 17-kulmion kärjen paikka on täten konstruoitu, loput saadaan harpilla helposti. Tällä tavoin tehty konstruktio ei ole kovin sujuva, mutta se osoittaa  geometrisen konstruktion mahdolliseksi. Gaussille riitti tämä. Myöhemmin on toki esitetty sujuvampiakin konstruktioita.

Juurilausekkeen konstruoinnissa tarvittavat geometriset alkeiskonstruktiot.

Tarkempia tietoja ja yksityiskohtia löytyy ainakin Wikipedia-artikkeleista Konstruoituva monikulmio ja Seitsentoistakulmio sekä niiden englannin- (tai muun-) kielisistä vastineista. (Näissä on eroja. Esimerkiksi saksankieliset näyttävät sisältävän materiaalia, jota muissa ei ole.) Artikkelit sisältävät myös animaatioita 17-kulmion geometrisesta konstruointiprosessista. Juurilausekkeen laskeminen löytyy tietenkin Disquisitiones Arithmeticae -teoksesta ja ainakin Jörg Bewersdorffin kirjasta Galois Theory for Beginners, varmaan muualtakin. Saksankielisessä Wikipedia-artikkelissa näyttää periaate myös olevan kuvattuna.