Mietteitä pitkän matematiikan ylioppilaskokeesta

Entisenä ylioppilastutkintolautakunnan matemaatikkojäsenenä seuraan edelleen ainakin jonkinlaisella kiinnostuksella ylioppilaskokeita. Muutoksiahan on minun aikani jälkeen tapahtunut paljon. Tutkinto on digitalisoitu useallakin tavalla: tehtävissä on aiempaa monipuolisempia materiaaleja, käytetään erilaisia tietokoneohjelmistoja, kokeiden organisaatio perustuu aika laajaan tietotekniikan hyödyntämiseen.

Aktiivisesta työstä poisjääminen antaa usein mahdollisuuden katsella asioita hieman etäämmältä, kun akuutit ongelmat eivät enää kaadu päälle. Pohdin seuraavassa eräitä näkökulmia, vaikka osuutta tutkinnon kehittämiseen minulla ei olekaan.

Tavalliseen tapaan pitkän matematiikan koetta on pidetty vaikeana. Taktisista syistä koulukollektiivin kannattaa tietenkin olla tätä mieltä, toiveena saada seuraavalla kierroksella helpompi koe, ts. sama arvosana vähemmällä työllä. Jos kuitenkin yritän objektiivisesti arvioida koetta, en voi pitää sitä kovin vaikeana. Joukossa toki on vaikeita tehtäviä, mutta myös sellaisia, joista aika helposti voi kerätä pisteitä, vaikka tehtävän täydellinen ratkaisu ei onnistuisikaan. Näin minusta pitääkin olla.

Tehtävä 6 ratkaistuna GeoGebralla

Perinteisen laskemisen ja ohjelmistojen käytön välinen rajanveto tuntuu ongelmalliselta.  Tämä tulee esiin erityisesti tehtävässä 6, jossa annetaan paraabeli ja sen ulkopuolinen piste. On määrättävä ne paraabelin pisteet, joihin asetettu tangentti kulkee annetun pisteen kautta, ja annettua pistettä lähinnä oleva paraabelin piste sekä etäisyys tähän. Vastaukseksi kelpaavat myös likiarvot. Hyvin klassinen tehtävä ja hyvän vastauksen piirteissäkin on klassinen ratkaisu. Mutta tehtävä ratkeaa näppärästi myös GeoGebran funktioilla Tangentti, Etäisyys ja LähinPiste (Tangent, Distance, ClosestPoint), kuten yllä oleva kuva osoittaa. Muita kokeessa sallittuja ohjelmistoja minulla ei ole, joten en osaa sanoa, löytyykö niistäkin vastaavat työkalut.

Vaikka GeoGebraa käytettäessä ei tarvitsekaan laskea yhtään mitään, tehtävän hahmottaminen kyllä edellyttää jonkinlaisia matemaattisia perustietoja GeoGebran hallitsemisen lisäksi. Eri ratkaisutavat pohjautuvat kuitenkin hyvin erilaisiin matemaattisiin taitoihin. Tällöin joudutaan pohtimaan, mitä tehtävä oikeastaan mittaa. Halutaanko painottaa ohjelmistoihin perehtymisen tärkeyttä? Pitäisikö kokelaan perehtyä useisiin kokeessa tarjolla oleviin ohjelmistoihin, koska niissä saattaa olla tiettyyn tehtävään eritasoisia työkaluja? Näin, vaikka juuri näitä ohjelmistoja myöhemmissä opinnoissa tai elämässä yleensäkään ei enää käytettäisi? Taustalla on aika olennainen kysymys: Mitä varten matematiikkaa koulussa oikeastaan opetetaan? Mitä sen opetuksen pitäisi kattaa?

Olen aikoinani pitänyt tarpeellisena laskentavälineiden ja ohjelmistojen tuomista koulun matematiikan opetukseen. Samalla olen sanonut, että se edellyttää muutoksia monissa asioissa eikä muutos ole tämän takia helppo. Periaatteessa olen samaa mieltä edelleen, mutta muutos olisi pitänyt toteuttaa toisin, eikä missään tapauksessa yrittää digitalisoida ylioppilastutkintoa kaikissa suhteissa samaan aikaan. Ohjelmistot ovat ohjanneet opetusta liiaksi, eikä niiden kehitys aina ole edennyt hyvään suuntaan. GeoGebrakin oli lähtökohdiltaan hyvä, mutta minusta se on mennyt pilalle ominaisuuksien lisääntyessä. Eroonkaan siitä ei helposti enää päästä. (Onneksi olen eläkkeellä eikä minun tarvitse kirjoittaa muistiota asiasta.)

Ohjelmistojen käytön kannalta ongelmallisia ovat myös pitkän matematiikan kokeen tehtävät 8 (polynomien jakoalgoritmi), 11 (lukujono) ja 12 (geometrisen keskiarvon todennäköisyyksiä).  Polynomien jakolaskuun on GeoGebrassa valmis komento, jota kyllä tässä ei sanamuodon perusteella ilmeisestikään voi käyttää, mutta yleisemmin voi pohtia, miten tehtävien tulisi suhtautua tarjolla oleviin laskentatyökaluihin. Millaisia laskentatyökaluja tulisi oppia käyttämään? Lukujonotehtävässä raja-arvo on löydettävissä numeerisella rekursiivisella laskulla. Tällöin lasketaan likiarvoilla, mutta tulos tulee täysin selväksi. Riittäisikö tämä, kun kerran luotamme laskimeen monissa muissakin numeerisissa laskuissa?

Tehtävän 12 ratkaiseminen kaikki tapaukset taulukoimalla tai simuloinnilla on mielenkiintoinen avaus.  Millaisia ja miten näppäriä tapoja eri ohjelmistot tarjoavat tähän? Hyvän vastauksen piirteissä on annettu kaksi taulukkolaskentatiedostoa, joiden mielekkyyttä en oikein ymmärrä. Alla on vertailun vuoksi tiivis ratkaisu Mathematicalla, joka tosin ei ole kokeessa käytettäviä ohjelmistoja.

Tehtävän 12 jälkiosa ratkaistuna Mathematicalla

Ohjelmistojen käytöstä huolimatta kokeen on syytä mitata nimenomaan matematiikan osaamista, ei ohjelmistojen ehkä hieman eksoottistenkin piirteiden hallitsemista. En oikein usko, että tähän on muuta tietä kuin muotoilla tehtävänannot osoittamaan näkökulma, josta asiaa tulee tarkastella.  Joskus oli aika, jolloin saattoi luottaa siihen, että tehtävän ratkaiseminen osoitti myös tietyn matematiikan osaamista. Ohjelmistojen aikana tämä ei enää päde.

Väärin opetettu?

Korkeakoulujen valintamenettelyä kehitettäessä on päädytty ylioppilaskokeen arvosanoihin perustuvaan malliin, jossa varsinkin pitkällä matematiikalla on suuri merkitys. Taustana on huoli pitkän matematiikan kirjoittaneiden määrästä tilanteessa, jossa matematiikan merkitys monilla aloilla on kasvamassa ja pelkona on puute osaavasta työvoimasta. Kirjoittaneiden vuotuinen määrä on juuttunut noin 12000:een, vaikka jo toistakymmentä vuotta sitten tavoitteeksi asetettiin 16000. Uudistusta on kritisoitu voimakkaasti siitä, että se pakottaa lähes mitä tahansa alaa tavoittelevan lukiolaisen valitsemaan varmuuden vuoksi pitkän matematiikan.

Lukion matematiikanopettaja Timo Salminen kritisoi Helsingin Sanomissa 26.5.2019 uudistusta siitä, että se tuo pitkän matematiikan opiskelijoiksi aiheesta kiinnostumattomia opiskelijoita, jotka varsinaisesti tähtäävät muualle. Seurauksena vaatimustaso saattaa jopa laskea. Matematiikan opetuksen tutkija Marika Toivola on samana päivänä Uuden Suomen puheenvuorossaan asettunut vastustamaan Salmisen näkemystä ja korostanut, että opettajan tehtävänä on auttaa kaikkia oppilaita uskomaan kyvykkyyteensä oppia matematiikkaa. Ongelmat voidaan ratkaista pedagogisesti.

Siinä missä Salmisen näkemyksessä on kyynisyyttä, Toivola on idealisti. Usko mahdollisuuksiin pitää toki säilyttää, mutta entä jos Salmisen näkemyksissä onkin perää ja opettaja joutuu mahdottoman tehtävän eteen heterogeenisen ryhmänsä ohjaamisessa?

Salmisen ja Toivolan kirjoituksia on kommentoitu vilkkaasti ja moneen kertaan tuotu esiin näkemys matematiikassa opittujen asioiden hyödyttömyydestä työelämässä. Matematiikka nähdään joidenkin alojen ammattilaisten työkaluna, jolla ei ole mitään tekemistä yleissivistyksen kanssa. Samat käsitykset nousevat lähes aina esiin, kun missä tahansa keskustelussa sivutaan matematiikan opetusta. Jotakin on ilmeisesti tällöin jäänyt oppimatta ja ehkä opettamatta. On kyllä opetettu ratkaisemaan ylioppilaskirjoituksissa esiintyviä tehtäviä, mutta yhteys kulttuurin ja ajattelun kehitykseen sekä maailman hahmottamiseen on unohtunut. Matematiikka on suljettu yleissivistyksen ulkopuolelle.

Puutetta ei korjata muutamalla kirjoituksella ja juhlapuheella, joissa painotetaan matematiikan tärkeyttä ja kerrotaan sen olevan läsnä kaikkialla. Ei myöskään hallinnollisella päätöksellä ajaa lukiolaiset pitkän matematiikan karsinaan.

Pitkää matematiikkaa opetetaan lukiossa kolmetoista kurssia. Tämä on varsin paljon ja se on ollut perusteena myös vahvalle asemalle korkeakoulujen valintaperusteissa. Kevään 2019 ylioppilaskokeessa oli kolmetoista tehtävää ja läpipääsyyn riitti, että osasi ratkaista yhden tehtävän ja sai lisäksi muutaman hajapisteen. Hyväksyttyyn arvosanaan pääsi myös keräämällä hajapisteitä useammasta tehtävästä ilman että yhtäkään oli kokonaisuudessaan ratkaistu. Mitä lukion matematiikan kursseilla oikeastaan on tehty, jos tämän enempää osaamista ei synny? Toki suurin osa suorituksista on parempia, jopa erinomaisia, mutta osa lukiolaisista ei ole oppinut juuri mitään. Heille kurssit ovat olleet hyödyttömiä, hukkaan heitettyä aikaa. Vaikuttaa siltä, että Salmisen pelko saattaa olla aiheellinen.

Onko tässä kyse siitä, että matematiikkaa opetetaan jotenkin väärin? Olisi helppoa sanoa, että opettajat eivät vain ole hoitaneet tehtäväänsä. En kuitenkaan usko, että asia on näin yksinkertainen.

Opetushallituksen julkaisemat opetussuunnitelman perusteet ja kirjantekijöiden tulkinta näistä kiinnittävät sen, mitä lukiokursseilla tapahtuu. Opettajalla ei käytännössä ole sisällön ja painotusten suhteen kovin paljon valinnan varaa. Olen pitkään ihmetellyt, miten matematiikasta onkin saatu aika hengetöntä ja tylsää. Siitä on muodostunut silppukokoelma, josta on vaikeata löytää punaista lankaa. Erillisiä asioita, jotka vain pitää osata ylioppilaskokeessa. Ajattelun taitojen kehittyminenkin jäänee toiveajatteluksi.

Ei ole kovin suuri ihme, jos motivaatiota ei synny ja aletaan kysellä, missä tiettyä temppua tarvitaan työelämässä. Eihän matematiikkaa tämän takia opeteta, ehkä peruslaskutoimituksia lukuunottamatta.  Opin pitäisi jäsentyä laajemmaksi näkemykseksi ja yleissivistykseksi, kyvyksi tarpeen tullen paneutua niihin matemaattisluontoisiin ongelmiin, joita elämässä tulee vastaan.

Vertailuna historian opetukseen: Ei siinäkään kerrota juttua sieltä, toista täältä ja jaeta vuosilukutaulukkoa. Ei tavoitteena ole oppia tietämään vaikkapa Ranskan vallankumouksen aikaisia puoluejakoja, vaan että vallankumous ylipäätään tapahtui ja mikä oli sen merkitys. Vaikeutena tietenkin on, että yleistä näkemystä ei oikein voi syntyä ilman aika isoa määrää detaljeja. Sekä historiassa että matematiikassa.

Olisiko aika matematiikan opetuksen revisiointiin? Ehkä tämän jälkeen mielenkiintokin heräisi paremmin ja valintamenettelyssä käyttö olisi perustellumpaa.

Mietteitä kevään 2019 ylioppilaskokeesta

En ole enää muutamaan vuoteen kovinkaan tarkasti tutkinut matematiikan ylioppilastehtäviä.  Tämän kevään koe oli kuitenkin ensimmäinen sähköinen koe ja sellaisena mielenkiintoinen: millaisia tehtäviä, miten käytetään ohjelmistotyökaluja. Keskityn seuraavassa vain pitkän matematiikan kokeeseen.

Tärkeimmät yleiset kokeen piirteet ovat sen vaikeustaso ja kattavuus, ts. miten hyvin lukiokurssien sisältö tulee katetuksi. Molempia pitäisin aika onnistuneina.

Koe alkaa varsin helpoilla tehtävillä, mutta vaikeutuu tasaisesti ja lopussa päästään varsin vaativiin tehtäviin. Myös yläpäähän syntynee hajontaa. Vaikka tehtäviä itsekin laatineena toki tiedän, että varsinkin alussa täytyy olla helppoja tehtäviä, en silti voi olla ihmettelemättä vaatimustasoa läpipääsyrajan kohdalla. Kolme ensimmäistä tehtävää ovat minusta sellaisia, että pitkän matematiikan kurssit opiskelleen pitäisi saada niistä täydet pisteet joutumatta erityisemmin miettimään. Arvelen kuitenkin, että läpipääsyraja jää tätä alemmaksi. Mihin ihmeeseen on käytetty oppimäärän lähes 500 tuntia?

Tehtävien tulisi kattaa lukiokurssit pääpiirteissään ja keskittyä oleellisiin asioihin. Ainoana kritiikin kohteena pitäisin vektoreiden vähäistä osuutta. Myös differentiaali- ja integraalilaskennan osuutta on pidetty vähäisenä, mutta tähän en yhtyisi. Aina ei ole selvää, mihin kurssiin tehtävä liittyy, mutta ei minusta pidäkään. Tarkoituksena on testata kykyä käyttää matematiikkaa, ei yksinomaan tietyn kurssin osaamista.

Ensimmäisessä sähköisessä kokeessa mielenkiinto tietenkin kohdistuu koekäyttöliittymän näppäryyteen ja toisaalta laskentaohjelmistojen hyödyntämiseen. Edellisestä en osaa sanoa; olisi pitänyt osallistua kokeeseen. Jälkimmäisen osalta kyseessä on selvästi varovainen aloitus, ja hyvä niin. Arvelen, että ohjelmistoja ei ole ainakaan vielä opittu käyttämään tutkimusvälineinä tehtävien ratkaisemisessa, vaan keskitytään lähinnä tiettyjen laskujen suorittamiseen: ratkaistaan yhtälö, derivoidaan tai integroidaan jotakin, piirretään kuvaaja, jos sitä pyydetään.

Symboliset ohjelmat (CAS) saattavat aiheuttaa yllätyksiä myös tehtävien laatijoille. Arvelen, että tehtävää 10.2 ($\sum_{n=0}^\infty \tan(x)^n = \frac{3}{2}$) ei ehkä tarkoitettu ratkaistavaksi yhdellä solve-komennolla. Ei paljoa puutu, ettei tehtävässä 11 ($\cos(x)^{\sin(x)} = \sin(x)^{\cos(x)}$) ole samanlainen tilanne: Tehtävän voi ratkaista Mathematicalla muutamalla komennolla laskematta yhtään mitään (liite). Mathematica ei ole kokeessa käytettäviä ohjelmistoja, mutta muutkin saattavat ennen pitkää kyetä tähän. Ehkä jo ensi vuonna.

Tällaiset tilanteet ovat haasteita kokeen arvostelulle. Mihin kaikkeen laskentaohjelmaa saa käyttää?  Milloin ja millaisia perusteluja pitää kirjoittaa? Säännöt eivät saisi olla kovin monimutkaisia.  Lukiolaisenhan tulisi oppia matematiikkaa, ei lautakunnan määräysten tulkintaa. En oikein usko, että on muuta ratkaisua kuin sanoa jokaisessa tehtävässä erikseen, mitä halutaan: Osoita, miten käsinlaskulla voidaan ratkaista seuraava tehtävä. Kirjoita algoritmi, joka ratkaisee seuraavan tehtävän. Selosta integraalin määrittelyn ja pinta-alan välinen yhteys.

Kaksi viimeistä — vaikeinta — tehtävää ovat minusta sinänsä hyviä, mutta 'Hyvän vastauksen piirteiden' ratkaisuja pidän vähän kummallisina.

Tehtävälle 12 (kolmion pinta-ala, kun piiri on vakio) esitettyä ratkaisua en jaksanut miettiä läpi.  Ratkaisun 'Havainto 1' on minusta samantasoinen kuin todistettava väite, jolloin herää kysymys, mitä kaikkea voi pitää tunnettuna. Kuitenkin kyseessä on laskentaohjelmien aikakaudelle sopiva tehtävä. Liitteenä on oma ratkaisuni Mathematicalla. Ehkä joku voisi testata, miten hyvin sama onnistuu jollakin muulla ohjelmistolla.

Tehtävään liittyi myös GeoGebra-aineisto, jolla ei oikeastaan ollut merkitystä. En tiedä, tulisiko liian vaativa tehtävä, jos aineistona annettaisiin dynaaminen kolmio, jonka piiri on pakotettu vakioksi (liite), ja kysyttäisiin hypoteesia kolmion alasta verrattuna tasasivuisen kolmion alaan.  Hypoteesi tulisi lopuksi todistaa.

Tehtävän 13 kakkoskohdan ($\ (\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n a_k^2)^{1/2} \leq (\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n a_k^4)^{1/4}\ $) todistus on aika vaativa ainakin 'Hyvän vastauksen piirteissä' esitetyllä tavalla tehtynä. Sen hahmottaminen on helpompaa, jos ensin yrittää arvoa $n=3$. Tämä olisi tietenkin voinut olla myös vihjeenä, ellei sitten ole tarkoitus testata, keksiikö kokelas itse lähestyä ongelmaa esimerkiksi tällä tavoin. Induktiotodistus on minusta selkeämpi, vaikka toki sekin vaatii näppäryyttä lausekkeiden käsittelyssä. Varsin hyvä loppuhuipennus.

Lopuksi en malta olla pohtimatta todennäköisyystehtävän 6 sanamuotoa. Šakkilaudalle pudotetaan riisinjyviä satunnaisesti, millä kaiketi tarkoitetaan, että jyvien jakauma šakkilaudan alueella on tasainen. Satunnaisilmiössä jakauma kuitenkin voi olla muutakin ja riisinjyvien heittelyssä varmaan sitä onkin. Kielenkäytöllä on merkitystä asioiden mieltämisessä.  Eräs ystäväni kerran määritteli, että satunnaisuus tai umpimähkäisyys tarkoittaa yksiulotteisessa tapauksessa tasaista jakaumaa, useampiulotteisessa se voi tarkoittaa mitä tahansa. Ehkei ihan näinkään.

SAT-testi ja ylioppilaskoe

Ilman laskinta ratkaistava SAT-tehtävä.

Tuttavapiirin lukiolainen aloitti lukio-opintonsa Suomessa, mutta jatkaa niitä nyt New Yorkissa. Tilanne on siten otollinen suomalaisen ja amerikkalaisen systeemin vertailuun. Sain nähdäkseni sikäläisen SAT-testin, jolla arvioidaan mm. matematiikan osaamista. Näistä testeistä löytyy tietoa myös netistä — kuinkas muuten: https://collegereadiness.collegeboard.org/. Harjoitteluun tarkoitettuja esimerkkikokeitakin on saatavissa:
https://collegereadiness.collegeboard.org/sat/practice/full-length-practice-tests tai
https://collegereadiness.collegeboard.org/psat-nmsqt-psat-10/practice/full-length-practice-tests.
Näissä on neljä osaa, kaksi ensimmäistä liittyvät englannin kieleen, kaksi viimeistä ovat matematiikkaa.

En tarkoin tunne amerikkalaista systeemiä enkä tiedä, mikä on SAT-testien käyttö ja missä määrin ne vaikuttavat esimerkiksi jatko-opintoihin valittaessa, ts. ovatko ne verrattavissa suomalaiseen ylioppilastutkintoon. Tästä riippumatta ne ovat mahdollinen malli päättökokeiden järjestämiseen. Yhden maan ratkaisuja ei yleensä ole mahdollista eikä järkevää sellaisenaan kopioida toiseen maahan, toisenlaisiin oloihin. Eri mahdollisuuksiin kannattaa silti perehtyä: aina voi oppia uutta, saada uusia ideoita. Myös PISA-menestyksellä mitaten maailman parhaassa Suomessa. (En tiedä, missä määrin näin on tehty. Ainakaan en ole nähnyt vertailuihin perustuvia pohdiskeluja ylioppilastutkintoa uudistettaessa. Jos joku tietää, niin kertokoon.)

Jos SAT-testiä ja suomalaista ylioppilastutkintoa verrataan matematiikan osalta, niin mitkä ovat havainnot?

Ensinnäkin SAT-testi on matemaattisessa mielessä selvästi suomalaista ylioppilaskoetta helpompi. Silti arvelen, että monet tehtävistä eivät olisi mitenkään liian helppoja suomalaiseen ylioppilaskokeeseen. Painotus on suomalaista koetta käytännöllisempi.

SAT-koe on kaksiosainen: ilman laskinta ja laskimen kanssa. Ohjelmistoja ei käytetä. Monissa laskinosion tehtävissä laskinta ei millään tavoin tarvita ja on vaikeata keksiä, miten sitä voisi käyttää.

Suurin osa tehtävistä on monivalintatehtäviä, tarjolla on neljä vaihtoehtoa, joista yksi oikea. Vastaukset annetaan koneellisesti luettavalle vastauslomakkeelle. Loppupään tehtävissä annetaan vastaus numeerisesti tietynlaiseen taulukkoon, joka myös luetaan koneellisesti. Arvostelu perustuu siten yksinomaan vastauksiin. Minkäänlaisia selityksiä tai perusteluja ei kirjoiteta.

Hämmästyttävin ero on kuitenkin käytettävissä oleva aika. Eräässä esimerkkikokeessa on laskimettomassa osiossa 20 tehtävää ja aikaa 25 minuuttia. Laskinosiossa on 38 tehtävää ja aikaa 55 minuuttia. Kiire tulee, vaikka tehtävät ovatkin helppoja. Voisi kuvitella, että tulosten hajonta syntyy opiskelijan nopeuden ja paineen sietämisen perusteella. Tällöin voi kysyä, mitä koe oikeastaan mittaa.

Toteutukseltaan koe on varmasti yksinkertaisempi kuin suomalainen ylioppilastutkinto, jonka tietotekninen vaativuus hakee vertaistaan. (Minua hämmästyttää, miten innokkaasti opettajakunta paneutuu aika eksoottiseen tietotekniseen virittelyyn, kun ylioppilastutkintolautakunta käyttää työnantajan valtaa ja käskee.)

Ei SAT-mallia varmastikaan kannata kopioida, mutta siinä voisi olla aineksia, joita kannattaisi harkita. Kyse on paljolti siitä, mitä ylioppilaskokeen halutaan olevan. Jokaisella systeemillä on enemmän tai vähemmän heikkoutena, että se ohjaa opetusta kokeesta selviämisen suuntaan. SAT-mallia on kritisoitu siitä, että opetuksesta tulee testien harjoittelua, mutta ei Suomessakaan vastaavasta kaukana olla. Olisi syytä pitää mielessä lukio-opintojen tarkoitus. Mikä se sitten onkin.

SAT-tehtävä, jossa laskimen käyttö on sallittu.

Ylioppilastehtävä ennen ja nyt

Jossakin Facebook-keskustelussa nousi esiin vuoden 1960 ylioppilastehtävien vertailu digiajan mahdollisuuksiin. Kevään ensimmäinen pitkän matematiikan tehtävä oli tuolloin seuraava:

Laske kaikkien niiden positiivisten kolminumeroisten kokonaislukujen summa, jotka eivät ole jaollisia 9:llä eivätkä 11:llä.

Epäilen, olisiko tehtävä voinut olla ensimmäisenä enää muutaman viime vuosikymmenen aikana, vaikka se onkin puhtaasti numeerinen. Jotta työmäärästä ei tulisi kohtuutonta tarvitaan kyllä jokin matemaattinen idea: tietyllä tekijällä jaolliset luvut muodostavat aritmeettisen jonon. Laskemalla muutama aritmeettinen summa päädytään melko helposti tulokseen 399 996.

Toisiko laskenta- tai digitaalitekniikka sitten jotakin uutta tehtävän ratkaisemiseen?

Jos yksinkertainen ohjelmointi ohjausrakenteineen on käytettävissä, tehtävä ratkeaa sangen suoraviivaisesti. Muutama vuosikymmen sitten olisi käytetty BASIC-kieltä:

 

Sama onnistuu Nspire-laskimella tai vastaavalla tietokoneohjelmalla, joskin käsittääkseni suoraa skriptiä ei voida kirjoittaa vaan laskenta on paketoitava ohjelmaksi:

Tällainen laskenta on tietenkin periaatteessa raa'an voiman käyttöä, käydäänhän siinä lävitse kaikki kolminumeroiset kokonaisluvut ja testataan jokaisen jaollisuus. Käsin laskettaessa tässä ei olisi mieltä, mutta koneella laskettaessa tulos tulee saman tien ja ohjelman kirjoittaminenkin on varsin suoraviivaista.

On esitetty, että ohjelmoinnin opettaminen koulussa voisi perustua eräänlaisen palikkamallin käyttöön. Silmiini osui sattumalta Mika Spåran kehittelemä BlockyMath, PalikkaMatikka, http://beeblebrox.edu.hel.fi/bm/. Tällä myös onnistuu:

Ohjelmointityylejä on erilaisia eikä toistosilmukan käyttö ole välttämätöntä, jos kielestä löytyy muita sopivia komentoja tai funktioita. Esimerkkeinä Nspire ja GeoGebra:

Nspiren koodi on tosin hieman kryptinen: iso sigma -summaus syntyy funktiolla sumSeq (tai valikosta) ja symboli ifFn on myös erikoinen. Käyttäjänhän täytyy hallita tämmöiset. GeoGebra on myös hieman ongelmallinen: jos syötteestä jättää Sequence-funktion pois, mistään syntaksivirheestä ei varoiteta, mutta tulos on väärä. Sama rakenne toimii oikein Mathematicassa.

Kumpi ratkaisutapa sitten olisi parempi, ohjelmointi vai aritmeettiset summat käsin laskettuina? Riippuu tietenkin paremmuuden kriteereistä. Ehkä aritmeettisten summien käyttö painottaa jonkinlaista matemaattista ajattelua, ohjelmointi taitoa jäsentää ongelma ja muodostaa algoritmi sen ratkaisemiseen. En osaa valita näiden välillä, mielelläni ottaisin molemmat. Opetussuunnitelman laatijan ongelma on tietenkin juuri tässä. Kaikkea ei voi saada.

Esimerkki kuitenkin osoittaa, että ohjelmoinnilla on sijansa matematiikassa. Sitä ei pidä perusteitta hylätä, vaan etsiä luontevaa sijoituspaikkaa kurssirakenteeseen.

Kummallinen ylioppilastehtävä

Pulssikäyrään sovitettu toisen asteen interpolaatio

Kevään ylioppilaskirjoitusten lyhyen matematiikan kokeen tehtävä 12 on hieman ihmetyttänyt minua. Lähtötietona on koehenkilön pulssia urheilusuorituksen aikana kuvaava käyrä.  Lähteeksi mainitaan YTL, mutta tehtävänannosta ei ilmene, onko kyseessä todellinen mittaus. Ehkä joku lautakunnan jäsen on käynyt lenkillä.

Tehtävänannon mukaan Kalle ja Leena tekevät biofysiikan perusteiden harjoitustyötä, ja heidän tehtävänään on määrittää pulssikäyrän paikalliset minimikohdat. Kalle ehdottaa derivaatan nollakohtien määrittämistä tätä varten, mutta Leena ei hyväksy ajatusta, koska käyrässä on myös alaspäin suuntautuvia kärkiä. Tehtävän c-kohdassa tulee arvioida Kallen ehdotusta ja Leenan kritiikkiä.

Lautakunnan julkaisemien hyvän vastauksen piirteiden mukaan menetelmän vikana on, että kärkien kohdalla derivaatan merkki muuttuu, ilman että derivaatta saa välissä arvoa 0. Derivaatan avulla ei siis löydetä ainakaan kaikkia minimikohtia.

Tämäkö nyt sitten on menetelmän ongelmana? Käyrähän ilmeisesti perustuu diskreetisti mitattuihin arvoihin, lähinnä kai aikaeroihin peräkkäisten sydämen lyöntien välillä. Mistä tällöin saadaan se derivaatta, jonka nollakohtia voisi yrittää etsiä? Datapisteisiin voidaan tietenkin sovittaa interpolaatiopolynomi tai ehkä splini. Lyhyen matematiikan lukija saattaa ajatella, että tietokone viisaudessaan löytää funktiolle lausekkeen.

Ei kai se näin voi mennä. Jos lähtökohtana on numeerinen data, minimikohtia on etsittävä analysoimalla tätä dataa eikä yritettävä sovittaa dataan jotakin lauseketta, joka mahdollisesti voitaisiin derivoida. Tällaista ei voida välttämättä lainkaan löytää, ellei taustalla ole jotakin teoriaa, joka ennustaa käyrän periaatteellisen muodon. Tehtävä antaa siten väärän kuvan matematiikan soveltamisesta.

Taustana lienee, että derivaattaa käsitellään lyhyessä matematiikassa ja silloin sille on tarpeen löytää sovelluskohteita. Laskentaohjelmien käytössäkin on symbolinen laskenta noussut numeerista tärkeämmäksi.  Derivoidaan siis mieluummin kuin analysoidaan dataa.  Taulukkolaskenta voisi usein olla paremmin paikallaan kuin itsetarkoituksellinen symboliikka.

Odottaisin tehtäviltä suurempaa rehellisyyttä. Ei lukiolaisia pidä huijata uskomaan matematiikan käyttökelpoisuuteen, vaan näyttää sen käyttökelpoisuus todellisissa yhteyksissä. Näennäissovellukset vain tukevat käsitystä, ettei matematiikasta mitään todellista hyötyä ole.

Matematiikan kai pitäisi olla matematiikkaa

Ymmärtämätön CAS-ohjelmistojen käyttö lukiomatematiikassa saattaa uhata matematiikan oppimista. Oheinen GeoGebra-kuvio voisi olla vastaus tehtävään, jossa annetaan yksi taso yhtälön avulla ja toinen kolmen pisteen avulla. Tehtävänä on määrittää toisenkin tason yhtälö ja tasojen välinen kulma.

GeoGebrassa niin kuin monessa muussakin CAS-ohjelmassa on tarjolla valmiita funktioita: Plane (suomeksi Taso) antaa tason yhtälön, kun argumentteina on kolme tason pistettä. Angle (Kulma) antaa tasojen välisen kulman radiaaneissa, kun argumentteina ovat yhtälöiden kertoimista saadut lukukolmikot. Tehtävän ratkaisemiseen riittää tietää, millaisia GeoGebra-funktioita on käytettävissä, niiden sisällä olevasta matematiikasta ei tarvitse tietää mitään. Radiaanit muunnetaan asteiksi maagisen näköisellä tempulla: kirjoitetaan kulman perään $/^\circ$.

Eihän tämä ole matematiikkaa. Kyseessä on erään ohjelman syntaksin ja makrojen opettelu.  Eikä ohjelmaa tarvitse enää missään, kun on valkolakin saanut. No, poikkeuksena matematiikan opettajat.

Yleensä ensimmäinen ajatus tilanteen korjaamiseksi on laatia ylioppilaskoetta varten säännöt, miten ohjelmaa saa tai ei saa käyttää ja millaisia lausumia tai perusteluja koesuoritukseen tulee sisällyttää. Matematiikan tunteja voidaan tietenkin käyttää näiden sääntöjen opetteluun, mutta ei sekään ole matematiikkaa.

Perusongelmana on, että matematiikan osaamista on perinteisesti testattu antamalla laskettavaksi joukko tehtäviä. Jos nämä on saatu edes likimain oikein, on katsottu, että matematiikan osaaminen on tullut näytetyksi. Laskentavälineiden aikakaudella näin ei kuitenkaan ole. Hyvillä ohjelmistoilla on mahdollista saada oikeita tuloksia mitään ymmärtämättä. Tosin myös täysiä päättömyyksiä.

Luontevaa olisi luopua ajatuksesta, että oikein laskettu lasku osoittaa ymmärtämistä.  Kysyttäköön sitä, mitä halutaan testata. Esimerkiksi on selostettava, millaisella algebrallisella menettelyllä saadaan tason yhtälö, kun kolme tason pistettä tunnetaan.  Mukaan itse laadittu esimerkki menettelyn soveltamisesta. Arvostelusta voi tulla vaikeampaa, mutta annetaanhan monissa reaaliaineissakin esseevastauksia.

Ohjelmakoodien kirjoittaminenkin soveltuisi tähän yhteyteen. Koodihan on tapa kuvata laskentamenettely.

Koulumaailmassa eniten käytettyjen CAS-ohjelmien (ei yksin GeoGebran) kehitys on ikävä kyllä edennyt väärään suuntaan. Valmiiden funktioiden, komentojen ja toimintojen määrä on suuri ja kasvaa jatkuvasti, mikä lisää kiusausta keskittyä matematiikan opinnoissa näiden opetteluun sen sijaan, että paneuduttaisiin peruskäsitteisiin ja -toimintoihin. Parempi olisi tyytyä melko harvoihin perustoimintoihin, joiden avulla tulisi itse ohjelmoida pidemmälle meneviä funktioita ja toimintoja. Tällöin opittaisiin asioita, joilla on käyttöä myöhemmässä elämässä.

Ohjelmakoodin kirjoittamisella on lisäksi kasvatuksellinen merkitys. Jos koodi ei toimi, se ei ole oikein. Virhe voi olla pieni, mutta se on korjattava eikä selitettävä tuotosta melkein oikeaksi.

Digimatematiikkaa

Digitalisoinnista on tullut tärkeää. Nelisenkymmentä vuotta matematiikkaa Teknillisessä korkeakoulussa (TKK) opettaneena ja sen jälkeenkin tietotekniikan kehitystä seuranneena uudet kuviot kiinnostavat edelleen. Miltä asiat sitten nykyään näyttävät?

Elektroniset laskimet tulivat käyttöön 60- ja 70-lukujen vaihteessa. Vähitellen niitä alettiin käyttää myös koulujen matematiikan opetuksessa: ensin funktiolaskin, sitten graafinen laskin, muutama vuosi sitten symbolinen laskin (CAS, Computer Algebra System). Sittemmin tahti on kiihtynyt yleisen digitalisoitumisen ja ylioppilaskokeen sähköistämisen myötä: laskimista tietokoneohjelmiin tai tablettisovelluksiin, useisiin ohjelmistoihin, matemaattiseen tekstinkäsittelyyn.

Maailman muuttumista tuleekin seurata myös opetuksessa ja ottaa käyttöön tieto- ja viestintätekniikka siellä, missä se auttaa oppimista ja sen ohella tuottaa yleistä tietoteknistä osaamista.

Ylioppilastutkintolautakunta (YTL) on valinnut sähköisessä matematiikan kokeessa keväästä 2019 lähtien käytettäviksi matemaattisiksi ohjelmiksi seuraavat (https://www.ylioppilastutkinto.fi/images/sivuston_tiedostot/Sahkoinen_tutkinto/fi_sahkoinen_matematiikka.pdf):

• GeoGebra,
• wxMaxima,
• Texas Instruments N-spire ja
• Casio ClassPad II Manager.

Ohjelmista ensimmäinen, GeoGebra, on ns. dynaamisen geometrian työkalu muunneltavien geometristen kuvioiden laatimiseen ja funktioiden kuvaajien piirtämiseen. Se sisältää myös symbolisen laskennan (CAS) osion. Tarkoitettu lähinnä opetuskäyttöön, tässä käytössä ilmainen.

wxMaxima on yli neljäkymmentä vuotta sitten syntyneen Macsyman nykyinen versio.  Alunperin kyseessä oli symbolisen laskennan tutkimus- ja kehitysprojekti, ja Macsyma olikin 80-luvulla alan suurin ja kaunein, hintakin melkoinen.  Nykyinen wxMaxima on ilmainen. Perusratkaisut eivät ole oleellisesti kehittyneet, käyttöliittymä kylläkin.

N-spire ja Classpad ovat alunperin laskimia, mutta nykyään luontevin käyttöympäristö on tietokone. Ne ovat lukiotason opetuskäyttöön tarkoitettuja ohjelmia, jotka pyrkivät kattamaan kaiken tarpeellisen mukaanluettuna CAS.  Ilmaisia ylioppilaskokeessa, mutta muutoin maksullisia.

Ongelmattomin YTL:n ohjelmistovalinnoista on GeoGebra. Se on näppärä työkalu kuvioiden piirtämisessä ja niiden tutkimisessa, muodostaa luontevan geometrisen työskentely-ympäristön opiskelijalle. Sen CAS-osio on poikkeus: lausekkeiden käsittely on jäykkää, yksittäiset operaatiot onnistuvat, mutta laajempi laskenta ei oikein suju. CAS-osio ei kohoa lähellekään samaa tasoa kuin muut toiminnot.

YTL kirjaa kolme muuta ohjelmaa symbolisen laskennan ohjelmiksi, vaikka niillä toki voi suorittaa myös numeerisia laskuja, laatia graafisia esityksiä ym. Symbolinen laskenta on saanut liian korostetun aseman sekä tässä että koulumaailmassa yleensäkin.  Opetussuunnitelmassa toistuvasti todetaan, että opiskelijan taito käyttää teknisiä apuvälineitä on yhtenä opetuksen tavoitteena, mutta tarkemmin ei täsmennetä.  Tarkoittaako tämä CASia? Mitä sillä oikeastaan pitäisi oppia tekemään? Tarvitaanko sitä? Onko kenelläkään näkemystä?

Jos mikään muu ei muutu, on vaarana, että symbolista laskentaa aletaan käyttää oman ajattelun korvikkeena. Sillä lasketaan yksinkertaisia perustehtäviä, jotka oikeastaan pitäisi osata ilman mitään apuvälineitä. Käyttöliittymät eivät kuitenkaan ole aivan yksinkertaisia, jolloin niiden opettelu vie oman aikansa. Tämä on pois matematiikan opiskelusta eikä auta jatko-opinnoissakaan, joissa yleensä on käytössä muut ohjelmat.

Toin aikoinani TKK:n peruskurssien opetukseen numeerisen laskentaohjelman (Matlab) käytön, myöhemmin myös symbolisen (Mathematica, Maple). Tilanne oli toisenlainen: käytössä yleiset työkaluohjelmat, joiden opetteluun kannatti panostaa; monimutkaisemmat ongelmat.

Onko symbolinen laskenta siis tarpeetonta lukiossa? Ei välttämättä. Edellytyksenä kuitenkin on tavoitteiden ajattelu uudelleen. Joustava, mutta ei monimutkainen matemaattinen työskentely-ympäristö, joka sisältää numeerisen laskennan, symbolisen laskennan alkeet, erilaiset graafiset esitykset ja dokumentin kirjoittamisen. Ympäristö, joka mahdollistaa laajempien tehtävien käsittelyn, jolloin opitaan kokonaisuuden hallintaa ja sen dokumentointia. Ohjelmointi, koodin kirjoittaminen, on tarvittaessa luonteva osa työskentelyä. Yksinkertaisista tehtävistä on luonnollisesti aloitettava, mutta vähitellen opitaan työskentelytapoja, jotka kantavat pidemmälle myöhemmässä opiskelussa ja työnteossa.

Ongelmana on, että muutos on aika syvällinen ja sellaisena vaatii opettajilta paljon. Mikään kolmesta ohjelmasta ei myöskään kovin sujuvasti tue tällaisia tavoitteita. Toki vaihtoehtoja on, mutta ainakin niiden listahinnat ovat aika korkeita. Ehkä kuitenkin kannattaisi katsoa, mitä olisi neuvoteltavissa.

Ohjelmistot voivat olla myös opettajan työkaluja havainnollistusten ja demonstraatioiden tekemiseen. Tämä on kuitenkin toinen tarina. Oppilaan ei tarvitse osata käyttää opettajan työkaluja.

Verkkodokumentit ja matematiikan kaavat

Matemaattisten kaavojen sisällyttäminen verkkodokumentteihin ei vielä nykyäänkään ole ongelmatonta, vaikka vuosien kuluessa on moniakin ratkaisuja esitetty.  Kirjoittamisessa on kaksi päävaihtoehtoa: symbolien poimiminen valikosta tai kaavan koodaaminen tavallisilla kirjoittuvilla merkeillä. Tämän jälkeen tarvitaan jokin ohjelma (jota käyttäjä ei välttämättä näe), jolla kaavasta muodostetaan dokumenttiin liitettävä kuva tai jolla tarvittavat fontit liitetään dokumenttiin.

Tavalliselle käyttäjälle ehkä helpoimmin omaksuttava kirjoittamistapa on jokin valikoita käyttävä kaavaeditori. Jos kirjoitettavaa on vähän enemmän, kaavojen koodaaminen on nopeampaa, mutta aloituskynnys on korkeampi. Ammattimatemaatikot yleensä koodaavat kaavat käyttäen LaTeX-järjestelmää; ks. esim.  https://www.latex-project.org/ tai tekemääni LaTeX-opasta http://matta.hut.fi/matta/latexopas/.

Tarve kaavojen littämiseen sähköisiin dokumentteihin on lisääntymässä.  Matematiikan ylioppilaskokeen muuttuminen sähköiseksi keväällä 2019 edellyttää yksinkertaista ja helposti ymmärrettävää ratkaisua kaavojen kirjoittamiseen.  Valintaa ei helpota se, että sillä on kytköksensä kokeessa käytettäviin laskentaohjelmistoihin. Sama ongelma on sähköisissä oppimateriaaleissa, mikäli ne ovat muutakin kuin sähköisiä sivunkääntöympäristöjä.

Tähän blogiin olen kirjoittanut kaavat LaTeXilla koodaamalla (esimerkiksi http://simokivela.blogspot.fi/2016/08/kokeellisen-matemaatikon-painajainen.html). Seuraavassa kuvaan, miten tämä on tehty.

LaTeX on erittäin monipuolinen ja paljon erilaisia laajennuksia sisältävä järjestelmä dokumenttien — yksittäisistä kaavoista kirjoihin — kirjoittamiseen. Sen avulla voidaan hallita kaavojen kirjoittamisen ohella kuvien liittäminen tekstiin, sisäiset ja ulkoiset linkitykset, sisällysluettelot ja hakemistot, haluttaessa myös viivakuvioiden piirtäminen (väreineen), nuotit, šakkilaudan kuvat jne.

Muutamien kaavojen kirjoittaminen verkkodokumenttiin (kuten tähän blogiin) ei kuitenkaan edellytä syvällistä LaTeXin koristeluihin ja kummallisuuksiin perehtymistä. Ainoa tieto, joka tarvitaan, on tavallisten matemaattisten kaavojen koodaus. Tekstirivillä olevat kaavat (inline-kaavat) sijoitetaan merkkien $\backslash(\,...\,\backslash)$ väliin (tai $ \$\,...\,\$ $), erillisillä kaavariveillä olevat (display-kaavat) merkkien $\backslash[\,...\,\backslash]$ väliin. Kaiken tämän olen kirjoittanut muun tekstin sekaan.

Koodin muuntaminen dokumentissa näkyviksi kaavoiksi perustuu MathJax-ohjelmistoon (https://www.mathjax.org/), joka otetaan käyttöön liittämällä verkkodokumenttiin (HTML-dokumenttiin) muutaman rivin skriptimäärittely. Minulla on Googlen blogiympäristössä (Malli → Muokkaa HTML-koodia) blogin koodin <head>-osioon lisättynä seuraavat rivit:

<script type="text/x-mathjax-config">
MathJax.Hub.Config({tex2jax:
  {inlineMath: [['$\$ $','$\$ $'], ['$\backslash\backslash($','$\backslash\backslash)$']]}});
</script>
<script type="text/javascript"
src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?
  config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML">
</script>

MathJax-ohjelmisto haetaan tässä osoitteesta http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/.  Config-rivi ilmaisee, että tekstirivillä olevat kaavat (inline-kaavat) voidaan sulkea joko merkkien $ \$\,...\,\$ $ tai $\backslash(\,...\,\backslash)$ sisään. MathJax-ohjelmisto on mahdollista asentaa myös omalle palvelimelle tai omalle koneelle, jolloin verkkoyhteyttä ei tarvita.

Kaavojen koodeja voi katsella klikkaamalla  valmiissa dokumentissa hiiren kakkosnäppäimellä kaavaa (esimerkiksi blogipostauksessani), jolloin näkyviin tulee valikko. Tästä voi valita nähtäväksi esimerkiksi kaavan tekemiseen tarvitun koodin (Show Math As → TeX Commands). Muitakin vaihtoehtoja on. Valikon avulla voi myös tehdä asetuksen, jolla kaavan saa suurennettuna (Math Settings → Zoom Trigger → ...). Tämä on suureksi avuksi, jos esimerkiksi kaavan pienikokoisia indeksejä on vaikeata erottaa.

Ylioppilaskoe

Matematiikan ylioppilaskokeen lähestyessä ja koska matematiikan osaamista muutoinkin on syytä edistää, tarjoan opiskelumateriaalia:

Tehtävä. Suorakulmaisen kolmion hypotenuusan pituus on $75$ ja kateettien pituudet $x$ sekä $\frac{x}{2} + 15$. Määritä kateettien pituudet.

Ratkaisu 1. Pythagoraan lauseen mukaan on
\[
x^2 + (\frac{x}{2} + 15)^2 = 75^2
\]
eli
\[
x^2 = 75^2 - (\frac{x}{2} + 15)^2.
\]
Ottamalla neliöjuuri puolittain ja poistamalla sulut saadaan
\[
x = 75 - \frac{x}{2} + 15,
\]
mistä seuraa $x = 60$ ja $\frac{x}{2} + 15 = 45$.

Ratkaisu 2. Kolmiossa sivujen vektorisumma on $= 0$, jolloin saadaan yhtälö
\[
x + (\frac{x}{2} + 15) + 75 = 0.
\]
Tämän ratkaisu on $x = -60$. Sivun pituuden tulee kuitenkin olla positiivinen. Vektorisummassa ei myöskään ole väliä, miten päin kierretään. Siis $x = 60$. Tällöin $\frac{x}{2} + 15 = 45$.

Ratkaisu 3. Pythagoraan lauseesta saatu yhtälö voidaan muokata myös muotoon
\[
x^2 + \frac{x^2}{2} + 225 = 5625.
\]
Juuret ovat $x = \pm 60$, joista vain positiivinen kelpaa. Siis $x = 60$, $\frac{x}{2} + 15 = 45$.

Ratkaisu 4. Koska kolmiossa summa on $180$, saadaan yhtälö
\[
x + (\frac{x}{2} + 15) + 75 = 180.
\]
Tämän ratkaisu on $x = 60$, jolloin $\frac{x}{2} + 15 = 45$.

Ratkaisu 5. Pythagoraan lauseesta saatu yhtälö voidaan muokata kolmanteenkin muotoon:
\[
\tfrac{5}{4}x^2 + 15x + 225 = 5625.
\]
Tämän juuret ovat $x_1 = -72$, $x_2 = 60$. Vain positiivinen kelpaa, ja siis $x = 60$, $\frac{x}{2} + 15 = 45$.

Kulman kolmiajako, Internet, koulu ja ylioppilaskoe

Kulman jako kolmia: ns. merkitty viivoitin ja harppi
(http://matta.hut.fi/matta/geogebra/kulmanKolmiajako.html)

Ryhdyin selvittelemään kulman kolmiajaon historiaa. Ongelmahan on vanha, sitä pohdittiin jo antiikin Kreikassa, mutta lopullinen todistus harppi-viivoitin-konstruktion mahdottomuudesta on vasta 1800-luvulta.

Asiaa käsitteleviä dokumentteja löytyy netistä paljon, tietenkin.  Joukossa toki myös sellaisia, joissa väitetään löydetyn harppi-viivoitin-ratkaisu.  Kaikki eivät mahdottomuustodistusta usko tai ymmärrä, mitä harpin ja viivoittimen käytöllä tarkoitetaan. Netti on tuonut jotakin sellaista, mistä en omina opiskeluaikoinani osannut unelmoidakaan. Siihen aikaan oli jokunen kirja, jossa asiaa käsiteltiin, eikä niitäkään välttämättä saanut käsiinsä kovin helposti.

Pitäisikö tilanteen muuttumisen sitten jotenkin näkyä tämän päivän nuorison opiskelussa, esimerkiksi lukiossa? Ehkä pitäisi, mutta ei oikein näy. En tarkoita erityisesti kulman jakamista kolmeen yhtä suureen osaan. Vastaavia asioita on paljon muitakin. Jos lukiolainen ohjattaisiin tekemään laaja-alainen tutkielma jostakin tällaisesta aiheesta, miten paljon hän oppisikaan. Esimerkkitapauksessa kaari antiikista melkein nykyaikaan, geometrisen konstruktion luonne, kulman jaon ja polynomin nollakohtien välinen yhteys, Cardanon ja Vietan työt 1500-luvulla, millainen Eurooppa tuolloin oli, mikä sai heräämään kiinnostuksen polynomiyhtälöihin, erikielisten verkkolähteiden ja kirjallisuuden käyttö oman kielitaidon mukaan ja sitä kehittäen, tutkielman lopullinen kirjoittaminen viiteluetteloineen.  Vaativuutta olisi enemmän tai vähemmän tekijän taitojen ja kokemuksen mukaan.

En väitä, että tutkielmien ohjaaminen olisi helppoa. Opettajiltakin se vaatii paljon, eivätkä nykyiset resurssitkaan riittäisi. Silti ajatusta ei pidä hylätä. Kaikkea ei voi saada heti, mutta tähän suuntaan pitäisi edetä. Uusissa opetussuunnitelmakaavailuissa puhutaan teemaopinnoista.  Olisivatko ne jotakin tällaista? Olisiko tässä kyse siitä yleissivistävyydestä, jonka sanotaan olevan lukion tehtävä?

Ylioppilastutkinto ohjaa lukio-opetusta enemmän kuin mikään muu ja sekin on muuttumassa tavalla, jonka seurauksia on vaikea ennakoida. Tutkinnon sähköistäminen ja työkaluina käytettävät tietokoneohjelmat näyttävät pelottavan ainakin opettajia, ehkä myös oppilaita. Aihetta käsittelevät Facebook-keskustelut eivät hyvää lupaa: opettajakunta näyttää haluavan malleja tyyppitehtävistä ja tietoa siitä, mitä ohjelmistoista pitää opettaa.  Jossain mielessä ymmärrettävää, mutta tämän tien päästä löytyy ulkoa opeteltujen tyyppitehtävien ratkaiseminen vanhentuneita ohjelmistoja käyttäen. Aletaan olla aika kaukana yleissivistyksestä.

Ei ole helppoa sanoa, mitä pitäisi tehdä. Mieleen hiipii ajatus ylioppilastutkinnon poistamisesta. Lukiossa opiskeltaisiin, mitä missäkin halutaan, ja lopuksi pannaan valkoinen lakki päähän. Toisissa lukioissa opitaan paljon, toisissa kulutetaan aikaa. Varsinainen testi on jatko-opiskelun valintakokeissa. Ei hyvä näinkään, ainakin eriarvoisuus lisääntyy.

Onnittelut kuitenkin kevään ylioppilaille. Jos tuloksissa on edes yksi keskitasoinen tai parempi arvosana, onnittelut on myös ansaittu.