Ylioppilaskoe

Matematiikan ylioppilaskokeen lähestyessä ja koska matematiikan osaamista muutoinkin on syytä edistää, tarjoan opiskelumateriaalia:

Tehtävä. Suorakulmaisen kolmion hypotenuusan pituus on $75$ ja kateettien pituudet $x$ sekä $\frac{x}{2} + 15$. Määritä kateettien pituudet.

Ratkaisu 1. Pythagoraan lauseen mukaan on
\[
x^2 + (\frac{x}{2} + 15)^2 = 75^2
\]
eli
\[
x^2 = 75^2 - (\frac{x}{2} + 15)^2.
\]
Ottamalla neliöjuuri puolittain ja poistamalla sulut saadaan
\[
x = 75 - \frac{x}{2} + 15,
\]
mistä seuraa $x = 60$ ja $\frac{x}{2} + 15 = 45$.

Ratkaisu 2. Kolmiossa sivujen vektorisumma on $= 0$, jolloin saadaan yhtälö
\[
x + (\frac{x}{2} + 15) + 75 = 0.
\]
Tämän ratkaisu on $x = -60$. Sivun pituuden tulee kuitenkin olla positiivinen. Vektorisummassa ei myöskään ole väliä, miten päin kierretään. Siis $x = 60$. Tällöin $\frac{x}{2} + 15 = 45$.

Ratkaisu 3. Pythagoraan lauseesta saatu yhtälö voidaan muokata myös muotoon
\[
x^2 + \frac{x^2}{2} + 225 = 5625.
\]
Juuret ovat $x = \pm 60$, joista vain positiivinen kelpaa. Siis $x = 60$, $\frac{x}{2} + 15 = 45$.

Ratkaisu 4. Koska kolmiossa summa on $180$, saadaan yhtälö
\[
x + (\frac{x}{2} + 15) + 75 = 180.
\]
Tämän ratkaisu on $x = 60$, jolloin $\frac{x}{2} + 15 = 45$.

Ratkaisu 5. Pythagoraan lauseesta saatu yhtälö voidaan muokata kolmanteenkin muotoon:
\[
\tfrac{5}{4}x^2 + 15x + 225 = 5625.
\]
Tämän juuret ovat $x_1 = -72$, $x_2 = 60$. Vain positiivinen kelpaa, ja siis $x = 60$, $\frac{x}{2} + 15 = 45$.