tag:blogger.com,1999:blog-7154560412553494812024-03-18T11:40:22.609+02:00Simo Kivelän matematiikkablogiSKKhttp://www.blogger.com/profile/11007502688158156164noreply@blogger.comBlogger152125tag:blogger.com,1999:blog-715456041255349481.post-92072082257822942472024-02-22T21:39:00.004+02:002024-02-22T22:04:22.430+02:00Koulumatematiikka ja alkeellinen ohjelmointi<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgyDvb5uflKIGc7qgDMcf8RPTD3ROsCKDmEamN5Omrrv-Tm7XSXb7qmK8wqutic685uTIhe_m034PTIonU6hBeqA92Hf2bbRUb7LkeQHGs1nQPF1u2bWjvRaRrGzcNwSd41kT8Q2sDHfSnm0l0nS3AGOQICTUf1FC9hp4vNbmizvDAKA7Uxl1RtQwFm-E2I/s1454/blg152.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="1454" data-original-width="1387" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgyDvb5uflKIGc7qgDMcf8RPTD3ROsCKDmEamN5Omrrv-Tm7XSXb7qmK8wqutic685uTIhe_m034PTIonU6hBeqA92Hf2bbRUb7LkeQHGs1nQPF1u2bWjvRaRrGzcNwSd41kT8Q2sDHfSnm0l0nS3AGOQICTUf1FC9hp4vNbmizvDAKA7Uxl1RtQwFm-E2I/s320/blg152.png" width="305" /></a></div><p>Lukion opetussuunnitelman mukaan opiskelijan tulisi paljon muun ohella kehittyä hyödyntämään tietokoneohjelmistoja. Tarkemmin ei täsmennetä, mitä tämä oikeastaan tarkoittaa. Todetaan vain tavoitteeksi, että opiskelija osaa käyttä ohjelmistoja kunkin kurssin matemaattisissa tehtävissä. Huippuna on oppia ohjelmoimaan yksinkertaisia algoritmeja. Käytännössä tämä lienee johtanut melko triviaalien asioiden katsomiseen laskimista tai ohjelmistoista ja tutustumiseen muutamiin ohjelmistoihin, joita tuskin myöhemmissä opinnoissa tai elämässä yleensäkään tullaan käyttämään.</p><p>Kuitenkin matematiikka voisi tarjota ympäristön, jossa olisi luontevaa oppia ymmärtämään ohjelmoinnin idea. Tällä puolestaan on merkitystä tietotekniikkaa vahvasti hyödyntävässä yhteiskunnassa myös ihmiselle, joka ei koskaan tulisi ohjelmoimaan yhtään mitään. Jonkinlaisena ohjelmoinnin synonyymina usein käytetään koodausta, mutta tämä johtaa minusta harhaan. Kyse ei ole siitä, että pitäisi oppia kirjoittamaan tietyn syntaksin mukaista koodia, vaan periaatteen ymmärtämisestä. Toki mikä tahansa ohjelmointi edellyttää oikeaa syntaksia, mutta tätä ei ole syytä painottaa välttämättömyyttä enempää. </p><p>Mitä tällainen ohjelmointi sitten voisi olla? Viime syksyn pitkän matematiikan ylioppilaskokeen neljäs tehtävä muodostaa hyvän lähtökohdan pohdiskeluille:</p><p><i>Vektorit $\vec{u} = 3\vec{i}+\vec{j}-2\vec{k}$ ja $\vec{v} = \vec{i}+2\vec{j}-2\vec{k}$ virittävät origon kautta kulkevan tason $T$, eli ne ovat tason suuntavektoreita. Määritä pisteen $(6,7,1)$ etäisyys tasosta $T$.</i></p><p>Tämä on kokeen A-osan tehtävä ja sellaisena tarkoitettu ratkaistavaksi varsin perinteiseen tapaan. Se on kuitenkin tehtävä, jonka ratkaiseminen symbolista laskentaa (CAS) hyödyntäen olisi matematiikan oppimisen kannalta perusteltua. Tällöin numeeriset laskut jäävät toissijaisiksi (toisin sanoen ohjelman tehtäviksi), mutta laskija joutuu miettimään algoritminsa rakenteen. Oleellista on, että tehtävän oliot (vektorit, pisteet jne.) esitetään symboleilla, joilla niihin algoritmissa viitataan. Ratkaisu GeoGebralla voisi näyttää seuraavalta (kuvan saa suurennetuksi klikkaamalla):</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjS7220SrBbLIco00pvhbYYKgIb3PiVTjplXH0W3dTyr34t4lmLWAFnriykT0cKdqAEo6ro2fF-XnU3VuacbYOFoCq8FqDRryBs5Z6fwxcdYCv5fpionxefLBS_IBNlHaSbliqKLGewwWqxZ7vzdMQDsUm5Ey3F3Q39en5QsBQxXJ1UHKtSbFUcpENCZ1nE/s720/s23p4gg.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="720" data-original-width="461" height="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjS7220SrBbLIco00pvhbYYKgIb3PiVTjplXH0W3dTyr34t4lmLWAFnriykT0cKdqAEo6ro2fF-XnU3VuacbYOFoCq8FqDRryBs5Z6fwxcdYCv5fpionxefLBS_IBNlHaSbliqKLGewwWqxZ7vzdMQDsUm5Ey3F3Q39en5QsBQxXJ1UHKtSbFUcpENCZ1nE/w256-h400/s23p4gg.png" width="256" /></a></div><br /><p>Tällaisena ratkaisu on oikeastaan ohjelmakoodi. Vaihtamalla tason virittäjävektorit ja tarkasteltava piste saadaan samantien tehtävä ratkaistuksi toisenlaisilla lähtötiedoilla. Näiden komponentit voivat jopa olla symboleja, jolloin tulos on jo aika pahannäköinen algebrallinen lauseke. Ohjelman syöttötietoina ovat siten vektorit $\vec{u}$ ja $\vec{v}$ sekä piste $P$, tuloksena saadaan pisteen etäisyys tasosta.</p><p></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEglWeZSB64Y2xSAmyQXWWZ1xX34S0HVX3no-6n_dyMEscGGGMfp4Ej3GTq_RTSviFzzZRwVhvqOkvXThtYl-fgpMKjqH_wye4yzNJpm1wyk3DAkle31e-_RgKU-CT_WxIkDP2-kILsPQQaLb0ofrwuF7LVTguBtOt8WApGsk6maOimUGdtAatawZMm3TJpO/s1715/s23p4ggsym.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="812" data-original-width="1715" height="304" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEglWeZSB64Y2xSAmyQXWWZ1xX34S0HVX3no-6n_dyMEscGGGMfp4Ej3GTq_RTSviFzzZRwVhvqOkvXThtYl-fgpMKjqH_wye4yzNJpm1wyk3DAkle31e-_RgKU-CT_WxIkDP2-kILsPQQaLb0ofrwuF7LVTguBtOt8WApGsk6maOimUGdtAatawZMm3TJpO/w640-h304/s23p4ggsym.png" width="640" /></a></div><br /><p></p><p>Luontevaa olisi tällöin kirjoittaa ohjelma erilliseksi tiedostoksi tai muodostaa siitä muusta laskennasta riippumaton itsenäinen funktio. Funktion määrittely näyttäisi periaatteessa seuraavalta:</p><pre>etaisyys(u,v,p) = function{
q := r*u+s*v;
yhtalo := {dot(p-q,u)=0, dot(p-q,v)=0};
ratkaisu := solve(yhtalo,{r,s});
q1 := substitute(q,ratkaisu);
sqrt(dot(p-q1,p-q1))
}
</pre><p>(Olen siirtynyt englanninkielisiin termeihin, kuten ohjelmakoodissa on luontevaa.)</p><p>Käsittääkseni GeoGebra ei tue tämänkaltaista funktioiden määrittelyä eikä edellä oleva koodi ole minkään todellisen ohjelmointikielen mukaista. Riippuen ohjelmointikielen tavasta esittää vektorit funktion kutsu voisi olla edellä mainitun esimerkin tapauksessa </p><pre>etaisyys((3,1,-2),(1,2,-2),(6,7,1))</pre> tai vain <pre>etaisyys(vec1,vec2,pst)</pre>mikäli lähtötiedot on talletettu näihin symboleihin. Tuloksena saadaan kysytty etäisyys.<p></p><p>Valmiiksi ohjelmoitu funktio avaa tien monimutkaisempien tehtävien yksinkertaiseen ratkaisemiseen. Jos esimerkiksi pitäisi etsiä pisteen $(1,2,3)$ kautta kulkevalta vektorin $3\vec{i}-2\vec{j}+6\vec{k}$ suuntaiselta suoralta $s$ pisteet, jotka ovat etäisyydellä $2$ vektoreiden $\vec{u}$ ja $\vec{v}$ määräämästä tasosta, nämä saadaan muodostamalla ensin suoralla olevat pisteet parametrin $t$ funktiona ja ratkaisemalla sitten kyseeseen tulevat parametriarvot etäisyysfunktion avulla muodostetusta yhtälöstä:</p><pre>suora := (1,2,3)+t*(3,-2,6)
solve(etaisyys(vec1,vec2,suora)=2, t)
</pre><p>Tämä antaa ratkaisuksi kaksi arvoa parametrille $t$ ja näiden avulla voidaan laskea kyseiset suoran pisteet.</p><p>Tällainen funktion määrittely voisi olla ensimmäinen askel ohjelmoinnin opetteluun. Kyseessä olisi luonnollinen osa matematiikan opiskelua. Tarpeen mukaan ohjelmointirakenteita voitaisiin ottaa käyttöön lisää painottamatta asiaa varsinaiseksi ohjelmointikielen syntaksin opetteluksi. Ohjelmoinnin kannalta tavoitteena olisi periaatteen ymmärtäminen, ei koodariksi opiskelu.</p><p>Matematiikan kannalta painottuisi kokonaisnäkemys tehtävän ratkaisemisen strategiasta laskun yksityiskohtiin keskittymisen sijasta. Tällaiseen työskentelyyn olisi yleensäkin hyvä oppia, ei yksinomaan matematiikassa. Se ehkä vastaisi myös paremmin opetussuunnitelman tavoitetta "kehittää laskemisen, luovan ajattelun sekä ilmiöiden mallintamisen, ennustamisen ja ongelmien ratkaisemisen taitoja".</p><p>Oleellinen edellytys on, että käytössä on laskentaohjelma, joka tukee edellä kuvattua menettelyä. En tarkoin tiedä, mikä tilanne on tavallisimmissa CAS-ohjelmissa. Jos GeoGebra ei tue, niin voisiko sitä kehittää?</p><p>Isot symbolilaskennan ohjelmistot kyllä tukevat menettelyä, mutta niiden koulukäyttö ei monestakaan syystä ole järkevää. Lopuksi esimerkki edellä olevista laskuista Mathematicalla suoritettuina.</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiJ5PBBT-CDVZg6qWdyh34cg4aqEro5LgUzytJ7u_U3Ev7JObOcFjo0FCixUQxcHnKB3wLiVm3-q8R_XT1C5ZupNIRMTt2Bb5mQ_0jk9EuVp9k65AwQP-EEjGnFwDLTQ_MYXnbiOrCoNPZ99oiFXGjSXZIM3JmNfjiO5kzD22XojD9ftI9HvU9BogJ7LzZk/s656/s23p4nb.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="522" data-original-width="656" height="319" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiJ5PBBT-CDVZg6qWdyh34cg4aqEro5LgUzytJ7u_U3Ev7JObOcFjo0FCixUQxcHnKB3wLiVm3-q8R_XT1C5ZupNIRMTt2Bb5mQ_0jk9EuVp9k65AwQP-EEjGnFwDLTQ_MYXnbiOrCoNPZ99oiFXGjSXZIM3JmNfjiO5kzD22XojD9ftI9HvU9BogJ7LzZk/w400-h319/s23p4nb.png" width="400" /></a></div><br /><div><br /></div>SKKhttp://www.blogger.com/profile/11007502688158156164noreply@blogger.com3tag:blogger.com,1999:blog-715456041255349481.post-63350323281647544642024-01-11T11:11:00.000+02:002024-01-11T11:11:50.211+02:00Matemaattinen seinäkalenteri<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi6JDIeD5T5sBayr_sxmeI8VVxiEvpazbqXPOBUatjXl_PvbKZTKYeu4x59XRYK5HeCh0jZ72sa81VQ_kG5qUaRIvDe7A5h0cLKyLzB5ju31bv3_4cIHwlIdkQTeU4S96EaO4TLj1JLzLDcSoXhSxMU3GM5Vf8lbTLDKQVgw4M-VWjvX5pbGDvPjU4oPaoS/s1200/wallcalendar.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="1200" data-original-width="1200" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi6JDIeD5T5sBayr_sxmeI8VVxiEvpazbqXPOBUatjXl_PvbKZTKYeu4x59XRYK5HeCh0jZ72sa81VQ_kG5qUaRIvDe7A5h0cLKyLzB5ju31bv3_4cIHwlIdkQTeU4S96EaO4TLj1JLzLDcSoXhSxMU3GM5Vf8lbTLDKQVgw4M-VWjvX5pbGDvPjU4oPaoS/s320/wallcalendar.jpg" width="320" /></a></div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><p>American Mathematical Society (<a href="https://www.ams.org/" target="_blank">AMS</a>) julkaisee vuosittain <a href="https://bookstore.ams.org/view?productcode=MBK/147" target="_blank">matemaattisen seinäkalenterin</a>. Kiinnostuin ja tilasin, tuli kolmessa viikossa. EU:n ulkopuolelta tuleva lähetys piti tullata, mikä sujui kohtuullisen vaivattomasti netissä. Kulut: luottokortilla Amerikkaan 25 euroa (kalenteri ja postikulut), kotimaiselle postille ja tullille lisäksi 9 euroa.</p><p>Mitä sitten sain? Seinäkalenterin, jonka kuvat ovat upeita fraktaalikuvioita ja jossa on muutoin tavanomaiset kuukausilehdet, mutta jokaiselle päivälle on matemaattinen probleema. Tämän vastaus on tiedossa: se on kyseisen päivän numero. Tarkoitus ei siten ole vastauksen etsiminen, vaan sen pohdiskelu, miten tulokseen päästään tai mistä yleensä on kyse. Itse asiassa sain kaksi seinäkalenteria, vuosien 2023 ja 2024. Edellinen kaupanpäällisenä, koska niitä vielä oli jäljellä.</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEir1LgyexBu0WYiQLpcDRComDLNfkvyCJdvtwh0SX-b7crP4DKsJl_X47p2AdU7ej8rP17RW2SQM1jjJ6sP6Gb0uYQEdRVtblGEW_wPeUJ0gov4uAHjOVUDOVMZ1n-1j7NTeMUnU1orm95T8bT_cTpWCMK0NUUTgAohWv96QCUNh6XuhtfvYjTJ5QdXDxWq/s622/wallcalendar_blr.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="622" data-original-width="418" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEir1LgyexBu0WYiQLpcDRComDLNfkvyCJdvtwh0SX-b7crP4DKsJl_X47p2AdU7ej8rP17RW2SQM1jjJ6sP6Gb0uYQEdRVtblGEW_wPeUJ0gov4uAHjOVUDOVMZ1n-1j7NTeMUnU1orm95T8bT_cTpWCMK0NUUTgAohWv96QCUNh6XuhtfvYjTJ5QdXDxWq/s320/wallcalendar_blr.png" width="215" /></a></div><p><br /></p><p>Millaisia päivittäiset ongelmat sitten ovat? Skaala ulottuu yksinkertaisesta aritmetiikasta suunnilleen ensimmäisen yliopistovuoden matematiikan opintojen tasolle. Usein ongelmassa on jokin hieman yllättävä piirre, joka tuottaa ahaa-elämyksen: tällainenkin riippuvuus on, näinkin voi asiaa katsoa. Muutaman kerran olen törmännyt minulle ennestään tuntemattomaan käsitteeseen, ja lisäopiskelua on tarvittu. Googlesta on yleensä apua. Tekijät sanovatkin esipuheessa, että ideana on myös ollut tutustuttaa ennestään todennäköisesti tuntemattomiin asioihin.</p><p>Esimerkiksi tammikuun toisena päivänä tarjolla oli lauseke \[\left(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}\right)^{-1}.\] Tämän arvo siis tietenkin on 2, mistä voi varmistua vaikkapa syöttämällä sen laskentaohjelmalle. Sarjan summeeraamista voi kuitenkin pohtia, eikä se kovin vaikeata käsin laskijallekaan ole.</p><p>Joulukuun 30. päivän tehtävä oli geometrinen:</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiMi0fg-j_BZgScy_AX2EJzrOrRVCUls9wxRUAmr0o1E7nLMv2qKh7sYnaoltCSN1nVu276Rk5wah6lwTRMUUO5I3fWECVQD46Ef0XZrlfPLb1iRFgn658rtZqqGbSFinok9YwpXfss-GBkNXlJLPn_Z3JbJTh4vfqbD33bQOKVOc6yyywG3dp_CtKGnNfx/s350/3012.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="350" data-original-width="330" height="200" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiMi0fg-j_BZgScy_AX2EJzrOrRVCUls9wxRUAmr0o1E7nLMv2qKh7sYnaoltCSN1nVu276Rk5wah6lwTRMUUO5I3fWECVQD46Ef0XZrlfPLb1iRFgn658rtZqqGbSFinok9YwpXfss-GBkNXlJLPn_Z3JbJTh4vfqbD33bQOKVOc6yyywG3dp_CtKGnNfx/w189-h200/3012.png" width="189" /></a></div><p>Sinisen neliön ala on siis ilmeisesti 30, mutta missä asennossa neliöt oikein ovat ja miten tämän laskisi. Kuvio on helppoa piirrellä GeoGebraan siten, että neliöiden asentoa voi muuttaa, ja todellakin näyttää siltä, että neliöiden asennolla ei ole vaikutusta tulokseen. Sen voi tietenkin laskea analyyttisen geometrian tempuilla, mutta näkisikö sen jotenkin elegantimmin? En ole jäänyt pohtimaan.</p><p>Tammikuun 7. päivänä kysyttiin '<i>How many frieze patterns are there?</i>' Ilmeisesti siis seitsemän kappaletta, mutta mitä ne ovat? Google löytää aiheesta useita viitteitä, vaikkapa <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Frieze_group" target="_blank">Wikipediaan</a> tai Virginia Commonwealth Universityn <a href="https://www.people.vcu.edu/~rhammack/Math122/Lectures/MATH122Lecture3.pdf" target="_blank">kurssimateriaaliin</a>.</p><p>Joillakin ongelmilla on kompatehtävän luonne, esimerkiksi '<i>Half of the oddiest prime</i>' kuluvan vuoden huhtikuun ensimmäisenä päivänä. Ehkäpä kakkonen sitten on parillisena oudoin alkuluku. Hämäräksi minulle on jäänyt viime marraskuun 23. päivän tehtävä:</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhsLPpjVlevGd4w5Li12bjMXkXAYIFRU7uFrUpGAsTioydjy3QElkPRr4akNSbnzsc0pv7xgMu_dglLrxcnoyDx9ykwLQ4vCwH8Qn-Sji7wcSpbXG_wQmaCHPkTeajJGMWDPlKsktrMWmNlCWS5_KnN7BiuOcK9fQOXQG1Kyo88BlTOXOQv6leftpqSEql3/s333/2311.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="333" data-original-width="276" height="200" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhsLPpjVlevGd4w5Li12bjMXkXAYIFRU7uFrUpGAsTioydjy3QElkPRr4akNSbnzsc0pv7xgMu_dglLrxcnoyDx9ykwLQ4vCwH8Qn-Sji7wcSpbXG_wQmaCHPkTeajJGMWDPlKsktrMWmNlCWS5_KnN7BiuOcK9fQOXQG1Kyo88BlTOXOQv6leftpqSEql3/w166-h200/2311.png" width="166" /></a></div><p>Olisiko Thanksgiving Day jonkinlainen avain ongelmaan vai mistä on kyse? Jos jollakulla lukijalla on idea, niin kertokaa.</p><p>Tällainen kalenteri on erinomainen virittelemään kiinnostusta ja harrastusta matematiikkaan. Kun vastaukset kerran tiedetään, ei ole paineita tehtävien ratkaisemiseen. Voi rauhassa ihmetellä ja mietiskellä. Ei ole myöskään ylioppilaskokeeseen valmentautumisen henkeä, vaikka toki voi olla hyödyksi siinäkin. Tekisikö joku vastaavan kotimaisen? Tai hankkisi lisenssin, jos ei oma into riitä.</p><p><br /></p>SKKhttp://www.blogger.com/profile/11007502688158156164noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-715456041255349481.post-10386855452686866422023-12-17T21:24:00.000+02:002023-12-17T21:24:46.322+02:00Littlewoodin joulukranssi<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjZAS_ZXtK1O_EgVwKFsC8FW2PmvIBXvbQFnqq_ErJzP4NihLoAf8TZCKPUBThoxZHF1ZPO11H83Sm6JABK1nBrWz_V_1iFedtR9LXvHr-UWMRC_qUIvMYDcrlWvi6qvl-aksGRTxVKy2C60FOTQ-tzF2yNqjII_OkWXQxPgSS8BLSbHpWL6a7Yvgz3OADs/s600/lw14krans.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="430" data-original-width="600" height="229" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjZAS_ZXtK1O_EgVwKFsC8FW2PmvIBXvbQFnqq_ErJzP4NihLoAf8TZCKPUBThoxZHF1ZPO11H83Sm6JABK1nBrWz_V_1iFedtR9LXvHr-UWMRC_qUIvMYDcrlWvi6qvl-aksGRTxVKy2C60FOTQ-tzF2yNqjII_OkWXQxPgSS8BLSbHpWL6a7Yvgz3OADs/s320/lw14krans.png" width="320" /></a></div><br /><div><br /></div>Joulukoristeeksi sopii varmaankin yllä olevan kuvion mukainen kranssi. Ajattelin kutsua tätä englantilaisen matemaatikon <i><a href="https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Littlewood/" target="_blank">John Edensor Littlewoodin</a></i> mukaan <i>Littlewoodin kranssiksi</i>. Toivon, että hänellä ei ole mitään nimitystä vastaan.<div><br /><div>Kranssin vihreä osa esittää astetta 14 olevien Littlewoodin polynomien nollakohtia kompleksitasossa. Littlewoodin polynomi taas on polynomi, jonka kaikki kertoimet ovat lukuja $+1$ ja $-1$. Astetta 14 olevia polynomeja on tällöin rajallinen määrä, $2^{15} = 32768$ kappaletta, joten kaikkien nollakohdat on mahdollista laskea. Aivan kaikkia näitäkään ei tarvitse laskea, koska polynomin nollakohdat eivät muutu, kun se kerrotaan luvulla $-1$. Puolet voidaan siis jättää pois, ja riittää hakea $16384$ polynomin nollakohdat.</div><div><br /></div><div>Laskin kuvion Mathematica-ohjelmistolla kotikoneessani. Aikaa meni vajaa minuutti. Ei siis mikään raskas laskentatyö, vaikka käsin laskettaessa aikaa epäilemättä hieman enemmän meneekin. Alla on hiomaton Mathematica-koodi. Tässä ei edes ole otettu huomioon polynomien määrän puolittamista. Varsin vähäisellä vaivalla voi tehdä matemaattisia kokeiluja tai leikittelyjä.</div>
<p style="margin: 0px;"><br /></p><div><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjm-RGbNReBGN7rcUeIQGY6uuwoKIxHwxh0H_d6yXlmq9qjer7YSStGtjoXk7JkUoWdrIyrkMwiIu3tRsAtdFAgEE9d2cFdtzDFtvbJ_dCSxvLRJjFBVET9hHqslpEyzJctNPLLTZCagw2sW78aTyW6v89vGj58ctDz7ZPBdpTOB8Nnn4zW_RF48wH9O2Sa/s805/littlewoodCode.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="342" data-original-width="805" height="170" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjm-RGbNReBGN7rcUeIQGY6uuwoKIxHwxh0H_d6yXlmq9qjer7YSStGtjoXk7JkUoWdrIyrkMwiIu3tRsAtdFAgEE9d2cFdtzDFtvbJ_dCSxvLRJjFBVET9hHqslpEyzJctNPLLTZCagw2sW78aTyW6v89vGj58ctDz7ZPBdpTOB8Nnn4zW_RF48wH9O2Sa/w400-h170/littlewoodCode.png" width="400" /></a></div><br /><div><br /></div><div>Polynomin asteluvun noustessa nollakohtien määrä kasvaa nopeasti ja niiden muodostama rengas tihenee. Nollakohdat pysyvät kuitenkin rajatulla alueella. Voidaan osoittaa, että kaikkien eriasteisten Littlewoodin polynomien nollakohtien joukko $D$ sijaitsee renkaassa $\{\frac{1}{2} < |z| < 2\}$. Rengas $\{2^{-1/4} < |z| < 2^{1/4}\}$ puolestaan sisältyy nollakohtien joukon sulkeumaan $\overline{D}$. Alla 10. asteen polynomista syntyvä kuvio.</div><div><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhFIT2LiqKCOB71yCo_zg1qZc5N1VK1oI7ypaJQHbEXlaSd8yotvE20PAtmAR0CEZqOYf6s9ab56Kx44GBB-oqR8bvah_WJnpGJRtSj-xJF2GCnZ3IS6GDDv6bdN5m_g2Ibz1bylM309_LWdQkPnsjGRps0uOiwfM4EhH-cEM7rPjrCZ28-cxRSJXGFvUDP/s600/lw10.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="427" data-original-width="600" height="143" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhFIT2LiqKCOB71yCo_zg1qZc5N1VK1oI7ypaJQHbEXlaSd8yotvE20PAtmAR0CEZqOYf6s9ab56Kx44GBB-oqR8bvah_WJnpGJRtSj-xJF2GCnZ3IS6GDDv6bdN5m_g2Ibz1bylM309_LWdQkPnsjGRps0uOiwfM4EhH-cEM7rPjrCZ28-cxRSJXGFvUDP/w200-h143/lw10.png" width="200" /></a></div><br /><div><br /></div><div><br /></div><div>Erilaisten kuvioiden muodostamista voidaan tietenkin jatkaa valitsemalla polynomien kertoimet jollakin muulla vastaavalla tavalla. Alla olevat kuviot syntyvät 12. asteen polynomista, jonka kertoimina ovat luvut $0$ ja $1$ (vasen kuvio) tai $i$ ja $1$ (oikea kuvio).</div><div><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhJHA4VJo17RJE47eoTiWnT9KO02n5ftIRUKDADWEYxpSMtpS55t7m4kn8CUySbL34Dw9fN6cnYYq-rCZALHmaG6WBaJmpID3Yul9F2QDDk1pkkPPya2uqgLIgjt7kBpxfSV8d-EK91ak55V3uYRVBWKn5RmBABzA3uoyFTdisydw9o_NToMeeLefqlDtMX/s600/lw12_01.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="575" data-original-width="600" height="192" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhJHA4VJo17RJE47eoTiWnT9KO02n5ftIRUKDADWEYxpSMtpS55t7m4kn8CUySbL34Dw9fN6cnYYq-rCZALHmaG6WBaJmpID3Yul9F2QDDk1pkkPPya2uqgLIgjt7kBpxfSV8d-EK91ak55V3uYRVBWKn5RmBABzA3uoyFTdisydw9o_NToMeeLefqlDtMX/w200-h192/lw12_01.png" width="200" /></a> <a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiBqMi2NXTp8vAzDYoM6cjOLokJFvKDDOlb3qCpiT-_h0CTlO79TiFTPSpcs0YJZpPQEeOAMaLhNf67fUJL0OFkyAqNzApqStbcc1NHZpuTq8r6_yuQrLRphDKQAZMY0rChos5WjNMPtq6j5AcS4rR5ncdMusS9qe32ATz_Kc_CHy_SySjakB_XL4Ml5mNr/s720/lw12_i1.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="720" data-original-width="597" height="200" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiBqMi2NXTp8vAzDYoM6cjOLokJFvKDDOlb3qCpiT-_h0CTlO79TiFTPSpcs0YJZpPQEeOAMaLhNf67fUJL0OFkyAqNzApqStbcc1NHZpuTq8r6_yuQrLRphDKQAZMY0rChos5WjNMPtq6j5AcS4rR5ncdMusS9qe32ATz_Kc_CHy_SySjakB_XL4Ml5mNr/w166-h200/lw12_i1.png" width="166" /></a></div><br /><div><br /></div><div><br /></div><div>Toivotan lukijoille rauhallista joulua!
</div></div>SKKhttp://www.blogger.com/profile/11007502688158156164noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-715456041255349481.post-54134919658454018792023-11-29T21:34:00.000+02:002023-11-29T21:34:50.650+02:00MatTa-sivusto<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjfnw5OHSSkOqM9i-M42x6fKN-MnhxeXIn784xGc_RckB6I_hRmtjCUcFazMJ0O3DFTDwyHS0h9Zn5_PJdzaDdYbY1YnaHEZ9P4w0NZt9popAUjWXgSXkgTMJPgmxWAmVTxlVFxcvXRP8RMAVy_qV4LuKJSxUuKJcq0NwY1Ryl0anEN7wLcN9UgmeUUckVS/s772/matta.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="529" data-original-width="772" height="274" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjfnw5OHSSkOqM9i-M42x6fKN-MnhxeXIn784xGc_RckB6I_hRmtjCUcFazMJ0O3DFTDwyHS0h9Zn5_PJdzaDdYbY1YnaHEZ9P4w0NZt9popAUjWXgSXkgTMJPgmxWAmVTxlVFxcvXRP8RMAVy_qV4LuKJSxUuKJcq0NwY1Ryl0anEN7wLcN9UgmeUUckVS/w400-h274/matta.png" width="400" /></a></div><p><br /></p><p>Aikaa eläkkeelle jäämisestäni on ehtinyt kulua seitsemäntoista vuotta. Viimeiset varsinaiset vuoteni työelämässä kuluivat matematiikan alan digitaalisten opiskelumateriaalien kehittelyssä Teknillisessä korkeakoulussa, Aalto-yliopiston edeltäjässä. Tuotokset julkaistiin verkossa osoitteessa http://matta.hut.fi. Projektin nimenä oli MatTa, jonkinlainen lyhenne sanoista MATematiikkaa TietokoneAvusteisesti.</p><p>Verkkosivut — MatTa-sivusto — ovat olleet olemassa tuosta ajasta lähtien. Kävin syksyllä vanhalla työpaikallani ja sivusto tuli puheeksi. Olisiko aika poistaa vai mitä sille tehtäisiin? Lokitiedot osoittivat kuitenkin, että ainakin osalla materiaaleista oli edelleen käyttäjiä. Olisiko revisiointi paikallaan? Lupasin katsoa.</p><p>Kävin sivuston lävitse. Oli isompi työ kuin kuvittelin. Piti palauttaa mieleen kahdenkymmenen vuoden takaisia ajatuksia. Osa materiaaleista oli auttamatta vanhentunutta, suuri osa animaatioita, jotka eivät enää olleet pitkään aikaan toimineet. Matemaattinen sisältö ei niinkään vanhene, tietotekniset ratkaisut kyllä. Karsin vanhentuneet pois, jätin jäljelle materiaalit, joilla jotenkin voi kuvitella olevan vielä käyttöä. Näihinkin toki jäi vanhentuneita linkkejä enkä ryhtynyt varsinaisiin paikkauksiin.</p><p>Sivustolla on nyt uusi osoite: <a href="https://matta.math.aalto.fi/" target="_blank">https://matta.math.aalto.fi/</a>. Ainakin jonkin aikaa vanhasta osoitteestakin ohjataan tänne.</p><p>Avaamalla osoitesivun lukija näkee parhaiten, millaisista materiaaleista on kyse. Lyhyesti sanottuna taso ulottuu lukion pitkästä matematiikasta yliopisto-opintojen ensimmäiseen, osittain ehkä toiseen vuoteen. Lisäksi on alkeisopas LaTeXin ja Mathematica-laskentaohjelman käyttöön. Lukion osalta on tosin ehkä todettava, että nykyisiin digikirjoihin tottuneet opiskelijat saattavat kokea materiaalin vanhentuneeksi ja haasteelliseksi (= vaikeaksi).</p><p><br /><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh-S0A5_iSqOS_Nlz3lNV5Oaj_v96-B4yi3BtaP3l3ogDFSd54vOmi0xH5ScaaEkAOBFjGMdVjFSvNE_sXosQ1j7mKmIQ0m6mWnzymIzfpm3414loRhwbbQAraA8mUJZF8VPbKnCtM0ZjYbAlLi3ch4FgIHFTYXMZn7-9T-ka1jrUY3lPVSFugxkgJ4NIrF/s491/isom.png" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="318" data-original-width="491" height="259" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh-S0A5_iSqOS_Nlz3lNV5Oaj_v96-B4yi3BtaP3l3ogDFSd54vOmi0xH5ScaaEkAOBFjGMdVjFSvNE_sXosQ1j7mKmIQ0m6mWnzymIzfpm3414loRhwbbQAraA8mUJZF8VPbKnCtM0ZjYbAlLi3ch4FgIHFTYXMZn7-9T-ka1jrUY3lPVSFugxkgJ4NIrF/w400-h259/isom.png" width="400" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><br />Lukiolaisen tietosanakirja Iso-M</td></tr></tbody></table><br /></p><p>Erikseen kannattaa mainita tavallisten differentiaaliyhtälöiden opiskelupaketti DelTa, joka voidaan räätälöidä erilaajuisten kurssien materiaaliksi. Kyseessä oli kokeilu digitaalimateriaalin mahdollisuuksista. Kovin paljoa sitä ei kuitenkaan ole käytetty. Räätälöinti ei ole aivan yksinkertaista, mutta jos kiinnostusta löytyy, voin auttaa. (Kun nyt kerran palautin asiat mieleeni.)</p><p><br /><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgNgpFrqTROJd9Ivz0xgHJR8wb_2vELIG0nF-V9J2FDZtHp8z3_Mxr895gD-nY6rZAjQz2X6amc0zHfU9P396schlaYVWzzYtGVRmaa0NF7T36WEs4VkDjoVzZkNFPrl1s00hPWJOYIzoV9mHuTVFvOkJwPe9CpVNPbT-HIIXbluCMla35y5qp5sx8f52r0/s971/delta.png" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="971" data-original-width="855" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgNgpFrqTROJd9Ivz0xgHJR8wb_2vELIG0nF-V9J2FDZtHp8z3_Mxr895gD-nY6rZAjQz2X6amc0zHfU9P396schlaYVWzzYtGVRmaa0NF7T36WEs4VkDjoVzZkNFPrl1s00hPWJOYIzoV9mHuTVFvOkJwPe9CpVNPbT-HIIXbluCMla35y5qp5sx8f52r0/s320/delta.png" width="282" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><br />DelTa-paketti</td></tr></tbody></table><br /></p><p>Digitaalista opiskelumateriaalia on maailmanlaajuisesti saatavissa paljon, huolellisesti tehdyistä kirjoista fragmentaarisiin artikkeleihin, animaatioihin ja videoihin. Saatavissa rahalla tai ilman. Kieli on useimmiten englanti tai ainakaan muunkielisten löytämistä ei useinkaan edes yritetä. Suomeksikin löytyy kaikenlaista, mutta aika hajanaisesti. Käsittääkseni yliopistoissakin tuotetaan kyllä kurssimateriaaleja, mutta näiden jakelu kurssin ulkopuolelle on vähäistä. Syynä usein ehkä puuttuva viimeistely, jolloin laajemman jakelun kynnys nousee.</p><p>Helposti tarjolla oleva materiaali saattaisi lisätä kiinnostusta matematiikkaan. Jonkinlainen ohjaus ja sopivien kokonaisuuksien paketointi olisi tarpeen. Tällaisena asiasta tulee paljolti organisointiongelma. Kuka tai mikä — esimerkiksi yhdistys tai muu organisaatio — ottaa asian hoitaakseen? Rahaakin tietysti tarvitaan.</p><div><br /></div>SKKhttp://www.blogger.com/profile/11007502688158156164noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-715456041255349481.post-3763593418807581372023-11-15T19:21:00.000+02:002023-11-15T19:21:29.888+02:00Gauss ja 17-kulmio<p>Kaikkien aikojen merkittävimpänä matemaatikkonakin tunnettu <a href="https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Gauss/" target="_blank">Carl Friedrich Gauss</a> (1777 – 1855) osoitti teoksessaan <i>Disquisitiones Arithmeticae</i> (julkaistu 1801) paljon muun ohella, että säännöllinen 17-kulmio on mahdollista konstruoida geometrisesti, ts. ainoastaan harppia ja viivoitinta käyttäen. Konstruktiota Gauss ei kuitenkaan esittänyt.</p><p>Säännöllisten monikulmioiden geometrinen konstruointi on kiinnostanut geometrikkoja antiikin ajoista lähtien. Esimerkiksi viisikulmion konstruktion esittää Eukleides <i>Stoikheia</i>- (<i>Elementa</i>-) teoksensa neljännessä kirjassa propositioina 10 ja 11. (Katso esimerkiksi <a href="https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/" target="_blank">englanninkielistä</a> tai <a href="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/ce/Euclid-Elements.pdf" target="_blank">kreikankielistä</a> esitystä.) Seitsemäntoistakulmion ongelmaa ei kuitenkaan kukaan ole ennen Gaussia ratkaissut.</p><p>Miten asiaa voisi nykyisillä työvälineillä tutkia?</p><p><br /></p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjnckZ7xfd2RygVZNV_MZWKRBcmJ9cATRE5QGN0EDr6nrVvNhE086Z2VJBXqtkSZYsohsxlvGVbx3FmijpHcqURNZQHFSZPW5ItBwBypuCzitmujyERvcDY16Uvh4Lnr23NmeIGoqRNYk-D7U0RsbLsV05chEtjbLx3ENQKHGtv2Raz_9wBDV2uoL_UxgwO/s650/17.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="634" data-original-width="650" height="195" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjnckZ7xfd2RygVZNV_MZWKRBcmJ9cATRE5QGN0EDr6nrVvNhE086Z2VJBXqtkSZYsohsxlvGVbx3FmijpHcqURNZQHFSZPW5ItBwBypuCzitmujyERvcDY16Uvh4Lnr23NmeIGoqRNYk-D7U0RsbLsV05chEtjbLx3ENQKHGtv2Raz_9wBDV2uoL_UxgwO/w200-h195/17.png" width="200" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Seitsemäntoistakulmio</td></tr></tbody></table><p></p><p>Seitsemäntoistakulmion piirtäminen grafiikkaohjelmalla on helppoa: Koska piste $(\cos(t),\sin(t))$ sijaitsee origokeskisellä yksikköympyrällä kulman $t$ (radiaaneissa) suunnassa, saadaan 17 tasavälistä ympyrän pistettä lausekkeista \[(\cos(2\pi k/17),\sin(2\pi k/17)),\] missä $k$ saa arvot $0,\ 1,\ 2,\ \dots\,\ 16$. Antamalla $k$:lle lisäksi arvo $17$ saadaan ensimmäinen piste uudelleen. Piirtämällä murtoviiva näiden pisteiden kautta saadaan yksikköympyrän sisällä oleva säännöllinen 17-kulmio.</p><p>Toinen vaihtoehto on laskea vaikkapa valmiilla laskentaohjelman komennolla numeerinen ratkaisu polynomiyhtälölle $x^{17} - 1 = 0$. Tällä on 17 ratkaisua, joista yksi on reaalinen, $x = 1$, ja muut kompleksisia. Näiden reaali- ja imaginaariosat antavat samat 17-kulmion kärkipisteiden koordinaatit kuin edellä.</p><p>Gauss tutki 18-vuotiaana vuonna 1796 polynomiyhtälöiden ratkaisemista ratkaisukaavoilla, ts. neljän peruslaskutoimituksen ja juurenoton avulla. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavat olivat tunnettuja jo vanhalla ajalla, kolmannen ja neljännen asteen yhtälön ratkaisukaavat olivat löytyneet 1500-luvulla. Viidennen asteen yhtälölle oli yleistä ratkaisukaavaa yritetty menestyksettä löytää parin sadan vuoden ajan, ja alkoi vaikuttaa ilmeiseltä, että sellaista ei ehkä voitaisikaan löytää. Vuonna 1824 <a href="https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Abel/" target="_blank">Nils Henrik Abel</a> lopulta todisti, että viidennen ja korkeamman asteen yhtälöille ei yleistä ratkaisukaavaa ole.</p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhh7BEsh_7XFm-Pm_YqUPGhhR6C2MCk_l1PmAFjrYIz4iokSaqjAlaBhNaHCo3V-BgGEeP4OlLQ00IuVUnRqmfjAFVe5SwhSFu7nppey0_oiG3oUdETxsfC-bvFDyzkSQKkGMHqvVNC6opIppTPrkFYz0VrTQEjP3EaNxZOwS84g52qNmBp356DfpyzB6Be/s630/GaussDA662.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="630" data-original-width="528" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhh7BEsh_7XFm-Pm_YqUPGhhR6C2MCk_l1PmAFjrYIz4iokSaqjAlaBhNaHCo3V-BgGEeP4OlLQ00IuVUnRqmfjAFVe5SwhSFu7nppey0_oiG3oUdETxsfC-bvFDyzkSQKkGMHqvVNC6opIppTPrkFYz0VrTQEjP3EaNxZOwS84g52qNmBp356DfpyzB6Be/s320/GaussDA662.png" width="268" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><br />Gaussin esitys <i>Disquisitiones Arithmeticae</i> -teoksessa. Juurilausekkeessa<br />on painovirhe: neljännen termin edessä tulee olla plusmerkki.</td></tr></tbody></table><p>Ratkaisu peruslaskutoimitusten ja juurten ottojen avulla voi kuitenkin olla erikoistapauksissa mahdollista. Gauss tutki muun muassa muotoa $x^n - 1 = 0$ olevia yhtälöitä ja totesi, että eräissä tapauksissa niiden ratkaisut voidaan lausua juurilausekkeita käyttäen. Arvo $n = 17$ on tällainen. Siten esimerkiksi pisteen $P_1$ x-koordinaatille $\cos(2\pi/17)$ saadaan lauseke \[-\frac{1}{16}+\frac{\sqrt{17}}{16}+\frac{1}{16} \sqrt{34-2\sqrt{17}}+\frac{1}{8} \sqrt{17+3 \sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2 \sqrt{34+2 \sqrt{17}}}.\] Tämän löytäminen ei ole aivan helppoa enkä paneudu siihen, en myöskään lukua $n$ koskeviin ehtoihin.</p><p>Symbolisen laskentaohjelman käyttäjä voi yrittää löytää edellä mainitun juurilausekkeen muokkaamalla kosinifunktion arvoa $\cos(2\pi/17)$. Laskentaohjelma Mathematican komento <span style="font-family: courier;">ToRadicals</span> tuottaa lausekkeen \[\frac{1}{4 \sqrt{\frac{2}{15+\sqrt{17}-\sqrt{2\left(17-\sqrt{17}\right)}+\sqrt{2 \left(34+6\sqrt{17}+\sqrt{2 \left(17-\sqrt{17}\right)}-\sqrt{34\left(17-\sqrt{17}\right)}+8 \sqrt{2\left(17+\sqrt{17}\right)}\right)}}}}.\] En saanut Mathematicaa sieventämään tätä. Sen ja edellä saadun juurilausekkeen erotuksen ohjelma kuitenkin sieventää nollaksi, joten ne esittävät samaa lukua.</p><p>Mistä Gauss sitten päätteli, että 17-kulmio voidaan piirtää geometrisesti? Mainittu kosinin arvo riippuu vain yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolaskusta sekä neliöjuuren otosta, ja jokainen operaatio voidaan erikseen toteuttaa harpilla ja viivoittimella. Janojen $a$ ja $b$ yhteen- tai vähennyslasku tarkoittavat janojen asettamista samalle suoralle, kerto- ja jakolasku niiden sekä yksikköjanan asettamista kahdelle toisensa leikkaavalle suoralle ja nelijuuren otto suorakulmaisen kolmion piirtämistä puoliympyrän sisään; kuviot alla. Täten juurilausekkeen edustama pituus saadaan vaiheittain konstruoiduksi. Kun yhden 17-kulmion kärjen paikka on täten konstruoitu, loput saadaan harpilla helposti. Tällä tavoin tehty konstruktio ei ole kovin sujuva, mutta se osoittaa geometrisen konstruktion mahdolliseksi. Gaussille riitti tämä. Myöhemmin on toki esitetty sujuvampiakin konstruktioita.</p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgXySO1KGUBxHrlZXwRAL---W6txyaiSiaOEyf6lX0Ra2RzuwoWqLHButLSMmO47P-XFbx7hVZlGGVkdy-M56wJ6N2s8Tv5lppwcaZQa-2mpiN3kVD2bnjWlP0M2YyDkGeaoiFZAvc-ldRQz9yDlHBtvIuuFYQEIDU1apT5zfdT_LkvJECL-yrIdg-H0m17/s2128/geomkonstr.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="1290" data-original-width="2128" height="243" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgXySO1KGUBxHrlZXwRAL---W6txyaiSiaOEyf6lX0Ra2RzuwoWqLHButLSMmO47P-XFbx7hVZlGGVkdy-M56wJ6N2s8Tv5lppwcaZQa-2mpiN3kVD2bnjWlP0M2YyDkGeaoiFZAvc-ldRQz9yDlHBtvIuuFYQEIDU1apT5zfdT_LkvJECL-yrIdg-H0m17/w400-h243/geomkonstr.png" width="400" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Juurilausekkeen konstruoinnissa tarvittavat geometriset alkeiskonstruktiot.</td></tr></tbody></table><p>Tarkempia tietoja ja yksityiskohtia löytyy ainakin Wikipedia-artikkeleista <a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Konstruoituva_monikulmio" target="_blank">Konstruoituva monikulmio</a> ja <a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Seitsentoistakulmio" target="_blank">Seitsentoistakulmio</a> sekä niiden englannin- (tai muun-) kielisistä vastineista. (Näissä on eroja. Esimerkiksi saksankieliset näyttävät sisältävän materiaalia, jota muissa ei ole.) Artikkelit sisältävät myös animaatioita 17-kulmion geometrisesta konstruointiprosessista. Juurilausekkeen laskeminen löytyy tietenkin <i><a href="https://archive.org/details/disquisitionesa00gaus" target="_blank">Disquisitiones Arithmeticae</a></i> -teoksesta ja ainakin Jörg Bewersdorffin kirjasta <i>Galois Theory for Beginners</i>, varmaan muualtakin. Saksankielisessä Wikipedia-artikkelissa näyttää periaate myös olevan kuvattuna.</p><p><br /></p>SKKhttp://www.blogger.com/profile/11007502688158156164noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-715456041255349481.post-23906064781528287752023-06-18T18:18:00.000+03:002023-06-18T18:18:26.996+03:00Tekoäly, faktat ja laskeminen<p></p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgUsMNO1-dl-YUaQHAnBYEx_I6z0V7t8RRUCrAbtpObraXLoJFesfHL1DAX1ipie3CvAaOW_DLTURKyXq5yRXDHzr2Pvr0cknNFrlp04qb43pFReHHdEOn5Rf4QjbfWACCfYPLXvEoRCMhXyo1hw469zTFbPOFy20eRl7tZk7RiXnn0RLrddZmqB7b7vA/s600/Johanneksenkirkko_2_2020-04-22.jpg" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="600" data-original-width="400" height="200" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgUsMNO1-dl-YUaQHAnBYEx_I6z0V7t8RRUCrAbtpObraXLoJFesfHL1DAX1ipie3CvAaOW_DLTURKyXq5yRXDHzr2Pvr0cknNFrlp04qb43pFReHHdEOn5Rf4QjbfWACCfYPLXvEoRCMhXyo1hw469zTFbPOFy20eRl7tZk7RiXnn0RLrddZmqB7b7vA/w133-h200/Johanneksenkirkko_2_2020-04-22.jpg" width="133" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Helsingin korkein rakennus?<br />(© Joneikifi, <a href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0" target="_blank">CC BY-SA 4.0</a>)</td></tr></tbody></table><br />Jatkan edellisessä blogipostauksessa aloittamaani tekoälyn pohdiskelua. Viime aikoina paljon huomiota herättänyt tekoälybotti ChatGPT juttelee sujuvasti ja inhimillisesti, mutta faktat ja matemaattinen laskeminen eivät ole sen vahvoja puolia. Eikä muuta toki ole väitettykään, kyseessä on ennen muuta ns. kielimalli, ts. se on opetettu isolla tekstimassalla, minkä perusteella se rakentaa oman tekstinsä, mutta ajattelua tai edes faktakokoelmia sillä ei ole. Matematiikastakaan se ei kovin hyvin suoriudu, vaikka saa myös oikeita tuloksia; esimerkkinä vaikkapa YouTube-video <a href="https://www.youtube.com/watch?v=E6GBHe-wVjk" target="_blank">Can ChatGPT Pass the Oxford University Admissions Test?</a>.<p></p><p>ChatGPT muodostaa yhden askelen siinä jatkumossa, jonka tunnetuimpia palasia ovat hakukoneet, Wikipedia ja lukuisat muut verkon informaatiolähteet. Tällainen on myös kesäkuussa 1988 symbolisen laskennan ohjelmistona syntynyt Wolfram Researchin <a href="https://www.wolfram.com/mathematica/quick-revision-history/" target="_blank">Mathematica</a>. Historiansa aikana siihen on ympätty — usein ilmeisesti kokeellisina hankkeina — monenlaisia piirteitä: ohjelmointikieli (<i>Wolfram Language</i>) on monipuolistunut, on luotu käsite <i>computable document format</i> (CDF), tarjolla on alkeisgeometrista päättelyä, monenlaista dataa sisältäviä tietokantoja jne. Käyttöliittymänä on Mathematica-ohjelmiston lisäksi verkkosivusto <a href="https://www.wolframalpha.com/" target="_blank">Wolfram|Alpha</a>.</p><p>Kovin kaukana ei ole ajatus yhdistää ChatGPT:n kielimalli ja Mathematican laskentakyky sekä Wolfram Researchin tietokannat. Tämä antaa mahdollisuuden paikata ChatGPT:n faktatiedoissa ja matemaattisissa kyvyissä olevia puutteita. Itse asiassa yhdistämiseen tarvittava plugin on olemassa, kuten Stephen Wolfram kirjoittaa <a href="https://writings.stephenwolfram.com/2023/03/chatgpt-gets-its-wolfram-superpowers/" target="_blank">blogissaan</a>. Pluginin avulla ChatGPT käy tarvittaessa tutkimassa tietokantoja. En ole kokeillut, ainakaan vielä. Ei ilmeisesti ole vapaasti käytettävissä.</p><p>ChatGPT pystyy myös ainakin periaatteessa kirjoittamaan ohjelmakoodia Wolfram Languagea käyttäen. Koodi voidaan sitten ajaa Mathematicalla tai Wolfram Researchin pilvipalvelussa (jonka käyttöön tarvitaan sopimus).</p><p>Wolfram Researchin resurssit eivät luonnollisestikaan ole ainoa mahdollisuus laajentaa tekoälyjärjestelmien kykyjä. Tähän suuntaan varmasti edetään emmekä vielä ole nähneet alkua enempää.</p><p>Missä sitten tällä hetkellä ollaan? Miten luotettavia vastauksia ja miten helposti tekoälyltä saadaan? Seuraavassa kuvaan muutamia kokeilujani.</p><p><b>Yksinkertaista faktaa koskeva kysymys</b></p><p>Esitin ChatGPT:lle kysymyksen: <i>Which is the highest building in Helsinki?</i> Se ilmoitti tietojensa ulottuvan vain syyskuuhun 2021 ja tällöin korkein rakennus oli 134 metriä korkea '<i>the Maamerkki Tower, also known as the Landmark Tower or Pasila Tripla Tower</i>'. En kommentoinut vastausta, mutta kysyin uudelleen. Tällä kertaa vastaus oli 19-kerroksinen '<i>the Helsingin Pörssitalo (Helsinki Stock Exchange Building), also known as the KPMG Tower</i>'. Kysyin kolmannen kerran, jolloin vastaukseksi tuli 70-metrinen '<i>Torni Hotel</i>'.</p><p>Kysyin samaa asiaa Mathematicalla Wolfram Researchin tietokannoista. Saman voisi tehdä Wolfram|Alphaa käyttäen. Vastaukseksi tuli 74-metrinen Johanneksen kirkko.</p><p>Seuraavaksi kysyin kummaltakin, oliko Englannin kuningas Henrik VIII naimisissa. Molemmat antoivat oikean vastauksen ja luettelivat kaikki kuusi vaimoa avioliittovuosineen.</p><p><b>Epämääräisempi pyyntö</b></p><p>Pyysin luetteloa Helsingissä syntyneistä merkittävistä henkilöistä. (<i>Give a list of the most notable persons born in Helsinki.</i>) Tähän ei tietenkään ole yhtä oikeata vastausta, mutta tulos kertonee jotakin tekoälyn luotettavuudesta. Kärkikymmenikkö:</p><p>ChatGPT: <i>Jean Sibelius, Linus Torvalds, Aki Kaurismäki, Tove Jansson, Renny Harlin, Armi Ratia, Tarja Halonen, Juha Kankkunen, Tom of Finland, Esa-Pekka Salonen.</i></p><p>Wolfram Research: <i>Linus Torvalds, Ville Valo, Teemu Selänne, George Gaynes, Tarja Halonen, Tove Jansson, Sam Lake, Michael Monroe, Pihla Viitala, Lauri Ylönen.</i></p><p>Kysyin kummaltakin myös syitä Suomen kansalaissotaan. (<i>What are the reasons for the Finnish civil war in 1918?</i>) ChatGPT antoi noin 300-sanaisen jokseenkin paikkansapitävän selostuksen. Wolfram|Alpha antoi sekalaista faktatietoa sodasta, kun kysymys tehtiin verkkosivulla, Mathematicasta lähetettyä kysymystä se ei ymmärtänyt.</p><p><b>Ohjelmakoodit</b></p><p>Wolfram|Alpha-spesialisti Michael Trottin artikkelissa <a href="https://community.wolfram.com/groups/-/m/t/2897251" target="_blank">100+ ChatGPT-generated Wolfram Language codes</a> on esimerkkejä ChatGPT:n generoimista koodeista erilaisiin laskentatehtäviin. Ohjelmointikielenä on Mathematican käyttämä Wolfram Language.</p><p>Yhtenä esimerkkinä on Wolfram Researchin tietokantoja hyödyntävä koodi, joka tuottaa kartan Saksan dorf-, bach-, berg-, burg- ja feld-loppuisista kaupungeista eri väreillä merkittyinä. Trottin mukaan koodi on ChatGPT:n generoima. Kokeilin vastaavaa Suomen mäki-, järvi-, joki-, salmi- ja lahti-loppuisiin kuntiin sovellettuna. Pyysin ChatGPT:tä kirjoittamaan Wolfram Language -koodin tällaisen kartan tekemiseen käyttäen samoja ilmaisuja kuin Trott. Koodi tuli hetkessä ja siirsin sen ajettavaksi Mathematicaan. Ei toiminut, syntaksivirheitä. Valitin tästä ChatGPT:lle, se pyysi anteeksi ja teki uuden koodin. Ei taaskaan toiminut. Tämä toistui muutaman kerran eikä lopultakaan syntynyt toimivaa. Olisin voinut paikata koodin itse, mutta sen sekavuuden takia muunsin mieluummin Trottin esittämän koodin Suomea koskevaksi. Tulos alla.</p><p><br /></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg0T5Cce7QeQb3OSLHq7mbXo7LWpz4nr9k7vkCdnecKwKSJQpquTVWyzND6U6bVdh082CoglZM_9NnXmwo4NSqgxxMgytyWQL5d83_suUQc-JmZSxGG2KfxKnF3uINt7opPhSUWCheW7_ag6d5JT_nCAqwGCxaj-UiSJ4uUC2fuPrgTgZODZkE9l-k__g/s1492/ends.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="1492" data-original-width="667" height="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg0T5Cce7QeQb3OSLHq7mbXo7LWpz4nr9k7vkCdnecKwKSJQpquTVWyzND6U6bVdh082CoglZM_9NnXmwo4NSqgxxMgytyWQL5d83_suUQc-JmZSxGG2KfxKnF3uINt7opPhSUWCheW7_ag6d5JT_nCAqwGCxaj-UiSJ4uUC2fuPrgTgZODZkE9l-k__g/w179-h400/ends.png" width="179" /></a></div><br /><p></p><p>Todennäköisesti Trottilla on ollut käytössään uudempi versio ChatGPT:stä, joten hän on voinut saada suoraan toimivan koodin. Toisaalta ChatGPT ei ole deterministinen, vaan se tekee samaankin pyyntöön eri kerroilla erilaisia koodeja. Virheellinenkin koodi voi tietenkin antaa hyvän pohjan kehittelyyn, mikäli sen rakenne on selkeä.</p><p>Esimerkki osoittaa myös tietokantojen mukaan kytkemisen mahdollisuudet. Koodi hakee ensin tietokannasta kaikki Suomen kunnat ('cities'). Wolfram Language tarjoaa suhteellisen valmiin keinon verrata näiden nimiä tarkasteltuihin loppuihin. Tietokannasta löytyvät myös kuntien maantieteelliset koordinaatit ja Wolfram Languagesta työkalut karttaprojektioihin ja grafiikkaan. Alla kuva koodista joki-päätteen osalta.</p><p><br /></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjep-1-pOYFxRs0ehl2OYgfshFEmsva5E26wM751Kq_wqDZFSRasoEc-oj9iIT-mFH1riL21OVgQh6cjrrS69sZnMJ-wu3aUEL4zhSJ1rZzDZYOWPuC6cEwuR6DoxPrXHIdqUW605DXPIlAxVubljsgZz764J_6Fri0aHDyUryes5ym-hvwIE9VNln5gw/s699/endJoki.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="585" data-original-width="699" height="335" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjep-1-pOYFxRs0ehl2OYgfshFEmsva5E26wM751Kq_wqDZFSRasoEc-oj9iIT-mFH1riL21OVgQh6cjrrS69sZnMJ-wu3aUEL4zhSJ1rZzDZYOWPuC6cEwuR6DoxPrXHIdqUW605DXPIlAxVubljsgZz764J_6Fri0aHDyUryes5ym-hvwIE9VNln5gw/w400-h335/endJoki.png" width="400" /></a></div><br /><p></p><p>Toisena esimerkkinä pyysin ChatGPT:tä tekemään kartan lyhimmästä reitistä, jolla kierretään kaikki Euroopan pääkaupungit. Mathematica, Wolfram Language ja tietokannat antavat tähän tarvikkeet, myös valmiin funktion lyhimmän reitin laskemiseen. Tämäkään ei onnistunut. En saanut toimivaa koodia, vaikka yritin antaa yksityiskohtaisia ohjeita koodin kirjoittamiseen. Tein sitten itse. Ei ollut ihan helppoa, sillä vaikka Wolfram Languagessa tarvikkeet ovat olemassa, niiden logiikan hahmottaminen ei ole selkeää. (Lieneekö ChatGPT:lläkin ollut tässä vaikeuksia?) Kuva alla.</p><p><br /></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiHwLROhG3-t5acbMLcxxaedhrvsXLzxb3iS3jYrZSf38tlsfmZmrnC6cA30hXyrRIpHoY0Ck2FqCu_rnm2kfaAQJ3MS8I62LgNk0PPWkacr9Al7ahjFuz0bg_mQhYR0JE9LisAwG_fIRzmLQ8YWPivFLN3hN_a2NXolF8QjSVhIhlbBlgD8SALXM8ShA/s684/eurcap.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="443" data-original-width="684" height="259" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiHwLROhG3-t5acbMLcxxaedhrvsXLzxb3iS3jYrZSf38tlsfmZmrnC6cA30hXyrRIpHoY0Ck2FqCu_rnm2kfaAQJ3MS8I62LgNk0PPWkacr9Al7ahjFuz0bg_mQhYR0JE9LisAwG_fIRzmLQ8YWPivFLN3hN_a2NXolF8QjSVhIhlbBlgD8SALXM8ShA/w400-h259/eurcap.png" width="400" /></a></div><br /><p></p><p><b>Miten luotettavia tekoälyn vastaukset sitten ovat?</b></p><p>Helsingin korkeinta rakennusta koskeva kysymys ei mennyt hyvin, mutta Henrik VIII:n vaimot olivat oikein. Erona tietenkin on, että jälkimmäinen on jo pysyvää tietoa, edellisessä täytyy pysyä ajan tasalla. Kriittisyyden merkitys korostuu, ja tieto lähteestä ja sen ajankohdasta olisi tarpeen. Epämääräisempiin kysymyksiin saadaan tietenkin epämääräisiä vastauksia, mutta ne saattavat olla kelvollisia lähtökohtia omalle pohdiskelulle. Faktoihin ja näkökulmiin ei kuitenkaan voi luottaa ja muitakin lähteitä on syytä katsoa. ChatGPT vähät välitti vaatimuksesta, että olisi pitänyt syntyä Helsingissä, mutta ei esittänyt mitään varauksia.</p><p>Ohjelmakoodin generointi ei esimerkeissä sujunut. Riittävän yksinkertaisissa tapauksissa kuitenkin syntyy toimivaa koodia, tai ainakin koodia, joka kelpaa kehittelyn pohjaksi. Wolfram Languagen liittymä tietokantoihin ei minusta myöskään ole selkeä, jolloin edellä olevat esimerkit saattoivat olla hieman epäreiluja ChatGPT:llekin.</p><p>Tarkkaavainen lukija on saattanut havaita, että kartta tiettyihin päätteisiin liittyvistä kunnista ei vastaa nykyistä kuntajakoa. Tietokantojen perusteella muodostettu kuntalista on nimittäin vanhentunut. Ongelmallista on myös, mihin termi 'city' oikeastaan viittaa. Ns. ääkkösissä on myös horjuvuutta. Esimerkin kaltaisissa tilanteissa tällaiset puutteet eivät ole kovin merkityksellisiä, mutta tietokannoissa on paljon dataa, joka on pidettävä ajan tasalla (tai lähteistettävä tarkasti). Suhtaudun tietyllä epäluulolla Wolfram Researchin tietokantoihin.</p><p>Kaikkiaan: Tekoälyllä on hauska leikkiä, ja hyötyäkin siitä on sopivissa tehtävissä, mutta kriittisyyttä ei pidä unohtaa. Tulevaisuutta varmasti on, mutta luotettavuuden ja käyttökelpoisuuden hyväksi on vielä paljon tehtävää.</p><div><br /></div>SKKhttp://www.blogger.com/profile/11007502688158156164noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-715456041255349481.post-85818728989922995502023-05-23T21:39:00.002+03:002023-05-24T10:26:06.188+03:00Tekoälyä kiusaamassa<p><br /></p><p></p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgSVIMo9MkbyKiANY0QZvssYMNQ542Dds0P75c0kS1-hzK0yvC8uv9IN6rKYZP_vQf-HtK7FlAQ2yv6F2yFUU16asS6wz9CTEf6cxGxQqamAx9e6UhNbJhMo9ZUAQP1bejegozML0aBmomJjvL2txcC4OSZjrvz7XYXfvXAI3P43GSikKepRgTD84Vygw/s1024/BingCreator_1.jpg" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="1024" data-original-width="1024" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgSVIMo9MkbyKiANY0QZvssYMNQ542Dds0P75c0kS1-hzK0yvC8uv9IN6rKYZP_vQf-HtK7FlAQ2yv6F2yFUU16asS6wz9CTEf6cxGxQqamAx9e6UhNbJhMo9ZUAQP1bejegozML0aBmomJjvL2txcC4OSZjrvz7XYXfvXAI3P43GSikKepRgTD84Vygw/s320/BingCreator_1.jpg" width="320" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><i>Bing Image Creator</i>in vastaus kuvapyyntöön aiheesta<br />'AI chatbot trying to solve a geometric problem'.</td></tr></tbody></table><br />Tekoälybotti ChatGPT:n matemaattiset kyvyt ovat herättäneet mielenkiintoa: Mitä kaikkea se osaa ja mihin kaikkeen sitä voi käyttää?<p></p><p>Kyseessä on kielimalli, joka pystyy juttelemaan varsin luonnollisen tuntuisesti monista asioista monilla kielillä. Matematiikka on kuitenkin hieman eri asia: on pystyttävä ajattelemaan kerätyn valmiin tiedon lisäksi. (Aivan oikein: Matematiikassakin tarvitaan enemmän tai vähemmän ulkoa oppimista. Ilman asioiden tietämistä ei oikein ole, mitä ajatella.)</p><p><i>Timo Tossavainen</i> on <i>Tieteessä tapahtuu</i> -lehdessä esittänyt ja kommentoinut <a href="https://www.tieteessatapahtuu.fi/numerot/2-2023/matemaattisia-keskusteluja-tekoalyn-kanssa-onko-chatgptsta-oppaaksi-matematiikan?fbclid=IwAR3SpCUfGayq27FtuNETRBvHO6DcjHEDy6Q4jTmfO-z25W72aRNyhcUfyBs" target="_blank">keskustelunsa</a> ChatGPT:n kanssa Bolzano-Weierstrassin lauseen todistamisesta. Varsin vaativaa pyytää tällaista todistusta eikä ChatGPT asiasta oikein suoriutunutkaan. Se osasi kyllä käyttää luontevia aiheeseen liittyviä fraaseja, mutta pitävää logiikkaa ei syntynyt. Eihän sitä voisi kielimallilta vaatiakaan.</p><p>ChatGPT osaa ainakin jonkin verran kirjoittaa ohjelmakoodeja. Python tuntuu olevan sille luonteenomainen ympäristö, nyt jo muinaiseksi käynyttä BASIC-koodiakin sain sen tuottamaan. Mathematica-ohjelmiston ohjelmointikieltä, Wolfram Languageakin se pystyy kirjoittamaan; tähän palaan joskus toiste.</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgeQaRVKvkf8vwZF9YMWkF2Y9ArAOEYh8zQjzUFzEO7uDDAUOYk8kOnip0KZS0B39fqg3EZJkcwDeUK1r_zhTk36Dm0c98V7_uhZD8hqVfmBLahN2-luaDPjuYaAidG8t40RQQzJla-9vn8lKSWQPXHQlDoPnJmpdaLNiqsGIgC08CwgV94E3pwEeJ3EQ/s1235/kolmio.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="791" data-original-width="1235" height="205" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgeQaRVKvkf8vwZF9YMWkF2Y9ArAOEYh8zQjzUFzEO7uDDAUOYk8kOnip0KZS0B39fqg3EZJkcwDeUK1r_zhTk36Dm0c98V7_uhZD8hqVfmBLahN2-luaDPjuYaAidG8t40RQQzJla-9vn8lKSWQPXHQlDoPnJmpdaLNiqsGIgC08CwgV94E3pwEeJ3EQ/s320/kolmio.png" width="320" /></a></div><br /><p>Pyysin ChatGPT:ltä koodia kolmion pinta-alan laskemiseen, kun lähtötietoina ovat kärkipisteiden koordinaatit $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$, $(x_3,y_3)$. Tuloksena oli lyhyt täysin oikea koodi, joka perustui valmiin kaavan käyttöön: ala on $|x_3(-y_1 + y_2) + x_2(-y_3 + y_1) + x_1(-y_2 + y_3)|/2$. Näinhän asia tietenkin on. Olin vain ajatellut, että lähtökohtana olisi ollut puolet kannan ja korkeuden tulosta.</p><p>Jos kaavaa ei ennestään tunne, sen johtaminen lienee yksinkertaisinta ristitulon avulla: kolmion ala on $|\vec{a} \times \vec{b}|/2$, missä $\vec{a}$ ja $\vec{b}$ ovat kolmion sivuvektorit. Vektorialgebraa tuntemattomalle lienee kuitenkin helpointa ottaa lähtökohdaksi puolet kannan ja korkeuden tulosta. Pyysin siis ChatGPT:tä johtamaan käyttämänsä kaavan tästä lähtökohdasta.</p><p>Tapansa mukaan ChatGPT oli myönteinen:</p><p><span style="font-family: courier;">Yes, the formula (x1*(y2-y3)+x2*(y3-y1)+x3*(y1-y2))/2 can be derived from the fact that the area of a triangle is half of the product of its base and height. Consider a triangle with vertices A(x1,y1), B(x2,y2), and C(x3,y3). Let the base of the triangle be the line segment BC and let the height of the triangle be the perpendicular distance from A to BC, which we'll call h.</span></p><p>Tämän jälkeen se laski sivun $BC$ pituuden Pythagoraan mukaisesti ja totesi korkeudesta:</p><p><span style="font-family: courier;">The distance between point A and the line BC is given by: h = (|x2*y3 + y2*x1 + x3*y1 - x1*y3 - y1*x2 - y2*x3|) / BC</span></p><p>Kolmion alan lauseke syntyi nyt tietenkin suoraviivaisesti, mutta en ollut tyytyväinen, vaan kysyin, mistä se sai korkeuden lausekkeen.</p><p><span style="font-family: courier;">The expression |x2y3 + y2x1 + x3y1 - x1y3 - y1x2 - y2x3| can be derived using the formula for the distance between a point and a line.</span></p><p>Aivan oikein, näinhän voi edetä ja käyttää analyyttista geometriaa. ChatGPT muodosti suoralle $BC$ yhtälön ja saattoi sen standardimuotoon, vaikkei tätä myöhemmin käyttänytkään. Laski suoran kulmakertoimen ($m = \dots$) ja totesi, että korkeusjanan kulmakerroin on $-1/m$. Tämän jälkeen se muodosti korkeusjanasuoran yhtälön ja tavoitteena oli laskea korkeusjanan kantapisteen koordinaatit kahden suoran leikkauspisteenä. Sitten voikin laskea korkeusjanan pituuden ja kolmion alan lausekkeen.</p><p>Kaikki ei kuitenkaan mennyt niin kuin pitäisi. Kulmakertoimen $m$ lausekkeen sijoittaminen jäi puolinaiseksi: yhteen kohtaan sijoitettiin, kaikkialle ei. Yhtälöiden ratkaisemisessa termejä siirrettiin yhtäläisyysmerkin toiselle puolelle, mutta merkin vaihtaminen unohtui. Oikeaan lopputulokseen pääsemistä tämä ei kuitenkaan häirinnyt.</p><p>Esitin kritiikkiä:</p><p><span style="font-family: courier;">I have studied your computations and there are some errors in the algebra of equations. But they annul each other, and then, the ultimate result is correct. I think, you shoud be more careful!</span></p><p>ChatGPT:</p><p><span style="font-family: courier;">I apologize for any errors in my computations. As an AI language model, I try my best to provide accurate answers to the best of my knowledge and understanding. However, I understand that mistakes can still happen, and I appreciate you pointing out any errors you have found.</span></p><p><span style="font-family: courier;">If you could let me know which equations you found errors in, I can take a closer look and see if there are any corrections I can make to improve the accuracy of my answer. Thank you for your feedback and for your understanding.</span></p><p>Huomautin kulmakertoimen sijoittamisesta ja termien merkinvaihdosta. Hän (tuntuu, että näin todellakin on syytä sanoa) kiitti ja erosimme toivottaen toisillemme hyvää yötä.</p><p>Mitä tästä kaikesta sitten pitäisi ajatella? Keskustelu saa hämmästyttävän inhimillisiä piirteitä. ChatGPT oli kohtelias eikä jankuttanut (vaikka tätäkin se tekee). Fraasit se hallitsee, mutta ajattelussa — tietenkin — on puutteita. Jään miettimään, kuinka paljon ihmisten välisessä kanssakäymisessäkin on vakiofraaseja ilman syvempää ajattelua.</p><p>Entä sitten tekoäly ja matematiikan opiskelu? ChatGPT:n esitystä en matematiikan opiskeluun suosittelisi. Ajattelu — jota siis oikeastaan ei ole — on sekavaa eikä virheettömyydestä ole takeita. Jos opiskelija ei asiaa ennestään tunne, hän hämmentyy. Tiettyjä faktoja ChatGPT:ltä voi kysyä (samoin kuin vaikka Googlen hakukoneelta) ja saattaa hyvinkin saada kelvollisia vastauksia. Hakukoneen käyttöön verrattuna haittana on, että lähdekritiikkiin on vähemmän mahdollisuuksia. Olen kysynyt ChatGPT:ltä matriisin häiriöalttiuden (condition number) määrittelyä ja saanut moitteettoman vastauksen (ainakin siis tässä tapauksessa).</p><p>On tietenkin vaikeata sanoa, mihin tekoälyn kehitys johtaa. Luovaan ajatteluun on kuitenkin vielä matkaa, jos siihen koskaan päästäänkään.</p>SKKhttp://www.blogger.com/profile/11007502688158156164noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-715456041255349481.post-14645413135841015742023-04-27T19:54:00.002+03:002023-04-27T20:07:27.904+03:00Trigonometrinen Pythagoras<p>American Mathematical Society (AMS) julkaisee<i> </i><a href="https://mathvoices.ams.org/mathmedia/" target="_blank"><i>Math in the Media</i> -sivustoa</a>, jossa nostetaan esiin mediassa olleita matematiikkaa jollakin tavalla käsitelleitä artikkeleita tai uutisia. Osastossa <i>Math Digests</i> näihin liittyy myös koululaisille tarkoitettu <i>Classroom Activities</i>.</p><p>Maaliskuussa aiheena oli muun ohella trigonometriaan perustuva Pythagoraan lauseen todistus, jonka <i>Calcea Johnson</i> ja <i>Ne’Kiya Jackson</i> — kaksi koulutyttöä New Orleansista — olivat esittäneet <a href="https://meetings.ams.org/math/spring2023se/meetingapp.cgi/Paper/23621" target="_blank">AMS:n paikallisessa kevätkokouksessa</a>. Asia on saanut mediassa yllättävänkin paljon huomiota, sitä ovat käsitelleet ainakin <a href="https://www.scientificamerican.com/article/2-high-school-students-prove-pythagorean-theorem-heres-what-that-means/" target="_blank">Scientific American</a>, <a href="https://www.theguardian.com/us-news/2023/apr/07/new-orleans-teens-pythagorean-theory" target="_blank">The Guardian</a> ja <a href="https://www.popularmechanics.com/science/math/a43469593/high-schoolers-prove-pythagorean-theorem-using-trigonometry/" target="_blank">Popular Mechanics</a>. Viimeksi mainittu väittäen, että matemaatikot eivät koskaan olleet kyenneet tällaista todistusta esittämään (mitä tytöt itse eivät väittäneet).</p><p>Taustana on <i>Elisha Scott Loomisin</i> vuonna 1928 julkaistu teos<i> <a href="https://files.eric.ed.gov/fulltext/ED037335.pdf" target="_blank">The Pythagorean Proposition</a></i>, joka käsittelee erilaisia Pythagoraan lauseen todistuksia ja jossa todetaan, että trigonometrinen todistus ei ole mahdollinen, koska se väistämättä perustuisi identiteettiin $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Tämä on itse asiassa sama kuin Pythagoraan lause, jolloin kyseessä olisi kehäpäättely.</p><p>Loomisin väite on moneen kertaan todettu vääräksi ja esimerkiksi sivustossa<i> <a href="https://www.cut-the-knot.org/pythagoras/TrigProofs.shtml" target="_blank">Cut-The-Knot</a></i> on trigonometriaan perustuvia todistuksia. Johnsonin ja Jacksonin todistus saattaa olla uusi, mutta mitenkään mullistava se ei ole. Todistusta ei ilmeisesti ole (vielä?) julkaistu, mutta paikallisen televisiokanavan esitelmätilaisuudesta kuvaaman videon perusteella sen todennäköinen rakenne on hahmoteltu.</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg2cjPKhSLj0-cz1b6fXIAFZrcB61SP44Lw5j7FuBNsAetSyv0ikxAmeO_u42nkWsRcAklDGFRlpguqzkrKcgS4DfL0u4Mcgyq3C_AaIyOEEtFSL57osARpfTHsE57q9N-4OlqpVq27tO0ptQ-gDBI-jvc9n6w1N5ldwsz--e522c0mIjDn-xH-jOw3Sg/s1281/JJ.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="1161" data-original-width="1281" height="363" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg2cjPKhSLj0-cz1b6fXIAFZrcB61SP44Lw5j7FuBNsAetSyv0ikxAmeO_u42nkWsRcAklDGFRlpguqzkrKcgS4DfL0u4Mcgyq3C_AaIyOEEtFSL57osARpfTHsE57q9N-4OlqpVq27tO0ptQ-gDBI-jvc9n6w1N5ldwsz--e522c0mIjDn-xH-jOw3Sg/w400-h363/JJ.png" width="400" /></a></div><br /><p>Lähtökohtana oleva kolmio $ABC$ peilataan kolmioksi $ADC$ ja piirretään suora $AD$. Asetetaan pisteen $B$ kautta janalle $AB$ normaali; tämä leikkaa suoran $AD$ pisteessä $E$. Suorien $AE$ ja $BE$ väliin konstruoidaan alkuperäisen kolmion $ABC$ kanssa yhdenmuotoiset kolmiot, jotka suppenevat kohden pistettä $E$. Yhdenmuotoisuuden perusteella näiden kolmioiden hypotenuusojen pituudet voidaan laskea. Nämä muodostavat kummallakin suoralla $AE$ ja $BE$ geometrisen jonon, jossa suhdeluku on $a^2/b^2$. Janojen $AE$ ja $BE$ pituudet saadaan tällöin geometrisen sarjan summana: \begin{align*} |AE| &= c + \frac{2a^2c}{b^2} + \frac{2a^4c}{b^4} + \dots = c + \frac{\frac{2a^2c}{b^2}}{1 - \frac{a^2}{b^2}} = c\frac{a^2 + b^2}{b^2 - a^2}, \\ |BE| &= \frac{2ac}{b} + \frac{2a^3c}{b^3} + \dots = \frac{\frac{2ac}{b}}{1 - \frac{a^2}{b^2}} = \frac{2abc}{b^2 - a^2}.\end{align*} Kummallakin rivillä viimeinen vaihe on saadun lausekkeen sieventäminen mahdollisimman yksinkertaiseen muotoon.</p><p>Koska kolmio $ABE$ on suorakulmainen, on \[\sin(2\alpha) = \frac{|BE|}{|AE|} = \frac{2ab}{a^2 + b^2}.\] Suorakulmaisessa kolmiossa $ABC$ on $\sin(\beta) = b/c$. Tämän jälkeen seuraa vaihe, joka tekee todistuksesta trigonometrisen: Kolmiossa $ABD$ on trigonometrisen sinilauseen mukaan \[\frac{\sin(2\alpha)}{2a} = \frac{\sin(\beta)}{c}.\] Kun tähän sijoitetaan edellä saadut lausekkeet, päädytään yhtälöön \[\frac{b}{a^2 + b^2} = \frac{b}{c^2},\] mistä seuraa Pythagoraan yhtälö $a^2 + b^2 = c^2$.</p><p>Oleellista on, että sinilauseen todistus ei perustu yhtälöön $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, jolloin kyseessä ei ole kehäpäättely. Sinilauseen todistus löytynee edelleenkin esimerkiksi lukion oppikirjoista.</p><p>Todistus tuntuu aika mutkikkaalta. Eikö vähemmällä selvittäisi?</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj8TLx-w4KQ-ScQFsHXCdY6cPuTznZXHQejm_wFHEpgwKzxz8JX_dEUL8I-db-9GEAFVNkKCqvsWpXcmVV2Is_T9p53LUdIMRoYssMMwJwkcN9txyx8fkCrTlgylE85aRA0_8L_oL43J9P61ewksahRpiLUChx9r-hboRVsX2rt6FZAusH0-GuFBs5VeA/s1287/pyth_sin2cos2.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="637" data-original-width="1287" height="158" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj8TLx-w4KQ-ScQFsHXCdY6cPuTznZXHQejm_wFHEpgwKzxz8JX_dEUL8I-db-9GEAFVNkKCqvsWpXcmVV2Is_T9p53LUdIMRoYssMMwJwkcN9txyx8fkCrTlgylE85aRA0_8L_oL43J9P61ewksahRpiLUChx9r-hboRVsX2rt6FZAusH0-GuFBs5VeA/s320/pyth_sin2cos2.png" width="320" /></a></div><br /><p>Suorakulmainen kolmio voidaan tunnetusti jakaa hypotenuusan vastaisella korkeusjanalla kahteen osakolmioon, jotka ovat yhdenmuotoisia alkuperäisen kolmion kanssa. Yllä olevan kuvion mukaisesti on tällöin \[ x = a\sin\alpha,\ y = b\cos\alpha,\ a = c\sin\alpha,\ b = c\cos\alpha.\] Jakamalla ensimmäinen yhtälö kolmannella ja toinen neljännellä, saadaan $x/a = a/c,\ y/b = b/c$. Tästä seuraa \[ c = x + y = \frac{a^2}{c} + \frac{b^2}{c}\] ja edelleen $c^2 = a^2 + b^2$.</p><p>Sivuhuomiona voi todeta, että kertomalla ensimmäinen ja kolmas yhtälö keskenään, samoin toinen ja neljäs, päädytään yhtälöön \[\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \frac{x}{c} + \frac{y}{c} = \frac{x + y}{c} = 1,\] joten trigonometrian perusyhtälökin tulee todistetuksi, tosin vain kulmille $0 < \alpha < \pi/2$.</p><p>Voi kysyä, onko edellä oleva Pythagoraan lauseen todistus trigonometrinen. Eihän siinä oikeastaan käytetä trigonometriaa, vaan ainoastaan yhdenmuotoisten kolmioiden sivujen verrannollisuutta. Samaa voi kysyä Johnson-Jackson-todistuksesta. Sekin lepää lähinnä kolmioiden yhdenmuotisuuden ja geometrisen sarjan varassa. Mitä yleensä tarkoittaa trigonometrinen todistus? Miten vahvasti trigonometriaa on käytettävä?</p><p>Aikojen kuluessa Pythagoraan lauseelle on esitetty lukuisia erilaisia, eri näkökohtiin pohjautuvia todistuksia. Edellä mainitun Loomisin kirjan lisäksi hyvä kokoelma on<i> </i><a href="https://www.cut-the-knot.org/pythagoras/" target="_blank"><i>Cut-The-Knot</i>-sivustossa</a>. Klassikko on tietenkin Eukleideen todistus (<a href="https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI47.html" target="_blank">englanniksi</a> tai <a href="http://www.physics.ntua.gr/~mourmouras/euclid/book1/postulate47.html#peri" target="_blank">kreikaksi</a>).</p><p>Mielenkiintoista pohdittavaa antaa todistuksien perimmäisten lähtökohtien ('aksioomien') miettiminen. Jos todistuksessa käytetään yhdenmuotoisia kolmioita, niin mitä itse asiassa tarvitaan näiden määrittelyyn? Mitä oikeastaan tarkoittaa jo peruskäsitekin, suora kulma? <a href="https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/" target="_blank">Eukleideella on oma vastauksensa</a>, modernin aksiomaattisen määrittelyn esittävät esimerkiksi Matti Lehtinen, Jorma Merikoski ja Timo Tossavainen kirjassaan <a href="https://www.researchgate.net/profile/Jorma-Merikoski/publication/288669104_Johdatus_tasogeometriaan/links/5a85f105aca272017e5653fd/Johdatus-tasogeometriaan.pdf" target="_blank"><i>Johdatus tasogeometriaan</i></a>. Siinä kuin klassisen geometrian perustana on janojen mittaaminen harpilla, voidaan geometrian lähtökohdaksi myös ottaa Pythagoraan lauseeseen perustuva janojen pituus (pisteiden etäisyysfunktio).</p><p>Johnsonin ja Jacksonin todistus ei tuo kovin paljon lisää, mutta osaltaan näyttää, miten Pythagoraan lauseeseen kietoutuu melkoinen annos matematiikkaa.</p><p> </p>SKKhttp://www.blogger.com/profile/11007502688158156164noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-715456041255349481.post-63939597825204837942023-03-26T20:18:00.000+03:002023-03-26T20:18:05.095+03:00Mitä matematiikan tehtävässä kysytään 2<p><a href="http://simokivela.blogspot.com/2023/01/mita-matematiikan-tehtavassa-kysytaan.html" target="_blank">Tammikuun blogikirjoituksessani</a> (26.1.2023) esitin seuraavan, mielestäni lukiolaisillekin aivan hyvin sopivan tehtävän, johon ei niinkään haeta tiettyä ratkaisua, vaan tavoitteena on lähteä tutkimaan tilannetta ja katsomaan, mihin ehkä päädytään:</p><p><i>Tasavälisiä kokonaislukuja korotetaan tiettyyn (positiiviseen) kokonaislukupotenssiin. Syntyvästä lukujonosta lasketaan perättäisten lukujen erotukset, jolloin saadaan uusi lukujono. Tästä lasketaan uudelleen perättäisten lukujen erotukset, jolloin syntyy jälleen uusi lukujono. Näin jatketaan ja todetaan, että jossakin vaiheessa saadaan vakiolukujono, ts. kaikki luvut yhtä suuria. Seuraava askel tuottaisi nollajonon. Miksi näin käy? Mistä tässä on kysymys?</i></p><p>Millaista pohdiskelua sitten — esimerkiksi — odottaisin?</p><p>Ensimmäinen vaihe ehkä olisi kokeilu joillakin konreettisilla luvuilla, esimerkiksi korottamalla parilliset luvut seitsemänteen potenssiin. Jotta kokeiluista ei tule toivottoman työläitä, tarvitaan jonkinlainen ohjelmointiympäristö. Minä olen käyttänyt Mathematicaa, mutta vaatimattomampi ympäristökin toki käy, kunhan se helposti sallii yksinkertaisen koodin kirjoittamisen. Jonkinlainen ymmärrys ohjelmoinnin perusrakenteista täytyy kokeilijalla tietenkin olla.</p><p>Esimerkkitapauksessa saadaan seuraavat erotukset ja kahdeksannella rivillä vakiojono, seuraavilla riveillä nollaa:</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEja5dpvjfJcx3NcKhD5wdyj4g163Zi5PRTPdeP6dc2Ztowim3RiMkfnxNAFm5rioY-E4WtyV5DbLva1i7nQHXsp0326_U6iubJfSe0DlPukh_irvgaALLn-dL63Xigd_N1QLXoKyU3zRe8ircyuuBPVKfvKrfONT8oGHis-_wBq6Hto7XYV4hgdNXQWng/s794/pol7.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="219" data-original-width="794" height="110" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEja5dpvjfJcx3NcKhD5wdyj4g163Zi5PRTPdeP6dc2Ztowim3RiMkfnxNAFm5rioY-E4WtyV5DbLva1i7nQHXsp0326_U6iubJfSe0DlPukh_irvgaALLn-dL63Xigd_N1QLXoKyU3zRe8ircyuuBPVKfvKrfONT8oGHis-_wBq6Hto7XYV4hgdNXQWng/w400-h110/pol7.png" width="400" /></a></div><br /><p>Tämän jälkeen varmaan tekisi mieli kokeilla hieman eri luvuilla ja miettiä, millaisten laskujen tuloksena viimeisen rivin vakio syntyy. Ehkä vastauksenkin voi kokeilujen perusteella arvata.</p><p>Jos käytettävissä on symbolinen laskenta (kerrankin käyttöä tällekin), voi seuraavaksi katsoa, mitä tapahtuu, kun tasaväliset luvut $a + kd$, $k = 0,1,2,\dots,n$ korotetaan potenssiin $p$. Jotta symbolilaskenta onnistuisi, on luvuille $n$ ja $p$ annettava numeeriset arvot. Tuloksena saadaan iso taulukko muuttujien $a$ ja $d$ polynomeja. Kun näissä ehkä olevat sulkulausekkeet kehitetään (<span style="font-family: courier;">expand</span>, ts. poistetaan sulut, tai ohjelmasta riippuen ehkä myös <span style="font-family: courier;">simplify</span>), saadaan vakioriville monomi, joka ilmeisestikin on $p!\,d^p$. Näyttäisi siis toimivan, eikä lukujen $a$ ja $d$ edes tarvitse olla kokonaislukuja.</p><p>Lähtökohtana olivat siis tasavälisten lukujen kokonaislukupotenssit. Mitä tapahtuu, jos kokonaislukupotenssin $x^p$ sijasta käytettäisiinkin jotakin muuta funktiota? Tässä vaiheessa on ehkä helpointa siirtyä symboleista takaisin lukuihin. Toki symbolejakin voi kokeilla, mutta tulokset saattavat olla monimutkaisia ja vaikeasti hahmotettavia. Eikä lukujen käyttökään ole aivan ongelmatonta: murtoluvuilla laskettaessa nollat näyttävät nollilta, mutta desimaaliluvuilla laskettaessa ne saattavat olla esimerkiksi muotoa $1.23 \times 10^{-15}$, mikä on laitteen laskentatarkkuuden rajoissa sama kuin nolla.</p><p>Ehkä on helpointa valita aluksi funktioksi polynomi. Astelukua ei kannata valita kovin korkeaksi, jotta polynomin arvot eivät ole kovin suuria. Esimerkiksi voisi verrata polynomeilla $x^3$ ja vaikkapa $x^3 - 3x^2 + 2x$ laskettuja erotuksia. Numeerisessa kokeilussa täytyy vakiot $a$, $d$ ja $n$ valita jollakin tavoin. Tässä on kokeilun vaikeus. Jotkin arvot saattavat antaa kiinnostavia tuloksia, kun jotkin toiset kätkevät kiintoisat ilmiöt, esimerkiksi pienimittakaavaiset muutokset isojen lukujen seassa. Symbolisen laskun perusteella voi arvella, että luvulla $a$ ei ole kovin suurta merkitystä; valitaan siis yksinkertaisuuden vuoksi $a = 0$. Tasavälisiä lukuja pitää varmaan olla riittävän monta, jotta joitakin ilmiöitä saadaan esiin. Luku $n$ voisi ehkä olla muutamia kymmeniä, esimerkiksi $n = 30$. Luvun $d$ valinta on vaikeinta. Kannattaa kokeilla sekä pientä että suurta, esimerkiksi $d = 0.1$ ja $d = 2$. Kummallakin polynomilla saadaan erotusten neljännelle riville sama luku, jos $d = 0.1$, niin $0.006$, ja jos $d = 2$, niin $48$. Muissa erotuksissa kyllä on eroja.</p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjK2SmIZc-dN-vHl-xAvrjRNrFKlhPWlFiEhtwwiUkR32b8Gm6Rqjnqv4UhGchxZ0GKPDOc5zYvhlDcewWA1e560dkxodiCMEJVwk6LtQcrZq6ZBPO7wsyLjw9IvAsd2QI1EEm9tryGEsrJtMpj9GzcxjnUskqhion60fuIy3n8AaP9jESX-nW1Vud3lw/s840/arvot_pol1.png" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="156" data-original-width="840" height="74" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjK2SmIZc-dN-vHl-xAvrjRNrFKlhPWlFiEhtwwiUkR32b8Gm6Rqjnqv4UhGchxZ0GKPDOc5zYvhlDcewWA1e560dkxodiCMEJVwk6LtQcrZq6ZBPO7wsyLjw9IvAsd2QI1EEm9tryGEsrJtMpj9GzcxjnUskqhion60fuIy3n8AaP9jESX-nW1Vud3lw/w400-h74/arvot_pol1.png" width="400" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Polynomi $x^3$, $d = 0.1$.</td></tr></tbody></table><br /><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg5epC-LQOtyYQbMb3vLLxU147IvXFJgFggc3KAIS96ykyuATuvDDBbjepUc4XiyHN7_W2sPj405rF628o0P_bHBV-4LGiZgc0_Mz9HsAmBhgrUgGBwqyXw-fFA3y8c82qdhjo711e1khMRVZfYT6kvutgU2IwAj0NGjp1XN7Qn4UHfm6fVAimzwBJw5w/s842/arvot_pol2.png" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="159" data-original-width="842" height="75" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg5epC-LQOtyYQbMb3vLLxU147IvXFJgFggc3KAIS96ykyuATuvDDBbjepUc4XiyHN7_W2sPj405rF628o0P_bHBV-4LGiZgc0_Mz9HsAmBhgrUgGBwqyXw-fFA3y8c82qdhjo711e1khMRVZfYT6kvutgU2IwAj0NGjp1XN7Qn4UHfm6fVAimzwBJw5w/w400-h75/arvot_pol2.png" width="400" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Polynomi $x^3 - 3x^2 + 2x$, $d = 0.1$.</td></tr></tbody></table><br /><p>Mielenkiintoisemmaksi osoittautuu jälkimmäinen taulukko. Hahmojen näkeminen pelkistä luvuista on yleensä vaikeata, mutta usein graafinen esitys auttaa. Piirretään jokaisen erotusrivin kuvaaja murtoviivana. Ensimmäisen rivin kuvaaja muistuttaa kolmannen asteen polynomia; tietenkin, koska lähtökohtana on polynomi $x^3 - 3x^2 + 2x$. Seuraava rivi näyttäisi pohjautuvan paraabeliin, ts. toisen asteen polynomiin. Kolmas rivi antaa suoran, ts. ensimmäisen asteen polynomin kuvaajan. Ja neljäs on vakiorivi. Vertailemalla lisäksi nollakohtia ja ääriarvoja voi alkaa epäillä, että asialla on jotakin tekemistä derivoinnin kanssa.</p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgK_6YQRqdEn7ZhnFTTWnrrhX4v07T__9j_AJwGZH_3BHDLchhPnCnSKAvfaChMfoDEuIiSzGGK4nw24w8uEHIhIJ-gdpgxkE6uDLQ81ETAyR_HRseNk79MZirsMbMtM0jREMlUbL8H5Om82lTUa1dX4k-Hh5KXJjoz8qQytXdfkAR396kr2Jm0b1qigA/s499/graf_pol2.png" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="312" data-original-width="499" height="200" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgK_6YQRqdEn7ZhnFTTWnrrhX4v07T__9j_AJwGZH_3BHDLchhPnCnSKAvfaChMfoDEuIiSzGGK4nw24w8uEHIhIJ-gdpgxkE6uDLQ81ETAyR_HRseNk79MZirsMbMtM0jREMlUbL8H5Om82lTUa1dX4k-Hh5KXJjoz8qQytXdfkAR396kr2Jm0b1qigA/w320-h200/graf_pol2.png" width="320" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Polynomi $x^3 - 3x^2 + 2x$, $d = 0.1$.</td></tr></tbody></table><br /><p>Mitä tapahtuu, jos funtioksi valitaankin $\sin(x)$? Arvoa vakiolle $d$ täytyy taas hieman hakea; $d = 0.3$ voisi olla sopiva. Eri rivien erotukset näyttäisivät nyt antavan kuvaajat, jotka jotenkin näyttäisivät vastaavan funktioita $\sin(x)$, $\cos(x)$, $-\sin(x)$ ja $-\cos(x)$. Amplitudi kuitenkin pienenee ja viimeinen ei enää kovin hyvin erotu. Derivointiarvelu saa kuitenkin vahvistusta.</p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgZF3pPmCCKw7Fiyg2E4xFu_A8sKD8RYSUn-HSO2KzakSz9ilyIqAXPhwgjzY4fAcmKWtbY5AQ0GgcDkp5YERZ5QayR9O4gwXvFomCVRov27ZXfZ1Rjqc9UaOPmgr6lIvFidC_LiuFaMaTWmDugzm7dyAwQYomI9vpipfPaQiX6uGxT7lUJeTKhUBtk_w/s509/graf_sin.png" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="306" data-original-width="509" height="192" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgZF3pPmCCKw7Fiyg2E4xFu_A8sKD8RYSUn-HSO2KzakSz9ilyIqAXPhwgjzY4fAcmKWtbY5AQ0GgcDkp5YERZ5QayR9O4gwXvFomCVRov27ZXfZ1Rjqc9UaOPmgr6lIvFidC_LiuFaMaTWmDugzm7dyAwQYomI9vpipfPaQiX6uGxT7lUJeTKhUBtk_w/w320-h192/graf_sin.png" width="320" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Funktio $\sin(x)$, $d = 0.3$.</td></tr></tbody></table><br /><p>Taulukon erotukset ovatkin itse asiassa erotusosamääriä, joista nimittäjät on unohdettu. Jos jokainen erotus lisäksi jaetaan luvulla $d$, niistä tulee erotusosamääriä, jotka lähestyvät ensimmäisen rivin funktion ensimmäistä, toista, kolmatta jne. derivaattaa, kun $d \to 0$. Tämän pohjalta on ymmärrettävää, että ensimmäisessä esimerkissä laskettu potenssin $x^p$ erotusten $p$:s rivi antaa vakion $p!\,d^p$. Kyseessä on sama asia kuin derivoinnissa \[\mathrm{D}^p\,x^p = p!.\]</p><p>Tammikuun blogikirjoituksen viimeisessä kuvassa on kyse Newtonin interpolaatiopolynomin laskemisesta menettelyllä, jota numeerisessa laskennassa aikoinaan käytettiin. Luvut $\Delta^n x_j$ ovat edellä kuvatun taulukon erotuksia laskettuna approksimoitavasta funktiosta (tai datasta) $x$. Näiden avulla muodostettiin interpolaatiopolynomi. Menettely on jäänyt menneisyyteen laskentaohjelmien kehityksen myötä ja varsin harva osaisi yhdistää erotustaulukon interpolaatiopolynomiin. Käsin laskettavan erotustaulukon sijasta numeerikko kirjoittaisikin vaikka seuraavan Mathematica-koodin:</p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEie0MH_2wlXE8Fb3vlFei4cVi8Siz84brcJMQAsjvBhmTedG4KQN2kxbr4n0zSain1cECHP9HWYAPwd5tdxnFsMjDQZmsv4hTjSWSUqJdEKPuL-PuyOa371SZbrLDoBEHREg186fhdW_40Q9inWMUt0nRO4TkR8RE7Qkp8gPsquL82EXP-EvdDDf0-uaA/s768/nwt_interp.png" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="110" data-original-width="768" height="58" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEie0MH_2wlXE8Fb3vlFei4cVi8Siz84brcJMQAsjvBhmTedG4KQN2kxbr4n0zSain1cECHP9HWYAPwd5tdxnFsMjDQZmsv4hTjSWSUqJdEKPuL-PuyOa371SZbrLDoBEHREg186fhdW_40Q9inWMUt0nRO4TkR8RE7Qkp8gPsquL82EXP-EvdDDf0-uaA/w400-h58/nwt_interp.png" width="400" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Newtonin interpolaatio</td></tr></tbody></table><br /><div><br /></div>SKKhttp://www.blogger.com/profile/11007502688158156164noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-715456041255349481.post-91429189058971604652023-02-26T17:37:00.004+02:002023-02-26T17:45:41.519+02:00Paikantamisesta<p>Mistä auto tietää, missä se kulkee, ja miten kartoille on saatu kaikki paikat oikeaan paikkaan? Erilaisia paikannusmenettelyjä on käytetty pitkään, ja viime vuosien aikana niiden käyttö on valtavasti lisääntynyt. Jokainen älykännykän omistaja kantaa niitä mukanaan. Mutta millaiseen matematiikkaan ne perustuvat?</p><p>Kolmiomittausta on kartoituksessa käytetty jo pitkään. Esimerkkinä vaikkapa 1800-luvun alkupuoliskolla mitattu maailmanperintökohteisiinkin kuuluva <a href="https://www.maanmittauslaitos.fi/struvenketju" target="_blank">Struven ketju</a>, joka Suomessa ulottuu Suomenlahdelta Enontekiölle. Pohjana on kolmioverkko, jonka pisteiden koordinaattien laskeminen havaintoarvoista on trigonometriaa. Kehittelin aiheesta ylioppilastehtävän vuoden 2011 kevään lyhyen matematiikan ylioppilaskokeeseen (tehtävä 12, <a href="http://matta.hut.fi/matta/yoteht/" target="_blank">http://matta.hut.fi/matta/yoteht/</a>). Malliratkaisu tosin on pikemmin analyyttistä geometriaa kuin trigonometriaa (mikä olisi laskennallisesti helpompaa eikä tarvitsisi käsitellä isoja lukuja).</p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiQ4hDCBGMblbpBBVVXQMQXaUj1Vgui0c7xV4mnGv916ti9WrxtbID0NJyqAgPsDmAOu8NNV-JtDRSvVK67JqkjmlNOWppq8JAdXcFSnxGwPXaAVWKpuORAEmm5rNLzW6mDFZFR7ZNQL0Uumh7zcw9Qzrn1Yvevc10vRl-j_J8HwQ3jeR0TXG5ze_C6Hw/s1414/meri.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="1275" data-original-width="1414" height="361" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiQ4hDCBGMblbpBBVVXQMQXaUj1Vgui0c7xV4mnGv916ti9WrxtbID0NJyqAgPsDmAOu8NNV-JtDRSvVK67JqkjmlNOWppq8JAdXcFSnxGwPXaAVWKpuORAEmm5rNLzW6mDFZFR7ZNQL0Uumh7zcw9Qzrn1Yvevc10vRl-j_J8HwQ3jeR0TXG5ze_C6Hw/w400-h361/meri.png" width="400" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Ylioppilastehtävän trigonometrinen ratkaisu: tuntemattomat $x$ ja $y$ voidaan ratkaista<br />kahden suorakulmaisen kolmion avulla muodostetusta trigonometrisesta yhtälöryhmästä.</td></tr></tbody></table><p><br /></p><p>Kolmiomittauksen pohjana on sopivien kulmien mittaaminen ja sivujen pituuksien laskeminen näiden avulla. Entäpä jos meneteltäisiinkin toisin ja mitattaisiin etäisyyksiä, joiden avulla laskettaisiin uusien kärkipisteiden koordinaatit? Tämä luonnollisesti edellyttää, että tekniikka etäisyyksien mittaamiseen on olemassa. 1800-luvulla ei ollut, nykyään on. Mitataan siis etäisyydet kahdesta tunnetusta pisteestä kolmanteen pisteeseen sen sijaan, että mitattaisiin tähtäyssuuntien suuntakulmat. Tällöin saadaan kaksi ympyränkaarta, joiden leikkauspisteessä kolmas piste on.</p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiVDX_KtogkRoj5I92lm3lyVuW5EjqcXjVlqQqtJH_7SpdzfcbjvAmmtDCGvwApbaAOAbuMQMRFfJXpCtQEmyvvhDissA1CPB9VZ4eo8lc1SvVx-yQXqqnx0GbWTBo87U0HVvGqPMmbGFkKWBkfa1Nx7Y_vMHjB_bnuqZ2g5-KO_fOUlOcKqcjIwXs1_w/s1537/etMittaus.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="1170" data-original-width="1537" height="244" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiVDX_KtogkRoj5I92lm3lyVuW5EjqcXjVlqQqtJH_7SpdzfcbjvAmmtDCGvwApbaAOAbuMQMRFfJXpCtQEmyvvhDissA1CPB9VZ4eo8lc1SvVx-yQXqqnx0GbWTBo87U0HVvGqPMmbGFkKWBkfa1Nx7Y_vMHjB_bnuqZ2g5-KO_fOUlOcKqcjIwXs1_w/s320/etMittaus.png" width="320" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Tunnetut pisteet $K_1$ ja $K_2$ sekä näistä mitatut etäisyydet $r_1$ ja $r_2$;<br />etsittävä piste on $P_1$ tai $P_2$.</td></tr></tbody></table><p><br style="text-align: left;" /></p></td></tr></tbody></table><p>Jos tunnettujen pisteiden koordinaatit ovat $(x_1,y_1)$ ja $(x_2,y_2)$ ja mitatut etäisyydet $r_1$ ja $r_2$, niin tuntemattoman pisteen koordinaateille $(x,y)$ saadaan yhtälöt \begin{align*} &(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 = r_1^2, \\ &(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 = r_2^2. \end{align*} Tämä on epälineaarinen yhtälöpari, jolla on kaksi ratkaisua. Jollakin lisäargumentilla on pääteltävä (tilanteen mukaan), kumpaa ratkaisua haetaan.</p><p>Maailma kuitenkin on kolmiulotteinen ja vaikkapa lentoliikenteessä (tai sodassa ...) tarvitaan myös korkeuskoordinaatteja. Tällöin tarvitaan kolme tunnettua pistettä, joista etäisyydet mitataan. Ympyrät korvautuvat tällöin kolmella pallolla, joiden keskipisteinä ovat tunnetut pisteet ja säteinä mitatut etäisyydet. Yhtälöryhmässä on kolme pallon yhtälöä: \begin{align*} &(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 + (z - z_1)^2 = r_1^2, \\ &(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 + (z - z_2)^2= r_2^2, \\ &(x - x_3)^2 + (y - y_3)^2 + (z - z_3)^2 = r_3^2. \end{align*} Tälläkin on kaksi ratkaisua.</p><p>Kyseessä on satelliittipaikannuksen perusidea. Tunnetut pisteet ovat satelliittien sijaintipisteet. Jokainen satelliitti lähettää signaalia, josta ilmenee sen sijainti ja tarkka kellonaika. Paikannettavassa pisteessä otetaan signaalit vastaan ja lasketaan vastaanottimen kellonajan ero signaalissa ilmoitettuun aikaan. Satelliitti kiertää yleensä noin $20\,000$ kilometrin etäisyydellä maapallon pinnasta ja signaali etenee valon nopeudella, jolloin aikaero on kymmenesosasekunnin luokkaa. Tästä voidaan laskea etäisyys (= aika $\times$ nopeus).</p><p>Laskenta edellyttää kuitenkin erittäin tarkkaa ajanmittausta. Satelliteissa on synkronoidut atomikellot, joten ne ovat aina samassa ajassa. Paikannettavassa pisteessä olevassa laitteessa ei kuitenkaan samaan tarkkuuteen ja synkronointiin päästä, vaan ajanmittaukseen sisältyy tuntematon virhetermi $e$. Ratkaisuna on neljän satelliitin käyttö kolmen sijasta. Jos $c$ on valonnopeus ja lasketut aikaerot ovat $d_i$, saadaan yhtälöryhmäksi \begin{align*} &(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 + (z - z_1)^2 = (c(d_1 + e))^2, \\ &(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 + (z - z_2)^2= (c(d_2 + e))^2, \\ &(x - x_3)^2 + (y - y_3)^2 + (z - z_3)^2 = (c(d_3 + e))^2, \\ &(x - x_4)^2 + (y - y_4)^2 + (z - z_4)^2 = (c(d_4 + e))^2. \end{align*} Tässä on neljä tuntematonta, paikannettavan pisteen koordinaatit $(x,y,z)$ ja aikaeron virhetermi $e$.</p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgCjtvoo1RQYvbmF0T45syATSVo9NY6qenuEVIu-qLh3IbQeMCnwPPfTsgIEm0ttb9MYO4g5RkFKriPfNk7HGTmZmjI76PD_CYb5rvIMQnHz7IymDwizm64AGTKNVdv5lxetw4EJtILpPbKifPwAWO9I5NfJDqZvMV5iZ-15wTPDGQE2ba_GcCPv-4-OQ/s651/gnss.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="651" data-original-width="600" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgCjtvoo1RQYvbmF0T45syATSVo9NY6qenuEVIu-qLh3IbQeMCnwPPfTsgIEm0ttb9MYO4g5RkFKriPfNk7HGTmZmjI76PD_CYb5rvIMQnHz7IymDwizm64AGTKNVdv5lxetw4EJtILpPbKifPwAWO9I5NfJDqZvMV5iZ-15wTPDGQE2ba_GcCPv-4-OQ/s320/gnss.png" width="295" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Neljän pallon leikkaus yhdessä pisteessä, kun säteet on saatu sopiviksi<br />määrittämällä aikaeron virhetermi. Kuvio on periaatteellinen eikä liity<br />mihinkään satelliittipaikannustilanteeseen.</td></tr></tbody></table><p><br /></p><p>Yhtälöryhmän (nopea) ratkaiseminen ei ole aivan yksinkertaista, mutta siihen on kehitetty sekä numeerisia että algebrallisia menetelmiä. Laskenta tapahtuu vastaanottimessa (esimerkiksi autossa), joten kyseessä ei ole mikään suurtietokone. Ratkaisuja on tässäkin periaatteessa kaksi, joten oikea on tunnistettava muilla keinoin (esimerkiksi aikaeron, periaatteellisen sijainnin tai hetkeä aiemmin lasketun sijainnin avulla).</p><p>Edellä sanottu antaa vain periaatteellisen kuvan satelliittipaikannuksesta. Käytännössä siihen liittyy paljon muutakin. Jos vastaanotin esimerkiksi löytää neljää useamman satelliitin signaalit, näitä voidaan käyttää tuloksen tarkentamiseen. Koordinaattienmääritys on tällöin ylimäärätty probleema, jolla ei yleensä ole kaikki yhtälöt toteuttavaa ratkaisua, vaan haetaan ratkaisua, joka toteuttaa kaikki yhtälö mahdollisimman tarkoin (esimerkiksi ns. pienimmän neliösumman menettelyllä).</p><p>Tarkempia tietoja löytyy esimerkiksi Wikipedia-artikkeleista <br /><a href="https://www.maanmittauslaitos.fi/tutkimus/teematietoa/satelliittipaikannus" target="_blank">https://www.maanmittauslaitos.fi/tutkimus/teematietoa/satelliittipaikannus</a>, <br /><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Satellite_navigation" target="_blank">https://en.wikipedia.org/wiki/Satellite_navigation</a>, <br /><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Global_Positioning_System" target="_blank">https://en.wikipedia.org/wiki/Global_Positioning_System</a>.</p><p>Laajasti käytettyjä satelliittipaikannusjärjestelmiä ovat seuraavat: amerikkalainen GPS (Global Positioning System), Euroopan Unionin Galileo, venäläinen GLONASS (Глобальная навигационная спутниковая система) ja kiinalainen BeiDou (北斗卫星导航系统). Usein on tapana puhua GPS-järjestelmistä, koska amerikkalainen oli ensimmäinen. Nykyään kuitenkin mieluummin käytetään lyhennettä GNSS, Global Navigation Satellite System, ja GPS tarkoittaa vain amerikkalaista järjestelmää.</p><div><br /></div>SKKhttp://www.blogger.com/profile/11007502688158156164noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-715456041255349481.post-16798955622236159462023-01-26T15:13:00.001+02:002023-03-26T17:36:19.270+03:00Mitä matematiikan tehtävässä kysytään?<div><div>Selasin erästä sosiaalisen median matematiikkaryhmää ja havahduin postaukseen, jossa ihmeteltiin seuraavaa ongelmaa:</div><div><br /></div><div>Tasavälisiä kokonaislukuja korotetaan tiettyyn (positiiviseen) kokonaislukupotenssiin. Syntyvästä lukujonosta lasketaan perättäisten lukujen erotukset, jolloin saadaan uusi lukujono. Tästä lasketaan uudelleen perättäisten lukujen erotukset, jolloin syntyy jälleen uusi lukujono. Näin jatketaan ja todetaan, että jossakin vaiheessa saadaan vakiolukujono, ts. kaikki luvut yhtä suuria. Seuraava askel tuottaisi nollajonon. Miksi näin käy? Mistä tässä on kysymys?</div><div><br /></div><div>Pohdin asiaa hetken ja mieleeni tuli moniakin matemaattisia asioita, joilla on yhteys ongelmaan. Tilanteen konkretisoimiseksi alla on Mathematicalla laskettu esimerkki, jossa lähtökohtana ovat parilliset luvut korotettuina seitsemänteen potenssiin (kuva suurenee klikkaamalla).</div><div><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhuOQtZ_Tyi0qgq-JPUdpl0FrZl4SqE45JzRnC6o9OgZcfuXPDz8-Dc0RxSuFYIvTC8_WJw25LdVQT2V9a4G2o4kD6FLmtvC0b5CAGKmEs-oLh29pm75mmOaZI5K7Mv3pCtz7M0cWmStNrrkkUlknGm_WXPA1U8n0CG_WDbk4KYtVXC5qVyQV11oNCFIg/s1719/blg142a.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="488" data-original-width="1719" height="114" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhuOQtZ_Tyi0qgq-JPUdpl0FrZl4SqE45JzRnC6o9OgZcfuXPDz8-Dc0RxSuFYIvTC8_WJw25LdVQT2V9a4G2o4kD6FLmtvC0b5CAGKmEs-oLh29pm75mmOaZI5K7Mv3pCtz7M0cWmStNrrkkUlknGm_WXPA1U8n0CG_WDbk4KYtVXC5qVyQV11oNCFIg/w400-h114/blg142a.png" width="400" /></a></div><br /><div><br /></div><div>Yleensä matematiikan tehtävissä pyydetään laskemaan jotakin tai todistamaan jotakin. Nämä ovat selväpiirteisiä tehtäviä: opiskelija tietää, mihin pyrkiä, ja opettajan on melko yksiselitteistä arvioida esimerkiksi koetehtävässä, miten pitkälle on päästy. Edellä olevan ongelman asettelu on kuitenkin avoimempi. Kysytään miksi näin käy, mistä oikeastaan on kysymys. Voitaisiin vielä kysyä, mihin muihin asioihin ongelma voisi liittyä. Tällaisena ongelma ei oikein kelpaa koetehtäväksi, mutta hyvin opettavainen se voi olla. Tutki asiaa, käytä kaikkia välineitä mitä sinulla on, mieti kaikkea mitä jostakin tämäntyyppisestä tiedät. Vastaus olisi luonnollisimmin aihetta käsittelevä essee. </div><div><br /></div><div>Esseen tai työskentelyä kuvaavan dokumentin kirjoittaminen on asia, johon varmasti olisi hyvä oppia jo kouluaikana. Matematiikassahan kirjoittamiseen usein opitaan vasta muutaman vuoden yliopisto-opintojen jälkeen. Siihen asti matematiikan tehtävien käsittely on kaavojen kirjoittamista allekkain, viereen ehkä jokunen sana perusteluiksi. Matematiikastakin on kuitenkin hyvä oppia kirjoittamaan normaalilla kielellä kielioppisääntöjä noudattaen ja kaavat selittävään tai kommentoivaan tekstiin upottaen. (Vaikka eivät edes oppimateriaalit useinkaan näin tee.)</div><div><br /></div><div>Matemaattisilta taidoiltaan samatasoisten henkilöiden tuotokset voivat olla hyvin erilaisia, puhumattakaan siitä, että eri tasoilla olevat henkilöt päätyvät laajempiin tai suppeampiin esityksiin. 'Oikeaa vastausta' ei ole. Tämän takia kyse ei yleensä voi olla osaamisen arvioimisesta vaan asioiden tutkimisen oppimisesta avoimessa tilanteessa. Luontevaa on, että tällöin käytössä ovat kaikki tarjolla olevat välineet, kynän ja paperin ohella erilaiset laskenta- ja grafiikkavälineet. Kokeilevaa matematiikkaa voi harrastaa. Nettiä ja miksei tekoälyäkin voi hyödyntää. Tuotoksen täytyy kuitenkin olla itse sisäistetty ja käytettyjen lähteiden tulee ilmetä.</div><div><br /></div><div>Tehtävän avoimuus antaa myös mahdollisuuden retkeillä oman mielenkiinnon mukaan tehtävänantoa laajemmalle, kunhan esseen aihepiiri jotenkin säilyy ehjänä. Esimerkissä voisin vaikka luopua kokonaislukuoletuksesta.</div><div><br /></div><div>Mitä kaikkea sitten mieleeni johtui tehtävää pohtiessani? Mitä johtuu lukijan mieleen? Kommentteja voi esittää joko blogiin tai Facebook-ympäristön blogi-ilmoituksen yhteyteen (esseetä ei toki tarvitse kirjoittaa). Omasta ajatusmaailmastani olkoon esimerkkinä seuraava, joka voisi löytyä jostakin numeerisen analyysin oppikirjasta: \[\begin{aligned}p_n(t) &= p_n(t_0 + sd) = x_0 + \binom{s}{1} \Delta^1 x_0 + \dots + \binom{s}{n} \Delta^n x_0, \\ \Delta^n x_j &= \Delta^{n-1} x_{j+1} - \Delta^{n-1} x_j, \quad \Delta^0 x_j = x_j. \end{aligned}\] Vastailen mahdollisiin kommentteihin ja ehkä palaan asiaan jossakin myöhemmässä blogikirjoituksessa.</div></div><div><br /></div><div>Edellä oleva esimerkki antaa myös kuvan matemaattisen lukutaidon merkityksestä. Mitä kaavoista oikeastaan purkautuu ja mitä niistä pitäisi nähdä? Matemaattinen teksti on usein tapana kirjoittaa aika tiiviiksi (tarpeettomastikin) ja lukijalle jää pohdittavaa.</div><div><br /></div>SKKhttp://www.blogger.com/profile/11007502688158156164noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-715456041255349481.post-4463675111108302702022-12-23T16:52:00.000+02:002022-12-23T16:52:03.735+02:00Tekoäly, joulu ja matematiikka<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEifNWwbeztV8vAldSFy-MfU_S75NiE1PI1B-hhe_gCTi0MB03YmOSeOfO6bfMnmSo77we70OBzLi1ZU_nNiw88XiHZofftwvZx6ClgOqGpjBMVq7iehCFZfvEiz2M0SPp_loM3CLT5IHrweCXlpIKNjwBxhUB6daFGTXEaeXsYxvB1SPa_JzPNGTBsWlA/s533/tekoalyjoulu.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="286" data-original-width="533" height="215" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEifNWwbeztV8vAldSFy-MfU_S75NiE1PI1B-hhe_gCTi0MB03YmOSeOfO6bfMnmSo77we70OBzLi1ZU_nNiw88XiHZofftwvZx6ClgOqGpjBMVq7iehCFZfvEiz2M0SPp_loM3CLT5IHrweCXlpIKNjwBxhUB6daFGTXEaeXsYxvB1SPa_JzPNGTBsWlA/w400-h215/tekoalyjoulu.png" width="400" /></a></div><br /><p>Yllä oleva ei ole minun tekstiäni vaan tekoälybotin ChatGPT vastaus pyyntööni <i>Kirjoita lämminhenkinen joulutervehdys matematiikkablogin lukijoille.</i> Marraskuussa koemielessä julkaistu ChatGPT (<a href="https://chat.openai.com/" target="_blank">https://chat.openai.com/</a>) on saanut mediassa aika paljon huomiota viime aikoina. Rekisteröitymällä pääsee kokeilemaan.</p><p>ChatGPT tuottaa tekstiä perustuen siihen materiaaliin, jolla se on opetettu. Mitä opettaminen tarkkaan ottaen tarkoittaa, ei ole aivan yksinkertaista. Sille voi esittää kysymyksen, pyynnön tai kommentin jollakin kielellä ja se pyrkii vastaamaan samalla kielellä. Olen kokeillut suomea, englantia, saksaa, ranskaa, venäjää ja latinaa, ja kaikissa tapauksissa vastaus on tullut kohtalaisen hyvällä kielellä. Pieniä virheitä voi olla, mutta yleisesti ottaen kieli on hyvää. Pitäisin aika hämmästyttävänä suorituksena.</p><p>Sisällön suhteen tulos on heikompi. Teksti on jollakin tavoin latteaa ja saattaa sisältää vakaviakin asiavirheitä. Syötin kokeeksi kysymyksen <i>Oliko Venäjän vallan aika onnellista Suomessa?</i> ja tuloksena oli mitäänsanomatonta pyörittelyä ja selkeitä virhearveluita. Voisiko toisin ollakaan, ellei järjestelmää ole opetettu syöttämällä sille riittävästi aihetta käsittelevää kirjallisuutta? Suoriutuisiko se tällöin yhtä hyvin kuin keskimääräinen ihminen tai ehkä jopa paremmin?</p><p>Entä sitten matematiikka?</p><p>Kerrottakoon taustaksi lineaarialgebran tenttitehtäväni vuosikymmenien takaa: <i>Mitä tarkoitetaan matriisin häiriöalttiudella (engl. condition number)?</i> Eräs tentissä ollut henkilö kirjoitti aiheesta puolen sivun esseen pyörittelemällä häiriöiden vaikutusta ja alttiutta niihin sekä liittämällä tämän jotenkin matriiseihin. Itse käsitteestä hän ei tiennyt mitään. Nolla pistettä.</p><p>Tein saman kysymyksen ChatGPT:lle. Ensin englanniksi, sitten suomeksi käyttäen nimitystä <i>häiriöalttius</i> ja lopulta myös usein käytetyn virheellisen käännöksen <i>ehtoluku</i> avulla. Kaikissa tapauksissa moitteeton suoritus, joko englanniksi tai suomeksi. Olisin antanut täydet pisteet.</p><p>Onko tämä sitten hämmästyttävää? Ei. Vastauksen jälkeen esitettyyn kysymykseen <i>How do you know this?</i> ChatGPT vastasi:</p><p><i>The definition of the condition number of a matrix and its properties are well-documented in standard texts on numerical linear algebra and in research papers in the field. I have learned about the concept of the condition number of a matrix through my training as a language model, which included learning about various mathematical concepts and principles from a wide range of sources such as textbooks, research papers, and online resources.</i></p><p>Ja suomenkielisessä tapauksessa jatkokysymykseen <i>Mistä tiedät, että englannin condition number on suomeksi häiriöalttius (tai häiriöluku)?</i>:</p><p><i>Käännökset ovat yleensä tehty käyttäen kielten välistä sanakirjaa tai käännöstietokantaa, jotka sisältävät yleisesti käytettyjä käännöksiä eri kielten välillä. Tämän lisäksi käännöksiin voidaan käyttää apuna myös kielten asiantuntijoita, jotka ovat perehtyneet käännösten tekemiseen ja tietävät, miten eri käsitteitä voidaan kääntää eri kielillä. Näin ollen olen pystynyt selvittämään, että englannin condition number on suomeksi häiriöalttius tai häiriöluku, käyttämällä kielten välistä sanakirjaa tai käännöstietokantaa sekä tietämällä, miten eri käsitteitä voidaan kääntää eri kielillä.</i></p><p>Kaikki matematiikka ei kuitenkaan mene yhtä hyvin. Kysyin, miten ratkaistaan yhtälö $x^2 = x + 1$. ChatGPT muunsi sen ensin muotoon $x(x - 1) = 1$ ja sitten muotoon $x = \dfrac{1}{x - 1}$. Tästä ja alkuperäisestä yhtälöstä se päätteli juuriksi $x = 1$ ja $x = -2$, koska $1^2 = 1 + 1$ ja $-2^2 = -2 + 1$. Ei kovin vakuuttavaa. Opetus ei ilmeisesti ole sisältänyt pitkän matematiikan lukiokurssia.</p><p>Mitä tekoälystä sitten pitäisi ajatella? ChatGPT on kokeellinen järjestelmä, jolla varmasti on pitkä kehitys edessään. Mutta mihin oikeastaan olemme menossa? Jonakin päivänä koevastauksensa tai gradunsa ehkä voi tilata tekoälyltä. Pitäisikö tekoälyn käyttö kieltää? Ja onnistuisiko se? Vai pitäisikö miettiä, mitä oikeastaan pitää tietää ja miten elää maailmassa, jossa tekoäly tuottaa paljon hyvää ja paljon pahaa?</p><p>Tässä on jonkinlaisesta jatkumosta kysymys. Matematiikkaa harjoitettiin ennen kynällä ja paperilla (tai sitä ennen ehkä tikulla ja hiekalla), sitten tulivat erilaiset laskukoneet, ohjelmoitavat laitteet (laskin, tietokone, kännykkä), verkkoresurssit (kuten Google ja Wolfram Alpha). Mikä on seuraava askel?</p><p>Omasta puolestani toivotan hyvää joulua ja rauhallista uutta vuotta 2023.</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjh1SRYlvjYx1uQ3Es7Uvav4f8GgQFWQt9wEZ0IT0wvgu3N1BsqbNdpTesPgTZMyc4aiT5EZr4jYHAEcJJwUz7kADti5En9V3GfFcipuUIVgCUTUQzru1isLLlqJno6baAC-77GBabhEbxJcWN3FNjZ1gTWrH35PwbPAnFHomSV7sMuVi2t_Zu4I7oC7A/s4000/20220109_135231.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="4000" data-original-width="3000" height="200" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjh1SRYlvjYx1uQ3Es7Uvav4f8GgQFWQt9wEZ0IT0wvgu3N1BsqbNdpTesPgTZMyc4aiT5EZr4jYHAEcJJwUz7kADti5En9V3GfFcipuUIVgCUTUQzru1isLLlqJno6baAC-77GBabhEbxJcWN3FNjZ1gTWrH35PwbPAnFHomSV7sMuVi2t_Zu4I7oC7A/w150-h200/20220109_135231.jpg" width="150" /></a></div><br /><p><br /></p>SKKhttp://www.blogger.com/profile/11007502688158156164noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-715456041255349481.post-64089415816976442322022-11-18T20:21:00.000+02:002022-11-18T20:21:42.227+02:00Fibonacci<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgO_OxmQ1xSl7mqKyy2St95Iu79o3j_y2paUhQJbaz4-XY44d1m9XuwPq4_WcE-Ysfphd7WbN4eMZbTAv3MaSXWpKd-Q7XWvhUZ9FevSRbBD2oOXVQRxOIBgX_AYP8ztjuF0YhKZjODGdxUzxdTx6-t_OR2lnCnIfg-HFkk5iMg4MwYMfJhUR1BWoJRFg/s1137/Liber_abbaci_magliab_f124r.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="1137" data-original-width="744" height="640" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgO_OxmQ1xSl7mqKyy2St95Iu79o3j_y2paUhQJbaz4-XY44d1m9XuwPq4_WcE-Ysfphd7WbN4eMZbTAv3MaSXWpKd-Q7XWvhUZ9FevSRbBD2oOXVQRxOIBgX_AYP8ztjuF0YhKZjODGdxUzxdTx6-t_OR2lnCnIfg-HFkk5iMg4MwYMfJhUR1BWoJRFg/w418-h640/Liber_abbaci_magliab_f124r.jpg" width="418" /></a></div><br /><p><i>Leonardo Pisalainen</i> (noin 1170-1250) tunnetaan paremmin nimellä <i>Fibonacci</i>. Nimi on lyhentymä ilmaisusta <i>filius Bonacci</i>, Bonaccin poika, jossa Bonacci viittaa sukuun eikä isään. Hänet tiedetään lähinnä nimeään kantavasta lukujonosta, mutta Fibonacci oli paljon monipuolisempi matemaatikko. Vuonna 1202 ilmestyneessä teoksessaan <i>Liber abaci</i> ('laskemisen kirja') hän esittelee intialais-arabialaisen lukujärjestelmän, ts. meidän käyttämämme kymmenkantaisen paikkajärjestelmän (ykköset oikealla, kymmenet seuraavaksi vasemmalla, sitten sadat jne.), jonka käyttö alkoi tuohon aikaan vähitellen levitä Eurooppaan. Kesti kuitenkin nelisensataa vuotta, ennen kuin järjestelmä kaikkine desimaalilukumerkintöineen vakiintui. Tämän ohella Liber abaci käsittelee kaupankäynnin matematiikkaa, erilaisia matemaattisia probleemoja sekä geometriaan ja lukuteoriaan luettavia konstruktioita. Muutama muukin Fibonaccin teos on säilynyt.</p><p>Liber abacin probleemojen joukossa on myös kanien lisääntymistä koskeva tehtävä: Kanipari pannaan suljettuun aitaukseen. Ne synnyttävät joka kuukausi uuden parin. Nämä ovat kuukauden kuluttua sukukypsiä ja synnyttävät uuden parin jne. Kuinka monta paria aitauksessa on vuoden kuluttua? Fibonacci osoittaa, että kuukausittaiset määrät ovat $1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233$ ja vuoden kuluttua $377$. Yllä olevassa kuvassa Fibonaccin alkuperäinen teksti; määrät laskettu oikeassa reunassa.</p><p>Syntyvää lukujonoa on alettu kutsua <i>Fibonaccin luvuiksi</i>. Ne määritellään usein <i>rekursiivisesti</i>: \[f(0)=0,\ f(1)=1,\ f(n)=f(n-1)+f(n-2),\ n \ge 2.\] Seuraava luku on siis aina kahden edellisen luvun summa: \[0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765,\dots\] Kaniparien lukumäärät alkavat luvusta $f(2)$. Kanien lisääntymisen ohella Fibonaccin luvuilla on osoittautunut olevan yhteys moneen asiaan. Tunnetuin lienee <i>kultaisen leikkauksen</i> suhde, jota peräkkäisten Fibonaccin lukujen suhde lähestyy. Hieman erikoisempana esimerkkinä olkoon istumajärjestysongelma: Tuolirivissä on $n$ tuolia ja siihen sijoitetaan kahdenlaisia ihmisiä, rauhallisia ja herkästi riitaantuvia, joita ei voida sijoittaa rinnakkain. Kuinka monella tavalla tuolirivi voidaan täyttää? Vastauksena on Fibonaccin luku. (Esimerkki on peräisin Ron Knottin <a href="https://r-knott.surrey.ac.uk/Fibonacci/fibpuzzles.html" target="_blank">dokumentista</a>.) </p><p>Hakukone löytää lisää verkkodokumentteja Fibonaccin luvuista. Lähtökohtana voi myös käyttää kanadalaisen Fibonacci Associationin <a href="https://www.mathstat.dal.ca/fibonacci/" target="_blank">sivua</a> tai edellä mainitun Ron Knottin <a href="https://r-knott.surrey.ac.uk/Fibonacci/fib.html" target="_blank">sivua</a>.</p><p>Rekursiivisen määrittelyn sijaan Fibonaccin lukuja voidaan tarkastella myös <i>eksplisiittisesti</i>: $f(n)$ lausekkeena, joka riippuu indeksistä $n$. Rekursiokaavaa $f(n)=f(n-1)+f(n-2)$ ajatellaan tällöin ns. <i>differenssiyhtälönä</i>, jolle etsitään ratkaisu. Menettely on samankaltainen kuin lineaarisen vakiokertoimisen differentiaaliyhtälön ratkaiseminen: muodostetaan sopiva yrite, jossa on tuntematon symboli, ja pyritään määrittämään tämä. Osoittautuu, että yritteeksi kannattaa valita $f(n) = r^n$ ja pyrkiä määrittämään $r$. Kun yrite sijoitetaan differenssiyhtälöön, saadaan \[r^n = r^{n-1} + r^{n-2}.\] Kun tämä jaetaan potenssilla $r^{n-2}$, saadaan luvulle $r$ toisen asteen yhtälö \[r^2 = r + 1.\] Tällä on kaksi juurta: $r_1 = \frac{1}{2}(1 + \sqrt{5})$ ja $r_2 = \frac{1}{2}(1 - \sqrt{5})$. Differenssiyhtälöllä on siis ratkaisuna potenssit $r_1^n$ ja $r_2^n$. Mutta sijoittamalla differenssiyhtälöön todetaan, että sillä on ratkaisuna myös jokainen lauseke $f(n) = c_1 r_1^n + c_2 r_2^n$, missä $c_1$ ja $c_2$ ovat mitä tahansa vakioita (so. riippumattomia luvusta $n$). (Tähän viitataan sanomalla, että differenssiyhtälö on <i>lineaarinen</i>.)</p><p>Fibonaccin luvuilla on lisäksi ominaisuudet $f(0) = 0$, $f(1) = 1$. Nämä ovat differenssiyhtälön kannalta ns. <i>alkuehtoja</i>, ja niistä seuraa yhtälöt $c_1 + c_2 = 0$, $c_1r_1 + c_2r_2 = 1$. Tällöin $c_1 = -c_2 = \frac{1}{\sqrt{5}}$ ja Fibonaccin luvun lausekkeeksi saadaan \[f(n) = \frac{1}{\sqrt{5}}\biggl(\Bigl(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\Bigr)^n - \Bigl(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\Bigr)^n\biggr).\]</p><p>Luku $r_1$ on itse asiassa kultaisen leikkauksen suhde. Tässä jana jaetaan kahteen osaan, pituuksiltaan $a$ ja $b$ ($a > b$). Näiden suhde $q = a/b$ on kultaisen leikkauksen suhde, jos pidemmän osan suhde lyhyempään on sama kuin koko janan suhde pitempään, ts. \[\frac{a}{b} = \frac{a+b}{a}.\] Tämä johtaa yhtälöön $q^2 = q + 1$, jonka positiiviseksi juureksi edellä todettiin $q = r_1 = \frac{1}{2}(1 + \sqrt{5})$. Negatiivinen juuri on $r_2 = \frac{1}{2}(1 - \sqrt{5}) = -1/q$.</p><p>Eksplisiittisen lausekkeen avulla nähdään, että Fibonaccin lukujen suhde $f(n+1)/f(n)$ lähestyy kultaisen leikkauksen suhdetta, kun $n$ lähestyy ääretöntä.</p><p>Fibonaccin luvut toteuttavat koko joukon erilaisia algebrallisia identiteettejä. Kokeilemalla voi todeta, että esimerkiksi lauseke $f(n)f(m) + f(n+1)f(m+1)$ antaa aina jonkin Fibonaccin luvun. Esimerkiksi arvoilla $n=6$, $m=9$ saadaan $8 \cdot 34 + 13 \cdot 55 = 987$. Saattaa olla hieman vaikeata todistaa rekursiokaavan avulla, että näin todella on (en ainakaan nopeasti löytänyt todistusta), mutta eksplisiittisen lausekkeen avulla se on suora lasku: \begin{align*}&f(n)f(m) + f(n+1)f(m+1)\\ &= \tfrac{1}{5}(r_1^n - r_2^n)(r_1^m - r_2^m) + \tfrac{1}{5}(r_1^{n+1} - r_2^{n+1})(r_1^{m+1} - r_2^{m+1})\\ &= \tfrac{1}{5}(r_1^{n+m} + r_2^{n+m} - r_1^nr_2^m - r_2^nr_1^m + r_1^{n+m+2} + r_2^{n+m+2} - r_1^{n+1}r_2^{m+1} - r_2^{n+1}r_1^{m+1})\\ &= \tfrac{1}{5}(r_1^{n+m}(1+r_1^2) + r_2^{n+m}(1+r_2^2) - (r_1^nr_2^m + r_2^nr_1^m)(1 + r_1r_2)).\end{align*} Koska \[1+r_1^2 = \tfrac{1}{2}(5+\sqrt{5}) = \sqrt{5}r_1, \quad 1+r_2^2 = \tfrac{1}{2}(5-\sqrt{5}) = -\sqrt{5}r_2, \quad 1+r_1r_2 = 0,\] tämä saadaan muotoon \[\frac{1}{\sqrt{5}}\left(r_1^{n+m+1} - r_2^{n+m+1}\right) = f(n+m+1).\] Esimerkissä on siten $987 = f(6+9+1) = f(16)$.</p><p>Jos tulos on tiedossa tai kokeilujen perusteella arvattu, niin todistamisessa tarvittava mekaaninen lasku sujuu vaivatta symbolisella laskentaohjelmalla (alla käytetty Mathematicaa ja GeoGebraa):</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjDh56qPUAGBQR_dbtPyJnS-lyhFF4QRC2__Zj0Cei5pxKWJ6A14IG2qbrLqfhWdHdxzZvZNNXyDWhXGZBPnaCBo7SmBjoYaP2y6T8QE0qnZAziwqtYU1VlY7VUEEoH3eWeO_HTODfCgg1rxGulBce3JVd_aCCmlApOmSxzhK7ebB76eLfljLiiFLLNFQ/s718/fibo1.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="218" data-original-width="718" height="121" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjDh56qPUAGBQR_dbtPyJnS-lyhFF4QRC2__Zj0Cei5pxKWJ6A14IG2qbrLqfhWdHdxzZvZNNXyDWhXGZBPnaCBo7SmBjoYaP2y6T8QE0qnZAziwqtYU1VlY7VUEEoH3eWeO_HTODfCgg1rxGulBce3JVd_aCCmlApOmSxzhK7ebB76eLfljLiiFLLNFQ/w400-h121/fibo1.png" width="400" /></a></div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhokvGhudxI0IeClLQlhI0vpCtTww1nRAf-P5v-h9wAxFnEyRxKj5BRcq-mkiPUoGhACHibwWwBH4rK969RJOW8i2ZrUuO2_j45xJ4BtVnfxP2Ev3fWJE5JywFNiUQsrqUT0-DiqyDkJj5Apj4hy_Ef_tsIqdMjTEa3MAgzXeHiZKsGfIywUrqobx4WRw/s715/fibo2.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="261" data-original-width="715" height="146" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhokvGhudxI0IeClLQlhI0vpCtTww1nRAf-P5v-h9wAxFnEyRxKj5BRcq-mkiPUoGhACHibwWwBH4rK969RJOW8i2ZrUuO2_j45xJ4BtVnfxP2Ev3fWJE5JywFNiUQsrqUT0-DiqyDkJj5Apj4hy_Ef_tsIqdMjTEa3MAgzXeHiZKsGfIywUrqobx4WRw/w400-h146/fibo2.png" width="400" /></a></div><br /><p>Fibonaccin luvuista ja niitä koskevista identiteeteistä on laaja <a href="https://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html" target="_blank">artikkeli</a> Wolfram MathWorld -sivustossa.</p><br />SKKhttp://www.blogger.com/profile/11007502688158156164noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-715456041255349481.post-17129648077838307612022-10-21T18:23:00.000+03:002022-10-21T18:23:28.048+03:00Ei geometrikko viivoitinta tarvitse<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi9RHLU0oCKlQ31MuKXbmq0zbKrwQVTaWXsm6NP_SnBnF9fkiTX3dfn92q_Cr0rAhQOOplPpDZm-s-e6LgoyGVHbhq_jB5PRCbdajf_R_WQVl7Len5QjFB-Wg2vJfQanfprzE_xOlQl7YRMSIwm4glhjZuvCuZ4ZPIJEOYQrTlW2A33YwwAwTpzUKLUeg/s711/ED.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="711" data-original-width="533" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi9RHLU0oCKlQ31MuKXbmq0zbKrwQVTaWXsm6NP_SnBnF9fkiTX3dfn92q_Cr0rAhQOOplPpDZm-s-e6LgoyGVHbhq_jB5PRCbdajf_R_WQVl7Len5QjFB-Wg2vJfQanfprzE_xOlQl7YRMSIwm4glhjZuvCuZ4ZPIJEOYQrTlW2A33YwwAwTpzUKLUeg/s320/ED.png" width="240" /></a></div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><p>Geometrisissa konstruktioissa tai piirustuksissa sallitut työkalut ovat olleet Eukleideen ajoista lähtien viivoitin ja harppi. Viivoittimella voidaan piirtää suora, kun kaksi sen pistettä tunnetaan. Harpilla voidaan piirtää ympyrä, kun sen keskipiste ja yksi kehäpiste tunnetaan. Suorien ja ympyröiden leikkauspisteet voivat olla pohjana uusille piirroksille, so. uudelle viivoittimen tai harpin käytölle. Muunlainen käyttö, kuten janan pituuden siirtäminen uuteen paikkaan harpin kärkien välissä tai merkintöjen tekeminen viivoittimen reunaan ei ole sallittua. Janan siirto harpin kärkien välissä voidaan kuitenkin sallia, koska se voidaan tehdä myös edellä mainituilla perusoperaatioilla, tosin hieman pidemmällä konstruktiolla.</p><p>Viivoitinkin on kuitenkin tarpeeton työkalu, kun sovitaan, että suora tunnetaan, kun kaksi sen pistettä tunnetaan, eikä suoraa pyritä varsinaisesti piirtämään. Kaikki geometriassa tarvittavat konstruktiot voidaan nimittäin tehdä yksinomaan harppia käyttäen. Esimerkkinä ympyrän piirtäminen annettu piste $K$ keskipisteenä ja annettu jana $AB$ säteenä siirtämättä sädettä harpin kärkien välissä:</p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi5n4M59AKfDM2OcpWw6irqGpXuV57BH7D_gI63V686-t5-rkJ-i3vdLLy4rBaZYkvd0Go9fzM3xZWCFBapPWr0I24DN3HKlzeWagfpfsmuJRFe40GsIoIDjs5shY35WHQKzTeMis7thX_sJoCvW-ftD_VA_yiQ4KnwGDog1JdaFgbI4nIurVcVXIbFcA/s3028/hrp1.png" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="1951" data-original-width="3028" height="206" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi5n4M59AKfDM2OcpWw6irqGpXuV57BH7D_gI63V686-t5-rkJ-i3vdLLy4rBaZYkvd0Go9fzM3xZWCFBapPWr0I24DN3HKlzeWagfpfsmuJRFe40GsIoIDjs5shY35WHQKzTeMis7thX_sJoCvW-ftD_VA_yiQ4KnwGDog1JdaFgbI4nIurVcVXIbFcA/s320/hrp1.png" width="320" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">$K$-keskisen ympyrän piirtäminen säteenä jana $AB$<br />siirtämättä sädettä harpin kärkien välissä;<br />piirtämisjärjestys: vihreä, sininen, punainen.<br /><br /></td></tr></tbody></table>Harpin riittävyys perustuu <i>käänteissäteiseen muunnokseen</i> eli <i>ympyräpeilaukseen</i>. Tässä tasoon asetetaan kiinteä ympyrä (keskipisteenä $K$, säteenä $r$) ja mielivaltaisen pisteen $P$ kuvapiste $P'$ sijaitsee säteellä $KP$ siten, että etäisyyksille pätee \[|KP||KP'| = r^2.\] Poikkeuksena on piste $K$, jolla ei kuvapistettä ole. Puute voidaan poistaa liittämällä tasoon yksikäsitteinen äärettömän kaukainen piste (johon voidaan ajatella päädyttävän siirtymällä äärettömän kauaksi mihin tahansa suuntaan) ja asettamalla tämä $K$:n kuvaksi. Kuvapiste $P'$ voidaan määrittää yksinomaan harppia käyttäen:<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh4JUCklORXHAvd5Zq4A-E_U0T7qXNtdZMmx7KBwezu4FxqOLrVcDh6nABkf1jiV2YgK7gkRmCPq8a-lB-LFRLeu7EOm37iciier7YWr5O53kZprW6QxhdzyMomNVzqvC7B5qpaYzJhIVzeLfBQiuFOrP3kNNKzLoQSVBHVsQh_FtTUxRmjB_QzFyB0vA/s4899/hrp2.png" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="3510" data-original-width="4899" height="229" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh4JUCklORXHAvd5Zq4A-E_U0T7qXNtdZMmx7KBwezu4FxqOLrVcDh6nABkf1jiV2YgK7gkRmCPq8a-lB-LFRLeu7EOm37iciier7YWr5O53kZprW6QxhdzyMomNVzqvC7B5qpaYzJhIVzeLfBQiuFOrP3kNNKzLoQSVBHVsQh_FtTUxRmjB_QzFyB0vA/s320/hrp2.png" width="320" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Kuvapisteen $P'$ määritys käänteissäteisessä muunnoksessa; piirtämisjärjestys<br />vihreä, sininen, punainen. Konstruktion pätevyyden voi osoittaa katkoviivojen<br />muodostamien yhdenmuotoisten kolmioiden avulla.</td></tr></tbody></table><p>Käänteissäteinen muunnos kuvaa yleensä ympyrän ympyräksi. Poikkeuksena ovat pisteen $K$ kautta kulkevat ympyrät, jotka kuvautuvat suoriksi. Suorat muunnos kuvaa pisteen $K$ kautta kulkeviksi ympyröiksi, poikkeuksena pisteen $K$ kautta kulkevat suorat, jotka kuvautuvat itselleen. Suoraa voidaankin ajatelle ympyränä, jonka säde on ääretön. Muunnoksen kiinteän ympyrän pisteet ovat omia kuviaan.</p><p>Käänteissäteisen muunnoksen käänteiskuvaus on se itse, ts. kuvapisteen kuvapiste on alkuperäinen piste. Tähän viitataan sanomalla, että käänteissäteinen muunnos on <i>involutorinen</i>. Piste $P$ ja sen kuvapiste $P'$ ovat siten symmetrisessä asemassa ja niitä kutsutaan <i>peilipisteiksi</i> muunnoksen kiinteän ympyrän suhteen.</p><p>GeoGebra-ohjelmisto tarjoaa työkalun ympyräpeilausten tekemiseen: <span style="font-family: courier;">reflect in circle</span> / <span style="font-family: courier;">peilaus ympyrän suhteen</span>. Esimerkkinä muutamien kuvioiden peilikuvat:</p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEia98XbDR3F_QmPld4OrewRW-M_bovMjvqObfADZjpZVhe2yfgC1g-rMEtLoMpdBsC0lpBw9l3LMZSxp4F5l7bcoZmJRXPI-1fIhIt369nnwp_-4H7WPYNqzmvWrjmQiyts-kcIZN1Rm0uVbLdrlK2Hr7jWGQ8WKKEAQcMkwSeAKyoe1WoYqmWtmvOlpw/s4771/hrp3.png" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="3418" data-original-width="4771" height="229" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEia98XbDR3F_QmPld4OrewRW-M_bovMjvqObfADZjpZVhe2yfgC1g-rMEtLoMpdBsC0lpBw9l3LMZSxp4F5l7bcoZmJRXPI-1fIhIt369nnwp_-4H7WPYNqzmvWrjmQiyts-kcIZN1Rm0uVbLdrlK2Hr7jWGQ8WKKEAQcMkwSeAKyoe1WoYqmWtmvOlpw/s320/hrp3.png" width="320" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Kuvio ja sen peilikuva käänteissäteisessä muunnoksessa,<br />kukin pari omalla värillään.</td></tr></tbody></table><p>Käänteissäteisessä muunnoksessa mikä tahansa suorista ja ympyröistä muodostuva geometrinen kuvio voidaan asettaa siten, että sen suorat ja ympyrät ja näiden osat kuvautuvat (peilautuvat) ympyröiksi tai ympyrän kaariksi. Kuva voidaan määrittää yksinomaan harpilla. Geometrisissa konstruktioissa tarvittavat perusoperaatiot (leikkauspisteiden määritys, ympyrän piirtäminen keskipisteen ja kehäpisteen avulla, kolmen annetun pisteen kautta kulkevan ympyrän piirtäminen) kohdistetaan tällöin vain ympyräkaarten muodostamaan kuvioon. Voidaan osoittaa, että nämä voidaan tehdä yksinomaan harpilla. Lopuksi konstruoinnin tulokset peilataan takaisin.</p><p>Alla on esimerkkinä suorien $AB$ ja $CD$ leikkauspisteen määritys, kun kumpikin suora on annettu kahden pisteen avulla. Pisteet peilataan ensin kiinteässä $K$-keskisessä ympyrässä, jolloin saadaan pisteet $A'$, $B'$, $C'$ ja $D'$. Edellä olevan esimerkin mukaisesti tämä voidaan tehdä yksinomaan harpilla. Suorien kuvat peilauksessa ovat keskipisteen $K$ kulkevia ympyröitä, joista kumpikin siis määräytyy kolmen pisteen avulla: $K$, $A'$, $B'$ ja $K$, $C'$, $D'$. Näiden konstruoiminen onnistuu yksinomaan harpilla (vaikkakaan ei aivan lyhyesti). Peilaamalla ympyröiden leikkauspiste $X'$ saadaan etsitty suorien leikkauspiste $X$.</p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEil-Q70Rsch5w8JWqrNtwu4-WpmcPT3kf8KdUFnKQicVv5eJ-nOgNZ1at2-rSQ5q7oBFGD1zxGiccblxvAvQHwJ2gNCGZgE73901RLuYmmN7FKg4gAkiOIzCYjFgUPW7JhMTG_9okYfzLDC9v_yj01C_svMiIHj1hRTW1C1INJLga8fzEtOsDNsyYmtXg/s5103/hrp4.png" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="3656" data-original-width="5103" height="229" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEil-Q70Rsch5w8JWqrNtwu4-WpmcPT3kf8KdUFnKQicVv5eJ-nOgNZ1at2-rSQ5q7oBFGD1zxGiccblxvAvQHwJ2gNCGZgE73901RLuYmmN7FKg4gAkiOIzCYjFgUPW7JhMTG_9okYfzLDC9v_yj01C_svMiIHj1hRTW1C1INJLga8fzEtOsDNsyYmtXg/s320/hrp4.png" width="320" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Harppikonstruktio: suorien $AB$ ja $CD$ leikkauspiste;<br />peilausympyrä musta, piirtämisjärjestys: vihreä, sininen, punainen.<br />Suorat katkoviivalla.</td></tr></tbody></table><p>Menettelyn todistus (ja monia harppikonstruktioita) on esitetty itävaltalaisen <a href="https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Adler/" target="_blank">August Adlerin</a> kirjassa <i>Theorie der geometrischen Konstruktionen</i> vuodelta 1906 (löytyy verkosta). Harpin riittävyys ei sinänsä ollut uutta, mutta todistusta käänteissäteistä muunnosta käyttäen ei ollut aiemmin esitetty. Tarvittavat harppikonstruktiot oli esittänyt italialainen <a href="https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Mascheroni/" target="_blank">Lorenzo Mascheroni</a> vuonna 1797 teoksessaan <i>Geometria del compasso</i> ja tätäkin aikaisemmin tanskalainen <a href="https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Mohr/" target="_blank">Georg Mohr</a> tanskaksi ja hollanniksi ilmestyneessä teoksessaan <i>Euclides danicus</i> vuonna 1672 (kuva artikkelin alussa). Mohrin teos jäi kuitenkin huomiotta ehkä kielen takia, latinahan tuohon aikaan olisi ollut luontevampi valinta. Suomeksi harppikonstruktioita on käsitelty Erkki Rosenbergin kirjassa <i>Geometria</i> (Limes 1983).</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj21xU7qZjqGGndcjebg-LS4Iq666i_XiyXEDM7ySQO5F9D0_BK2o6aASYhML069uVBLkWw32hIzQk3jNE98iK4yVFLC2YFg944Pg4nfJwxAKJqug-_Bfbl6aYjmvxQUh93Nhy9CS_YKPbzuyjmkVwEchRJ2KG923FCYDHGulBaNvxn9M-VxVqEVobEVw/s692/ED33.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="253" data-original-width="692" height="146" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj21xU7qZjqGGndcjebg-LS4Iq666i_XiyXEDM7ySQO5F9D0_BK2o6aASYhML069uVBLkWw32hIzQk3jNE98iK4yVFLC2YFg944Pg4nfJwxAKJqug-_Bfbl6aYjmvxQUh93Nhy9CS_YKPbzuyjmkVwEchRJ2KG923FCYDHGulBaNvxn9M-VxVqEVobEVw/w400-h146/ED33.png" width="400" /></a></div><br /><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi6Q-aTsZHdhRPXyheqrWR7YQfdy_ErbL0I3llIfgUpEBztHH0Be6jl_s54hnblvHGftT3KkicDtNzhVxiH3p-uKFEwgKwOmJXVFlk0FiLc2vaYil7mBa7Ce7XanNVcZU1wS-lxrGR0B7dRGuRxXAgKyD_GEieeJo4qbvFb8sUgL9v-YPpVtLw7YLDxmA/s167/ED33pic.png" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="116" data-original-width="167" height="139" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi6Q-aTsZHdhRPXyheqrWR7YQfdy_ErbL0I3llIfgUpEBztHH0Be6jl_s54hnblvHGftT3KkicDtNzhVxiH3p-uKFEwgKwOmJXVFlk0FiLc2vaYil7mBa7Ce7XanNVcZU1wS-lxrGR0B7dRGuRxXAgKyD_GEieeJo4qbvFb8sUgL9v-YPpVtLw7YLDxmA/w200-h139/ED33pic.png" width="200" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Euclides danicuksen tiivis esitys: ympyrä kolmen pisteen kautta.</td></tr></tbody></table><p>Lopuksi lukijalle pohdittavaa: Jos $A$ ja $B$ ovat peilipisteitä ympyrän $c$ suhteen ja sekä ympyrä että pisteet kuvataan toiseen ympyrään liittyvällä käänteissäteisellä muunnoksella, niin ovatko kuvapisteet peilipisteitä kuvaympyrän suhteen? Työkaluksi sopii GeoGebra.</p><p>-----</p><p>Jonkin matematiikan alan hyödyllisyyttä tai hyödyttömyyttä arvioidessa täytyy olla hyvin varovainen. Hyvä esimerkki on lukuteoria, jota on pidetty sovellusten kannalta tarpeettomana puhtaana matematiikkana, mutta johon tietoliikenteen salausalgoritmit nykyään perustuvat. Geometriset harppikonstruktiot voisivat sen sijaan olla hyvä kandidaatti hyödyttömäksi, mutta ehkä kuitenkin jollakin tavoin viehättäväksi matematiikaksi. Kommenteissa voi esittää vastaväitteitä tai muita näkökohtia.</p><div><br /></div>SKKhttp://www.blogger.com/profile/11007502688158156164noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-715456041255349481.post-88004440291897717132022-09-27T19:00:00.000+03:002022-09-27T19:00:05.308+03:00Geometrian probleema ja sen moderni versio<p></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgOmWlQWkawW0pwff0JIi3qaWIuh29q7M1KT43pVYuKno4Bts89oqQvLsfuDny0LBL_fFwyT9WKvsaEOfYzckaHZte7QkGHpBoVMz3LnXayQ99ERvYaL-g6twZX_AIcg-hLzCTy7d1O5J8DS2vMwGY1JUb0NFsmZ8519O0U3HYBojcTIQh5rtR-TAxsNw/s552/GeomProbl2.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="458" data-original-width="552" height="266" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgOmWlQWkawW0pwff0JIi3qaWIuh29q7M1KT43pVYuKno4Bts89oqQvLsfuDny0LBL_fFwyT9WKvsaEOfYzckaHZte7QkGHpBoVMz3LnXayQ99ERvYaL-g6twZX_AIcg-hLzCTy7d1O5J8DS2vMwGY1JUb0NFsmZ8519O0U3HYBojcTIQh5rtR-TAxsNw/s320/GeomProbl2.png" width="320" /></a></div><br />Vanha geometrian tehtävä saattaa antaa aihetta monenlaisiin pohdiskeluihin, kun avuksi otetaan laskentaohjelmat.<p></p><p>Annettuna on yllä olevan kuvion mukainen tilanne, jossa $\alpha = 60^\circ$ ja $\beta = 45^\circ$. Kysytään kulman $\gamma$ suuruutta. Tämä on tyypillinen tehtävä omalta kouluajaltani. Vaikeutena on liikkeelle lähtö, sopivan idean — ja apupiirroksen — löytäminen. Jos idea löytyy, tehtävä on melko helppo, ellei, ei synny juuri mitään.</p><p>Piirretään pisteestä $A$ normaali janalle $BD$ ja yhdistetään sen kantapiste pisteeseen $C$. Tällöin syntyy ns. muistikolmioita ja tasakylkisiä kolmiota. Kulmia päästään laskemaan vaiheittain eikä tarvita muuta tietoa kuin kolmion kulmien summa. Tuloksena on $\gamma = 75^\circ$. Kuva alla.</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEijrcdTVfyo3dIRGFIyKTBrKSig9ak6oMndR4-Uj9hD0DjisJYYKb6wZa9p5xDHdNqRpCY9BYNK4Vfehzdl23GJV79pZQtJL9yedeg_uDbbf-FFccNzaIOc0Po1fgaxCapbUN_wwIm9kxDbL0xVuIn2pz2ya33efpEEfL9h0dbPxSSN-sr6rX5o4G_rFA/s607/GeomProbl1.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="405" data-original-width="607" height="214" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEijrcdTVfyo3dIRGFIyKTBrKSig9ak6oMndR4-Uj9hD0DjisJYYKb6wZa9p5xDHdNqRpCY9BYNK4Vfehzdl23GJV79pZQtJL9yedeg_uDbbf-FFccNzaIOc0Po1fgaxCapbUN_wwIm9kxDbL0xVuIn2pz2ya33efpEEfL9h0dbPxSSN-sr6rX5o4G_rFA/s320/GeomProbl1.png" width="320" /></a></div><p>Mutta miksi tyytyä vain kulmien arvoihin $\alpha = 60^\circ$, $\beta = 45^\circ$? Voihan $\alpha$ olla mitä tahansa väliltä $]0^\circ,180^\circ[$ ja $\beta$ jotakin $\alpha$:aa pienempää.</p><p>Sijoitetaan tilanne koordinaatistoon, piste $A$ origoon ja pisteet $B$ ja $C$ x-akselille. Otetaan tuntemattomiksi kulman $\gamma$ ohella pisteen $D$ koordinaatit $(x,y)$. Jos $\vec{i}$ on tavanomainen yksikkövektori, skalaaritulon avulla saadaan ehdot \[ \cos(\alpha) = \frac{-\vec{i}\cdot\vec{BD}}{|\vec{BD}|}, \quad \cos(\beta) = \frac{-\vec{i}\cdot\vec{CD}}{|\vec{CD}|}, \] jotka määrittävät tilanteen. Nämä tuottavat yhtälöt \[ \cos(\alpha) = \frac{2-x}{\sqrt{(2-x)^2 + y^2}}, \quad \cos(\beta) = \frac{3-x}{\sqrt{(3-x)^2 + y^2}}, \] joista voidaan ratkaista $x$ ja $y$. Ratkaiseminen käsin voi olla työlästä, mutta (ainakin hyvä) symbolisen laskennan ohjelma suoriutuu. Kokeilin Mathematicalla ja GeoGebralla. Kumpikin antaa neljä ratkaisua, GeoGebra tavattoman paljon hankalammat lausekkeet. Tuloksiin on syytä suhtautua rauhallisesti. Ei laskentaohjelma tee sitä, mitä käyttäjä haluaisi, vaan mitä se on ohjelmoitu tekemään, ja tulokset voivat olla mutkikkaita eivätkä aina edes oikeita. Ohjelma pyrkii ottamaan huomioon kaikki tapaukset, mutta ei välttämättä onnistu.</p><p>Sijoittamalla Mathematicassa tulokset takaisin yhtälöihin nähdään, että vain kaksi ratkaisuista toteuttaa yhtälöt. Kaksi muuta on ilmeisesti syntynyt neliöjuurien käsittelyn myötä. Vastaavasta sijoittamisesta ei ainakaan käyttämäni GeoGebran versio suoriutunut, mutta numeerisen tarkastelun perusteella tässäkin on kaksi oikeaa ja kaksi väärää ratkaisua. Oikeissa ratkaisuissa x-koordinaatit ovat samat, y-koordinaatit vastalukuja, joten toinen tarkoittaa vain kuvion peilaamista x-akselin alapuolelle.</p><p>Mathematican tapauksessa tulos on \[ x = \tfrac{1}{2}(5 - \csc(\alpha - \beta)\sin(\alpha + \beta)), \quad y = \csc(\alpha - \beta)\sin(\alpha)\sin(\beta). \] Suomalaiselle nämä saattavat näyttää hieman oudoilta $\csc$-funktion takia. Tämä on kosekantti, yksinkertaisesti sinin käänteisarvo. Vastaavasti $\sec$, sekantti on kosinin käänteisarvo. Monissa maissa ja sen seurauksena laskentaohjelmissa usein käytetään näitä.</p><p>Kun pisteen $D$ koordinaattien lausekkeet ovat käytettävissä, voidaan laskea kaikenlaista. Kulma $\gamma$ saadaan kaksiargumenttisella $\arctan(x,y)$-funktiolla, joka antaa pisteen $(x,y)$ napakulman ja joka on useimmissa ohjelmissa käytettävissä.</p><p>Sijoittamalla ratkaisuun esimerkiksi $\beta = \alpha - 15^\circ$ voidaan etsiä ne pisteet $D$, jotka vastaavat kulmien $\alpha$ ja $\beta$ 15 asteen erotusta. Pisteitä voi piirtää ohjelmasilmukalla tai parametrikäyränä, jota useimmat ohjelmistot tukevat. Alkeisgeometriansa hallitsevaa henkilöä ei yllätä, että kyseessä on ympyränkaari. Laskentaohjelma saattaa parametriesityksen perusteella kyetä löytämään myös ympyrälle yhtälön: $x^2 + y^2 - 5x - (2 + \sqrt{3})y + 6 = 0$. Kuva alla, pisteen $D$ mahdollinen sijainti punaisella.</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhWaemE7g9I4GmK8TxEfKjXpXm52o8gKpYnmc9MzmO8MTXuTgaGteziq5IZk9Gglx6rChAEh00796msdOPrNYnI__HTqX4ibtP7gjvnGBhZOlZ6tw5RC2LEZqUqhf5IILDpaZ12Lb0gVYyLkZCWF0l2pipZI1kvjq75jQ_qugmGStwZsD0yxC6gxvjERA/s555/GeomProbl3.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="449" data-original-width="555" height="259" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhWaemE7g9I4GmK8TxEfKjXpXm52o8gKpYnmc9MzmO8MTXuTgaGteziq5IZk9Gglx6rChAEh00796msdOPrNYnI__HTqX4ibtP7gjvnGBhZOlZ6tw5RC2LEZqUqhf5IILDpaZ12Lb0gVYyLkZCWF0l2pipZI1kvjq75jQ_qugmGStwZsD0yxC6gxvjERA/s320/GeomProbl3.png" width="320" /></a></div><p>Pienillä muutoksilla voidaan tutkia erilaisia tehtävän variaatioita, mikä usein johtaa algoritmiseen ajatteluun ja kirjoittamaan muutaman rivin ohjelmakoodeja. Edellytyksenä on, että laskentaohjelma tukee ainakin pienimuotoista ohjelmointia. Mathematicassa sujuu hyvin, GeoGebrassa on hankalaa. Mikä esimerkiksi olisi kulman $\gamma$ maksimiarvo, kun kulmien $\alpha$ ja $\beta$ erotus on vakio? Miten maksimiarvo riippuu erotuksen suuruudesta? Sopivatko nämä geometriseen havaintoon?</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi3BkUE-Pe7OCK6zL4oCM473ICIjrpz0Eg9fCJvACB3MxqLaEFLFujg_XCuQPMv61FP7dGv1gcpwjzfZt75fRm83oXBB3LP1HSaKalkJZVuw3zg-rL8uVqNnM6c8dMMt9T6d0EUai19gFHUpUjO8rpQz7vEz0M4NUhlIzGzONog6lviXR8Fxktit9jA7g/s837/GeomProbl4.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="268" data-original-width="837" height="102" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi3BkUE-Pe7OCK6zL4oCM473ICIjrpz0Eg9fCJvACB3MxqLaEFLFujg_XCuQPMv61FP7dGv1gcpwjzfZt75fRm83oXBB3LP1HSaKalkJZVuw3zg-rL8uVqNnM6c8dMMt9T6d0EUai19gFHUpUjO8rpQz7vEz0M4NUhlIzGzONog6lviXR8Fxktit9jA7g/s320/GeomProbl4.png" width="320" /></a></div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgHcXV68wYcPK_kKmrVbZL4fm_0i1Z8NhDe6ZjWtIO3xYhyr5j3uQpfHFt7zaCDU95shyFQ-JHR-UXDMQvAttpWn3RFUeCK_IyrHMYEOwm96KqiJLH4vyWcKubVK8qkPipJPhToDwiI38e6kYeyOKHH8YwPl1cmQ4w_dzk7n3J-UUEAcJC-581o-koH4Q/s643/GeomProbl5.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="415" data-original-width="643" height="129" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgHcXV68wYcPK_kKmrVbZL4fm_0i1Z8NhDe6ZjWtIO3xYhyr5j3uQpfHFt7zaCDU95shyFQ-JHR-UXDMQvAttpWn3RFUeCK_IyrHMYEOwm96KqiJLH4vyWcKubVK8qkPipJPhToDwiI38e6kYeyOKHH8YwPl1cmQ4w_dzk7n3J-UUEAcJC-581o-koH4Q/w200-h129/GeomProbl5.png" width="200" /></a><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi7BjRoBgut9VkGZsZ2w-BfxNTZKgyU0lbmQj03a8pfcnwnHViKueCiYR3IBeSmwB4bdBkESvyqnLCQGOnrd_9JQHyYMs-rIlEWfDAWpKJ-6JS81qWwPV11_jP1aQvX5lVST96xxeJ6ygNTnF-L0mgznnp1F0jbakn4Fuupn1fvuZpcYNTNxLGjlBzGiQ/s535/GeomProbl6.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="396" data-original-width="535" height="148" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi7BjRoBgut9VkGZsZ2w-BfxNTZKgyU0lbmQj03a8pfcnwnHViKueCiYR3IBeSmwB4bdBkESvyqnLCQGOnrd_9JQHyYMs-rIlEWfDAWpKJ-6JS81qWwPV11_jP1aQvX5lVST96xxeJ6ygNTnF-L0mgznnp1F0jbakn4Fuupn1fvuZpcYNTNxLGjlBzGiQ/w200-h148/GeomProbl6.png" width="200" /></a></div><br /><p><span style="font-size: x-small;">Ylhäällä: Pisteen $D$ sijainti tapauksessa $\beta = \alpha/3$. Alhaalla vasemmalla: Kulma $\gamma$ kulman $\alpha$ funktiona, kun $\beta = \alpha - 15^\circ$. Alhaalla oikealla: Kulma $\gamma$ kulmien $\alpha$ ja $\beta$ funktiona sekä edellä mainittu käyrä, joka sijaitsee pinnalla</span><span style="font-size: small;">.</span></p><p>Erilaisen lähestymistavan tehtävään tarjoavat dynaamisen geometrian ohjelmat, joista GeoGebra lienee tunnetuin. Näissä tarkasteltava kuvio konstruoidaan ohjelman tarjoamien geometristen operaatioiden avulla piirtämällä, jolloin ohjelma laskee pisteiden koodinaatit ja suorien yhtälöt, usein myös perustyyppisten käyrien yhtälöt. Jälkikäteen kuviota voidaan muunnella pisteitä siirtämällä. Urakäyriä (locus) saadaan myös piirretyksi. Symbolisiin lausekkeisiin tai ns. tarkkoihin arvoihin (joita ehkä olisi parempi kutsua symbolisiksi arvoiksi, onhan kymmendesimaalinen likiarvokin jo kohtalaisen tarkka) ei yleensä päästä käsiksi ilman symbolista laskentaa.</p>SKKhttp://www.blogger.com/profile/11007502688158156164noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-715456041255349481.post-55054211184659062262022-08-15T22:39:00.000+03:002022-08-15T22:39:53.237+03:00Netti, Pythagoras ja CAS<p>(CAS = Computer Algebra System, symbolinen laskentaohjelma)</p><p>Olen aina silloin tällöin pannut selaimen kirjanmerkeiksi matemaattisesti kiinnostavia verkkosivuja. Usein nämä ovat enemmän tai vähemmän irrallisia yhteen asiaan keskittyviä tekstejä tai havainnollistuksia. Toki löytyy myös isompia kokonaisuuksia käsitteleviä dokumentteja ja sähköisessä muodossa olevia oppikirjojakin.</p><p>Lyhyet tekstit ja havainnollistukset yleensä edellyttävät jonkinlaisia perustietoja asiasta, mutta saattavat tämän jälkeen avata uusia näköaloja. Ovat hyödyllisiä ja hauskoja vaikkapa opettajalle tai oppikirjantekijälle.</p><p><i>Alexander Bogomolnyn</i> luoma sivusto <i>Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles</i>, tuttavallisemmin <i>Cut the Knot</i>, tarjoaa paljon muun ohella katsauksen Pythagoraan lauseeseen: 122 erilaista todistusta (<a href="https://www.cut-the-knot.org/pythagoras/" target="_blank">https://www.cut-the-knot.org/pythagoras/</a>). Joukossa tietenkin tavanomaiset oppikirjoissa esiintyvät, mutta myös paljon muuta. Ehkä kiintoisimmasta päästä on epäsuora todistus:</p><p>Lähtökohtana on tavanomainen suorakulmaisen kolmion jako kahteen yhdenmuotoiseen suorakulmaiseen kolmioon alla olevan kuvan mukaisesti.</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgdiUxZuMWIOfVc0TO0oKTnKsgSiZRIKQSn48_Oq84o0OJkIQ00vCpJny-umPhuc3QD2v0YVBUUWMOyx78c-jGp1dkfaDU9-975uTaqgg7yHcHb2bmtqIrfKUadqdfQ-dBAjLpvRu4v0PQiqRs3hd3BCGd0p42ggZMWhZPggOYKybgV9UxdLdwAbuOs3g/s1008/pyth.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="623" data-original-width="1008" height="198" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgdiUxZuMWIOfVc0TO0oKTnKsgSiZRIKQSn48_Oq84o0OJkIQ00vCpJny-umPhuc3QD2v0YVBUUWMOyx78c-jGp1dkfaDU9-975uTaqgg7yHcHb2bmtqIrfKUadqdfQ-dBAjLpvRu4v0PQiqRs3hd3BCGd0p42ggZMWhZPggOYKybgV9UxdLdwAbuOs3g/s320/pyth.png" width="320" /></a></div><br /><p>Pythagoraan väittämän vastaoletus on $a^2 + b^2 \neq c^2$, esimerkiksi siis $a^2 + b^2 < c^2$.</p><p>Ison kolmion ja vasemmanpuolisen osakolmion yhdenmuotoisuuden perusteella on $a = sx$, $b = sh$ ja $c = sa$, missä $s$ on verrannollisuuskerroin. Vastaoletuksesta seuraa tällöin $s^2 x^2 + s^2 h^2 < s^2 a^2$ ja siis $x^2 + h^2 < a^2$. Oikeanpuoliselle osakolmiolle pätee vastaavasti $h^2 + y^2 < b^2$. Yhdenmuotoisuuden perusteella on myös $y/h = h/x$ eli $h^2 = xy$. Nyt voidaan arvioida seuraavasti: \[ a^2 + b^2 > (x^2 + h^2) + (h^2 + y^2) = x^2 + y^2 + 2h^2 = x^2 + y^2 + 2xy = (x + y)^2 = c^2. \] Siis $a^2 + b^2 > c^2$, mikä on ristiriidassa lähtökohtana olevan vastaoletuksen kanssa.</p><p>Jos olisi $a^2 + b^2 > c^2$, päädyttäisiin samalla tavoin ristiriitaan $a^2 + b^2 < c^2$. Ainoaksi mahdollisuudeksi siis jää $a^2 + b^2 = c^2$.</p><p>Uudet näkökulmat herättävät usein pohtimaan asiaa enemmänkin. Edellä oleva epäsuora todistus viittaa minusta mahdollisuuteen todistaa Pythagoraan lause myös algebrallisesti yhdenmuotoisuuksiin perustuen. Kolmioiden yhdenmuotoisuuksista saadaan ehdot \[a = sx, b = sh, c = sa, a = th, b = ty, c = tb,\] missä $s$ ja $t$ ovat verrannollisuuskertoimia. Kun mukaan liitetään hypotenuusan paloitteluehto $x + y = c$, suorakulmainen kolmio on algebrallisesti karakterisoitu. Seuraako tästä sitten ehto $a^2 + b^2 = c^2$? Voidaanko yhtälöryhmästä eliminoida $x$, $y$, $h$, $s$ ja $t$, jolloin ehkä jäisi jäljelle jotakin symboleja $a$, $b$ ja $c$ koskevaa?</p><p>Eliminointi onnistuu käsinlaskulla helposti (voisi sopia ylioppilastehtäväksi), mutta usein CAS-ohjelmistoista löytyy myös valmis eliminointityökalu. Kuvassa on Mathematican suoritus:</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgOz2eMeHncKBk6jYXS3JpHECyjt9p4Vz7N9xKFbxSWU-Xnac6uWZ78BOJd3BoqAccA2VFggp9sRgP45CeK4z0S5RAGmtgNYnQMwxkftxfbT1CJBTwAReYxHPb_jKgUH8dBbLDShRYFazjf3iT_6syGfxF_G0YPELWX6OysXJsCkOXLazPX5yBLUZiPjg/s1033/pythMma.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="249" data-original-width="1033" height="154" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgOz2eMeHncKBk6jYXS3JpHECyjt9p4Vz7N9xKFbxSWU-Xnac6uWZ78BOJd3BoqAccA2VFggp9sRgP45CeK4z0S5RAGmtgNYnQMwxkftxfbT1CJBTwAReYxHPb_jKgUH8dBbLDShRYFazjf3iT_6syGfxF_G0YPELWX6OysXJsCkOXLazPX5yBLUZiPjg/w640-h154/pythMma.png" width="640" /></a></div><br /><p></p><p></p><p>Ehdoista siis seuraa Pythagoraan väittämä.</p><p></p><p>Pythagoraan lause pätee myös käänteisesti: Jos kolmion sivuille pätee $a^2 + b^2 = c^2$, niin kolmio on suorakulmainen. Voitaisiinko tämäkin todistaa jotenkin algebrallisesti?</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi2Fg4CCN1jPVJXs9BK2o3b3lGAp7dFgrlp9xPxcNSeUwdR6rkFHiA9vF8tbhxhfCCCTJan_QCCPff22BxYU6ePT6T--1qmLQWBk6JHDG8RfnDLcn9o7bWEJ6jgU9Qc3Sn_5LRYEH0k2GH5Jf__qXYgk0q4uR6Lx58oj2YRGXBbzgmaQCHx59Yzj2sBMQ/s1174/pyth2.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="897" data-original-width="1174" height="244" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi2Fg4CCN1jPVJXs9BK2o3b3lGAp7dFgrlp9xPxcNSeUwdR6rkFHiA9vF8tbhxhfCCCTJan_QCCPff22BxYU6ePT6T--1qmLQWBk6JHDG8RfnDLcn9o7bWEJ6jgU9Qc3Sn_5LRYEH0k2GH5Jf__qXYgk0q4uR6Lx58oj2YRGXBbzgmaQCHx59Yzj2sBMQ/s320/pyth2.png" width="320" /></a></div><br /><p></p><p>Olkoon oheisen kuvion mukaisesti $D$ jokin piste sivulla $AB$, jonka pituus on $c$. Onko mahdollista valita $D$ siten, että kolmiot $BDC$, $CDA$ ja $BCA$ ovat yhdenmuotoiset, jos ehto $a^2 + b^2 = c^2$ on voimassa? Toisin sanoen: Onko yhtälöryhmällä \[a = sx, b = sh, c = sa, a = th, b = ty, c = tb, x + y = c\] ehdon voimassa ollessa ratkaisua, kun tuntemattomia ovat verrannollisuuskertoimet $s$ ja $t$ sekä $x$, $y$ ja $h$? Käsinlaskukin sujuu, mutta CAS-ohjelmistosta saattaa löytyä valmis työkalu:</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhucN-6irJIzy6OgpuOHHenEUMcNCwa1xIik5_JxLDNdEqt--vuLz3LglSogiYF-Te9v4h6XD4llLjHLqfw-Y4sgnmkpIGDzbIYoCTw9ZjNCfAKCq-fk2HljJQjiVNkXVQVeHxJrngtmxmmXyZGrkBJGW6DB8UKP2HKTwbwF7Mdgx23d15A8D96RWXnQw/s1027/pythMma4.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="440" data-original-width="1027" height="274" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhucN-6irJIzy6OgpuOHHenEUMcNCwa1xIik5_JxLDNdEqt--vuLz3LglSogiYF-Te9v4h6XD4llLjHLqfw-Y4sgnmkpIGDzbIYoCTw9ZjNCfAKCq-fk2HljJQjiVNkXVQVeHxJrngtmxmmXyZGrkBJGW6DB8UKP2HKTwbwF7Mdgx23d15A8D96RWXnQw/w640-h274/pythMma4.png" width="640" /></a></div><br /><p></p><p>Ratkaisu todellakin löytyy. (Kuvassa Mathematica ei anna heti sievintä muotoa, vaan tarvitaan erillinen sievennyskomento, jossa uudelleen ilmoitetaan oletuksena oleva ehto.) Jos piste $D$ valitaan tämän mukaisesti, ovat kolmiot $BDC$, $CDA$ ja $BCA$ yhdenmuotoiset. Vastinkulmina $BDC$, $CDA$ ja $BCA$ ovat yhtä suuret ja niiden on silloin oltava suoria kulmia. Kolmio $ABC$ on siis suorakulmainen.</p>Lukija saattaa kysyä, eikö edellä mainitulla yhtälöryhmällä sitten ole ratkaisua, jos Pythagoraan ehto ei ole voimassa. Geometrinen intuitio ehkä sanoisi, että ei ole. Näin onkin (nollaratkaisua lukuunottamatta) ja myös polynomialgebralla asia voidaan osoittaa. CAS-ohjelmista saattaa löytyä sopiva työkalukin, Mathematicalla komento <span style="font-family: courier;">Reduce</span>.<p></p>SKKhttp://www.blogger.com/profile/11007502688158156164noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-715456041255349481.post-44591159611305011152022-05-31T14:11:00.000+03:002022-05-31T14:11:01.676+03:00Vääriä todistuksia<div>Päättelyvirheiden etsiminen matemaattisista todistuksista on usein hyödyllistä matematiikan opiskelijalle. Esitän kolme todistusta ilmiselvästi virheellisille väitteille. Lukijan tehtäväksi jääköön etsiä virhe. Monille tässä ei varmaankaan ole mitään ongelmaa, mutta toivon, että jutun juonta ei paljasteta kommenteissa ainakaan ihan heti.</div><div><br /></div><div><b>Lause 1</b>. <i>Kaikki ympyrät ovat samasäteisiä.</i></div><div><i><br /></i></div><div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgAfk4S5zLbz7XwbNLh7HRU0L7E4Zc5HhkQEJiUTKOV8EgtaRNRA7wZC7GsWZZOAfUprncKeoBZl1VlSCNKJh7GqOOF-NblmWAO0htLGoFeWxyO8QqBK5AqPDZNkPyokWizYgmxRBx9FEFOAuLswe09nmUtl-AwRLDXuos7HlYsyyBXEh88TN15F58zuw/s1537/lause1.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="1370" data-original-width="1537" height="285" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgAfk4S5zLbz7XwbNLh7HRU0L7E4Zc5HhkQEJiUTKOV8EgtaRNRA7wZC7GsWZZOAfUprncKeoBZl1VlSCNKJh7GqOOF-NblmWAO0htLGoFeWxyO8QqBK5AqPDZNkPyokWizYgmxRBx9FEFOAuLswe09nmUtl-AwRLDXuos7HlYsyyBXEh88TN15F58zuw/s320/lause1.png" width="320" /></a></div><br /><i><br /></i></div><div><br /></div><div><b>Todistus.</b> Oheisessa kuviossa on kaksi ympyrää, joiden keskipisteet ovat $A$ ja $B$. Jana $CD$ on ympyröiden yhteinen tangentti. Janoille $AB$ ja $CD$ asetetaan keskinormaalit. Nämä leikkaavat toisensa pisteessä $E$. Keskinormaaliominaisuuden takia janat $AE$ ja $BE$ ovat yhtä pitkät; sama koskee janoja $CE$ ja $DE$. Keskinormaaliominaisuudesta seuraa edelleen, että kulmat $ECD$ ja $EDC$ ovat yhtä suuret, jolloin myös kulmat $ACE$ ja $BDE$ ovat näiden komplementtikulmina yhtä suuret. Tällöin kolmiot $AEC$ ja $BED$ ovat yhtenevät. Vastinsivuina ympyröiden säteet $AC$ ja $BD$ ovat yhtä pitkät. QED</div><div><br /></div><div><b>Lause 2.</b> <i>Kaikki positiiviset kokonaisluvut ovat yhtä suuria.</i></div><div><br /></div><div><b>Todistus.</b> Lause on suora seuraus apulauseesta: Jos $a$ ja $b$ ovat positiivisia kokonaislukuja, joille pätee $a \leq n$ ja $b \leq n$, niin $a = b$. Tämä voidaan todistaa induktiolla $n$:n suhteen.</div><div><br /></div><div>Jos $n = 1$, ainoa mahdollisuus on, että $a = b = 1$, ja luvut siis ovat yhtä suuret. Induktion alku on siis kunnossa.</div><div><br /></div><div>Induktioaskeleessa oletetaan, että lause pätee arvolla $n$, ja osoitetaan, että tällöin se pätee myös arvolla $n+1$. Olkoon siis $a \leq n+1$ ja $b \leq n+1$. Tällöin on $a-1 \leq n$ ja $b-1 \leq n$, jolloin induktio-oletuksen mukaan $a-1 = b-1$. Tästä seuraa $a = b$ ja induktioaskel on osoitettu. QED</div><div><br /></div><div><b>Lause 3.</b> <i>Funktiolla $\sin(x)/x$ ei ole raja-arvoa, kun $x \to \infty$.</i></div><div><br /></div><div><b>Todistus.</b> Lausekkeessa \[\frac{x - \sin(x)}{x}\] osoittaja $x - \sin(x)$ lähestyy ääretöntä, kun $x \to \infty$. Sama koskee nimittäjää $x$. Tällöin lauseke saa rajaprosessissa $x \to \infty$ muodon $\infty/\infty$ ja voidaan soveltaa l'Hospitalin lausetta. Derivoimalla osoittaja ja nimittäjä saadaan \[\frac{1 - \cos(x)}{1} = 1 - \cos(x),\] joka heilahtelee välillä $[0,2]$ eikä sillä siis ole raja-arvoa. Tällöin ei myöskään lausekkeella \[\frac{x - \sin(x)}{x} = 1 - \frac{\sin(x)}{x}\] ole raja-arvoa, mistä seuraa väitös. QED</div><div><br /></div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi5agzTKfnqlHpSohDYbgdkK1oFWPB_dR2vj3KVbHrhvxoc0cGFSyVcSkGJkweD7wshw2jA4uPKd4KIe1z4QfZKzJ7iyLZ9PQahRNF8yLh3VRG9GQU5PgnOWFGfS73DUXpgpy9s7q4l8K4LWuBe_rm908OtHGBIMBC-mFTKZvt2wtxpOVp2_RdK2sTYkg/s600/lause3.png" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="355" data-original-width="600" height="189" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi5agzTKfnqlHpSohDYbgdkK1oFWPB_dR2vj3KVbHrhvxoc0cGFSyVcSkGJkweD7wshw2jA4uPKd4KIe1z4QfZKzJ7iyLZ9PQahRNF8yLh3VRG9GQU5PgnOWFGfS73DUXpgpy9s7q4l8K4LWuBe_rm908OtHGBIMBC-mFTKZvt2wtxpOVp2_RdK2sTYkg/s320/lause3.png" width="320" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Funktion $\sin(x)/x$ kuvaaja</td></tr></tbody></table><br /><div><br /></div><div><br /></div>SKKhttp://www.blogger.com/profile/11007502688158156164noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-715456041255349481.post-16167318167355735402022-05-07T19:38:00.000+03:002022-05-07T19:38:32.023+03:00Projektiivinen taso, homogeeniset koordinaatit ja äärettömän kaukaiset pisteet<p></p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhsk1h_28nBVPThv7ozn5UJnxIPVUFgvKaszg_DhB5KzltQsaX7r4LBAv8gvFnRSGzSugD1evUO228XBiAyw8Zx2YkycuiBq1Zj81Bg7pl7bMJuehUkm3N-hldRRnZSfat6lpbBmbHcJ1w6MTcPvn9sDIXxSCpqxKPMVt1AnPAEat8Vab_V3FYhkMPoCw/s3602/tom-barrett-wqQ4NNG_J28-unsplash.jpg" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="3602" data-original-width="2882" height="200" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhsk1h_28nBVPThv7ozn5UJnxIPVUFgvKaszg_DhB5KzltQsaX7r4LBAv8gvFnRSGzSugD1evUO228XBiAyw8Zx2YkycuiBq1Zj81Bg7pl7bMJuehUkm3N-hldRRnZSfat6lpbBmbHcJ1w6MTcPvn9sDIXxSCpqxKPMVt1AnPAEat8Vab_V3FYhkMPoCw/w160-h200/tom-barrett-wqQ4NNG_J28-unsplash.jpg" width="160" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Rautatien äärettömän kaukainen piste (kuva <a href="https://unsplash.com/@wistomsin?utm_source=unsplash&utm_medium=referral&utm_content=creditCopyText" target="_blank">Tom Barrett</a>, <a href="https://unsplash.com/s/photos/railway-track?utm_source=unsplash&utm_medium=referral&utm_content=creditCopyText" target="_blank">Unsplash</a>)</td></tr></tbody></table><br />Geometrioita on monenlaisia. Perinteinen koulugeometria, antiikin Kreikasta lähtenyt euklidinen geometria ei ole lainkaan ainoa mahdollisuus. Epäeuklidista geometriaa olen aiemmin <a href="http://simokivela.blogspot.com/2019/10/epaeuklidiset-geogebra-ja-napoleon.html" target="_blank">käsitellyt</a>, tällä kertaa esillä on jotakin projektiivisesta geometriasta jatkona edellisen blogikirjoituksen Pascalin ja Brianchonin lauseisiin. Näissä saattoi esiintyä yhdensuuntaisia suoria, joille kuitenkin tarvittiin leikkauspiste. Kutsuin tällaisia pisteitä äärettömän kaukaisiksi pisteiksi ja niiden turvin lauseet saatiin toimimaan rajoituksitta. Mutta saisiko tällaiseen geometriaan — projektiiviseen geometriaan — jotenkin konkreettisuutta?<p></p><p>Lähtökohtana olkoon tavallinen euklidinen taso, jossa pisteen paikka voidaan ilmaista kahdella koordinaatilla: $P = (x,y)$. Luodaan pisteelle uudet koordinaatit, ns. <i>homogeeniset koordinaatit</i> lisäämällä alkuun nollas koordinaatti. Tällöin piste esitetään muodossa $P\,\widehat{=}\, (1,x,y)$ ja sovitaan, että jos koordinaatit kerrotaan nollasta eroavalla luvulla, kyseessä on edelleen sama piste: $P\,\widehat{=}\,(p,px,py)$, $p \neq 0$. Jos kääntäen pisteen homogeeniset koordinaatit ovat $(x_0,x_1,x_2)$, nämä voidaan kertoa luvulla $1/x_0$ ja saada muotoon $(1,x_1/x_0,x_2/x_0)$, mistä näkyy, että tavalliset koordinaatit ovat $(x_1/x_0,x_2/x_0)$. Edellytyksenä luonnollisesti on, että $x_0 \neq 0$.</p><p>Vaatimus, että homogeenisten koordinaattien nollas koordinaatti ei saa olla $0$, on jonkinlainen kauneusvirhe, joka rikkoo symmetrian. Siitä luopuminen tuo mahdollisuuden liittää tasoon uusia pisteitä: Sovitaan, että luvut $(x_0,x_1,x_2)$ esittävät aina pistettä, kunhan kaikki eivät ole samanaikaisesti $= 0$,. Nollasta eroavalla vakiolla kerrottuna ne esittävät edelleen samaa pistettä: $(x_0,x_1,x_2)\,\widehat{=}\,(px_0,px_1,px_2)$. Jos $x_0 \neq 0$, kyseessä on tavallinen piste, jos $x_0 = 0$, kyseessä on tasoon liitetty uusi piste, jota kutsutaan <i>ideaalipisteeksi</i> tai <i>äärettömän kaukaiseksi pisteeksi</i>. Syntyvää geometriaa kutsutaan <i>projektiiviseksi geometriaksi</i>. Kaikki sen pisteet ovat periaatteessa samassa asemassa. (Lineaarialgebrallisesti ajatteleva henkilö voisi kutsua niitä kolmiulotteisen avaruuden $\mathbb{R}^3$ yksiulotteisiksi aliavaruuksiksi.) Jako tavallisiin ja ideaalipisteisiin koskee vain geometrian tulkintaa jossakin yhteydessä.</p><p>Nimityksen 'äärettömän kaukainen piste' motivoimiseksi on syytä tarkastella tason suoria. Tunnetusti suoran yhtälö on muotoa $a_1x + a_2y + a_0 = 0$ ja piste $P = (x,y)$ on suoralla, jos yhtälö toteutuu. Jos piste ilmaistaan homogeenisilla koordinaateilla muodossa $(x_0,x_1,x_2)$, ehto saa muodon $a_1x_1/x_0 + a_2x_2/x_0 + a_0 = 0$ tai yhtä hyvin $a_0x_0 + a_1x_1 + a_2x_2 = 0$, koska yhtälön voi kertoa nollasta eroavalla vakiolla.</p><p>Suora määräytyy, kun tunnetaan sen yhtälön kertoimet $a_0$, $a_1$ ja $a_2$. Itse asiassa kertoimet $qa_0$, $qa_1$ ja $qa_2$ määräävät saman suoran, kun $q \neq 0$. Näitä voidaan kutsua <i>suoran homogeenisiksi koordinaateiksi</i>. Pisteiden ja suorien välillä vallitsee symmetrinen tilanne: kummatkin määräytyvät kolmen luvun perusteella ja nämä luvut voidaan aina kertoa nollasta eroavalla vakiolla. Piste $P\,\widehat{=}\,(x_0,x_1,x_2)$ on suoralla $s\,\widehat{=}\,(a_0,a_1,a_2)$, jos ja vain jos $a_0x_0 + a_1x_1 + a_2x_2 = 0$. Tätä kutsutaan <i>insidenssirelaatioksi</i>.</p><p>Jos kaksi suoraa ovat tavanomaisessa mielessä yhdensuuntaisia, niiden yhtälöt eroavat vain vakiotermien osalta. Niiden homogeeniset koordinaatit ovat tällöin muotoa $(c_1,a,b)$ ja $(c_2,a,b)$, missä $c_1 \neq c_2$. Jos suorilla on leikkauspiste, ts. yhteinen piste, jonka homogeeniset koordinaatit ovat $(x_0,x_1,x_2)$, tulee insidenssirelaatioiden \begin{align*} &c_1x_0 + ax_1 + bx_2 = 0, \\ &c_2x_0 + ax_1 + bx_2 = 0 \end{align*} toteutua. Vähentämällä yhtälöt saadaan $(c_1 - c_2)x_0 = 0$, mistä seuraa $x_0 = 0$. Yhteinen piste on siis ideaalipiste ja sen kutsuminen äärettömän kaukaiseksi pisteeksi on perusteltua, koska kahden suoran kääntyessä yhdensuuntaisiksi niiden leikkauspiste pakenee äärettömän kauas.</p><p>Koska äärettömän kaukaiset pisteet ovat muotoa $(0,x_1,x_2)$ ne sijaitsevat suoralla $(1,0,0)$: $1 \cdot 0 + 0 \cdot x_1 + 0 \cdot x_2 = 0$. Tämä on ainoa projektiiviseen tasoon laajennuksessa tullut uusi suora. Sitä kutsutaan <i>ideaalisuoraksi</i> tai <i>äärettömän kaukaiseksi suoraksi</i>.</p><p>Voidaanko äärettömän kaukaisia pisteitä sitten jotenkin 'nähdä' vai ovatko ne vain teoreettisia apukäsitteitä? Projektiivisen tason kuviot voidaan ns. <i>projektiivisella kuvauksella</i> muuntaa uudenlaisiksi kuvioiksi. Tällöin pisteet ja suorat ja niiden väliset insidenssirelaatiot säilyvät, mutta esimerkiksi etäisyydet tai kulmien suuruudet eivät säily. Esimerkkinä on oheinen F-kirjaimen kuvautuminen. Perspektiivikuvan muodostaminen on myös esimerkki projektiivisesta kuvauksesta. Alla olevassa kuvassa on xy-tason suorakulmaisen ruudukon perspektiivikuva. Tässä ruudukkoa rajaa yläpuolelta vaakasuora viiva, jonka pisteisiin tason yhdensuuntaiset suorat suuntautuvat. Tämä viiva (perspektiivikuvan <i>horisontti</i>) on ideaalisuoran kuva.<br /></p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjAy_UMXDj8UFdezaHuh5i8LYxmazf23GR64wnGpKFHGNxVH1-8lhbBii7IgBnBffJCWzbsyrbb3GnZxJOmnluibxHROD4SVKLr6S3u_o2y2x7lYnuhEIMduRkZSkpXTPnKMWvRrMipabS4z_sqwENH0lRR-ttUd5ohwGb7u2tar1zBIOpgafhlbpb7DQ/s2515/F.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="1615" data-original-width="2515" height="256" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjAy_UMXDj8UFdezaHuh5i8LYxmazf23GR64wnGpKFHGNxVH1-8lhbBii7IgBnBffJCWzbsyrbb3GnZxJOmnluibxHROD4SVKLr6S3u_o2y2x7lYnuhEIMduRkZSkpXTPnKMWvRrMipabS4z_sqwENH0lRR-ttUd5ohwGb7u2tar1zBIOpgafhlbpb7DQ/w400-h256/F.png" width="400" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Kirjaimen F projektiivinen kuva. Harmaat viivat ovat konstruktion apuviivoja.</td></tr></tbody></table><br /><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgQpjPt4o00Ml22PcGFSiEgKBtCDlVyT7mfF6OltStUZJIkcD3bxA6AUWarZd09Q8FfnBJQ9lOSrhFiYtQ5_f_rTFsR7F0krnQjekJmbkL9Z0BI0JPfmf3j5GUrVz7SEYAnNBf499VNJL1NDcxTx9yIXfk16cX8X4K99S1mRzf6nHEtjrZMOMSyTIYyTA/s689/perspRuudukko.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="458" data-original-width="689" height="266" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgQpjPt4o00Ml22PcGFSiEgKBtCDlVyT7mfF6OltStUZJIkcD3bxA6AUWarZd09Q8FfnBJQ9lOSrhFiYtQ5_f_rTFsR7F0krnQjekJmbkL9Z0BI0JPfmf3j5GUrVz7SEYAnNBf499VNJL1NDcxTx9yIXfk16cX8X4K99S1mRzf6nHEtjrZMOMSyTIYyTA/w400-h266/perspRuudukko.png" width="400" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Suorakulmaisen ruudukon perspektiivikuva</td></tr></tbody></table><p></p><p>Artikkelin alussa olevan suoran rautatien perspektiivikuvassa näkyy myös yhdensuuntaisten kiskojen äärettömän kaukaisen pisteen kuva, jossa kiskot näyttävät yhtyvän (perspektiivikuvan <i>pakopiste</i>).</p><div><br /></div>SKKhttp://www.blogger.com/profile/11007502688158156164noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-715456041255349481.post-80283849781919648342022-04-04T20:32:00.000+03:002022-04-04T20:32:11.989+03:00Pascal ja Brianchon<p><span style="font-family: inherit;"><b>Blaise Pascal</b></span> (1623-1662) oli matemaatikko ja uskonnollinen ajattelija, jonka nimen matemaattisten aineiden opiskelija kohtaa moneen kertaan: binomikertoimien muodostama Pascalin kolmio (joka esiintyy monissa yhteyksissä), projektiivisen geometrian Pascalin lause, paineen yksikkö pascal, ohjelmointikieli Pascal. Kaksi viimeksi mainittua ovat varsin modernia nimen käyttöä, mutta sillä on taustansa Pascalin töissä: hän pohti painetta ja tyhjiötä, rakensi mekaanisen laskukoneen.</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><br /><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg8lvN0B2X1dGtxiux_01ZPVbPQ36wuNzyKWBvFaEEr5Tj7YkS5l8J9l9WGO4hVivWhTqUp8Htniz4LpDrKJ1Gxd0fB3pI0_2tAWKV1olSBCoOhix4t9iTzGuOf1cZ46eePEYcRCmHSp6zpREhxcIJF4Y2hxudGH7PUzn8PGea85x5rNiys6liFbTgC8g/s2572/pascal1.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="1740" data-original-width="2572" height="270" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg8lvN0B2X1dGtxiux_01ZPVbPQ36wuNzyKWBvFaEEr5Tj7YkS5l8J9l9WGO4hVivWhTqUp8Htniz4LpDrKJ1Gxd0fB3pI0_2tAWKV1olSBCoOhix4t9iTzGuOf1cZ46eePEYcRCmHSp6zpREhxcIJF4Y2hxudGH7PUzn8PGea85x5rNiys6liFbTgC8g/w400-h270/pascal1.png" width="400" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Pascalin lause</td></tr></tbody></table><br /><p></p><p><i>Pascalin lauseessa</i> sijoitetaan kartioleikkaukselle — ellipsille, paraabelille tai hyperbelille — jollakin tavoin kuusi (eri) pistettä. Nämä olkoot $A_1$, $B_1$, $C_1$, $A_2$, $B_2$ ja $C_2$. Järjestyksellä tai sijainnilla ei ole merkitystä. Pisteiden kautta asetetaan suorat ja muodostetaan näiden leikkauspisteet: suorien $A_1B_2$ ja $A_2B_1$ leikkauspiste on $R$, suorien $B_1C_2$ ja $B_2C_1$ leikkauspiste $S$, suorien $C_1A_2$ ja $C_2A_1$ leikkauspiste $T$. Tällöin pisteet $R$, $S$ ja $T$ ovat samalla suoralla.</p><p>Tavallisista euklidisen geometrian lauseista tämä poikkeaa sikäli, että pisteiden etäisyydellä ei lauseessa ole mitään roolia. Kyse on ainoastaan suorien asettamisesta ja leikkauspisteiden määrittämisestä. Todistuskin perustuu — tietenkin — tämäntyyppiseen käsitteistöön. En paneudu siihen.</p><br /><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjoPiOCngmmCnW2vdPHhv9rDewIzbLVNYJEhnYK3BlmHJYT0YFu9sj7N4gQQ6cwuqB_6BM4psCau4cP8YyRunPHR9zD-EObPEIfWWparUAZhTYCIRtu-Lejh8Z1rfrN7NhSI5jbrN7sU__9VfOxYruEcoLG1Id7xRNyuWb4hgMfQUwFUAv9dnngwSP3Qg/s1224/pappos.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="1189" data-original-width="1224" height="194" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjoPiOCngmmCnW2vdPHhv9rDewIzbLVNYJEhnYK3BlmHJYT0YFu9sj7N4gQQ6cwuqB_6BM4psCau4cP8YyRunPHR9zD-EObPEIfWWparUAZhTYCIRtu-Lejh8Z1rfrN7NhSI5jbrN7sU__9VfOxYruEcoLG1Id7xRNyuWb4hgMfQUwFUAv9dnngwSP3Qg/w200-h194/pappos.png" width="200" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Pappoksen lause</td></tr></tbody></table><br /><p></p><p>Kaksi toisensa leikkaavaa tai kaksi yhdensuuntaista suoraa ovat erikoistapaus kartioleikkauksesta ja lause pätee myös tällöin. Tulosta kutsutaan <i>Pappoksen lauseeksi</i> 300-luvun alussa eläneen <b>Pappos Aleksandrialaisen</b> mukaan. Tulos on siten merkittävästi vanhempi kuin Pascalin lause.</p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiol786DklxAF1K14Ex2FA5XwEVe4sXJhHy1ANitf9EALuJwwPVgDpUh6yOpnALmo0-zZW2XKbCxTKz09OVevOT0R6Vh4St-EcHlZaYbKThwwCEZnicw-MinizpGG_NEXNsAVEP1KhJlBhZ23nKJ1-11M5IWMyzVInFu20akl5-S-QpSW6YtAPD05ELlQ/s3423/pascal2.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="2317" data-original-width="3423" height="271" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiol786DklxAF1K14Ex2FA5XwEVe4sXJhHy1ANitf9EALuJwwPVgDpUh6yOpnALmo0-zZW2XKbCxTKz09OVevOT0R6Vh4St-EcHlZaYbKThwwCEZnicw-MinizpGG_NEXNsAVEP1KhJlBhZ23nKJ1-11M5IWMyzVInFu20akl5-S-QpSW6YtAPD05ELlQ/w400-h271/pascal2.png" width="400" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Pascalin lause, toinen versio</td></tr></tbody></table><br /><p></p><p>Koska Pascalin lauseen pisteiden sijainti kartioleikkauksella voi olla mikä tahansa, ne voidaan siirtää siten, että $R$, $S$ ja $T$ ovat kuperan kuusikulmion vastakkaisten sivuparien leikkauspisteitä. Lause saa tällöin uuden muodon: Kartioleikkauksen sisään piirretyn kuperan kuusikulmion vastakkaisten sivuparien leikkauspisteet ovat samalla suoralla.</p><p>Lukija ehkä huomaa puutteen Pascalin lauseen muotoilussa. Jos kerran pisteet voivat sijaita kartioleikkauksella miten tahansa, jotkut suorapareista saattavat olla yhdensuuntaisia, jolloin leikkauspistettä ei ole. Pitäisikö nämä tapaukset rajata pois?</p><p>Tilanteesta selvitään toisinkin. Liitetään euklidiseen (tavalliseen) tasoon uusia pisteitä. Sovitaan, että kahdella yhdensuuntaisella suoralla onkin yhteinen äärettömän kaukana sijaitseva piste. Tähän pisteeseen päästään kulkemalla suorien suunnassa — jompaankumpaan suuntaan — äärettömän kauaksi. Yhdensuuntaisen suoraparven suorilla on yhteinen äärettömän kaukainen piste, mutta kahdella erisuuntaisella suoraparvella on kummallakin oma äärettömän kaukainen pisteensä. Tasoon liitetään myös yksi uusi suora, äärettömän kaukainen suora, joka muodostuu kaikista äärettömän kaukaisista pisteistä.</p><p>Tällä tavoin laajennettua tasoa kutsutaan <i>projektiiviseksi tasoksi</i>. Täsmällisestä matematiikasta viehättynyt lukija varmaan sanoo, ettei edellä oleva kelpaa matemaattiseksi määritelmäksi, ja siinä hän on aivan oikeassa. Projektiivinen taso voidaan toki määritellä täsmällisestikin, mutta edellä oleva antaa ideasta oikean ja riittävän mielikuvan, ainakin aluksi.</p><p>Projektiivisessa tasossa kaksi suoraa määrää aina pisteen, niiden leikkauspisteen, joka on joko tavallinen piste tai äärettömän kaukainen piste. Kaksi pistettä määrää aina suoran. Jos pisteistä toinen on äärettömän kaukainen piste, kyseessä on jokin tähän pisteeseen liittyvän yhdensuuntaisen suoraparven suora. Jos molemmat ovat äärettömän kaukaisia pisteitä, kyseessä on äärettömän kaukainen suora.</p><p>Projektiivisessa tasossa pisteet ja suorat ovat siten symmetrisessä asemassa. Tätä kutsutaan <i>dualiteetiksi</i>. Pisteitä ja suoria koskeva projektiivisen geometrian lause voidaan <i>dualisoida</i>: siinä voidaan vaihtaa pisteiden ja suorien roolit. Uuden lauseen todistus saadaan dualisoimalla alkuperäisen lauseen todistus: vaihdetaan siinä pisteiden ja suorien roolit.</p><p>Pascalin lause on projektiivisen geometrian lause, ts. siinä on kyse vain pisteistä ja suorista, kahden pisteen määräämistä suorista ja kahden suoran määräämistä pisteistä (leikkauspisteistä). Näin ollen se voidaan dualisoida, jolloin lähtökohtana on kuuden suoran asettaminen kartioleikkaukselle. Tämä vaatii tarkennuksen: kartioleikkauksella oleva suora tarkoittaa, että suora on kartioleikkauksen tangentti.</p><p>Dualisoitua lausetta kutsutaan <i>Brianchonin lauseeksi</i> ranskalaisen matemaatikon ja tykistökoulun professorin <span style="font-family: inherit;"><b>Charles-Julien Brianchonin</b></span> (1783-1864) mukaan. Dualisoimalla yllä oleva Pascalin lauseen formulointi se saa seuraavan muodon:</p><p>Kartioleikkaukselle sijoitetaan jollakin tavoin kuusi (eri) tangenttia. Nämä olkoot suorat $a_1$, $b_1$, $c_1$, $a_2$, $b_2$ ja $c_2$. Järjestyksellä tai sijainnilla ei ole merkitystä. Määritetään leikkauspisteet ja asetetaan suorat: leikkauspisteiden $a_1 \cap b_2$ ja $a_2 \cap b_1$ määräämä suora on $r$, leikkauspisteiden $b_1 \cap c_2$ ja $b_2 \cap c_1$ määräämä suora $s$, leikkauspisteiden $c_1 \cap a_2$ ja $c_2 \cap a_1$ määräämä suora $t$. Tällöin suorat $r$, $s$ ja $t$ leikkaavat samassa pisteessä. (Tässä siis joukko-opillinen leikkauksen merkki viittaa suorien leikkauspisteeseen.)</p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhTR5yWVMEP-G7zKU6cKW0MekWKMOWj_UTs3vo9BYvqhEWZMC5id3caVzfv_WWGErvH8W6Kk78YfHo4Bx49t59rO1wewYeYnV0uXaOoNCxS33ZRQAtv2dZskB0Mmw46JQ2myvOZN0QEK9nsiSZYDw3ZT-UEeDlQ7jV3rHj3OYtGR7YhzcZdXx0UmqB_9g/s4239/brianchon.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="2869" data-original-width="4239" height="271" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhTR5yWVMEP-G7zKU6cKW0MekWKMOWj_UTs3vo9BYvqhEWZMC5id3caVzfv_WWGErvH8W6Kk78YfHo4Bx49t59rO1wewYeYnV0uXaOoNCxS33ZRQAtv2dZskB0Mmw46JQ2myvOZN0QEK9nsiSZYDw3ZT-UEeDlQ7jV3rHj3OYtGR7YhzcZdXx0UmqB_9g/w400-h271/brianchon.png" width="400" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Brianchonin lause</td></tr></tbody></table><br /><p></p><div><br /></div>SKKhttp://www.blogger.com/profile/11007502688158156164noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-715456041255349481.post-25104675555977006852022-03-15T18:47:00.000+02:002022-03-15T18:47:50.323+02:00Elliptinen sohvapöytä<p>Tarinoitiin ystävien kanssa sohvapöydän ympärillä. Heräsi kysymys, onko soikea sohvapöytä ellipsin muotoinen vai ylipäätään vain jokin soikio. Miten asian voisi helpoimmin selvittää? Kamera on nykyään jokaisella mukana, joten otettiin pöytälevystä pari kuvaa, molemmat vinossa asennossa, ja päätettiin analysoida ne myöhemmin.</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEi2Pn2pxHngrVcWs2jjW0cpH2n44d8u0egcMgQHjKlcL3lKr8E1shpvygHFsfwuQtutUqMKjU0Hcd1p6MNum3Nd8xP1kkokFiF4wtyh07fgLy1E7UYKSQoLxwJNdWGevEzABglo-roRkPqK1SLEt-a8lJvRxi94alVREPc0qZ6xFDaIJO0U5U8N_gqR7A=s4000" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="4000" data-original-width="3000" height="200" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEi2Pn2pxHngrVcWs2jjW0cpH2n44d8u0egcMgQHjKlcL3lKr8E1shpvygHFsfwuQtutUqMKjU0Hcd1p6MNum3Nd8xP1kkokFiF4wtyh07fgLy1E7UYKSQoLxwJNdWGevEzABglo-roRkPqK1SLEt-a8lJvRxi94alVREPc0qZ6xFDaIJO0U5U8N_gqR7A=w150-h200" width="150" /></a> <a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEjRAgoPCh3fDR7CBK6rl8vzI2CIW3TUEwuOnnUAOBlCXKnzQRN-7dY-bkGMAYf-KNDRkkjLSrvCjZmAaEurWJgz-URPwN-MEbm46xHpxamDNEqSxSU_rx0-ylLPBF9aMjKy710gXKTicJRJnTRSQw51yjE5wXzcVt4x2bnT2k2Y99BDyUWFiBmNyKhTTA=s3477" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="1584" data-original-width="3477" height="146" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEjRAgoPCh3fDR7CBK6rl8vzI2CIW3TUEwuOnnUAOBlCXKnzQRN-7dY-bkGMAYf-KNDRkkjLSrvCjZmAaEurWJgz-URPwN-MEbm46xHpxamDNEqSxSU_rx0-ylLPBF9aMjKy710gXKTicJRJnTRSQw51yjE5wXzcVt4x2bnT2k2Y99BDyUWFiBmNyKhTTA=w320-h146" width="320" /></a></div><br /><p>Kamera muodostaa kuvia — perspektiivikuvia — keskusprojektion periaatteella. Keskusprojektio puolestaan kuvaa kartioleikkauksen — ellipsin, paraabelin tai hyperbelin — kartioleikkaukseksi. Tyyppi ei välttämättä säily, esimerkiksi ellipsi voi myös kuvautua paraabelin tai hyperbelin kaareksi. Sohvapöydän kuvissa oli kuitenkin ilmeistä, että jos muoto on ellipsi, niin sen kuvakin on ellipsi. Myös käänteinen pätee: jos kuva on ellipsi, niin pöytäkin on ellipsin muotoinen. Eikä kuvan tällöin tarvitse olla otettu kohtisuoraan pöydän pintaa vastaan.</p><p>Riittää siis analysoida pöydästä otetut valokuvat. Tätä varten kuva voidaan siirtää GeoGebran piirtoalustalle, jolloin sen päälle on mahdollista tehdä geometrisia konstruktioita. Kartioleikkauksen — toisen asteen käyrän — yhtälö xy-tasossa on periaatteessa muotoa \[ax^2 + by^2 + 2cxy + 2dx + 2ey + f = 0,\] missä on kuusi kerrointa $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ ja $f$. Yhtälön määräämiseen riittää tuntea viisi pistettä kartioleikkaukselta. Tällöin kertoimiin jää yksi vapausaste, mutta näin tulee ollakin, sillä kartioleikkaus ei muutu, jos yhtälö kerrotaan nollasta eroavalla vakiolla. GeoGebrassa on työkalu, joka määrittää kartioleikkauksen yhtälön ja piirtää käyrän, kun annetaan viisi pistettä.</p><p>Valittiin siis valokuvassa viisi pistettä pöydän reunalta ja muodostettiin reunakäyrä kartioleikkauksena. Tämä osoittautui ellipsiksi, joka hyvin suurella tarkkuudella yhtyy pöydän reunaan. Alla on konstruktio tehtynä kumpaankin kuvaan. Pöytälevy on siis ilmeisesti tehty nimenomaan ellipsin muotoon. Myöhemmin ilmeni, että pöydän suunnittelija on Ilmari Tapiovaara (<a href="https://www.finnishdesignshop.fi/huonekalut-poydat-sohvapoydat-ovalette-poyta-pahkina-p-7935.html" target="_blank">Ovalette</a>,1954).</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEgE55d7hmXpGmN2LEelv7hnIaqC29ZKYfiuHTQW2XIzEnarn4lsBXbv_Q0DoiQNp3PNtN4poI1KxGP88ZYYKcyJXnnoyuD8aenXrWmrS01-vLgoJQQOYkBy7Nlta2-HkLlrOBLRUR3WknybFfyIa6JCLOiG832i7kRIgf7wLck0SOQ8u9A4hMNzcNEpnw=s1483" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="1200" data-original-width="1483" height="324" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEgE55d7hmXpGmN2LEelv7hnIaqC29ZKYfiuHTQW2XIzEnarn4lsBXbv_Q0DoiQNp3PNtN4poI1KxGP88ZYYKcyJXnnoyuD8aenXrWmrS01-vLgoJQQOYkBy7Nlta2-HkLlrOBLRUR3WknybFfyIa6JCLOiG832i7kRIgf7wLck0SOQ8u9A4hMNzcNEpnw=w400-h324" width="400" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEgUYfwc0A8SdDWMnsd1WH2xz0LTGrsUvWhRxM9ZH64DHtxpzWWngt7d1UerZEHKEB89xDs-FTzSWqbIjdiXrmUG2p5yybU42FXOWhufxj4hccrQoBaquCdF0KLkAWp3poGVgD_LyTulnk-RsKte50Do2JHRV_iMxXx6d3wXvNXCgmYH4jQFC4vFFHDQTg=s954" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="636" data-original-width="954" height="266" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEgUYfwc0A8SdDWMnsd1WH2xz0LTGrsUvWhRxM9ZH64DHtxpzWWngt7d1UerZEHKEB89xDs-FTzSWqbIjdiXrmUG2p5yybU42FXOWhufxj4hccrQoBaquCdF0KLkAWp3poGVgD_LyTulnk-RsKte50Do2JHRV_iMxXx6d3wXvNXCgmYH4jQFC4vFFHDQTg=w400-h266" width="400" /></a></div><p>GeoGebrassa on myös työkalu, jolla voidaan määrittää annetun ellipsin polttopisteet. Nämä ovat nähtävissä kummassakin kuvassa (punaiset pisteet $F_1$ ja $F_2$). Pöytälevyyn nähden ne näyttävät kuvissa olevan eri paikoissa. Vaikkakin keskusprojektiossa kartioleikkaus kuvautuu kartioleikkaukseksi, polttopisteet eivät kuvaudu polttopisteiksi. Jos siis haluaa kairata pöytäänsä reiät kynttiläjaloiksi polttopisteiden kohdalle, paikkoja ei voi määrittää valokuvan perusteella. Vastaava koskee ellipsin tunnettua ominaisuutta: kehäpisteen yhteenlaskettu etäisyys polttopisteistä on vakio. Ominaisuus on jokaisella ellipsillä, mutta vakio ei ole eri kuvissa sama, vaikka skaalauskin otettaisiin huomioon. </p><p> </p>SKKhttp://www.blogger.com/profile/11007502688158156164noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-715456041255349481.post-42928833295302429582022-02-24T19:43:00.000+02:002022-02-24T19:43:11.122+02:00Peruskoulualgebraa<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEiQD_ob4KhxP7RFGx6ICxFONguAdIEbumWHKhi8YNqhpfNlMh2wZiZsq5kzx-SXewhBnsFyqmKEPvUCrN_QFBpsPavzLU936KLCbX9qJkq6wcSDWeXdWwf8Fh9R8g3Wkq5rp5GlYR_RKt2iY4GEmwG5Q0EZjnV61oiHadaU3KaZOXu35gLYh47F1eIt_w=s851" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="387" data-original-width="851" height="146" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEiQD_ob4KhxP7RFGx6ICxFONguAdIEbumWHKhi8YNqhpfNlMh2wZiZsq5kzx-SXewhBnsFyqmKEPvUCrN_QFBpsPavzLU936KLCbX9qJkq6wcSDWeXdWwf8Fh9R8g3Wkq5rp5GlYR_RKt2iY4GEmwG5Q0EZjnV61oiHadaU3KaZOXu35gLYh47F1eIt_w=s320" width="320" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Kaappaus YouTube-videosta (Päivi Portaankorva-Koivisto ja Sirpa Wass)</td></tr></tbody></table><br /><p></p><p>Kaltaiseni urallaan yliopistotason matematiikan kursseja opettanut henkilö tietää ehkä pääpiirteittäin, mitä lukion matematiikka sisältää ja mitkä ovat sen näkökulmat. Peruskoulu sen sijaan on usein jäänyt vähemmälle huomiolle. Omien lasten peruskouluvuosistakin on jo aikaa. Tietoisuudessa on lähinnä taakse jäänyt joukko-oppi ja viime aikoina esitetyt väitteet, että peruskoulussa ei enää luoda tukevaa matemaattista pohjaa.</p><p>Muutaman kerran olen selannut digitaalisia oppimateriaaleja ja hiljattain osuin katsomaan Päivi Portaankorva-Koiviston ja Sirpa Wassin <a href="https://www.youtube.com/watch?v=cZi8P9r1CjA&list=PLaC0Td3jt_iTRu8eQozvvIWE0DXamJSjB" target="_blank">YouTube-videoita</a> algebran peruskäsitteiden havainnollistamisesta. En tiedä, onko nämä tarkoitettu peruskoulun tunneilla käytettäviksi vai ovatko ne opettajakoulutuksen materiaalia, mutta aika erikoisen näkökulman ne minusta algebraan antavat. Jos algebraan todella lähdetään näin, niin en ihmettele, jos asia koululaiselle jää hämäräksi.<br /></p><p>Lähtökohta on hyvä: kirjaimet tarkoittavat lukuja, joita ainakaan siinä vaiheessa ei tarkemmin tunneta tai haluta täsmentää. Sitten kerrotaan, että termi on olio, jossa on etumerkki, kerroin ja kirjainosa. Tämä kuitenkin johtaa väärään mielikuvaan. Oleellista on, että termit ovat lausekkeita, joita <b>lasketaan yhteen</b>, mutta tämä jää sanomatta. Termien muoto voi olla mutkikkaampikin, vaikkapa lausekkeessa $abc + 1/x + (x+y)^3$ on kolme termiä. Toki tällaisia lausekkeita ei aivan heti aleta käsitellä, mutta periaatteessa esimerkki on ymmärrettävissä ja johtaa oikeaan mielikuvaan lausekkeesta ja termistä.</p><p>En oikein ymmärrä tapaa, jolla <a href="https://www.youtube.com/watch?v=6bM3YVwXjfQ&list=PLaC0Td3jt_iTRu8eQozvvIWE0DXamJSjB&index=3" target="_blank">lausekkeiden yhteenlaskussa</a> päädytään yhdistämään ns. samanmuotoiset termit. Esimerkissä (kuva ylhäällä) on kaksi joukkoviivaa (!), toisen sisällä kolme neliötä ja neljä ympyrää, toisen sisällä yksi neliö ja kaksi ympyrää. Näitä kuvataan lausekkeella $(4y+3n) + (2y+1n)$. Mitä tämä sitten on? Kirjaintenhan piti tarkoittaa lukuja eikä geometrisia olioita. Laskemalla kaikki neliöt ja kaikki ympyrät saadaan neljä neliötä ja kuusi ympyrää, siis $4n + 6y$. Tässä on siis kertoimet laskettu yhteen aina kun kirjainosat ovat samat. Mutta miten tämä sääntö sopii tilanteeseen, jossa $y$ ja $n$ ovatkin lukuja? Onko niin, että oppilaan pitää vain uskoa ja muistaa sääntö, mutta ei miettiä sen yhteyttä lukuihin?<br /></p><p>Katsoin, miten asia on esitetty yli puoli vuosisataa vanhassa K. Väisälän Algebran oppi- ja esimerkkikirjassa. Täälläkin kirjaimet tarkoittavat lukuja. Lausekkeen käsite on selitetty sanoin, mukana useita esimerkkejä, yhtenä \[\dfrac{7x-4}{xy}.\] Sama koskee termin käsitettä ja termien samanmuotoisuutta. Esimerkiksi kuuden termin lauseke \[rx - 3sx-1+2sx+2r+2\] voidaan samanmuotoiset termit yhdistämällä saataa kahteen eri muotoon riippuen siitä, mitä pidetään kirjainosana ja mitä kertoimena: \[rx - sx + 2r + 1 = (r-s)x + (2r+1).\] Edellisessä on neljä termiä, jälkimmäisessä kaksi. Sivutuotteena tulee ymmärrys siitä, että sieventämisen tulos ei ole yksikäsitteinen, vaan riippuu sieventämisen tavoitteesta.</p><p>Samanmuotoisten termien yhdistämisen Väisälä perustelee osittelulailla: $a(b+c) = ab + ac$ tai toisin kirjoitettuna $ba + ca = (b+c)a$. Tällöin siis esimerkiksi $5x + 4x = (5+4)x = 9x$. Tämä luonnollisesti edellyttää, että osittelulaki tunnetaan aikaisemmasta. En tiedä, opetetaanko se nykyään ennen kirjainlaskennan aloittamista. Minusta pitäisi. Millään tavoin mahdotontahan se ei ole. Tilanne on esimerkki matematiikan opiskelun kumulatiivisuudesta: uudet asiat rakentuvat aikaisemmin opitun päälle. Jos tästä logiikasta ei pidetä kiinni, matematiikan opiskelu muuttuu irrallisen silpputiedon opetteluksi vailla ymmärrystä. (On kyllä myönnettävä, että aikoinani pidin laskulakien opettelua aritmetiikan yhteydessä tylsänä ja tarpeettomana, vaikka niillä oli käyttöä päässälaskussakin. Algebra kyllä sitten näytti niiden merkityksen ja muutin mieleni.)<br /></p><p>Osittelulakiin vetoaminen painottaa myös usein väärin ymmärretyn yhtäläisyysmerkin merkitystä. Kyse on nimenomaan yhtäsuuruudesta, ei siitä, että vasemmasta puolesta 'tulee' oikea puoli. Osittelulaki toimii molemmin päin: se on joko menettely sulkujen poistamiseen (lausekkeen 'kehittämiseen', englanniksi <i>expand</i>) tai yhteisen tekijän ottamiseen.</p><p>On tietenkin totta, että matematiikassa käytetään kirjainsymboleja muutoinkin kuin viittaamassa lukuihin. Näin käy jo lukiossakin puhumattakaan yliopistollisesta abstraktin algebran kurssista. Hyppy aritmetiikasta peruskoulualgebraan on ensimmäinen askel abstraktiotason lisäämisen tiellä, eikä siitä minusta pidä tehdä tarpeettoman vaikeata. Edellä mainittu ympyrä-neliö-malli tuskin auttaa vektoreiden yhteenlaskun ymmärtämisessä, vaikka asiat hallitseva ehkä näkeekin ympyrät ja neliöt lineaarisesti riippumattomiksi.</p><p>Kuten sanottu, en ole erityisen hyvin perehtynyt peruskoulun oppimateriaaleihin. Olen kuitenkin tavannut edellä kritisoimani opetustavat joissakin muissakin materiaaleissa. Kuinka yleisiä ne ovat, en osaa sanoa. Mieleen hiipii epäily, että johtuisiko matemaattisen osaamisen rapautuminen tavasta, jolla asioita opetetaan. (Ehkä syytä todeta, että tässä yhteydessä ei niinkään ole kyse sellaisesta osaamisesta, jota PISA-tutkimuksissa on testattu, vaan pohjasta myöhemmille matematiikan opinnoille.)</p><p>Selasin kiinnostuksella Väisälän kirjaa. Sillä on ikää eikä se varmasti olisi ihanneoppikirja tämän päivän maailmassa. Mutta kirjasta näkee, että Väisälä on tarkoin miettinyt, miten asiat kannattaa ymmärrettävästi ja johdonmukaisesti esittää. Väisälä myös selvisi kolmen luokan algebraosuudesta harjoitustehtävineen 150 sivulla. Voisin Väisälää suositella oppimateriaalintekijöiden oheislukemistoksi.</p><div class="fskey-tooltip" id="fskey-tooltip" style="display: none;"><span class="fskey-tooltiptext" id="fskey-tooltiptext"><br /></span></div><div class="fskey-tooltip" id="fskey-tooltip" style="display: none;"><span class="fskey-tooltiptext" id="fskey-tooltiptext"></span></div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEgLzuOUqObUkDH7BqAf5iTN1oFFBRSso7zGQYW0bWHNOVbfM7Ao9T9eVPI5hHhJsIklKEO-7l_CU9KhHrTCuMeBAwGJv-GkeDxMkXx3WaqaGHoq_0vk6pUD1hH1VNJOe0eMaYcHZkCoQelrXucuWi5xsKLehs36RZkBsGNVdVEh4SEqQKsdgKNEaA9flw=s1707" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="930" data-original-width="1707" height="217" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEgLzuOUqObUkDH7BqAf5iTN1oFFBRSso7zGQYW0bWHNOVbfM7Ao9T9eVPI5hHhJsIklKEO-7l_CU9KhHrTCuMeBAwGJv-GkeDxMkXx3WaqaGHoq_0vk6pUD1hH1VNJOe0eMaYcHZkCoQelrXucuWi5xsKLehs36RZkBsGNVdVEh4SEqQKsdgKNEaA9flw=w400-h217" width="400" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Väisälän esitys samanmuotoisten termien yhdistämisestä<br /></td></tr></tbody></table><br /><iframe class="fskey-autofill-dlg" id="fskey-iframe" sandbox="allow-same-origin" style="display: none;"></iframe><div class="fskey-tooltip" id="fskey-tooltip" style="display: none;"><span class="fskey-tooltiptext" id="fskey-tooltiptext"></span></div>SKKhttp://www.blogger.com/profile/11007502688158156164noreply@blogger.com8tag:blogger.com,1999:blog-715456041255349481.post-63589389601384319882022-02-01T21:32:00.000+02:002022-02-01T21:32:10.448+02:00Chambordin linnan portaikko<p></p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEgYHOIr3Wr4TLrpU10cZVTeqlLVC6pRak3VtDyM0J_nEDLnDdxHw-TAjH_-YCPnCHZdOGLqlhWSlFF4OYhVbNXFfsR-2aX2K7nEWUb0iU2M4nw1_bAKCYu64aJZTdiequuWisWqjvXP5o9zFm9_m2-bbLtVUBvIoyD-AHAGMdKwAvntoKlMWxP2WNf3Cw=s800" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="321" data-original-width="800" height="160" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEgYHOIr3Wr4TLrpU10cZVTeqlLVC6pRak3VtDyM0J_nEDLnDdxHw-TAjH_-YCPnCHZdOGLqlhWSlFF4OYhVbNXFfsR-2aX2K7nEWUb0iU2M4nw1_bAKCYu64aJZTdiequuWisWqjvXP5o9zFm9_m2-bbLtVUBvIoyD-AHAGMdKwAvntoKlMWxP2WNf3Cw=w400-h160" width="400" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Chambordin linna (Wikipedia, Benh LIEU SONG, 2012, CC BY-SA 3.0)<br /></td></tr></tbody></table><br />Ranskan kuningas Frans I rakennutti 1500-luvulla Chambordin linnan Loire-joen laaksoon (Wikipedia-artikkeli <a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Ch%C3%A2teau_de_Chambord" target="_blank">ranskaksi</a>, <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Ch%C3%A2teau_de_Chambord" target="_blank">englanniksi</a>). Linnan pääportaikko perustunee Leonardo da Vincin ideaan ja siinä voi samanaikaisesti toinen henkilö nousta ylöspäin, toinen laskeutua alaspäin, ilman että he kohtaavat tai edes ovat välttämättä tietoisia toisistaan.<p></p><p>Millainen portaikon rakenne voi olla?</p><p>Kyseessä on kierreportaikko, jolloin rakenne perustuu ruuviviivaan: \begin{align*} x &= a\cos(t), \\ y &= a\sin(t), \\ z &= bt, \end{align*} vektorimuodossa $p = (a\cos(t), a\sin(t), bt)$. Tässä $t$ on parametri, jonka jokaista arvoa kohden saadaan yksi ruuviviivan piste. xy-tason pisteet $(a\cos(t), a\sin(t))$ sijaitsevat origokeskisellä $a$-säteisellä ympyrällä, jolloin ruuviviiva sijaitsee tämän ympyrän yläpuolella ja z-koordinaatti määrää pisteen korkeuden. Vakio $b$ ($> 0$) on ruuviviivan <i>nousu</i>, ts. siitä riippuu, miten nopeasti viiva nousee $t$:n kasvaessa. Parametri $t$ ilmaistaan radiaaneissa, jolloin $2\pi$:n suuruinen kasvu tarkoittaa yhtä kierrosta.</p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEi7mcas7Q75yuXC1-SHnuMftlASMci1zmb3BoPBAq8I5HyLYHrseJH4UxvrmDt_RmBthtQd6onXJ381po1l70Wq2c7mwFNYQRaL4VK8ZPSGSGm88RY0C_5UsyAazMvRDUW-lq8fLkEXvEYrjca9HQaDMlVBBGI3CpxWKRakZepTMnynJ6msnlsLxov07g=s720" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="720" data-original-width="479" height="200" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEi7mcas7Q75yuXC1-SHnuMftlASMci1zmb3BoPBAq8I5HyLYHrseJH4UxvrmDt_RmBthtQd6onXJ381po1l70Wq2c7mwFNYQRaL4VK8ZPSGSGm88RY0C_5UsyAazMvRDUW-lq8fLkEXvEYrjca9HQaDMlVBBGI3CpxWKRakZepTMnynJ6msnlsLxov07g=w133-h200" width="133" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Ruuviviiva; kaksi kierrosta<br /></td></tr></tbody></table><br /><p></p><p></p><p>Ruuviviivan akseli on z-akseli. Sijoitetaan tälle piste, joka on samalla korkeudella kuin parametriarvoa $t$ vastaava ruuviviivan piste: $q = (0,0,bt)$.</p><p>Pisteiden $p$ ja $q$ kautta kulkevan suoran parametriesitys on $r = q + u(p - q)$, missä $u$ on parametri. Tämä voidaan kirjoittaa usein mukavampaan muotoon $r = up + (1-u)q$. Jos $0 < u < 1$, piste $r$ on pisteiden $p$ ja $q$ välissä.</p><p>Kun pisteiden $p$ ja $q$ lausekkeet pannaan paikoilleen, saadaan \[ r = u(a\cos(t), a\sin(t), bt) + (1-u)(0,0,bt), \] minkä voi halutessaan sieventääkin: $r = (ua\cos(t), ua\sin(t), bt)$. Tässä on kaksi parametria, $t$ ja $u$. Piste $r$ sijaitsee parametrin $t$ määräämällä suoralla parametrin $u$ määräämässä kohdassa. Yhdessä pisteet $r$ muodostavat pinnan, jonka parametriesitys $r$:n lauseke on. Pintaa kutsutaan <i>ruuvipinnaksi</i>.</p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEj7z-vwstkgX2TmfDZ6zN0QRJDPUJZvXI4fibCOth4lSeP3xX302O5tXSQKyXFXzdzjcm3ljoY4zz0L25trEEw483Qvh6qoC50Bm2nZ2M0-5LrpYbFxjN1HvEGLzUvqScaVYSqwRupKFDDTg_jgJaWGTfyAgSdcmCj6Ap8bOUZfZUClq_Os4CoMYQQDow=s720" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="720" data-original-width="585" height="200" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEj7z-vwstkgX2TmfDZ6zN0QRJDPUJZvXI4fibCOth4lSeP3xX302O5tXSQKyXFXzdzjcm3ljoY4zz0L25trEEw483Qvh6qoC50Bm2nZ2M0-5LrpYbFxjN1HvEGLzUvqScaVYSqwRupKFDDTg_jgJaWGTfyAgSdcmCj6Ap8bOUZfZUClq_Os4CoMYQQDow=w163-h200" width="163" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Ruuvipinta; kaksi kierrosta, $-2 \le u \le 2$<br /></td></tr></tbody></table><br /><p></p><p>Lisäämällä parametrivälejä $0 \le t \le 4\pi$ ja $0 \le u \le 1$ vastaavaan ruuvipintaan askelmat, saadaan monissa linnojen torneissa käytetty jyrkkä ja hankala portaikko.</p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEiWdh1b1cHkFo6vZElw3bkCfKp2gzquPOOwDBHdGkHfDSvRt6n_Rt5oQbhhZ-Hx6nfq5jMQ9A_-lBWexf6rVKMAe4tOp_lSujbOXUTmzbPpipyeS2icJwF5xI2iuRRkbIDjIv8vGOXC1tCDQDtWQ-nUcXG7-WJj8lD2cUJPSn05g62OXWzZNbIsurSx-Q=s720" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="720" data-original-width="461" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEiWdh1b1cHkFo6vZElw3bkCfKp2gzquPOOwDBHdGkHfDSvRt6n_Rt5oQbhhZ-Hx6nfq5jMQ9A_-lBWexf6rVKMAe4tOp_lSujbOXUTmzbPpipyeS2icJwF5xI2iuRRkbIDjIv8vGOXC1tCDQDtWQ-nUcXG7-WJj8lD2cUJPSn05g62OXWzZNbIsurSx-Q=s320" width="205" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Ruuvipinnan muodostama jyrkkä portaikko<br /></td></tr></tbody></table><p></p><p>Ruuvipinnasta voidaan kuitenkin leikata myös kaksi erillistä kaistaletta valitsemalla $1 \le u \le 3$ ja $-3 \le u \le -1$. Varustamalla nämä askelmilla saadaan kaksoisportaikko, jossa on kaksi samaan suuntaan kiertyvää nousua. Toinen saadaan toisesta kiertämällä akselin ympäri 180 astetta. Chambordin portaikko on tällainen. Jos keskelle vielä asetetaan ikkunaton tukipylväs, portaita pitkin eri puolilla liikkuvat henkilöt eivät havaitse toisiaan.</p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEhrVU6FnUTcJtv67L1k3-7iQvlerlWK_ufoTv16nfPxB3xlK4anulyXXQqFTpmGdDWJkwvdtlfjPJNKi_cfwawSxnYXXcv6ie4pIRL8q7Km1V_TIrCdguSbvZpR08YVUOE17PktIejC_oyBsewCgYwt9uyc9_j3bJziUIIrb4qixRsxQxZVXh7lOzssLg=s720" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="720" data-original-width="476" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEhrVU6FnUTcJtv67L1k3-7iQvlerlWK_ufoTv16nfPxB3xlK4anulyXXQqFTpmGdDWJkwvdtlfjPJNKi_cfwawSxnYXXcv6ie4pIRL8q7Km1V_TIrCdguSbvZpR08YVUOE17PktIejC_oyBsewCgYwt9uyc9_j3bJziUIIrb4qixRsxQxZVXh7lOzssLg=s320" width="212" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Ruuvipintojen muodostama kaksoisportaikko<br /></td></tr></tbody></table><br /><p></p><p>YouTubesta löytyy <a href="https://www.youtube.com/watch?v=m0wD388aD1E" target="_blank">havainnollistus</a>, joka osoittaa, että portaikossa todella voi kulkea eri suuntiin toisiaan kohtaamatta.</p><div class="fskey-tooltip" id="fskey-tooltip" style="display: none;"><span class="fskey-tooltiptext" id="fskey-tooltiptext"></span><br /></div><div class="fskey-tooltip" id="fskey-tooltip" style="display: none;"><span class="fskey-tooltiptext" id="fskey-tooltiptext"></span></div><iframe class="fskey-autofill-dlg" id="fskey-iframe" sandbox="allow-same-origin" style="display: none;"></iframe><div class="fskey-tooltip" id="fskey-tooltip" style="display: none;"><span class="fskey-tooltiptext" id="fskey-tooltiptext"></span></div>SKKhttp://www.blogger.com/profile/11007502688158156164noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-715456041255349481.post-25140369778051483862021-12-12T18:21:00.002+02:002021-12-12T18:31:48.260+02:00Miltä $\pi$ kuulostaa?<p> Blogijutussani <a href="http://simokivela.blogspot.com/2013/08/irrationaalikavelylla.html" target="_blank"><i>Irrationaalikävelyllä </i></a> tarkastelin luvun $\pi$ desimaalien mukaan eri suuntiin eteneviä askelia ja näistä muodostuvaa polkua. Luvun irrationaalisuus näkyy polun ennakoimattomuutena.<br />Olisiko muita tapoja havainnollistaa piitä tai ainakin leikitellä sillä? Mitä saadaan, jos esimerkiksi asetetaan desimaalit vastaamaan tiettyjä sävelkorkeuksia? Ja miten helposti tällaisia kokeiluja pääsee tekemään.<br /><br />Olen kokeiluissani yleensä käyttänyt laskentaohjelma <a href="https://www.wolfram.com/mathematica/" target="_blank">Mathematicaa</a>, johon on versio versiolta kertynyt jatkuvasti lisää kaikenlaisia, usein hieman sekavia ja kokeellisia ominaisuuksia. Esimerkiksi 12-sävelasteikon sävelet yksiviivaisesta c:stä alkaen saadaan muutamalla komennolla ja tulos voidaan tallentaa <a href="http://www.elisanet.fi/simo.kivela/blg/12asteikko.mp3" target="_blank">äänitiedostona</a>:</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEgULg38E9-xONPwO9aZRqkw4sakBjLQCPzRHeQcbZgwSzRywpcNd8o0a6i2FSyL6QILvZJKKdL89geaCGEXSL4ihqG8mvEYeo1riGTsx8LmcCMCAUX3xJphajBgcfZdmEmBgJpG2PJwA2Rp28ql4tTnbEM9gzDBNGTxEEGsAxDNEBUBjS4RzMLs-VdLPA=s432" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="274" data-original-width="432" height="203" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEgULg38E9-xONPwO9aZRqkw4sakBjLQCPzRHeQcbZgwSzRywpcNd8o0a6i2FSyL6QILvZJKKdL89geaCGEXSL4ihqG8mvEYeo1riGTsx8LmcCMCAUX3xJphajBgcfZdmEmBgJpG2PJwA2Rp28ql4tTnbEM9gzDBNGTxEEGsAxDNEBUBjS4RzMLs-VdLPA=s320" width="320" /></a></div><p><br /><a href="http://www.elisanet.fi/simo.kivela/blg/aaniPii.mp3" target="_blank">Piin esitykseen</a> päästäänkin tämän jälkeen varsin vähällä:</p><p></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEhKiicY4_lmW9D4LCibrapZbjhRRuFvEgR0VLpen_KasEDrH4Kv4EUOxOOBsnHXuQLUbrmKRvyLUkyTS-s5L_69f4Nlqagc7mwUCOiWd-zAtlFKulIrXU_DEc5gIH69rv3480Beyx0Oq8RmkO2ljohpHmULYpxq73L-5H-lrDnv_zXi3CrSZXnHTXx8Jg=s480" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="334" data-original-width="480" height="223" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEhKiicY4_lmW9D4LCibrapZbjhRRuFvEgR0VLpen_KasEDrH4Kv4EUOxOOBsnHXuQLUbrmKRvyLUkyTS-s5L_69f4Nlqagc7mwUCOiWd-zAtlFKulIrXU_DEc5gIH69rv3480Beyx0Oq8RmkO2ljohpHmULYpxq73L-5H-lrDnv_zXi3CrSZXnHTXx8Jg=s320" width="320" /></a></div><p><br />Ajatus piin esittämisestä äänitiedostona ei toki ole uusi. Piin desimaalit ovat lukujono A000796 kokonaislukujonojen ensyklopediassa (<a href="https://oeis.org/" target="_blank">The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences</a>) ja täällä on myös mahdollista kuunnella pii jopa useana erilaisena esityksenä.<br /><br />Vähän yksitoikkoiselta pii toki kuulostaa. Mathematican kokeelliset piirteet antavat mahdollisuuden muuhunkin. Sävelet voidaan määritellä myös suoraan nuotteina, niiden kesto voidaan määritellä erikseen ja jopa soitinkin voidaan valita. Viimeksi mainittu on kyllä musta laatikko: missään ei käsittääkseni ole dokumentoituna, miten eri soitinten äänet on muodostettu. Pii voidaan tietenkin esittää muutoinkin kuin 10-kantaisena ja esityksen numerot sitoa sävelkorkeuksiin miten halutaan. En esittele tarvittavia komentoja, niissä tuskin on mitään yleispätevää kiinnostavuutta.<br /><br />Ensimmäisenä esimerkkinä on <a href="http://www.elisanet.fi/simo.kivela/blg/pi_e_Organ.mp3" target="_blank">10-kantainen pii 12-asteikossa uruilla soitettuna</a>, sävelten kestot Neperin luvun 10-kantaisesta esityksestä. Tästä voi piirtää kuvankin, eräänlaiset nuotit nämäkin:</p><p></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEiGsnnaKhTdfoI8kvqKyAPhn-vY-dW4AXATJekIx1rDi5U-pMzwqhQW_Bw7VGxGwjn5QC-lScyxCJxyyrnWTLRKZKjF_HHCVUQImWhwQCWb7s2bCkF9x18mnnf5qpYOzdO7Vaof6YjZwCYn7K2RX9DjvxvBfSox5c-g3GHmGAyl4xjJmgaFXwbOZpF0Sg=s487" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="100" data-original-width="487" height="66" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEiGsnnaKhTdfoI8kvqKyAPhn-vY-dW4AXATJekIx1rDi5U-pMzwqhQW_Bw7VGxGwjn5QC-lScyxCJxyyrnWTLRKZKjF_HHCVUQImWhwQCWb7s2bCkF9x18mnnf5qpYOzdO7Vaof6YjZwCYn7K2RX9DjvxvBfSox5c-g3GHmGAyl4xjJmgaFXwbOZpF0Sg=s320" width="320" /></a></div><p><br />Toisena esimerkkinä on <a href="http://www.elisanet.fi/simo.kivela/blg/pi_e_Organ3.mp3" target="_blank">'kolmisointu-pii'</a>, ts. pii esitettynä 3-kantaisena, tämän numerot sidottuina säveliin c, e, ja g, kestot Neperin luvun 3-kantaisesta esityksestä, soittimena edelleen urut.<br /><br />Monilla matemaattisilla ongelmilla on käänteiset ongelmansa. Niin tässäkin. Edellä kuvatulla tavalla voidaan muuntaa luku musiikiksi, tai siis ainakin ääneksi, mutta entä musiikin muuntaminen luvuksi? Sitäkin voi kokeilla:<br /><br />Olkoon \begin{align*} a &= \frac{2819342985735813859733523604893034305465368787123665428766810701824}{1730765619511609209510165443073365}, \\[5pt] b &= \frac{2934443644746840392851674865259212716387069853696}{4238682002231055}. \end{align*} Tällöin komennot</p><p></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEhmeuSjG5ly58u5I87OtOjukaa-nN_jk_QHexSgxw0Cn1mDFWywZ1QPJcDcyR4aXH7rX7tb_nJ5UlOBCkqnGc6CnHGixJErowZE8tE2CKB0qqcpt8yHIPDTbjdF0CDOGFlrdU1sWWjNWXzbjRhtGwqdYrmTF3F-DXaeIq1r5HryEwynLOj-H9AvjWJbRw=s974" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="262" data-original-width="974" height="172" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEhmeuSjG5ly58u5I87OtOjukaa-nN_jk_QHexSgxw0Cn1mDFWywZ1QPJcDcyR4aXH7rX7tb_nJ5UlOBCkqnGc6CnHGixJErowZE8tE2CKB0qqcpt8yHIPDTbjdF0CDOGFlrdU1sWWjNWXzbjRhtGwqdYrmTF3F-DXaeIq1r5HryEwynLOj-H9AvjWJbRw=w640-h172" width="640" /></a></div><p></p><p>tuottavat joulunaikaan sopivan <a href="http://www.elisanet.fi/simo.kivela/blg/soihdut.mp3" target="_blank">äänitiedoston</a>. (Miksi heksadesimaalikanta? Jotta 12-järjestelmässä saadaan esitetyksi tarvittava ääniala ...)<br /><br />Lopuksi toivotan kaikille lukijoille riemullista joulujuhlaa.<br /><br /></p><div class="fskey-tooltip" id="fskey-tooltip" style="display: none;"><span class="fskey-tooltiptext" id="fskey-tooltiptext"></span></div><iframe class="fskey-autofill-dlg" id="fskey-iframe" sandbox="allow-same-origin" style="display: none;"></iframe><div class="fskey-tooltip" id="fskey-tooltip" style="display: none;"><span class="fskey-tooltiptext" id="fskey-tooltiptext"></span></div>SKKhttp://www.blogger.com/profile/11007502688158156164noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-715456041255349481.post-91549169582130735932021-11-17T15:44:00.001+02:002022-08-17T20:08:10.629+03:00Yhtälön $2^{\sin(x)^2} + 2^{\cos(x)^2} = 3$ ratkaisemisesta<p>Koulutason matematiikan opinnoissa yhtälöiden ratkaisemisen merkitys on ollut lähinnä sujuvan lausekkeiden käsittelyn synnyttämisessä. Nykyään kuitenkin ratkaiseminen usein onnistuu jopa yhdellä laskentaohjelman komennolla. Mihin opetuksessa silloin tulisi keskittyä? Edelleen lausekkeiden manipulointiin vai ohjelmistojen komentoihin tai johonkin muuhun?<br /><br />Otsikon yhtälö on peräisin venäläisestä A. N. Kolmogorovin tekemäksi nimetystä <a href="http://lib.maupfib.kg/wp-content/uploads/2015/12/Algebra_i_nachala_mat_analiz.pdf" target="_blank">oppikirjasta</a> Алгебра и начало Математического анализа 10-11 класс (algebra ja matemaattisen analyysin alkeet, sivu 299). Maineikas matemaatikko A. N. Kolmogorov kuoli vuonna 1987, joten hänellä ei ilmeisestikään ole osuutta kirjan nykyisen painoksen laatimiseen, mutta alkuperäinen teksti lienee häneltä.</p><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiTXkZJk6Bxb5wXtNwCJ69Eax8tW4od11rl3ENfIaa2l65pc3s7oKKQhMlAbjMKX0Q3XC3F1q7gKyT8AVJVve8ZaQ7adY2k5SMeFiupF9H7J3KlETLrXYXLSdgFoP0zuzKXISWnsb71sC_A/s411/kolmoAlgebra.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="411" data-original-width="268" height="200" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiTXkZJk6Bxb5wXtNwCJ69Eax8tW4od11rl3ENfIaa2l65pc3s7oKKQhMlAbjMKX0Q3XC3F1q7gKyT8AVJVve8ZaQ7adY2k5SMeFiupF9H7J3KlETLrXYXLSdgFoP0zuzKXISWnsb71sC_A/w131-h200/kolmoAlgebra.png" width="131" /></a></div><br /><br />Kirja sisältää melkoisen määrän käsin laskettaviksi tarkoitettuja harjoitustehtäviä, ja onkin ilmeistä, että tavoitteena on sujuvuuden saavuttaminen mekaanisessa laskemisessa ja lausekkeiden käsittelyssä. Kokonaisuutena harjoitustehtävät antavat jopa hieman tylsän vaikutelman. Tietotekniikan rooli ei näy eikä se kirjan iästä johtuen voisikaan. Pohtimisen aihetta tehtävien tarkastelu kuitenkin antaa.<br /><br />Esillä olevan yhtälön käsin ratkaiseminen on suhteellisen helposti tehtävissä, jos on kykyä muokata lausekkeita ja tämän seurauksena taito nähdä erilaisia mahdollisuuksia. Ottamalla uudeksi tuntemattomaksi $t = 2^{\sin(x)^2}$ yhtälö pelkistyy toisen asteen yhtälöksi $t^2 - 3t +2 = 0$, jonka juuret ovat $t_1 = 1$ ja $t_2 = 2$. Tällöin tulee olla $\sin(x)^2 = 0$ tai $\sin(x)^2 = 1$ ja ratkaisuksi saadaan $x = n\pi/2$, missä $n$ on kokonaisluku.<br /><br />Miten laskentaohjelmat sitten suoriutuvat? GeoGebra löytää tuloksen vaivatta. Mathematica ei suoriudu yhtä vaivatta, mutta antaa toisaalta enemmän ajattelemisen aihetta ja lisää ratkaisuja. Tästä seuraavassa tarkemmin. Jos lukija kokeilee muita ohjelmia, kuulen asiasta mielelläni.<br /><br />Ensimmäinen yritys Mathematicalla epäonnistuu. Grafiikka kuitenkin osoittaa, että yhtälöllä on juuri sellaiset ratkaisut kuin käsin laskussa todettiin:<p></p><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhXYd2G1Rd38cMK7CxP-C_7BVkPTuhzPFvvu0Vpof9zwpBaabFdBrSlpMdnlLvm6Q6d_0fkC3ls0XZvCOfXWFx5wivPNCzpl-KQWn_DcwlQYUMvXwY7cuPZ1GgjNO_GyHBUzyrFe49KGpLf/s704/kolmoMma1.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="419" data-original-width="704" height="238" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhXYd2G1Rd38cMK7CxP-C_7BVkPTuhzPFvvu0Vpof9zwpBaabFdBrSlpMdnlLvm6Q6d_0fkC3ls0XZvCOfXWFx5wivPNCzpl-KQWn_DcwlQYUMvXwY7cuPZ1GgjNO_GyHBUzyrFe49KGpLf/w400-h238/kolmoMma1.png" width="400" /></a></div><p><br /><br />Lisäämällä komentoon vaatimus ratkaisujen reaalisuudesta päästään haluttuun tulokseen:</p><p></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjpzBDUe2lmwmSY7Nww-mOQoSLRMH2lAABsDFrF3QAR3oCR3y8g7H88G3IDss26KhL2j4D_j1atopeD6s29Lf55srPGHJYFZQunHT7G-KwYE-AP3V-TZokk5fjxzXHQEE8VaJF8pvlMzf7L/s661/kolmoMma2.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="135" data-original-width="661" height="81" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjpzBDUe2lmwmSY7Nww-mOQoSLRMH2lAABsDFrF3QAR3oCR3y8g7H88G3IDss26KhL2j4D_j1atopeD6s29Lf55srPGHJYFZQunHT7G-KwYE-AP3V-TZokk5fjxzXHQEE8VaJF8pvlMzf7L/w400-h81/kolmoMma2.png" width="400" /></a></div><br />Tämä antaa kuitenkin aiheen epäillä, että yhtälössä on jotakin kompleksisuuteen liittyvää, joka on Mathematicalle vaikeata. Helpotetaan tilannetta muokkaamalla yhtälö uuteen muotoon, ts. lausutaan trigonometriset funktiot eksponenttifunktion avulla, ja tällöin saadaankin ratkaisu:<p></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjkVlhvAINX__QP5yORELTbXUPlrjHIwcECOADY5HLitMaf6AFyGOf5wAZD4NrPsJPfWMmh5UZlA-bK_24NRrfugYft2bg9-v4zlEGdnO-8iQESNgseSb2LX2yU0DMzzhyphenhypheny6J-fYb31I6l5/s1054/kolmoMma3.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="572" data-original-width="1054" height="347" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjkVlhvAINX__QP5yORELTbXUPlrjHIwcECOADY5HLitMaf6AFyGOf5wAZD4NrPsJPfWMmh5UZlA-bK_24NRrfugYft2bg9-v4zlEGdnO-8iQESNgseSb2LX2yU0DMzzhyphenhypheny6J-fYb31I6l5/w640-h347/kolmoMma3.png" width="640" /></a></div><br /><br />Tulos on kuitenkin yllättävän monimutkainen. Näyttää siltä, että yhtälöllä on kompleksisia ratkaisuja ja näiden löytämiseen eivät Mathematican rutiinit riitä ilman lisäohjausta. Tämä ei ole kovin yllättävää: lausekkeiden muokkaus ei aina ole yksinkertaista ja täydellistä algoritmia tuskin on. Käyttäjän näkemys ja ohjaus saattaa olla tarpeen. Reaalinen ratkaisu tästä löytyy sijoittamalla vakiolle $C_2$ arvo nolla, mutta myös kompleksisia ratkaisuja on, alla joitakin likiarvoina:<br /><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgZwG2kgX3saY-nfrdFx8vaNH9ICLaF2OBkAvAMdhk-Vz2dXA1LJIjFQ3-_WOYfty1crwt49Fhm7xePyVudNqRDjcx9j9kmyCBdhzyg97V79XU_XKnrCNe7brZlifPDfq1I0OzNiv1eOPk3/s695/kolmoMma4.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="316" data-original-width="695" height="181" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgZwG2kgX3saY-nfrdFx8vaNH9ICLaF2OBkAvAMdhk-Vz2dXA1LJIjFQ3-_WOYfty1crwt49Fhm7xePyVudNqRDjcx9j9kmyCBdhzyg97V79XU_XKnrCNe7brZlifPDfq1I0OzNiv1eOPk3/w400-h181/kolmoMma4.png" width="400" /></a></div><br /><br />Näiden sijoittaminen yhtälöön näyttää todellakin toteuttavan sen:<br /><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhBJVbHHFru3T4a4cDu6uVRHO7H7vHa-I9MDIzkeGP_ZYnFSCDAi2x438mzs93N80pjkUTJAwNG8hmVZegVEognmSJ43EWXoMzUrB_IhvYty0Yy9jp9V5wBee4Mkuaftq12d3OMb5ttihRq/s773/kolmoMma5.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="123" data-original-width="773" height="64" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhBJVbHHFru3T4a4cDu6uVRHO7H7vHa-I9MDIzkeGP_ZYnFSCDAi2x438mzs93N80pjkUTJAwNG8hmVZegVEognmSJ43EWXoMzUrB_IhvYty0Yy9jp9V5wBee4Mkuaftq12d3OMb5ttihRq/w400-h64/kolmoMma5.png" width="400" /></a></div><br /><br />Grafiikka antaa mahdollisuuden pidemmälle meneviin tutkimuksiin. Jos yhtälöön sijoitetaan $x$:n paikalle $x + iy$ ja tuloksesta erotellaan reaali- ja imaginaariosa, saadaan kaksi varsin monimutkaista lauseketta:<br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhGOhjx3pDjp4yUyepK1j2MfwVauQ27ZNWffwIvk7Fn-f9oAaLCZmDCefbGzlY1Xt5WogrwGbInRd8URithh3FTqoLnMKKftYWYAXV4eufmkh_CNGVn5jKdvGy5syVbTlDdL2-KKV8JzJJr/s922/kolmoMma6.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="241" data-original-width="922" height="168" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhGOhjx3pDjp4yUyepK1j2MfwVauQ27ZNWffwIvk7Fn-f9oAaLCZmDCefbGzlY1Xt5WogrwGbInRd8URithh3FTqoLnMKKftYWYAXV4eufmkh_CNGVn5jKdvGy5syVbTlDdL2-KKV8JzJJr/w640-h168/kolmoMma6.png" width="640" /></a></div><br />Nämä ovat $= 0$ eräillä käyrillä kompleksitasossa (xy-tasossa) ja käyrien leikkauspisteet ovat yhtälön kompleksisia juuria. Kuvan piirtäminen auttaa hahmottamaan tilannetta.<br /><br /><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjCLHMhMkdnJAlhkr7K5Ypnx5aCidhZTHiK7Ywk-64dIZgjsLtuNZYzjK7fgozS2qVkD5ZFlvpHNlLaImvwqZ3Tqzym5_O9kyGHDCXlNcYSmvCff04KnSS9xR-7aDbeWoIW8Nn2j8CWb8az/s600/kolmoMma7.png" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="600" data-original-width="600" height="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjCLHMhMkdnJAlhkr7K5Ypnx5aCidhZTHiK7Ywk-64dIZgjsLtuNZYzjK7fgozS2qVkD5ZFlvpHNlLaImvwqZ3Tqzym5_O9kyGHDCXlNcYSmvCff04KnSS9xR-7aDbeWoIW8Nn2j8CWb8az/w400-h400/kolmoMma7.png" width="400" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Reaaliosa sininen, imaginaariosa vihreä, kompleksiset juuret (osa) punaiset<br /></td></tr></tbody></table><br /><br />Kiinnostuneelle lukijalle on tarjolla Mathematican syöttötiedoksi kelpaava <a href="http://www.elisanet.fi/simo.kivela/blg/129.nb" target="_blank">dokumentti</a> ja tämän <a href="http://www.elisanet.fi/simo.kivela/blg/129.pdf" target="_blank">pdf-muoto</a>.<br /><br />Mitä tästä sitten pitäisi opetuksen suhteen päätellä?<br /><br />Kompleksisilla potensseilla ei kannata hurjastella, mutta kompleksilukujen alkeet ehkä pitäisi tuntea, aikoinaan ne on opetettukin. Laskentaohjelmien tulostukset eivät tällöin aiheuttaisi ihmettelyä. Laskentaohjelmat ovat hyviä työkaluja, ja niiden käyttöön on hyvä harjaantua. Tämä ei kuitenkaan tarkoita ainakaan ensisijaisesti komentojen opettelua vaan asenteen omaksumista: kokeillaan ja tutkitaan. Ei pidä jahdata ns. oikeata ratkaisua, vaan pyrkiä lisäämään asian ymmärtämistä. Komentoja ei tarvitse muistaa, mutta tulisi kehittää kyky löytää ohjelman dokumentaatiosta se, mitä kulloinkin tarvitaan, ja myös se, mitä koskaan ennen ei ole käytetty. Grafiikkakin on erinomainen työkalu, jota ei pidä väheksyä.<br /><br /><div class="fskey-tooltip" id="fskey-tooltip" style="display: none;"><span class="fskey-tooltiptext" id="fskey-tooltiptext"></span></div>SKKhttp://www.blogger.com/profile/11007502688158156164noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-715456041255349481.post-24335168582716984262021-10-02T18:19:00.001+03:002021-10-02T22:50:22.203+03:00Akrobaattivierintä ja 3D-tulostus<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEicEkbANcu8fGK9JtQXcUVjPdnU0NxtFw7tc0fZk8eab3JA3PmT1BG2_rF28qkh9oSH2ILxvnI8NZRwU9hF7KFi0h5nNfSB5-zI2x1_Qw4Jr2BdYr3oC8bN9JWba79OZNGQa9AgW-D5EJur/s600/593px-96-Wheels-SpindleBridge.jpg" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto; padding: 1em 0px; text-align: center;"><img alt="" border="0" data-original-height="600" data-original-width="593" height="200" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEicEkbANcu8fGK9JtQXcUVjPdnU0NxtFw7tc0fZk8eab3JA3PmT1BG2_rF28qkh9oSH2ILxvnI8NZRwU9hF7KFi0h5nNfSB5-zI2x1_Qw4Jr2BdYr3oC8bN9JWba79OZNGQa9AgW-D5EJur/w198-h200/593px-96-Wheels-SpindleBridge.jpg" width="198" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><span style="font-size: x-small;">Copyright: Giovannino (Hans Genten, Aachen, Germany),<br />Attribution, via Wikimedia Commons</span></td></tr></tbody></table>
<p>Pöydälle vaakasuoraan asetettu ympyrälieriö vierii pöytää pitkin. Jos lieriö on isokokoinen, niin sen sisään asettuva ihminen voi hallita lieriön vierimistä asentoaan hieman muuttamalla, jolloin systeemin massakeskipiste siirtyy lieriön akselilta sivuun. Voisiko jokin muukin pinta vieriä vastaavalla, mutta ehkä monimutkaisemmalla tavalla?</p><p>Vastaus on myönteinen. Akrobaatit käyttävätkin tällaisia rakenteita, kuten linkitetystä <a href="https://www.youtube.com/watch?v=p3nlX0-No0Q&t=196s" target="_blank">videosta</a> käy ilmi. Matemaattinen analyysi puolestaan löytyy American Mathematical Societyn Notices-lehden artikkelista <a href="https://www.ams.org/journals/notices/202107/rnoti-p1106.pdf" target="_blank">Rolling Acrobatic Apparatus</a>. Tässä on muun ohella kuvattuna neljän kartiopinnan rajaama kappale, joka vierii hieman mutkitellen. Kiinnostuin ja ajattelin, että olisi kiva kokeilla ihan oikealla kappaleella.</p><p></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiyKY9tVu9zH6ALVyaVzonVfCrN-RGpB-kkQ9tPiX6DiMzXLqccobKRmUmWGGqpsTNBwKI4PtFudCltL8qRktNV9PXCW85I88FrvufxUTFCpLCf_9YePkodP4ghFvuz_-zuhFwPK5wWPmcb/s464/kartio4.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="355" data-original-width="464" height="153" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiyKY9tVu9zH6ALVyaVzonVfCrN-RGpB-kkQ9tPiX6DiMzXLqccobKRmUmWGGqpsTNBwKI4PtFudCltL8qRktNV9PXCW85I88FrvufxUTFCpLCf_9YePkodP4ghFvuz_-zuhFwPK5wWPmcb/w200-h153/kartio4.png" width="200" /></a><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhQ3aYVrwGt2APnyGPiXcapdJ3mGrB_RnbPNCuNMwPkvBGm1_MxP1KB70h4ZKstpb346cxpN2ZBCeVL6MFFyggYRTw-ZgJj-7F7yEeo8NT9NTMA-WNA_rbEe4XjVzeTh77qKvRS0OVuhN1x/s592/motikka.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="592" data-original-width="589" height="200" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhQ3aYVrwGt2APnyGPiXcapdJ3mGrB_RnbPNCuNMwPkvBGm1_MxP1KB70h4ZKstpb346cxpN2ZBCeVL6MFFyggYRTw-ZgJj-7F7yEeo8NT9NTMA-WNA_rbEe4XjVzeTh77qKvRS0OVuhN1x/w199-h200/motikka.png" width="199" /></a></div><br /><p>Ryhdyin piirtämään kappaletta laskentaohjelma Mathematicalla. Lähtökohtana on neljä puolikartiopintaa, joissa muodostajasuoran ja akselin välinen kulma on 45 astetta. Tällaisen parametriesitys voidaan kirjoittaa periaatteessa muotoon \[ u(0,0,1) + (1-u) (\cos(v),\sin(v),0), \quad 0 \le u \le 1,\ 0 \le v \le \pi. \] Tässä $(0,0,1)$ on kartion huippu ja puoliympyrän muotoinen pohja on xy-tasossa. Saadut neljä (eri asennoissa olevaa) kartiopinnan palaa voidaan Mathematicassa liittää yhteen, jolloin saadaan koko kappaleen kuva. Pinnoille voidaan määritellä myös paksuus, ja saadusta kappaleesta voidaan muodostaa stl-koodi, joka kelpaa lähtökohdaksi 3D-tulostimelle. Se on kuitenkin vielä viipaloitava esikäsittelyohjelmalla (käytössä Ultimaker Cura), ts. määriteltävä jako vaakasuoriin kerroksiin ja luotava tarvittavat lisätuet. Saatu tiedosto ohjaa tulostinta. Aikaa tulostamiseen meni hieman yli neljä tuntia. (Sen verran meni opetteluksi, että vasta kolmas tulostusajo onnistui.)</p><p>Alla on kuva viipaloinnista vaaleansinisine tukineen yksi kerros avattuna ja lopputulos. Vierimisestä on myös hidastettu <a href="http://www.elisanet.fi/simo.kivela/blg/vieritys3.mp4" target="_blank">video</a>. Tämä ei tosin anna aivan oikeata kuvaa, koska kappaleen tiheys ei ole vakio 3D-tulostuksen rakenteen takia eikä se siten vieri aivan tasaisesti.<br /></p><p></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhBUlC6PSrYt31577hR0Um4alXW_mxlDaxwbUvQiwHmlAcoW4ULg6gwmNn_l8HynvTeEgJuObD17MNoXJihDsEg6sRHN-6AkpxK61Mdbm5Pb8opvhzvLMOX4qFE7da03eYRKavsbQ6WKIl0/s592/viipalointi.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="564" data-original-width="592" height="191" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhBUlC6PSrYt31577hR0Um4alXW_mxlDaxwbUvQiwHmlAcoW4ULg6gwmNn_l8HynvTeEgJuObD17MNoXJihDsEg6sRHN-6AkpxK61Mdbm5Pb8opvhzvLMOX4qFE7da03eYRKavsbQ6WKIl0/w200-h191/viipalointi.png" width="200" /></a><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjv27kXi7N2J9snJ86HjKsQvATdFc1mpsee5yP9ulko3u9dFoJ_c2eEyJJCHivE3w91jAwqY0aRkMcs4q_rCoFCAsctwhF676OrmVZd6jFtpzPlDhN7GXiyNuiLpKYMm5cCXpLkrJYl_kZl/s2048/motikka.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="2048" data-original-width="1536" height="200" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjv27kXi7N2J9snJ86HjKsQvATdFc1mpsee5yP9ulko3u9dFoJ_c2eEyJJCHivE3w91jAwqY0aRkMcs4q_rCoFCAsctwhF676OrmVZd6jFtpzPlDhN7GXiyNuiLpKYMm5cCXpLkrJYl_kZl/w150-h200/motikka.jpg" width="150" /></a></div><br /> <p></p><p></p><p>Miten pinnasta sitten päästään kehikkoon, jonka sisään ihminenkin voisi asettua? Kartiopinnoille voidaan piirtää käyrät $u = \frac{1}{3}$, $u = \frac{2}{3}$, jolloin kappaleen pinnalle syntyy kaksi samantyyppistä käyrää kuin tennispalloissa on. Nämä sijaitsevat samalla pallopinnalla (ei piirretty alla oleviin kuviin), jonka keskipiste on kappaleen keskipisteessä. Kun käyrät korvataan putkirakenteella, poistetaan kartiopinnat ja lisätään jonkinlaiset tukisauvat, saadaan kehikko, jossa putkirakenne muodostaa ikään kuin raiteen, jonka varassa vieriminen tapahtuu.</p><p>Kiintoisaa olisi tehdä tämäkin 3D-tulostuksella. Epäilen vain onnistumista, koska tulostuksen aikaisia lisätukia tarvitaan paljon. Ehkä kuitenkin pitäisi kokeilla.</p><p></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjiZ0g_wMaKc4KR9KodzfEcJxm9yoaiPjWU2f7yoKPnkFKcGFAM_6DB1VyiwRLVu1baeZ5zbxKwBk6khVu0ff7zU06eAAJw-F_xIkZ9Cu2hAja0QhvNj7oFuge4swr9qmPURTM-pDRigXWy/s592/kartiokayrat.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="592" data-original-width="589" height="200" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjiZ0g_wMaKc4KR9KodzfEcJxm9yoaiPjWU2f7yoKPnkFKcGFAM_6DB1VyiwRLVu1baeZ5zbxKwBk6khVu0ff7zU06eAAJw-F_xIkZ9Cu2hAja0QhvNj7oFuge4swr9qmPURTM-pDRigXWy/w199-h200/kartiokayrat.png" width="199" /></a><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh1tOJRR2YqMDj90J8JOiuaJaqIb8D40XJGP6_g54hLBtniffuzAdm03Q0E12OSeqTITm8qapS__b2nbg3wQxiYwTb3k9c5nLxX1Wqz_dea-T6ri2upWlBvS0gR1srqFJqoEVomGzvRHw9B/s591/kehikko.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="588" data-original-width="591" height="199" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh1tOJRR2YqMDj90J8JOiuaJaqIb8D40XJGP6_g54hLBtniffuzAdm03Q0E12OSeqTITm8qapS__b2nbg3wQxiYwTb3k9c5nLxX1Wqz_dea-T6ri2upWlBvS0gR1srqFJqoEVomGzvRHw9B/w200-h199/kehikko.png" width="200" /></a></div><br /> <p></p>SKKhttp://www.blogger.com/profile/11007502688158156164noreply@blogger.com0