lauantai 15. huhtikuuta 2017

Kummallinen ylioppilastehtävä

Pulssikäyrään sovitettu toisen asteen interpolaatio

Kevään ylioppilaskirjoitusten lyhyen matematiikan kokeen tehtävä 12 on hieman ihmetyttänyt minua. Lähtötietona on koehenkilön pulssia urheilusuorituksen aikana kuvaava käyrä.  Lähteeksi mainitaan YTL, mutta tehtävänannosta ei ilmene, onko kyseessä todellinen mittaus. Ehkä joku lautakunnan jäsen on käynyt lenkillä.

Tehtävänannon mukaan Kalle ja Leena tekevät biofysiikan perusteiden harjoitustyötä, ja heidän tehtävänään on määrittää pulssikäyrän paikalliset minimikohdat. Kalle ehdottaa derivaatan nollakohtien määrittämistä tätä varten, mutta Leena ei hyväksy ajatusta, koska käyrässä on myös alaspäin suuntautuvia kärkiä. Tehtävän c-kohdassa tulee arvioida Kallen ehdotusta ja Leenan kritiikkiä.

Lautakunnan julkaisemien hyvän vastauksen piirteiden mukaan menetelmän vikana on, että kärkien kohdalla derivaatan merkki muuttuu, ilman että derivaatta saa välissä arvoa 0. Derivaatan avulla ei siis löydetä ainakaan kaikkia minimikohtia.

Tämäkö nyt sitten on menetelmän ongelmana? Käyrähän ilmeisesti perustuu diskreetisti mitattuihin arvoihin, lähinnä kai aikaeroihin peräkkäisten sydämen lyöntien välillä. Mistä tällöin saadaan se derivaatta, jonka nollakohtia voisi yrittää etsiä? Datapisteisiin voidaan tietenkin sovittaa interpolaatiopolynomi tai ehkä splini. Lyhyen matematiikan lukija saattaa ajatella, että tietokone viisaudessaan löytää funktiolle lausekkeen.

Ei kai se näin voi mennä. Jos lähtökohtana on numeerinen data, minimikohtia on etsittävä analysoimalla tätä dataa eikä yritettävä sovittaa dataan jotakin lauseketta, joka mahdollisesti voitaisiin derivoida. Tällaista ei voida välttämättä lainkaan löytää, ellei taustalla ole jotakin teoriaa, joka ennustaa käyrän periaatteellisen muodon. Tehtävä antaa siten väärän kuvan matematiikan soveltamisesta.

Taustana lienee, että derivaattaa käsitellään lyhyessä matematiikassa ja silloin sille on tarpeen löytää sovelluskohteita. Laskentaohjelmien käytössäkin on symbolinen laskenta noussut numeerista tärkeämmäksi.  Derivoidaan siis mieluummin kuin analysoidaan dataa.  Taulukkolaskenta voisi usein olla paremmin paikallaan kuin itsetarkoituksellinen symboliikka.

Odottaisin tehtäviltä suurempaa rehellisyyttä. Ei lukiolaisia pidä huijata uskomaan matematiikan käyttökelpoisuuteen, vaan näyttää sen käyttökelpoisuus todellisissa yhteyksissä. Näennäissovellukset vain tukevat käsitystä, ettei matematiikasta mitään todellista hyötyä ole.

2 kommenttia:

Nimetön kirjoitti...

Eikö hyvän vastauksen piirteissä itsessään ole ristiriita siinäkin, että mikäli tarkastellaan diskreettejä arvoja mukailevaa jatkuvaa käyrää, ei derituvattomia kärkiä luulisi olevan?

Ville kirjoitti...

Funktion jatkuvuus ei ole riittävä edellytys, että se olisi myös derivoituva