Mietteitä pitkän matematiikan ylioppilaskokeesta

Entisenä ylioppilastutkintolautakunnan matemaatikkojäsenenä seuraan edelleen ainakin jonkinlaisella kiinnostuksella ylioppilaskokeita. Muutoksiahan on minun aikani jälkeen tapahtunut paljon. Tutkinto on digitalisoitu useallakin tavalla: tehtävissä on aiempaa monipuolisempia materiaaleja, käytetään erilaisia tietokoneohjelmistoja, kokeiden organisaatio perustuu aika laajaan tietotekniikan hyödyntämiseen.

Aktiivisesta työstä poisjääminen antaa usein mahdollisuuden katsella asioita hieman etäämmältä, kun akuutit ongelmat eivät enää kaadu päälle. Pohdin seuraavassa eräitä näkökulmia, vaikka osuutta tutkinnon kehittämiseen minulla ei olekaan.

Tavalliseen tapaan pitkän matematiikan koetta on pidetty vaikeana. Taktisista syistä koulukollektiivin kannattaa tietenkin olla tätä mieltä, toiveena saada seuraavalla kierroksella helpompi koe, ts. sama arvosana vähemmällä työllä. Jos kuitenkin yritän objektiivisesti arvioida koetta, en voi pitää sitä kovin vaikeana. Joukossa toki on vaikeita tehtäviä, mutta myös sellaisia, joista aika helposti voi kerätä pisteitä, vaikka tehtävän täydellinen ratkaisu ei onnistuisikaan. Näin minusta pitääkin olla.

Tehtävä 6 ratkaistuna GeoGebralla

Perinteisen laskemisen ja ohjelmistojen käytön välinen rajanveto tuntuu ongelmalliselta.  Tämä tulee esiin erityisesti tehtävässä 6, jossa annetaan paraabeli ja sen ulkopuolinen piste. On määrättävä ne paraabelin pisteet, joihin asetettu tangentti kulkee annetun pisteen kautta, ja annettua pistettä lähinnä oleva paraabelin piste sekä etäisyys tähän. Vastaukseksi kelpaavat myös likiarvot. Hyvin klassinen tehtävä ja hyvän vastauksen piirteissäkin on klassinen ratkaisu. Mutta tehtävä ratkeaa näppärästi myös GeoGebran funktioilla Tangentti, Etäisyys ja LähinPiste (Tangent, Distance, ClosestPoint), kuten yllä oleva kuva osoittaa. Muita kokeessa sallittuja ohjelmistoja minulla ei ole, joten en osaa sanoa, löytyykö niistäkin vastaavat työkalut.

Vaikka GeoGebraa käytettäessä ei tarvitsekaan laskea yhtään mitään, tehtävän hahmottaminen kyllä edellyttää jonkinlaisia matemaattisia perustietoja GeoGebran hallitsemisen lisäksi. Eri ratkaisutavat pohjautuvat kuitenkin hyvin erilaisiin matemaattisiin taitoihin. Tällöin joudutaan pohtimaan, mitä tehtävä oikeastaan mittaa. Halutaanko painottaa ohjelmistoihin perehtymisen tärkeyttä? Pitäisikö kokelaan perehtyä useisiin kokeessa tarjolla oleviin ohjelmistoihin, koska niissä saattaa olla tiettyyn tehtävään eritasoisia työkaluja? Näin, vaikka juuri näitä ohjelmistoja myöhemmissä opinnoissa tai elämässä yleensäkään ei enää käytettäisi? Taustalla on aika olennainen kysymys: Mitä varten matematiikkaa koulussa oikeastaan opetetaan? Mitä sen opetuksen pitäisi kattaa?

Olen aikoinani pitänyt tarpeellisena laskentavälineiden ja ohjelmistojen tuomista koulun matematiikan opetukseen. Samalla olen sanonut, että se edellyttää muutoksia monissa asioissa eikä muutos ole tämän takia helppo. Periaatteessa olen samaa mieltä edelleen, mutta muutos olisi pitänyt toteuttaa toisin, eikä missään tapauksessa yrittää digitalisoida ylioppilastutkintoa kaikissa suhteissa samaan aikaan. Ohjelmistot ovat ohjanneet opetusta liiaksi, eikä niiden kehitys aina ole edennyt hyvään suuntaan. GeoGebrakin oli lähtökohdiltaan hyvä, mutta minusta se on mennyt pilalle ominaisuuksien lisääntyessä. Eroonkaan siitä ei helposti enää päästä. (Onneksi olen eläkkeellä eikä minun tarvitse kirjoittaa muistiota asiasta.)

Ohjelmistojen käytön kannalta ongelmallisia ovat myös pitkän matematiikan kokeen tehtävät 8 (polynomien jakoalgoritmi), 11 (lukujono) ja 12 (geometrisen keskiarvon todennäköisyyksiä).  Polynomien jakolaskuun on GeoGebrassa valmis komento, jota kyllä tässä ei sanamuodon perusteella ilmeisestikään voi käyttää, mutta yleisemmin voi pohtia, miten tehtävien tulisi suhtautua tarjolla oleviin laskentatyökaluihin. Millaisia laskentatyökaluja tulisi oppia käyttämään? Lukujonotehtävässä raja-arvo on löydettävissä numeerisella rekursiivisella laskulla. Tällöin lasketaan likiarvoilla, mutta tulos tulee täysin selväksi. Riittäisikö tämä, kun kerran luotamme laskimeen monissa muissakin numeerisissa laskuissa?

Tehtävän 12 ratkaiseminen kaikki tapaukset taulukoimalla tai simuloinnilla on mielenkiintoinen avaus.  Millaisia ja miten näppäriä tapoja eri ohjelmistot tarjoavat tähän? Hyvän vastauksen piirteissä on annettu kaksi taulukkolaskentatiedostoa, joiden mielekkyyttä en oikein ymmärrä. Alla on vertailun vuoksi tiivis ratkaisu Mathematicalla, joka tosin ei ole kokeessa käytettäviä ohjelmistoja.

Tehtävän 12 jälkiosa ratkaistuna Mathematicalla

Ohjelmistojen käytöstä huolimatta kokeen on syytä mitata nimenomaan matematiikan osaamista, ei ohjelmistojen ehkä hieman eksoottistenkin piirteiden hallitsemista. En oikein usko, että tähän on muuta tietä kuin muotoilla tehtävänannot osoittamaan näkökulma, josta asiaa tulee tarkastella.  Joskus oli aika, jolloin saattoi luottaa siihen, että tehtävän ratkaiseminen osoitti myös tietyn matematiikan osaamista. Ohjelmistojen aikana tämä ei enää päde.