perjantai 16. joulukuuta 2016

Funktioteoreettiset piparit

Joulun kunniaksi esittelen funktioteoreettisen sovelluksen piparimuottien valmistamiseen. Älköön kukaan kuitenkaan ajatelko, että tämä on esimerkki matematiikan soveltamisesta arkielämään tai osoitus matematiikan tarpeellisuudesta.  Jouluhan on sitä paitsi juhla eikä arkea.

Kompleksimuuttujan kompleksiarvoisia funktioita $f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ voi tutkiskella selvittämällä, millaiseksi käyräksi kuvautuu sopivasti valittu lähtötason käyrä, esimerkiksi suora tai yksikköympyrä.

Funktion
\[
f(z) = \left(z^p + \frac{1}{2z^p}\right)^{1/p}
\]
tapauksessa sopiva käyrä on yksikköympyrä. Luontevinta on, että $p$ on luonnollinen luku, mutta myös puoliluvut $1/2$, $3/2$, $5/2$ jne. kelpaavat. Tuloksena on piparkakkumuottikäyriä:

$2p = 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10,\ 200$

Aivan ongelmaton tilanne ei ole, sillä piparkakkumuotin tulee olla umpinainen käyrä, mutta kompleksiluvun vaihekulman eli argumentin antava funktio $\arg$ saa arvonsa väliltä $]-\pi,\pi]$ ja jaksolliseksi laajennettuna sillä on hyppyepäjatkuvuus kohdissa $\pi + 2n\pi$ ($n$ kokonaisluku tavanomaiseen tapaan). Tämä on korjattava jatkuvaksi, jotta saadaan umpinainen piparkakkumuotti.  Saman asian voi tehdä valitsemalla sopiva arvo funktion lausekkeessa olevalle $p$:nnelle juurelle (eli potenssille $1/p$). Kompleksitasossahan $p$:nnellä juurella on $p$ eri suurta arvoa.

Jotkut ratkovat ristisanatehtäviä aikansa kuluksi. Matemaattisemmin orientoituneet henkilöt saattavat olla kiinnostuneita matemaattisen ohjelmakoodin selvittelystä. Tarjoan pohdittavaksi Mathematica-koodin, joka piirtää piparimuotteja. Ongelmana siis on, mitä mikäkin koodirivi tekee.


Vihjeeksi Mathematica-ohjelmiston käyttämän kielen, ns. Wolfram Languagen verkkodokumentti: http://reference.wolfram.com/language/.

Tämän jälkeen voikin ryhtyä tekemään piparkakkumuotteja 3D-tulostuksella.  Minulla itselläni on vanhemmalla tekniikalla tehdyt: peltiä leikkaamalla ja taivuttelemalla.



Lopuksi toivotan kaikille riemullista joulujuhlaa.

tiistai 29. marraskuuta 2016

Viiden pisteen ellipsi

Koordinaattitasoilla olevien ympyröiden kuvaellipsit
xy-tasossa olevan ellipsin yhtälö on aina muotoa
\[
Ax^2 + By^2 + 2Cxy + 2Dx + 2Ey + F = 0
\]
sen muodosta ja asemasta riippumatta. Yhtälö voi kertoimista riippuen esittää myös paraabelia tai hyperbeliä tai näiden erikoistapauksia. Yhteisellä nimellä käyriä kutsutaan toisen asteen käyriksi tai kartioleikkauksiksi.

Kertoimia yhtälössä on kuusi. Käyrä ei kuitenkaan muutu, jos yhtälö kerrotaan jollakin luvulla. Oleellisia eivät siten olekaan kertoimet vaan niiden suhteet, joita on viisi. Näiden määrittämiseen riittää tuntea viisi pistettä. Kertoimet saadaan siis ratkaisemalla viiden yhtälön lineaarinen ryhmä. Pisteiden sijainnista riippuen tuloksena on ellipsi, paraabeli, hyperbeli tai jokin erikoistapaus.

Valmis työkalu käyrän muodostamiseen viiden pisteen avulla löytyy monista dynaamisen geometrian ohjelmista (ainakin GeoGebra ja TI-Nspire; onko Class Padissa?). CAS-työkaluilla voi tietenkin myös ratkaista em. viiden yhtälön ryhmän.

Ellipsi kuitenkin määräytyy yksikäsitteisesti myös, jos tunnetaan yksi liittohalkaisijapari. Liittohalkaisijaparia sitoo ehto, että kumpikin puolittaa toisen suuntaiset jänteet. Tällöin tunnettuja pisteitä on kuitenkin vain neljä, liittohalkaisijoiden päätepisteet. Mistä saadaan viides piste?

Viidennen pisteen konstruointi

Viides piste löytyy varsin yksinkertaisella konstruktiolla: Muodostetaan ellipsin ympäri piirretty suunnikas asettamalla kummankin liittohalkaisijan $AB$ ja $CD$ päätepisteiden kautta toisen liittohalkaisijan suuntaiset suorat. Valitaan jokin tämän kärki ($F$) ja tätä vastaten määritetään janojen $KD$ ja $FD$ keskipisteet $M$ ja $N$. Viides piste on suorien $MF$ ja $AN$ leikkauspiste $P$.

Konstruktion pätevyys ei ole itsestään selvää. Todistus ei kuitenkaan ole hankala, kun lähdetään ajatuksesta, että jokainen ellipsi on ympyrän affiininen kuva, ts. kuva yhdensuuntaisprojektiossa eli aksonometrinen kuva. Koska tällöin janojen jakosuhteet säilyvät, janojen keskipisteet kuvautuvat kuvajanojen keskipisteiksi. Ellipsin liittohalkaisijoita vastaa ympyrän kaksi kohtisuoraa halkaisijaa; nämähän nimittäin ovat ympyrän liittohalkaisijoita, ts. kumpikin puolittaa toisen suuntaiset jänteet.

Jäljelle jää siten vain osoittaa, että vastaava konstruktio ympyrässä tehtynä tuottaa ympyrän pisteen. Tämä puolestaan on alkeisgeometriaa.

Ellipsin piirtämismenetelmänä konstruktio ei nykyisten tietokoneohjelmien aikakaudella enää ole kovin merkittävä. Alussa olevassa kuviossa ympyröiden kuvaellipsit olisi luonnollisesti voitu piirtää konstruoimalla viides piste, mutta ohjelmistot usein tarjoavat muunlaiset valmiit työkalut tällaisiin tehtäviin. Esimerkkinä GeoGebra, jolla kuvio on tehty.

Olemmeko menossa kohden maailmaa, jossa matematiikan taitoja tärkeämpää on osata käyttää ohjelmistoja?

torstai 17. marraskuuta 2016

GeoGebra ja CAS

Edellisessä postauksessani kritisoin GeoGebran CAS-osiota. Hieman laajempaa ongelmaa tutkiessani johduin uudelleen ihmettelemään sen piirteitä. Seuraava on mahdollisimman yksinkertainen esimerkki CAS-osion ja dynaamisen geometrian osion välisistä suhteista. (CAS = Computer Algebra System)

En ole hirveän hyvin perehtynyt GeoGebran sielunelämään. Joku viisaampi voi varmaan kommentoida havaintojani.


Lähtökohtana on piirtonäyttöön piirretty origokeskinen yksikköympyrä, suora $y = x$ ja näiden leikkauspisteet $C$ ja $D$. Kaikki muodostettu dynaamisen geometrian työkaluilla.

Objektit löytyvät myös CAS-puolelta: ympyrän ja suoran yhtälöt objektien nimillä, pisteet samoin. Jälkimmäisille on saatu murtolukuesitys tarkkojen arvojen painikkeella (korostettu sinisellä).

Leikkauspisteet voidaan tietenkin myös löytää ratkaisemalla ympyrän ja suoran yhtälöiden muodostama yhtälöpari. Tätä on yritetty rivillä 5, mutta tulos on omituinen. Jos Solve-komentoon sen sijaan kirjoitetaan yhtälöt niiden nimien sijasta, oikeat ratkaisut löytyvät. Ongelmana lienee, minkä nimiä $c$ ja $f$ oikeastaan ovat. Odottaisin, että nimet kelpaavat symbolisessa laskennassa.

Yhtälöpari voidaan ratkaista myös aktivoimalla rivit 1 ja 2 ja painamalla tarkan ratkaisun painiketta. Saadaan rivin 6 oikea tulos. Tämän perusteella voidaan muodostaa pisteet $C1$ ja $D1$ (rivit 7 ja 8). Nämä ilmestyvät myös piirtonäyttöön (kuvassa ne on piilotettu).

Hämäävää on, että leikkauspisteille on saatu kaksi esitystä, molemmat ns. tarkkoja ratkaisuja. Tämän perusteella täytyisi olla
\[
\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{470832}{665857},
\]
 ts. kakkosen neliöjuuri olisi rationaalinen.

Selitys luonnollisesti on, että leikkauspisteet on laskettu kahdella eri algoritmilla, dynaamisen geometrian numeerisella algoritmilla ja CASin symbolisella. Myös edellistä CAS kuitenkin käsittelee tarkkana arvona.

Dynaamisen geometrian idea, kuvion muunneltavuus, toimii kaikkialla: Jos suoraa muutetaan piirtonäytössä pisteitä $A$ ja $B$ siirtelemällä, kaikki CAS-puolen tulokset muuttuvat vastaavasti, myös pisteiden $C1$ ja $D1$ koordinaatit, joihin ilmestyy tilanteen mukaan mutkikkaita juurilausekkeita.  Tämä ei luonnollisestikaan enää päde, jos rivillä 5 syötetään ympyrän ja suoran yhtälöt Solve-komentoon. Niillähän ei tällöin enää ole kytkentää piirtonäytön objekteihin.

Esimerkki tuo esiin CAS-ohjelmien sudenkuopat. Yhtenäisyyden saavuttaminen ei ole helppoa. Ohjelman kehityksen alussa tehdyt valinnat voivat olla esteenä myöhemmin ilmenevien epäjohdonmukaisuuksien korjaamiseen. Tämä ei ole niinkään harvinaista: tie eteenpäin kulkee usein aloittamalla uusi projekti, jossa luodaan uusi ohjelma ja hyödynnetään tehtyjen virheiden antamat opetukset.

Tavallaan GeoGebrakin on tällainen uusi projekti. Aiemmat (Cabri, Cinderella, ...)  eivät käsittääkseni ole yrittäneetkään symbolilaskennan valtausta.

torstai 27. lokakuuta 2016

Digimatematiikkaa


Digitalisoinnista on tullut tärkeää. Nelisenkymmentä vuotta matematiikkaa Teknillisessä korkeakoulussa (TKK) opettaneena ja sen jälkeenkin tietotekniikan kehitystä seuranneena uudet kuviot kiinnostavat edelleen. Miltä asiat sitten nykyään näyttävät?

Elektroniset laskimet tulivat käyttöön 60- ja 70-lukujen vaihteessa. Vähitellen niitä alettiin käyttää myös koulujen matematiikan opetuksessa: ensin funktiolaskin, sitten graafinen laskin, muutama vuosi sitten symbolinen laskin (CAS, Computer Algebra System). Sittemmin tahti on kiihtynyt yleisen digitalisoitumisen ja ylioppilaskokeen sähköistämisen myötä: laskimista tietokoneohjelmiin tai tablettisovelluksiin, useisiin ohjelmistoihin, matemaattiseen tekstinkäsittelyyn.

Maailman muuttumista tuleekin seurata myös opetuksessa ja ottaa käyttöön tieto- ja viestintätekniikka siellä, missä se auttaa oppimista ja sen ohella tuottaa yleistä tietoteknistä osaamista.

Ylioppilastutkintolautakunta (YTL) on valinnut sähköisessä matematiikan kokeessa keväästä 2019 lähtien käytettäviksi matemaattisiksi ohjelmiksi seuraavat (https://www.ylioppilastutkinto.fi/images/sivuston_tiedostot/Sahkoinen_tutkinto/fi_sahkoinen_matematiikka.pdf):
  • GeoGebra,
  • wxMaxima,
  • Texas Instruments N-spire ja
  • Casio ClassPad II Manager.
Ohjelmista ensimmäinen, GeoGebra, on ns. dynaamisen geometrian työkalu muunneltavien geometristen kuvioiden laatimiseen ja funktioiden kuvaajien piirtämiseen. Se sisältää myös symbolisen laskennan (CAS) osion. Tarkoitettu lähinnä opetuskäyttöön, tässä käytössä ilmainen.

wxMaxima on yli neljäkymmentä vuotta sitten syntyneen Macsyman nykyinen versio.  Alunperin kyseessä oli symbolisen laskennan tutkimus- ja kehitysprojekti, ja Macsyma olikin 80-luvulla alan suurin ja kaunein, hintakin melkoinen.  Nykyinen wxMaxima on ilmainen. Perusratkaisut eivät ole oleellisesti kehittyneet, käyttöliittymä kylläkin.

N-spire ja Classpad ovat alunperin laskimia, mutta nykyään luontevin käyttöympäristö on tietokone. Ne ovat lukiotason opetuskäyttöön tarkoitettuja ohjelmia, jotka pyrkivät kattamaan kaiken tarpeellisen mukaanluettuna CAS.  Ilmaisia ylioppilaskokeessa, mutta muutoin maksullisia.

Ongelmattomin YTL:n ohjelmistovalinnoista on GeoGebra. Se on näppärä työkalu kuvioiden piirtämisessä ja niiden tutkimisessa, muodostaa luontevan geometrisen työskentely-ympäristön opiskelijalle. Sen CAS-osio on poikkeus: lausekkeiden käsittely on jäykkää, yksittäiset operaatiot onnistuvat, mutta laajempi laskenta ei oikein suju. CAS-osio ei kohoa lähellekään samaa tasoa kuin muut toiminnot.

YTL kirjaa kolme muuta ohjelmaa symbolisen laskennan ohjelmiksi, vaikka niillä toki voi suorittaa myös numeerisia laskuja, laatia graafisia esityksiä ym. Symbolinen laskenta on saanut liian korostetun aseman sekä tässä että koulumaailmassa yleensäkin.  Opetussuunnitelmassa toistuvasti todetaan, että opiskelijan taito käyttää teknisiä apuvälineitä on yhtenä opetuksen tavoitteena, mutta tarkemmin ei täsmennetä.  Tarkoittaako tämä CASia? Mitä sillä oikeastaan pitäisi oppia tekemään? Tarvitaanko sitä? Onko kenelläkään näkemystä?

Jos mikään muu ei muutu, on vaarana, että symbolista laskentaa aletaan käyttää oman ajattelun korvikkeena. Sillä lasketaan yksinkertaisia perustehtäviä, jotka oikeastaan pitäisi osata ilman mitään apuvälineitä. Käyttöliittymät eivät kuitenkaan ole aivan yksinkertaisia, jolloin niiden opettelu vie oman aikansa. Tämä on pois matematiikan opiskelusta eikä auta jatko-opinnoissakaan, joissa yleensä on käytössä muut ohjelmat.

Toin aikoinani TKK:n peruskurssien opetukseen numeerisen laskentaohjelman (Matlab) käytön, myöhemmin myös symbolisen (Mathematica, Maple). Tilanne oli toisenlainen: käytössä yleiset työkaluohjelmat, joiden opetteluun kannatti panostaa; monimutkaisemmat ongelmat.

Onko symbolinen laskenta siis tarpeetonta lukiossa? Ei välttämättä. Edellytyksenä kuitenkin on tavoitteiden ajattelu uudelleen. Joustava, mutta ei monimutkainen matemaattinen työskentely-ympäristö, joka sisältää numeerisen laskennan, symbolisen laskennan alkeet, erilaiset graafiset esitykset ja dokumentin kirjoittamisen. Ympäristö, joka mahdollistaa laajempien tehtävien käsittelyn, jolloin opitaan kokonaisuuden hallintaa ja sen dokumentointia. Ohjelmointi, koodin kirjoittaminen, on tarvittaessa luonteva osa työskentelyä. Yksinkertaisista tehtävistä on luonnollisesti aloitettava, mutta vähitellen opitaan työskentelytapoja, jotka kantavat pidemmälle myöhemmässä opiskelussa ja työnteossa.

Ongelmana on, että muutos on aika syvällinen ja sellaisena vaatii opettajilta paljon. Mikään kolmesta ohjelmasta ei myöskään kovin sujuvasti tue tällaisia tavoitteita. Toki vaihtoehtoja on, mutta ainakin niiden listahinnat ovat aika korkeita. Ehkä kuitenkin kannattaisi katsoa, mitä olisi neuvoteltavissa.

Ohjelmistot voivat olla myös opettajan työkaluja havainnollistusten ja demonstraatioiden tekemiseen. Tämä on kuitenkin toinen tarina. Oppilaan ei tarvitse osata käyttää opettajan työkaluja.

torstai 29. syyskuuta 2016

Verkkodokumentit ja matematiikan kaavat

Matemaattisten kaavojen sisällyttäminen verkkodokumentteihin ei vielä nykyäänkään ole ongelmatonta, vaikka vuosien kuluessa on moniakin ratkaisuja esitetty.  Kirjoittamisessa on kaksi päävaihtoehtoa: symbolien poimiminen valikosta tai kaavan koodaaminen tavallisilla kirjoittuvilla merkeillä. Tämän jälkeen tarvitaan jokin ohjelma (jota käyttäjä ei välttämättä näe), jolla kaavasta muodostetaan dokumenttiin liitettävä kuva tai jolla tarvittavat fontit liitetään dokumenttiin.

Tavalliselle käyttäjälle ehkä helpoimmin omaksuttava kirjoittamistapa on jokin valikoita käyttävä kaavaeditori. Jos kirjoitettavaa on vähän enemmän, kaavojen koodaaminen on nopeampaa, mutta aloituskynnys on korkeampi. Ammattimatemaatikot yleensä koodaavat kaavat käyttäen LaTeX-järjestelmää; ks. esim.  https://www.latex-project.org/ tai tekemääni LaTeX-opasta http://matta.hut.fi/matta/latexopas/.

Tarve kaavojen littämiseen sähköisiin dokumentteihin on lisääntymässä.  Matematiikan ylioppilaskokeen muuttuminen sähköiseksi keväällä 2019 edellyttää yksinkertaista ja helposti ymmärrettävää ratkaisua kaavojen kirjoittamiseen.  Valintaa ei helpota se, että sillä on kytköksensä kokeessa käytettäviin laskentaohjelmistoihin. Sama ongelma on sähköisissä oppimateriaaleissa, mikäli ne ovat muutakin kuin sähköisiä sivunkääntöympäristöjä.

Tähän blogiin olen kirjoittanut kaavat LaTeXilla koodaamalla (esimerkiksi http://simokivela.blogspot.fi/2016/08/kokeellisen-matemaatikon-painajainen.html). Seuraavassa kuvaan, miten tämä on tehty.

LaTeX on erittäin monipuolinen ja paljon erilaisia laajennuksia sisältävä järjestelmä dokumenttien — yksittäisistä kaavoista kirjoihin — kirjoittamiseen. Sen avulla voidaan hallita kaavojen kirjoittamisen ohella kuvien liittäminen tekstiin, sisäiset ja ulkoiset linkitykset, sisällysluettelot ja hakemistot, haluttaessa myös viivakuvioiden piirtäminen (väreineen), nuotit, šakkilaudan kuvat jne.

Muutamien kaavojen kirjoittaminen verkkodokumenttiin (kuten tähän blogiin) ei kuitenkaan edellytä syvällistä LaTeXin koristeluihin ja kummallisuuksiin perehtymistä. Ainoa tieto, joka tarvitaan, on tavallisten matemaattisten kaavojen koodaus. Tekstirivillä olevat kaavat (inline-kaavat) sijoitetaan merkkien $\backslash(\,...\,\backslash)$ väliin (tai $ \$\,...\,\$ $), erillisillä kaavariveillä olevat (display-kaavat) merkkien $\backslash[\,...\,\backslash]$ väliin. Kaiken tämän olen kirjoittanut muun tekstin sekaan.

Koodin muuntaminen dokumentissa näkyviksi kaavoiksi perustuu MathJax-ohjelmistoon (https://www.mathjax.org/), joka otetaan käyttöön liittämällä verkkodokumenttiin (HTML-dokumenttiin) muutaman rivin skriptimäärittely. Minulla on Googlen blogiympäristössä (Malli → Muokkaa HTML-koodia) blogin koodin <head>-osioon lisättynä seuraavat rivit:

<script type="text/x-mathjax-config">
MathJax.Hub.Config({tex2jax:
  {inlineMath: [['$\$ $','$\$ $'], ['$\backslash\backslash($','$\backslash\backslash)$']]}});
</script>
<script type="text/javascript"
src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?
  config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML">
</script>

MathJax-ohjelmisto haetaan tässä osoitteesta http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/.  Config-rivi ilmaisee, että tekstirivillä olevat kaavat (inline-kaavat) voidaan sulkea joko merkkien $ \$\,...\,\$ $ tai $\backslash(\,...\,\backslash)$ sisään. MathJax-ohjelmisto on mahdollista asentaa myös omalle palvelimelle tai omalle koneelle, jolloin verkkoyhteyttä ei tarvita.

Kaavojen koodeja voi katsella klikkaamalla  valmiissa dokumentissa hiiren kakkosnäppäimellä kaavaa (esimerkiksi blogipostauksessani), jolloin näkyviin tulee valikko. Tästä voi valita nähtäväksi esimerkiksi kaavan tekemiseen tarvitun koodin (Show Math As → TeX Commands). Muitakin vaihtoehtoja on. Valikon avulla voi myös tehdä asetuksen, jolla kaavan saa suurennettuna (Math Settings → Zoom Trigger → ...). Tämä on suureksi avuksi, jos esimerkiksi kaavan pienikokoisia indeksejä on vaikeata erottaa.

keskiviikko 7. syyskuuta 2016

Eläkeläisen matemaattinen lelu

Animoi!
Eläkkeelle jäämisestäni tuli syyskuun alkaessa täyteen kymmenen vuotta. Oli aika lopullisesti irtautua vanhasta työpaikastani Teknillisen korkeakoulun matematiikan laitoksesta. Olihan oppilaitoksen nimikin muuttunut Aalto-yliopistoksi.

Kevättalveen saakka olin laitoksen henkilökuntalistalla, teinhän siellä jotakin hyödyllistäkin. Käyttäjätunnukset tietokoneisiin ja ohjelmistoihin olivat voimassa. Irtautuessani menetin nämä.

Mathematicaa — alunperin symbolisen laskennan ohjelmistoa, myöhemmin paljon muutakin — olen käyttänyt sen ensimmäisestä versiosta vuodesta 1988 lähtien ja vuosien kuluessa tehnyt sillä kaikenlaista hyödyllistä ja/tai hauskaa. Se on myös sopiva lelu minunkaltaiselleni eläkeläiselle.

Hintava Mathematica tunnetusti on, mutta onneksi tarjolla on myös Home and Hobby -versio, jonka käyttöä mihinkään rahaa tuottavaan toimintaan lisenssiehdot eivät salli. Hinta on kuitenkin kohtuullisen siedettävä, 295 euroa lisättynä kotimaisella ALV:lla, yhteensä 365 euroa. Eläkeläinen hankki siis itselleen lelun.

Ohjelmistojen kehityksestä Mathematica on kiintoisa esimerkki.  Kaupalliset syyt edellyttävät jotakin uutta ja mielellään mullistavaa jokaiseen versioon. Ja kyllä näitä ominaisuuksia ja aluevaltauksia on kertynytkin. Monet kiinnostavia ja varmasti hyödyllisiäkin, mutta joukossa myös kokeellisia piirteitä, joiden käyttö ei ole yleistynyt ja joiden kehittämisestä ilmeisesti on luovuttu. Joissakin tapauksissa ei ehkä ole väärin sanoa, että mopo on päässyt karkaamaan käsistä.

Toisaalta panostus ei oikein ole riittänyt alkuperäisen idean, symbolisen laskennan kehittämiseen ja hiomiseen. Symbolisen laskennan algoritmit eivät aina ole yksinkertaisia ja täydellisyyteen tuskin on mahdollista koskaan päästä, mutta vähän liian helposti syntyy virheellisiä tai puutteellisia tuloksia. Ei toki yksinkertaisissa perustehtävissä, mutta vaativammissa tapauksissa käyttäjän täytyy olla kriittinen ja varmistaa tuloksensa jollakin riippumattomalla tavalla. Sinänsä hyvä periaate yleisemminkin.

Mammutti Mathematicasta on tullut. Hieman sääli on, että tällaisena sillä ei ole sijaa koulumaailmassa. Jokin Mathematican version 5 tasoinen (nykyinen versio on 11) paketti saattaisi monessa suhteessa olla hyvä työkalu lukion pitkään matematiikkaan. Parempi kuin nykyään tarjottavat ohjelmistot: ei liikaa valmista, mutta suhteellisen helppoa ohjelmoida itse omia työkaluja. Oppia samalla matematiikkaa, kokonaisuuksien hallintaa ja dokumentointia. Tällaista versiota vain ei myydä. En ymmärrä, miksi.

Mikä yllä oleva kuvio sitten on? Katenoidin voi venyttämättä ja kokoon puristamatta vääntää helikoidiksi, ts. ruuvipinnaksi.  Animaation kuvat on tehty Mathematicalla. Helposti voi myös laskea, että muuntamisen aikana kahta pistettä pintaa pitkin yhdistävän käyrän pituus säilyy.

tiistai 23. elokuuta 2016

Kokeellisen matemaatikon painajainen

Olen aina toisinaan tallettanut osoitteita matemaattisiin verkkodokumentteihin, jotka mahdollisesti ansaitsevat lähempää huomiota. Muutama päivä sitten tulin uudelleen katsoneeksi blogikirjoitusta, jossa pohdittiin seuraavantyyppisiä integraaleja:
\begin{align*}
I_1 &= \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\,dx\,, \\
I_2 &= \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\,\frac{\sin(x/3)}{x/3}\,dx\,, \\
I_3 &= \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\,\frac{\sin(x/3)}{x/3}\,\frac{\sin(x/5)}{x/5}\,dx\,, \\
I_4 &= \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\,\frac{\sin(x/3)}{x/3}\,\frac{\sin(x/5)}{x/5}\,\frac{\sin(x/7)}{x/7}\,dx\,, \\
\vdots
\end{align*}
tai yleisemmin
\[
I_n = \int_0^\infty \prod_{k=1}^n \frac{\sin(x/(2k-1))}{x/(2k-1)}\,dx.
\]

Näiden laskeminen ei ole aivan helppoa, mutta matematiikassakin voi harrastaa kokeilua.  Tuloksena voi olla hypoteesi tai vastaesimerkki. Katsotaan siis, suoriutuisiko laskentaohjelma integraaleista ja millaisia tuloksia se antaisi. Mathematica suoriutuu:
\[
I_1 = I_2 = I_3 = I_4 = I_5 = I_6 = I_7 = \pi/2.
\]
Tämän perusteella tuntuu jo aika selvältä, että tulos on aina $\pi/2$.

Seuraava integraali tuottaa kuitenkin yllätyksen:
\[
I_8 = \frac{467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}\,\pi.
\]
Onko asia todella näin vai onko Mathematica yksinkertaisesti laskenut väärin? Numeerisen integroinnin kokeilukaan ei auta, sillä edessä oleva kerroin ei paljoa puolikkaasta poikkea: 15-desimaalinen likiarvo nimittäin on $0.499999999992647$. Numeerisella integroinnilla saattaa olla vaikeata päästä näin suureen tarkkuuteen.

Ei siis liene muuta keinoa kuin pyrkiä laskemaan integraalit analyyttisesti. Tämäkin kyllä onnistuu: työkaluiksi kelpaavat esimerkiksi konvoluutio ja Fourier'n muunnos. Yksityiskohtainen esitys löytyy Hanspeter Schmidin artikkelista: http://www.schmid-werren.ch/hanspeter/publications/2014elemath.pdf.  Hakusanoilla 'borwein integral' Google löytää materiaalia enemmänkin.

Lähteenäni ollut blogiartikkeli on osoitteessa http://www.thebigquestions.com/2012/03/26/loose-ends/. Se kertoo myös Jonathan Borweinin Maplelle tekemästä kepposesta (= practical joke).

Niin, laskiko Mathematica siis väärin? Ei laskenut, tulos on aivan oikea. Hieman yllättävä se on, mutta Hanspeter Schmidin artikkeli antaa ilmiölle luontevan selityksen. Indeksistä 8 eteenpäin integraalien arvot hiljakseen pienenevät.

maanantai 8. elokuuta 2016

Lukio ja matemaattinen yleissivistys

Lukion opetussuunnitelman perusteiden mukaan lukiokoulutuksen tehtävänä on yleissivistyksen vahvistaminen. Yleissivistys puolestaan muodostuu arvoista, tiedoista, taidoista, asenteista ja tahdosta. Tätä ei ole aivan helppoa konkretisoida oppiainekohtaisesti, mutta ehkä ei ole aivan väärin sanoa, että yleissivistys on sitä, mikä jää jäljelle, kun kaikki detaljitieto on unohtunut.

Millaisen matemaattisen yleissivistyksen lukio sitten antaa? Pelkään, ettei oikeastaan mitään. Opetussuunnitelman perusteet luettelee joukon detaljeja, jotka kursseissa on käsiteltävä, toisinaan vielä rajaten pois näkökulmia, jotka saattaisivat kehittää ajattelua. Kun detaljit ovat unohtuneet, ei jää jäljelle oikein mitään. Ei ole yllättävää, että monet lukion käyneet myöhemmin sanovat, että eivät ole tarvinneet matematiikkaa mihinkään eikä siitä ole ollut mitään hyötyä.

Historiaakin voisi tietenkin opettaa detaljikokoelmana, mutta onneksi näin ei tehdä. Eivät yksityiskohdat sinänsä ole tärkeitä, mutta ne rakentavat kokonaisuutta ja luovat näkemystä. Samoin pitäisi tapahtua matematiikassa.

Matematiikan opetussuunnitelmaa leimaa ajatus opettaa laskemaan ylioppilaskokeessa esiintyvät laskut. Toki tämä auttaa myös matematiikkaa hyödyntävien alojen jatko-opinnoissa, mutta muiden alojen opiskelijoille hyöty jää vähäiseksi.

Mitä matemaattinen yleissivistys sitten olisi ja miten sen tulisi näkyä lukion opetussuunnitelmassa? Muutamien pääideoiden tulisi hahmottua lukiolaiselle:

Kirjaimilla laskeminen eli algebra. Kyseessä on seuraava askel luvuilla laskemisen jälkeen. Kaavojen käyttö tulee mahdolliseksi, asioita voidaan tutkia sotkeutumatta lukujen muodostamiin erikoistapauksiin, löytyy lähes mekaaninen tekniikka yhtälöiden ratkaisemiseen jne.

Funktio on ehkä matematiikan tärkein käsite. Sen avulla kuvataan asioiden välisiä riippuvuuksia joko numeerisesti, lausekkeilla tai mutkikkaammilla määrittelyillä.  Funktion mallina esitetään usein ns. funktiokone, joka onkin hyvä malli, koska jokaisella oppilaalla on sellainen: laskin.

Geometria opettaa ymmärtämään kaksi- tai kolmiulotteista tilaa. Näkökulmia on kaksi: kulttuurihistoriallisesti tärkeä ja ajattelua kehittävä antiikin kreikkalaisten idea päätellä mutkikkaammat totuudet yksinkertaisempien pohjalta ja paljon myöhemmin syntynyt geometrian ja algebran symbioosi, geometrian hallitseminen laskemalla.

Käsitteellisesti vaativia ovat rajaprosessit: mitä tapahtuu, kun jokin muuttuja lähestyy jotakin jollakin tavoin kriittistä arvoa. Kyseessä on laajan kokonaisuuden lähtökohta: analyysi raja-arvoineen, sarjoineen, derivaattoineen, integraaleineen.  Matematiikan historiaan tämä on ilmestynyt suhteellisen myöhään, vaikka ensimmäisillä sittemmin unohtuneilla ideoilla onkin ikää paljon.

Toisinaan diskreetiksi matematiikaksi kutsuttu hieman diffuusi kokonaisuus: kombinatoriikka, (abstrakti) algebra, logiikka, jolla on kasvava merkitys digitaalisessa maailmassa.

Tietotekniikan käyttöä en pääideoihin sisällytä. Sen tulee olla tavanomainen apuväline kaikessa työskentelyssä, mutta ainakaan toistaiseksi se ei ole merkittävä osa varsinaista matematiikkaa.

Selvyyden vuoksi lienee syytä sanoa, että edellä sanottu ei ole tarkoitettu opetussuunnitelmaksi. Kyseessä ovat käsitteellisesti merkittävät asiat, joiden tulisi olla opetussuunnitelman laatimisen lähtökohtana ja antaa opetussuunnitelmalle tietty ryhti. Kurssijaon ja -sisältöjen muodostaminen on tämän jälkeen oma tehtävänsä, joka ei ole aivan helppo.

tiistai 31. toukokuuta 2016

Differentiaaliyhtälöitä ja planeettaliikettä lukiolaisille

Planeettaliike: Maa-Kuu-systeemi
Olin toukokuun alussa puhumassa matematiikasta eräässä lukiossa. Kuulijat olivat ykkös- ja kakkosluokkalaisia, tiesivät jotakin vektoreista ja derivaatasta, osa juuri ja juuri. Tarkoituksena oli antaa jonkinlainen mielikuva siitä, mihin oikein kelpaa — esimerkiksi — se matematiikka, jota he ovat opiskelemassa.

Kun kerran derivaattafunktio suurin piirtein tiedettiin, oli mahdollista esitellä differentiaaliyhtälön käsite, katsoa jokin esimerkki tällaisten ratkaisuista ja lähestyä ongelmaa graafisesti. Erotusosamäärän käsite antoi eväät numeerisen ratkaisemisen ymmärtämiseen. Samalla näkyi, miksi alkuehdot ovat tarpeen.

Nopeuden ja derivaatan yhteys likimain tunnettiin, kiihtyvyyden ja toisen derivaatan yhteys oli oudompi. Nopeus ja kiihtyvyys vektoreina ja paikkavektorin derivaattoina olivat uusia asioita, mutta hyppy ei kuitenkaan ollut kovin vaikea uskottavaksi.

Newtonin laki ja gravitaatiolaki antoivat tämän jälkeen mahdollisuuden kirjoittaa differentiaaliyhtälö, itse asiassa differentiaaliyhtälöryhmä, joka kuvaa kahden partikkelin — planeetan — liikettä keskeisvoimakentässä.  Tämän sitten saattoi ratkaista numeerisesti, kun käytettävissä oli riittävän tehokas ohjelmisto, minulla Mathematica. Loppuhuipentumana muutama animaatio, joista alussa oleva kuva on peräisin.

Aikaa oli käytettävissä 80 minuuttia ja esitys muodoltaan luento. Esitin myös kuulijoille muutamia kysymyksiä ja minulta muutaman kerran kysyttiin jotakin. Miten esitystä sitten jaksettiin seurata ja mitä siitä mahtoi jäädä mieleen?

Esitystä seurattiin varsin kiinnostuneina. Aktiivisia vastaajia ja kysyjiä ei tietenkään ollut monia, mutta se mitä sanottiin, keskittyi täysin oleellisiin asioihin. Arvioisin, että pääpiirteissä pysyttiin mukana. Luento ei ehkä olekaan vanhentunut opetusmuoto, kuten toisinaan väitetään, mutta se on toteutettava tavoitteisiin ja kuulijoille sopivalla tavalla.

Yksityiskohtiin en tietenkään voinut mennä: en todistanut lauseita, en edes esittänyt täsmällisiä määritelmiä, en laskenut laskuja läpi. Sen sijaan kerroin, millaisia käsitteitä on, miten niitä voidaan lähestyä ja ajatella, millaisia tuloksia laskuilla saadaan. Yksityiskohtien oppiminen ei ollut tarkoituskaan, vaan antaa jonkinlainen kokonaiskuva ja sen myötä ehkä motivaatio lähteä tarvittaessa opiskelemaan yksityiskohtia.

On myönnettävä, että tein aika paljon töitä esitystä valmistaessani. Minulla oli valmiit pdf-kalvot auditorioesitystä varten, liitutaulua ei käytössä ollut enkä sitä kaivannutkaan.

Matematiikka nähdään usein yksityiskohtien huolellisena puurtamisena ja niiden perustelemisena. Sinänsä tämä on välttämätöntä eikä sitä ole syytä väheksyä, mutta seurauksena on usein matematiikan hahmottuminen tylsäksi ja näköalojen katoaminen. Matematiikan opettamiseen ja opiskeluun tarvitaan muutakin: kokonaisvaltaisempi — ja epätäsmällisempi — ote sen mahdollisuuksien näyttämiseen.

perjantai 6. toukokuuta 2016

Perspektiivinen rautatie

Terra Cognita julkaisee verkkosivuillaan sunnuntaipähkinöitä.  Pähkinä nro 22 julkaistiin 17.4.2016 ja kyseessä oli oheisen kuvan mukainen perspektiiviongelma: Perspektiivikuvassa suoran rautatien kiskot suuntautuvat pisteeseen $O$. Näkyviin on piirretty kaksi ratapölkkyä, $AB$ ja $CD$. Miten on piirrettävä seuraava ratapölkky, kun ne tietenkin ovat tasavälisiä?

Viikkoa myöhemmin esitettiin ratkaisu, oleellisesti sama kuin alla olevassa kuvassa. Ratkaisun avaimena ovat apupisteet $F_1$ ja $F_2$, joiden avulla voidaan piirtää miten monta ratapölkkyä tahansa.

Mutta miksi juuri tämä on oikea ratkaisu eikä jokin muu menettely, joka myös antaisi ratapölkkyjä tihenevästi?

Taiteilijalla on tietenkin vapautensa piirtää perspektiivikuvia näkemyksensä varassa niin kuin haluaa. Jos kuvan säännönmukaisuuksia kuitenkin halutaan tutkia tarkemmin ja muodostaa perspektiivisääntöjä kuvan piirtämiseen, johdutaan luonteeltaan matemaattiseen — geometriseen — ongelmaan. Aluksi on määriteltävä, mitä oikeastaan tarkoitamme puhuessamme perspektiivikuvasta.

Luonnollisinta on ajatella perspektiivikuvan olevan keskusprojektiolla tasopinnalle muodostettu kohteen kuva. Tällöin kolmiulotteisessa avaruudessa on kiinnitettynä piste, projektiokeskus, ja taso, kuvataso. Projektiokeskus ei saa olla kuvatasossa. Kohteessa olevan pisteen kuva löydetään asettamalla suora pisteen ja projektiokeskuksen kautta ja etsimällä tämän leikkauspiste kuvatason kanssa.
Keskusprojektion valitseminen perustuu siihen, että optinen systeemi, kuten ihmissilmä tai kamera, muodostaa kuvan likimain tällä periaatteella.

Perspektiivin geometrinen tutkiminen alkoi varhaisrenessassin aikana 1400-luvulla, jolloin useat taiteilijat kiinnostuivat aiheesta ja seurauksena oli lukuisia maalauksia, joissa perspektiivin ominaisuuksia tutkittiin. Tyypillinen esimerkki on Piero della Francescan työnä pidetty Citta ideale (Ihanteellinen kaupunki) noin vuodelta 1470.  Vuonna 1525 ilmestyi Albrecht Dürerin teos Underweysung der Messung, mit dem Zirckel und Richtscheyt, in Linien, Ebenen unnd gantzen corporen, jossa tutkittiin kuvien muodostamista geometrian pohjalta.  Teoksesta on peräisin tunnettu luutun perspektiivikuvan muodostamista esittävä kuva.

Keskeisimmän perspektiivikuvia koskevan geometrisen tuloksen mukaan kohteen yhdensuuntaisilla suorilla on kuvassa yhteinen pakopiste. Tätä voidaan ajatella suorilla äärettömän kaukana olevan pisteen kuvana, ts. jos suoralla oleva piste etääntyy äärettömän kauas, sen kuva lähestyyy pakopistettä. Tämän mukaisesti rautatien kiskot suuntautuvat tehtävässä pisteeseen $O$.

Ratkaisu perustuu samaan tulokseen. Ratapölkkyjen väliin jäävien yhtenevien suorakulmioiden lävistäjät nimittäin muodostavat kaksi keskenään yhdensuuntaista suoraparvea, jolloin kummallakin on oma pakopisteensä, $F_1$ ja $F_2$. Nämä sijaitsevat horisontiksi kutsutulla suoralla $h$, joka sisältää kaikkien vaakasuorien suoraparvien pakopisteet. Kun $F_1$ ja $F_2$ saadaan määritetyiksi suorien $AD$ ja $BC$ avulla, voidaan piirtää lisää lävistäjäsuorien kuvia ja näiden avulla ratapölkkyjen kuvia.

Jos lukija on lähemmin kiinnostunut perspektiivikuvien geometriasta tai yleisemmin kuvien piirtämisen geometrisista perusteista, suosittelen kirjaani Perspektiivikuvan geometriset perusteet (esim. https://www.booky.fi/tuote/simo_kivela/perspektiivikuvan_geometriset_perusteet/9789525491494).

-------------

Sain Facebookissa kysymyksen:

Jotain on minulta päässyt unohtumaan: miten ratapölkyn A-B suunta määräytyy? Yksi katoamispiste lisää, mutta minne? Niin että näyttää hyvältä?

Ja vastaukseni:

Suunta oli annettu Terra Cognitan tehtävänasettelussa, $AB$ ja $CD$ vaakasuoria. Näin ei tarvitse olla. Ratapölkyt ovat tietenkin yhdensuuntaisia, joten niillä on yhteinen pakopiste Oheisen kuvan tilannekin on siten mahdollinen, ja konstruktio toimii siinäkin. Jos ratapölkyt ovat yhdensuuntaisia, niiden pakopiste on äärettömän kaukana oleva yhdensuuntaisten suorien leikkauspiste. Projektiivinen geometrikko tykkää tällaisista. 

 

tiistai 12. huhtikuuta 2016

Mitä symbolilaskentaohjelmalta voi odottaa ja mitä ei, osa 2

Kollega Pekka Alestalo esitti kommentoitavaksi Mathematicalla  lasketun esimerkin, jossa tulos on virheellinen: Integraalin
\[
\int_0^{2\pi} \sqrt{1 - \cos(nx)}\,dx
\]
arvoksi saadaan
\[
\frac{2\sqrt{2}}{n} - \frac{2\sqrt{1 - \cos(2n\pi)}\cot(n\pi)}{n}.
\]
Jos $n$ on positiivinen kokonaisluku, osoittajaan syntyy $0 \cdot \infty$. Raja-arvotarkastelulla saadaan joko $0$ tai $4\sqrt{2}/p$ riippuen siitä, kummalta puolelta $n$ lähestyy kokonaislukuarvoa $p$.

Tuntuu omituiselta, sillä kyseessä on ei-negatiivisen funktion integraali, eikä kokonaislukuparametrissa $n$ pitäisi olla mitään kummallista.  Integraali on mahdollista laskea trigonometrisen kaavan $1 - \cos(nx) = 2\sin^2(nx/2)$ avulla, ja tulokseksi saadaan $4\sqrt{2}$ kokonaislukuparametrin $n$ arvosta riippumatta. Tämä saadaan myös Mathematican avulla antamalla $n$:lle riittävän pieni numeerinen arvo. Liian suuri numeerinen arvo saattaa antaa väärän tuloksen (esimerkiksi $n = 10\,000$).  Numeerinen integrointi antaa tulokseen $4\sqrt{2}$ sopivat likiarvot.

Esimerkki osoittaa, että symboliseen laskentaan on suhtauduttava varovaisesti.  Tulosten järkevyys on vähänkin epäilyttävässä tapauksessa varmistettava esimerkiksi numeerisella laskennalla tai graafisilla tarkasteluilla.  Symboliikka on vaikeata eikä siihen pidä sokeasti luottaa.

Miksi laskenta sitten menee väärin?

Kaupallisen ohjelmiston koodit eivät ole julkisia eikä niistä todennäköisesti olisi kovin helppoa löytääkään syytä. Yksinkertaisempi esimerkki sen sijaan vihjaa mahdolliseen ongelmakohtaan.

Integraalin
\[
\int_0^{2\pi} \frac{1}{2 + \cos(x)}\,dx
\]
arvoksi saadaan $2\pi/\sqrt{3}$ Mathematican komennolla
Integrate[1/(2 + Cos[x]),{x,0,2 Pi}].
Tämä sopii myös yhteen numeerisen integroinnin kanssa, jolloin komento on
NIntegrate[1/(2 + Cos[x]),{x,0,2 Pi}].

Integraalifunktio on (komento Integrate[1/(2 + Cos[x]),x])
\[
\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\left(\frac{\tan(x/2)}{\sqrt{3}}\right).
\]
Kummankin rajan sijoittaminen tähän antaa tulokseksi $0$. Tämän mukaan intgeraalin arvo olisi siis $0$, mikä ilmiselvästi on virheellinen tulos.

Virhe näkyy piirtämällä integraalifunktion kuvaaja:



Funktiolla on hyppyepäjatkuvuus kohdassa $x = \pi$ eikä se siis kelpaakaan sellaisenaan integraalifunktioksi, jonka tulee olla jatkuva. On lisättävä integroimisvakio, erilainen epäjatkuvuuskohdan eri puolilla, jotta saadaan jatkuva funktio.

Alun esimerkissä on samanlainen ongelma. Vaikuttaa siltä, että Mathematican integrointialgoritmi toimii, jos epäjatkuvuuskohdat eivät riipu symbolista eikä niitä ei ole liian paljon.

--------------------
Jatkoa:

Kokeilin esimerkkejä myös TI-Nspire-ohjelmistolla (versio 3.9). Funktion \[ \frac{1}{2+\cos(x)} \] integraalifunktioksi saadaan \[ \frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\left(\frac{\tan(x/2)}{\sqrt{3}}\right) - \frac{\text{mod}(x-\pi,2\pi) - x}{\sqrt{3}} \] missä jatkuvuus on hoidettu aivan oikein, mutta hintana tietenkin on mod-funktion ilmestyminen lausekkeeseen. Integraalin \[ \int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos(nx)}\,dx \] laskeminen ei onnistunut, integraalifunktiota ei myöskään löytynyt, ts. vastaukseksi tuli integraali muuttumattomana. Numeerisella $n$:n arvolla vastaukseksi tuli likiarvo.

maanantai 14. maaliskuuta 2016

Yhtälön suruton ratkaiseminen manipuloimalla

Facebook-postauksessa matematiikan opiskelija ihmetteli seuraavaa yhtälön ratkaisemista:
\begin{align*}
&\ln(x+1) + \ln(x-1) = \ln(x^3+x^2) \\
&\ln((x+1)(x-1)) = \ln(x^3+x^2) \\
&\ln(x^2-1) = \ln(x^3+x^2) \\
&x^2-1 = x^3+x^2 \\
&x^3 = -1 \\
&x = -1
\end{align*}
Miten tähän pitäisi suhtautua, kun yhtälöllä ei pitäisi olla ratkaisua?

Päättely on sinänsä aivan moitteeton. Jokainen rivi seuraa edellisestä, joten väliin voitaisiin kaikkialle kirjoittaa oikealle osoittavat implikaationuolet. Kuitenkaan $x = -1$ ei ole yhtälön ratkaisu.

Ongelma on ensimmäisessä rivissä: Jotta manipulointia voidaan harrastaa, täytyy olla olemassa luku $x$, jota koskevia lausekkeita manipuloidaan. Tuntea tätä ei tarvitse, mutta olemassa sen täytyy olla, ts. heti alussa on tehty oletus, että yhtälöllä on ainakin jokin ratkaisu. Päättely siis osoittaa, että jos ratkaisu on olemassa, niin se on $x = -1$. Jos ratkaisua ei ole olemassa, ensimmäinen rivi on epätosi eikä sen pohjalle rakentuvan tuloksen totuusarvosta tiedetä mitään.

On siis tarkistettava, toteuttaako saatu arvo alkuperäisen yhtälön.  Eli ovatko implikaatiot käännettävissä osoittamaan vasemmalle, ts.  syntyykö itse asiassa ekvivalenssiketju.

Tilanteen hahmottamiseksi voi tietenkin tutkia myös logaritmifunktion määrittelyalueita, mutta välttämätöntä tämä ei ole yhtälöä ratkaistaessa (tai sitä yritettäessä).

Yhtälöä voi manipuloida myös toisin. (Matematiikkahan ei ole siinä mielessä yksikäsitteistä, että jokaisella tehtävällä olisi vain yksi hyväksyttävä ratkaisutapa, vaikka monet taitavat näin kuvitella.)  Siis toisin:
\begin{align*}
&\ln(x+1) + \ln(x-1) = \ln(x^3+x^2) \\
&\ln(x+1) + \ln(x-1) = \ln(x^2 (x+1)) \\
&\ln(x+1) + \ln(x-1) = \ln(x^2) + \ln(x+1) \\
&\ln(x-1) = \ln(x^2) \\
&x-1 = x^2
\end{align*}

Tässä vaiheessa voidaan tietenkin todeta, että saadulla toisen asteen yhtälöllä ei ole reaalista ratkaisua eikä siis alkuperäisellä yhtälölläkään. Mutta entä jos kelpuutettaisiin myös kompleksiset ratkaisut? Logaritmihan voidaan määritellä myös negatiivisille luvuille, jopa kompleksiluvuille.

Toisen asteen yhtälön kompleksiset ratkaisut ovat $x_1 = \frac{1}{2}(1 + i\sqrt{3})$ ja $x_2 = \frac{1}{2}(1 - i\sqrt{3})$.  Sijoittamalla nämä alkuperäiseen yhtälöön todetaan, että ne toteuttavat myös sen. Tämä tosin edellyttää kykyä laskea kompleksilukujen logaritmeja, mutta monet symboliset ohjelmat, jopa CAS-laskimet osaavat. Teoria puolestaan löytyy vaikka verkkodokumentista http://matta.hut.fi/matta/kompleksiluvut/cluvut.pdf.

Mutta miksi sitten ensimmäinen manipulointi ei johda näihin ratkaisuihin?  Jos kerran yhtälöllä on ratkaisu olemassa, niin päättelyn pitäisi antaa se. Kyllä se antaakin. Yhtälöllä $x^3 = -1$ on nimittäin kompleksialueella kolme ratkaisua: $x = x_1$ tai $x = x_2$ tai $x = -1$; edellä mainitut $x_1$ ja $x_2$ siis. Loogisella päättelyllä tämä seuraa alkuperäisestä yhtälöstä. 'tai'-lausuma on tosi, jos jokin sen vaihtoehdoista on, joten kaikkien vaihtoehtojen ei tarvitse olla yhtälön ratkaisuja, mutta ratkaisut ovat näiden joukossa.

Tällöinkin siis on tarkistettava, mitkä vaihtoehdot toteuttavat yhtälön.  Kompleksialueella ainoastaan $-1$ ei kelpaa, sillä $\ln(0)$ ei ole määritelty. Tai miten asiat nyt ajatellaankin: laskentaohjelma Mathematicalle tämäkin kelpaa ratkaisuksi, mutta sillä onkin hieman laajennettu lukualue: $\ln(0) = -\infty$. Eivät ne määritelytkään aina ole kiveen hakattuja.

sunnuntai 28. helmikuuta 2016

Logaritmifunktio

Edellisessä tekstissäni tarjoilin lukijalle tunnistettavaksi oheisessa kuvassa esiintyvän kompleksimuuttujan funktion.  Pinta esittää funktion itseisarvon kuvaajaa $|f(z)|$ ja sen väritys määräytyy funktion napakulman $\arg(f(z))$ mukaan.  Tässä siis $z = x + iy$, jolloin sekä itseisarvo että napakulma ovat kahden reaalimuuttujan reaaliarvoisia funktioita.

Pinnassa on positiiviseen äärettömyyteen menevä piikki origon kohdalla. Kohdassa $(1,0)$ on kuvaajan alin piste korkeudessa $z = 0$; kyseessä on ilmeisestikin itseisarvon ainoa nollakohta.  Käyttäytyminen positiivisella x-akselilla saattaisi siis viitata logaritmiin, koska kyseessä kuitenkin on tunnettu alkeisfunktio.

x-akselilla alueessa $x > 1$ väri on sinivihreä (syaani), mikä tarkoittaa napakulmaa $0$ eli positiivisia arvoja edellisen juttuni väriympyrän mukaan. Välillä $0 < x < 1$ väri on punainen, jolloin napakulma on $\pi$ ja funktion arvot siis negatiivisia. Tämäkin sopii logaritmiin.

Täydellisemmän kuvan saamiseksi tarvitaan tietoa kompleksisesta logaritmista:
\[
\log(z) = \log(|z|) + i \arg(z).
\]
Itseisarvo on
\[
|\log(z)| = \sqrt{\log(|z|)^2 + \arg(z)^2}.
\]
Päähaaralla argumentti (napakulma) valitaan väliltä $]-\pi,\pi]$.

Negatiivisilla x-arvoilla funktion itseisarvo käyttäytyisi muutoin samaan tapaan kuin positiivisella puolella, mutta juuren alla on lisätermi $\arg(z)^2$. Akselilla tämä on $\pi^2$, jolloin nollakohtaa ei ole kuten positiivisella puolella. Lähestytäänpä negatiivista x-akselia kummalta puolelta tahansa (y-akselin suunnassa), lisätermi kasvaa kohden arvoa $\pi^2$ ja kuvaajaan syntyy harjanne.

Pohdiskeluja voisi jatkaa, mutta tämä riittänee tekemään uskottavaksi, että kyseessä on kompleksinen logaritmi.

Varmemmaksi vakuudeksi lukija voisi tietenkin yrittää itse piirtää ainakin funktion itseisarvon kuvaajan. Mathematican ja Maplen mahdollisuudet riittävät tähän ongelmitta. Sagekin kelvannee. Texasin CAS-laskinta vastaava tietokoneohjelma näyttää tuntevan kompleksisen logaritmin, mutta kolmiulotteista kuvaajaa en onnistunut piirtämään ainakaan minulla olevalla hieman vanhalla versiolla. GeoGebralla syntyy kohtuullisen tasoinen kuva.

keskiviikko 27. tammikuuta 2016

Kuvaajia on kaikenlaisia

Funktion $(z+1)(z-i)^2(z-1+i)^3$ kuvaaja

Tyyppiä $y = f(x)$ olevia funktioita havainnollistetaan helposti xy-tasoon piirrettävillä kuvaajilla. Samantyyppisellä idealla voidaan havainnollistaa tyyppiä $z = f(x,y)$ olevia funktioita, mutta nyt tarvitaan kolmiulotteinen xyz-avaruus.

Entä sitten vaikkapa kompleksimuuttujan kompleksiarvoinen funktio $w = f(z)$? Tässä siis on $z = x + iy$ ja funktio voidaan hajottaa reaali- ja imaginaariosaksi: $w = u(x,y) + iv(x,y)$. Esimerkiksi $f(z) = z^2 = (x + iy)^2 = (x^2 - y^2) + 2ixy$, jolloin $u(x,y) = x^2 - y^2$ ja $v(x,y) = 2xy$. Kuvaajan piirtämisen kannalta kyseessä on funktio ${\mathbb R}^2 \to {\mathbb R}^2$, missä $(x,y) \mapsto (u,v)$. Kuvaajaa varten tarvittaisiin siis neliulotteinen xyuv-avaruus. Toki tällaisistakin voisi piirtää kuvia projisioimalla neliulotteisen kuvaajan kolmiulotteiseen avaruuteen vaikkapa yhdensuuntaisprojektiolla ja tästä edelleen kaksiulotteiseksi tasokuvaksi. Tai suoraan neljästä ulottuvuudesta kahteen.

Muunkinlaisia keinoja löytyy. Jos tarkastellaankin funktion $f(z)$ itseisarvoa $|f(z)| = \sqrt{u(x,y)^2 + v(x,y)^2}$, kyseessä on tavallinen kahden muuttujan funktio, jonka kuvaaja --- jonkinlainen pinta --- voidaan muodostaa kolmiulotteiseen avaruuteen. Tällöin toki on hukattu informaatiota eikä kuvaaja periaatteessakaan kerro kaikkea. Mukaan voidaan kuitenkin liittää kuvapisteen $w = u(x,y) + iv(x,y)$ välillä $]-\pi,\pi]$ oleva napakulma värittämällä kuvaajapinta kohdan $(x,y)$ yläpuolella napakulman ilmaisevalla värillä.  Jokin värikartta tarvitaan, ja tällaiseksi sopii esimerkiksi hue-värimäärittelyn ympyrä (kuva alla). Tällöin kuvaaja sisältää periaatteessa kaiken informaation. Esimerkkinä on jutun alussa oleva funktion $(z+1)(z-i)^2(z-1+i)^3$ kuvaaja.

Hue-värimäärittely


Yllättävän havainnollinen kuva saadaan myös jättämällä itseisarvo huomiotta ja tarkastelemalla vain napakulmaa, ts. vain kaksiulotteista värikarttaa (= em. kuvaaja katsottuna suoraan ylhäältä). Alla on esimerkkeinä kaksi funktiota. Miten näissä näkyvät funktion nollakohdat ja navat? Miten kertaluku ilmenee?

$(z+1)(z-i)^2(z-1+i)^3$
$(z+1)(z-i)^2 / (z-1+i)^3$


Tämän postauksen innoittajana on ollut American Mathematical Societyn Notices-lehden kirjaesittely Frank A. Farrisin teoksesta Creating Symmetry: The Artful Mathematics of Wallpaper Patterns (http://www.ams.org/notices/201511/rnoti-p1350.pdf), jossa keskitytään symmetrisiin (ja kauniisiin) kuvioihin. Näitäkin toki kokeilin, esimerkkinä alla oleva.
$a(z^5 \bar{z}^{\,5}) + b(z^6 \bar{z} + z \bar{z}^{\,6}) + c(z^4 \bar{z}^{\,-6} + z^{-6} \bar{z}^{\,4})$, $a = i$, $b = 2-i$, $c = 1+i$


Lopuksi ongelma lukijalle: Mitä tunnettua alkeisfunktiota esittää oheinen kuvaaja? Tässä on siis otettu huomioon sekä itseisarvo että napakulma.

Mikä funktio?