Yhtälön suruton ratkaiseminen manipuloimalla

Facebook-postauksessa matematiikan opiskelija ihmetteli seuraavaa yhtälön ratkaisemista:
\begin{align*}
&\ln(x+1) + \ln(x-1) = \ln(x^3+x^2) \\
&\ln((x+1)(x-1)) = \ln(x^3+x^2) \\
&\ln(x^2-1) = \ln(x^3+x^2) \\
&x^2-1 = x^3+x^2 \\
&x^3 = -1 \\
&x = -1
\end{align*}
Miten tähän pitäisi suhtautua, kun yhtälöllä ei pitäisi olla ratkaisua?

Päättely on sinänsä aivan moitteeton. Jokainen rivi seuraa edellisestä, joten väliin voitaisiin kaikkialle kirjoittaa oikealle osoittavat implikaationuolet. Kuitenkaan $x = -1$ ei ole yhtälön ratkaisu.

Ongelma on ensimmäisessä rivissä: Jotta manipulointia voidaan harrastaa, täytyy olla olemassa luku $x$, jota koskevia lausekkeita manipuloidaan. Tuntea tätä ei tarvitse, mutta olemassa sen täytyy olla, ts. heti alussa on tehty oletus, että yhtälöllä on ainakin jokin ratkaisu. Päättely siis osoittaa, että jos ratkaisu on olemassa, niin se on $x = -1$. Jos ratkaisua ei ole olemassa, ensimmäinen rivi on epätosi eikä sen pohjalle rakentuvan tuloksen totuusarvosta tiedetä mitään.

On siis tarkistettava, toteuttaako saatu arvo alkuperäisen yhtälön.  Eli ovatko implikaatiot käännettävissä osoittamaan vasemmalle, ts.  syntyykö itse asiassa ekvivalenssiketju.

Tilanteen hahmottamiseksi voi tietenkin tutkia myös logaritmifunktion määrittelyalueita, mutta välttämätöntä tämä ei ole yhtälöä ratkaistaessa (tai sitä yritettäessä).

Yhtälöä voi manipuloida myös toisin. (Matematiikkahan ei ole siinä mielessä yksikäsitteistä, että jokaisella tehtävällä olisi vain yksi hyväksyttävä ratkaisutapa, vaikka monet taitavat näin kuvitella.)  Siis toisin:
\begin{align*}
&\ln(x+1) + \ln(x-1) = \ln(x^3+x^2) \\
&\ln(x+1) + \ln(x-1) = \ln(x^2 (x+1)) \\
&\ln(x+1) + \ln(x-1) = \ln(x^2) + \ln(x+1) \\
&\ln(x-1) = \ln(x^2) \\
&x-1 = x^2
\end{align*}

Tässä vaiheessa voidaan tietenkin todeta, että saadulla toisen asteen yhtälöllä ei ole reaalista ratkaisua eikä siis alkuperäisellä yhtälölläkään. Mutta entä jos kelpuutettaisiin myös kompleksiset ratkaisut? Logaritmihan voidaan määritellä myös negatiivisille luvuille, jopa kompleksiluvuille.

Toisen asteen yhtälön kompleksiset ratkaisut ovat $x_1 = \frac{1}{2}(1 + i\sqrt{3})$ ja $x_2 = \frac{1}{2}(1 - i\sqrt{3})$.  Sijoittamalla nämä alkuperäiseen yhtälöön todetaan, että ne toteuttavat myös sen. Tämä tosin edellyttää kykyä laskea kompleksilukujen logaritmeja, mutta monet symboliset ohjelmat, jopa CAS-laskimet osaavat. Teoria puolestaan löytyy vaikka verkkodokumentista http://matta.hut.fi/matta/kompleksiluvut/cluvut.pdf.

Mutta miksi sitten ensimmäinen manipulointi ei johda näihin ratkaisuihin?  Jos kerran yhtälöllä on ratkaisu olemassa, niin päättelyn pitäisi antaa se. Kyllä se antaakin. Yhtälöllä $x^3 = -1$ on nimittäin kompleksialueella kolme ratkaisua: $x = x_1$ tai $x = x_2$ tai $x = -1$; edellä mainitut $x_1$ ja $x_2$ siis. Loogisella päättelyllä tämä seuraa alkuperäisestä yhtälöstä. 'tai'-lausuma on tosi, jos jokin sen vaihtoehdoista on, joten kaikkien vaihtoehtojen ei tarvitse olla yhtälön ratkaisuja, mutta ratkaisut ovat näiden joukossa.

Tällöinkin siis on tarkistettava, mitkä vaihtoehdot toteuttavat yhtälön.  Kompleksialueella ainoastaan $-1$ ei kelpaa, sillä $\ln(0)$ ei ole määritelty. Tai miten asiat nyt ajatellaankin: laskentaohjelma Mathematicalle tämäkin kelpaa ratkaisuksi, mutta sillä onkin hieman laajennettu lukualue: $\ln(0) = -\infty$. Eivät ne määritelytkään aina ole kiveen hakattuja.