Kuvaajia on kaikenlaisia

Funktion $(z+1)(z-i)^2(z-1+i)^3$ kuvaaja

Tyyppiä $y = f(x)$ olevia funktioita havainnollistetaan helposti xy-tasoon piirrettävillä kuvaajilla. Samantyyppisellä idealla voidaan havainnollistaa tyyppiä $z = f(x,y)$ olevia funktioita, mutta nyt tarvitaan kolmiulotteinen xyz-avaruus.

Entä sitten vaikkapa kompleksimuuttujan kompleksiarvoinen funktio $w = f(z)$? Tässä siis on $z = x + iy$ ja funktio voidaan hajottaa reaali- ja imaginaariosaksi: $w = u(x,y) + iv(x,y)$. Esimerkiksi $f(z) = z^2 = (x + iy)^2 = (x^2 - y^2) + 2ixy$, jolloin $u(x,y) = x^2 - y^2$ ja $v(x,y) = 2xy$. Kuvaajan piirtämisen kannalta kyseessä on funktio ${\mathbb R}^2 \to {\mathbb R}^2$, missä $(x,y) \mapsto (u,v)$. Kuvaajaa varten tarvittaisiin siis neliulotteinen xyuv-avaruus. Toki tällaisistakin voisi piirtää kuvia projisioimalla neliulotteisen kuvaajan kolmiulotteiseen avaruuteen vaikkapa yhdensuuntaisprojektiolla ja tästä edelleen kaksiulotteiseksi tasokuvaksi. Tai suoraan neljästä ulottuvuudesta kahteen.

Muunkinlaisia keinoja löytyy. Jos tarkastellaankin funktion $f(z)$ itseisarvoa $|f(z)| = \sqrt{u(x,y)^2 + v(x,y)^2}$, kyseessä on tavallinen kahden muuttujan funktio, jonka kuvaaja --- jonkinlainen pinta --- voidaan muodostaa kolmiulotteiseen avaruuteen. Tällöin toki on hukattu informaatiota eikä kuvaaja periaatteessakaan kerro kaikkea. Mukaan voidaan kuitenkin liittää kuvapisteen $w = u(x,y) + iv(x,y)$ välillä $]-\pi,\pi]$ oleva napakulma värittämällä kuvaajapinta kohdan $(x,y)$ yläpuolella napakulman ilmaisevalla värillä.  Jokin värikartta tarvitaan, ja tällaiseksi sopii esimerkiksi hue-värimäärittelyn ympyrä (kuva alla). Tällöin kuvaaja sisältää periaatteessa kaiken informaation. Esimerkkinä on jutun alussa oleva funktion $(z+1)(z-i)^2(z-1+i)^3$ kuvaaja.

Hue-värimäärittely

Yllättävän havainnollinen kuva saadaan myös jättämällä itseisarvo huomiotta ja tarkastelemalla vain napakulmaa, ts. vain kaksiulotteista värikarttaa (= em. kuvaaja katsottuna suoraan ylhäältä). Alla on esimerkkeinä kaksi funktiota. Miten näissä näkyvät funktion nollakohdat ja navat? Miten kertaluku ilmenee?

$(z+1)(z-i)^2(z-1+i)^3$

$(z+1)(z-i)^2 / (z-1+i)^3$

Tämän postauksen innoittajana on ollut American Mathematical Societyn Notices-lehden kirjaesittely Frank A. Farrisin teoksesta Creating Symmetry: The Artful Mathematics of Wallpaper Patterns (http://www.ams.org/notices/201511/rnoti-p1350.pdf), jossa keskitytään symmetrisiin (ja kauniisiin) kuvioihin. Näitäkin toki kokeilin, esimerkkinä alla oleva.

$a(z^5 \bar{z}^{\,5}) + b(z^6 \bar{z} + z \bar{z}^{\,6}) + c(z^4 \bar{z}^{\,-6} + z^{-6} \bar{z}^{\,4})$, $a = i$, $b = 2-i$, $c = 1+i$

Lopuksi ongelma lukijalle: Mitä tunnettua alkeisfunktiota esittää oheinen kuvaaja? Tässä on siis otettu huomioon sekä itseisarvo että napakulma.

Mikä funktio?