Logaritmifunktio

Edellisessä tekstissäni tarjoilin lukijalle tunnistettavaksi oheisessa kuvassa esiintyvän kompleksimuuttujan funktion.  Pinta esittää funktion itseisarvon kuvaajaa $|f(z)|$ ja sen väritys määräytyy funktion napakulman $\arg(f(z))$ mukaan.  Tässä siis $z = x + iy$, jolloin sekä itseisarvo että napakulma ovat kahden reaalimuuttujan reaaliarvoisia funktioita.

Pinnassa on positiiviseen äärettömyyteen menevä piikki origon kohdalla. Kohdassa $(1,0)$ on kuvaajan alin piste korkeudessa $z = 0$; kyseessä on ilmeisestikin itseisarvon ainoa nollakohta.  Käyttäytyminen positiivisella x-akselilla saattaisi siis viitata logaritmiin, koska kyseessä kuitenkin on tunnettu alkeisfunktio.

x-akselilla alueessa $x > 1$ väri on sinivihreä (syaani), mikä tarkoittaa napakulmaa $0$ eli positiivisia arvoja edellisen juttuni väriympyrän mukaan. Välillä $0 < x < 1$ väri on punainen, jolloin napakulma on $\pi$ ja funktion arvot siis negatiivisia. Tämäkin sopii logaritmiin.

Täydellisemmän kuvan saamiseksi tarvitaan tietoa kompleksisesta logaritmista:
\[
\log(z) = \log(|z|) + i \arg(z).
\]
Itseisarvo on
\[
|\log(z)| = \sqrt{\log(|z|)^2 + \arg(z)^2}.
\]
Päähaaralla argumentti (napakulma) valitaan väliltä $]-\pi,\pi]$.

Negatiivisilla x-arvoilla funktion itseisarvo käyttäytyisi muutoin samaan tapaan kuin positiivisella puolella, mutta juuren alla on lisätermi $\arg(z)^2$. Akselilla tämä on $\pi^2$, jolloin nollakohtaa ei ole kuten positiivisella puolella. Lähestytäänpä negatiivista x-akselia kummalta puolelta tahansa (y-akselin suunnassa), lisätermi kasvaa kohden arvoa $\pi^2$ ja kuvaajaan syntyy harjanne.

Pohdiskeluja voisi jatkaa, mutta tämä riittänee tekemään uskottavaksi, että kyseessä on kompleksinen logaritmi.

Varmemmaksi vakuudeksi lukija voisi tietenkin yrittää itse piirtää ainakin funktion itseisarvon kuvaajan. Mathematican ja Maplen mahdollisuudet riittävät tähän ongelmitta. Sagekin kelvannee. Texasin CAS-laskinta vastaava tietokoneohjelma näyttää tuntevan kompleksisen logaritmin, mutta kolmiulotteista kuvaajaa en onnistunut piirtämään ainakaan minulla olevalla hieman vanhalla versiolla. GeoGebralla syntyy kohtuullisen tasoinen kuva.