tiistai 31. toukokuuta 2016

Differentiaaliyhtälöitä ja planeettaliikettä lukiolaisille

Planeettaliike: Maa-Kuu-systeemi
Olin toukokuun alussa puhumassa matematiikasta eräässä lukiossa. Kuulijat olivat ykkös- ja kakkosluokkalaisia, tiesivät jotakin vektoreista ja derivaatasta, osa juuri ja juuri. Tarkoituksena oli antaa jonkinlainen mielikuva siitä, mihin oikein kelpaa — esimerkiksi — se matematiikka, jota he ovat opiskelemassa.

Kun kerran derivaattafunktio suurin piirtein tiedettiin, oli mahdollista esitellä differentiaaliyhtälön käsite, katsoa jokin esimerkki tällaisten ratkaisuista ja lähestyä ongelmaa graafisesti. Erotusosamäärän käsite antoi eväät numeerisen ratkaisemisen ymmärtämiseen. Samalla näkyi, miksi alkuehdot ovat tarpeen.

Nopeuden ja derivaatan yhteys likimain tunnettiin, kiihtyvyyden ja toisen derivaatan yhteys oli oudompi. Nopeus ja kiihtyvyys vektoreina ja paikkavektorin derivaattoina olivat uusia asioita, mutta hyppy ei kuitenkaan ollut kovin vaikea uskottavaksi.

Newtonin laki ja gravitaatiolaki antoivat tämän jälkeen mahdollisuuden kirjoittaa differentiaaliyhtälö, itse asiassa differentiaaliyhtälöryhmä, joka kuvaa kahden partikkelin — planeetan — liikettä keskeisvoimakentässä.  Tämän sitten saattoi ratkaista numeerisesti, kun käytettävissä oli riittävän tehokas ohjelmisto, minulla Mathematica. Loppuhuipentumana muutama animaatio, joista alussa oleva kuva on peräisin.

Aikaa oli käytettävissä 80 minuuttia ja esitys muodoltaan luento. Esitin myös kuulijoille muutamia kysymyksiä ja minulta muutaman kerran kysyttiin jotakin. Miten esitystä sitten jaksettiin seurata ja mitä siitä mahtoi jäädä mieleen?

Esitystä seurattiin varsin kiinnostuneina. Aktiivisia vastaajia ja kysyjiä ei tietenkään ollut monia, mutta se mitä sanottiin, keskittyi täysin oleellisiin asioihin. Arvioisin, että pääpiirteissä pysyttiin mukana. Luento ei ehkä olekaan vanhentunut opetusmuoto, kuten toisinaan väitetään, mutta se on toteutettava tavoitteisiin ja kuulijoille sopivalla tavalla.

Yksityiskohtiin en tietenkään voinut mennä: en todistanut lauseita, en edes esittänyt täsmällisiä määritelmiä, en laskenut laskuja läpi. Sen sijaan kerroin, millaisia käsitteitä on, miten niitä voidaan lähestyä ja ajatella, millaisia tuloksia laskuilla saadaan. Yksityiskohtien oppiminen ei ollut tarkoituskaan, vaan antaa jonkinlainen kokonaiskuva ja sen myötä ehkä motivaatio lähteä tarvittaessa opiskelemaan yksityiskohtia.

On myönnettävä, että tein aika paljon töitä esitystä valmistaessani. Minulla oli valmiit pdf-kalvot auditorioesitystä varten, liitutaulua ei käytössä ollut enkä sitä kaivannutkaan.

Matematiikka nähdään usein yksityiskohtien huolellisena puurtamisena ja niiden perustelemisena. Sinänsä tämä on välttämätöntä eikä sitä ole syytä väheksyä, mutta seurauksena on usein matematiikan hahmottuminen tylsäksi ja näköalojen katoaminen. Matematiikan opettamiseen ja opiskeluun tarvitaan muutakin: kokonaisvaltaisempi — ja epätäsmällisempi — ote sen mahdollisuuksien näyttämiseen.

4 kommenttia:

Karoliina Kaita kirjoitti...

Varmasti kiinnostavaa ja motivoivaa lukiolaisille. Ekaluokkalainen ei ole vielä derivaattaa opiskellut, jos suorittaa lukiota normaalissa tahdissa ja järjestyksessä. Toisaalta derivaatta on voimakas sana. Useimmat ovat kuulleet nimen kauan ennen kuin se todella tulee tunnilla vastaan. Se edustaa "sitä jännää yliopistomatikkaa" aika monelle.

tfmatik kirjoitti...

Oletko tarkistanut, että tuo kuva Maa-Kuu-systeemille on oikeanlainen? Näyttäisi vähän, että todellista systeemiä se ei kuvaisi, vaan kyseessä voisi olla jokin muu planeetta-kuu-systeemi. Kuun heliosentrinen rata kun on varsin lähellä Maan rataa. Voisi ehkä katsella jotain arvoja tarkempaan plottiin ja katsoa mitä tuli aikaan.

Simo Kivelä kirjoitti...

Se ei kuvaa todellista Maa-Kuu-systeemiä. Tarkoituksena on lähinnä ollut näyttää, millaisia ratkaisuja differentiaaliyhtälösysteemille esimerkiksi saadaan. Gravitaatiovakio on asetettu = 1, eivätkä parametrit ole oikean Maan ja oikean Kuun parametriarvoja. Taustalla on Mathematica-koodi, jonka ominaisuuksia voi lähemmin tutkia dokumentissa
http://matta.hut.fi/matta/mma/planeetat.nbp
. Tällöin käyttäjällä pitää olla koneessaa joko Mathematica tai ilmaiseksi saatava CDF Player.

Simo Kivelä kirjoitti...

PS. Sama dokumentti epäinteraktiivisena pdf:nä:
http://matta.hut.fi/matta/mma/planeetat.pdf