Kokeellisen matemaatikon painajainen

Olen aina toisinaan tallettanut osoitteita matemaattisiin verkkodokumentteihin, jotka mahdollisesti ansaitsevat lähempää huomiota. Muutama päivä sitten tulin uudelleen katsoneeksi blogikirjoitusta, jossa pohdittiin seuraavantyyppisiä integraaleja:
$$\begin{align*} I_1 &= \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\,dx\,, \\ I_2 &= \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\,\frac{\sin(x/3)}{x/3}\,dx\,, \\ I_3 &= \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\,\frac{\sin(x/3)}{x/3}\,\frac{\sin(x/5)}{x/5}\,dx\,, \\ I_4 &= \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\,\frac{\sin(x/3)}{x/3}\,\frac{\sin(x/5)}{x/5}\,\frac{\sin(x/7)}{x/7}\,dx\,, \\ \vdots \end{align*}$$
tai yleisemmin
$$I_n = \int_0^\infty \prod_{k=1}^n \frac{\sin(x/(2k-1))}{x/(2k-1)}\,dx.$$

Näiden laskeminen ei ole aivan helppoa, mutta matematiikassakin voi harrastaa kokeilua.  Tuloksena voi olla hypoteesi tai vastaesimerkki. Katsotaan siis, suoriutuisiko laskentaohjelma integraaleista ja millaisia tuloksia se antaisi. Mathematica suoriutuu:
$$I_1 = I_2 = I_3 = I_4 = I_5 = I_6 = I_7 = \pi/2.$$
Tämän perusteella tuntuu jo aika selvältä, että tulos on aina $\pi/2$.

Seuraava integraali tuottaa kuitenkin yllätyksen:
$$I_8 = \frac{467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}\,\pi.$$
Onko asia todella näin vai onko Mathematica yksinkertaisesti laskenut väärin? Numeerisen integroinnin kokeilukaan ei auta, sillä edessä oleva kerroin ei paljoa puolikkaasta poikkea: 15-desimaalinen likiarvo nimittäin on $0.499999999992647$. Numeerisella integroinnilla saattaa olla vaikeata päästä näin suureen tarkkuuteen.

Ei siis liene muuta keinoa kuin pyrkiä laskemaan integraalit analyyttisesti. Tämäkin kyllä onnistuu: työkaluiksi kelpaavat esimerkiksi konvoluutio ja Fourier'n muunnos. Yksityiskohtainen esitys löytyy Hanspeter Schmidin artikkelista: http://www.schmid-werren.ch/hanspeter/publications/2014elemath.pdf.  Hakusanoilla 'borwein integral' Google löytää materiaalia enemmänkin.

Lähteenäni ollut blogiartikkeli on osoitteessa http://www.thebigquestions.com/2012/03/26/loose-ends/. Se kertoo myös Jonathan Borweinin Maplelle tekemästä kepposesta (= practical joke).

Niin, laskiko Mathematica siis väärin? Ei laskenut, tulos on aivan oikea. Hieman yllättävä se on, mutta Hanspeter Schmidin artikkeli antaa ilmiölle luontevan selityksen. Indeksistä 8 eteenpäin integraalien arvot hiljakseen pienenevät.