Lisää silmän huijaamisesta

Kirjoitin viimeksi kirjasta, jossa esiteltiin trompe l'œil -maalauksia ja -rakenteita Roomasta. Ei toki tarvitse mennä juuri Roomaan, vaan vastaavia ilmiöitä löytyy muualtakin, myös Suomesta. Helsingin elokuvateatteri Orionissa on kapeneva perspektiivinen käytävä samaan tapaan kuin Vatikaanissa.  Ehkä Vatikaanissa on komeampi; en kylläkään ole käynyt katsomassa. Helsingin Suomalaisen Yhteiskoulun (SYK) pihalla on Anssi Asunnan teos Valekuutio, joka panee ohikulkijan hieraisemaan silmiään. Tiedekeskus Heurekan ulkoseinältä löytyy myös samankaltaisia kuutioita, nekin Anssi Asunnan teoksia.

SYK:n valekuutio kaukaa ja läheltä

Mikä Valekuutiossa sitten hämää ja miksi käy näin? SYK:n kuutio sijaitsee piha-aukion laidassa.  Hieman etäämmällä kulkevasta näyttää, että kuutio kääntyy ja seuraa hänen kulkuaan. Jos hän pysähtyy, niin kuutiokin pysähtyy. Ja kun hän jatkaa kulkuaan, kuutio alkaa taas kiertyä. Lähemmäksi mennessä salaisuus paljastuu: kyseessä ei olekaan kuution muotoinen kappale, vaan ainoastaan yksi kuution nurkka sisältäpäin katsottuna. Mutta miksi katsoja tulee hämätyksi?

Geometrisista kappaleista on tapana piirtää mallikuvia, jotka ovat ns. aksonometrisia kuvia, ts.  muodostettu yhdensuuntaisprojektion avulla. Tällöin kappaleen yhdensuuntaiset suorat näkyvät kuvassakin yhdensuuntaisina. Ohessa on tällainen kuva kuutiosta, ns. rautalankamallista, ei massiivisesta kuutiosta. Sinisellä piirretyt särmät ovat katsojaan päin, punaiset katsojasta poispäin, ja kuutiota katsotaan yläviistosta. Mutta kuva on kaksikäsitteinen: yhtä hyvin voidaan ajatella, että kuutiota katsotaankin alaviistosta ja punaiset särmät ovat katsojaan päin, siniset takana. Useimmille ihmisille edellinen tulkinta dominoi. Syynä ehkä se, että olemme tottuneet katsomaan kuutioita yleensä vähän ylempää, emme alempaa.

Aksonometrinen ja perspektiivinen kuutio

Aksonometrinen kuution kuva näyttää herkästi hieman venähtäneeltä. Keskusprojektiolla muodostettu perspektiivikuva näyttää yleensä paremmalta. Syynä on, että niin silmä kuin kamerakin noudattaa keskusprojektiota (kohtalaisen tarkasti). Perspektiivikuvassa yhdensuuntaisten suorien kuvat eivät aina olekaan yhdensuuntaisia, vaan ne tähtäävät yhteiseen pakopisteeseen. Oheisessa kuvassa vaakasuorat ovat tällaisia, pystysuorat kyllä ovat yhdensuuntaisia (mikä ei olisi välttämätöntä).  Kaksitulkintaisuus ei tässä oikein toimi. Siniset särmät ovat katsojaan päin, punaiset takana.  Päinvastainen näyttää omituiselta. Tässäkin on kysymys oppimisesta: olemme tottuneet näkemään asiat säännöllisinä, ja jos punaiset viivat olisivat etualalla, kyseessä ei olisi säännöllinen kuutio.  Hylkäämme siis toisen tulkinnan.

Jos jätetään etualan särmät pois, saadaan kuva, jonka yleensä tulkitsemme kuution takaosan soppea esittäväksi. Jos se esittäisi katsojaan päin olevaa kuution kärkeä, olisivat vaakasuorien suuntien pakopisteet väärällä puolella, ja tämän takia tulkinta hylätään. Mutta katsojaahan voi huijata: Pidetään soppi muutoin ennallaan, mutta muutetaan hieman sen sivutahkoja. Veistetään niiden reunoista pois kolmionmuotoiset palat siten, että saadaan pakopisteet toiselle puolelle.  Sivutahkot eivät tällöin ole oikeastaan enää neliöiden kuvia, mutta tulos hahmotetaan säännöllisen kuution nurkaksi, jonka kärki on katsojaan päin.

Kuution soppi sisältäpäin ja pakopistesuunnat korjattuina

Valekuutiossa on tehty tämäntyyppinen konstruktio. Senkään sivutahkot eivät ole neliöitä, ja tämän takia se hahmotetaan ulkoapäin katsotuksi kuutioksi, vaikka se onkin vain soppi.

Toki Anssi Asunta ei ole jättänyt hämäystä vain tämän varaan. Sivutahkojen pinnat ja niissä olevat pintakäsittelyt vahvistavat hämäävää vaikutusta.

Viime aikoina paljon siteeratun sanonnan mukaan matematiikkaa on kaikkialla. Ehkei aivan kaikkialla, mutta aika yllättävissäkin paikoissa. Eikä aina ole suinkaan kyse modernista digitaalitekniikasta.

Projektiokuvista enemmän kiinnostuneelle lukijalle tarjoan kirjaani Perspektiivikuvan geometriset perusteet (http://www.elisanet.fi/simo.kivela/kirjat.html).

Silmän huijaaminen ja perspektiivin geometria

American Mathematical Society ja Mathematical Association of America ovat yhdessä julkaisseet viime vuonna kirjan Optical Illusions of Rome, jonka tilasin joulun alla.  Tekijä on matematiikan historiaa tutkinut Kirsti Andersen Aarhusin yliopistosta, ja teos on alunperin ilmestynyt tanskaksi. Aiheena ovat pääosin renessanssiaikaiset perspektiiviset seinäkuvat ja arkkitehtoniset rakenteet sekä niiden taustana oleva keskusprojektion — eli perspektiivikuvien — teoria. Kolmiulotteista projektiivista geometriaa siis.

Perspektiivikuvien piirtämisen lait selvitettiin renessanssiaikana. Monet taiteilijat ja arkkitehdit tekivät erilaisia perspektiivikokeiluja, ja asiaa tutkittiin myös geometrisesti. Erityisesti Albrecht Dürer (1471–1528) oli paitsi taiteilija myös geometrikko, ja hänen teoksensa Underweysung der messung mit dem zirckel und richtscheyt in Linien ebnen unnd gantzen corporen vuodelta 1525 on deskriptiivisen geometrian klassikko.

Perspektiivikuvan muodostaminen Dürerin teoksessa Underweysung ...

Perspektiivilakien tunteminen ja innostus kokeiluihin johti ns. trompe l'œil -illuusioiden konstruointiin.  Tavoitteena oli huijata silmää (ransk. tromper l'œil) luomalla vaikutelma tilasta, jota todellisuudessa ei ollut. Esimerkiksi huoneen seinään maalattiin perspektiivikuva, jossa pylväikön takaa aukeni avara näköala kauniiseen ympäristöön. Jos rakennusteknisistä (tai taloudellisista) syistä kirkon päälaivan päälle ei voitu rakentaa kupolia, kattoon maalattiin kupolin perspektiivikuva. Alla olevat kirjassa käsitellyt esimerkit ovat Roomasta, mutta vastaavia on toki tehty muuallakin.

Virtuaalinen takaseinä, Villa Farnesina, Sala delle prospettive,
Combusken (Wikimedia Commons) [CC BY-SA]

Virtuaalinen kupoli,Chiesa di Sant'Ignazio,
Jean-Christophe Benoist (Wikimedia Commons) [CC BY-SA]

Ongelmana oli, että periaatteessa perspektiivikuva näyttää oikealta vain katsottuna yhdestä ainoasta pisteestä, siitä projektiokeskuksesta, jota käyttäen kuva on muodostettu. Muualta katsottaessa kuva näyttää enemmän tai vähemmän vääristyneeltä. Ihmissilmä on kuitenkin niin tottunut katsomaan kuvia, että pienet vääristymät eivät häiritse, vaan aivot tulkitsevat kuvan parhain päin. Tästä huolimatta kuvien laatiminen edellytti perspektiivilakien tarkkaa tuntemista sekä taidokkaita valintoja ja kompromisseja.

Saatettiin toimia myös toisin päin. Seinälle maalattiin kuva, joka näytti omituiselta ja venähtäneeltä ja jonka hahmottaminen ei oikein onnistunut. Se oli kuitenkin oikein konstruoitu perspektiivikuva, mutta oikea katselupaikka on hieman sivussa yllättävässä paikassa. Tästä katsottuna kuva hahmottuu helposti.

Paitsi maalauksia — perspektiivikuvia — tehtiin myös kolmiulotteisia kokeiluja. Vatikaanissa on sisätiloihin johtava porraskäytävä (Scala Regia), joka vähitellen kapenee ja madaltuu ja jonka reunoilla olevat pylväät ovat yhä tiheämmässä. Seurauksena on vaikutelma mahtavammasta portaikosta kuin todellisuudessa on kyse. Paikassa ei myöskään olisi tilaa näyttävämmälle portaikolle.

Scala Regia -portaikko,
Sailko (Wikimedia Commons) [CC BY]

Portaikko on arkkitehti Gian Lorenzo Berninin suunnittelema, eikä sen geometrinen konstruktio ole aivan yksinkertainen.  Periaatteessa kyseessä on kollineaarinen kuvaus (kollineaatio) kolmiulotteisesta avaruudesta siihen itseensä.  Tässä suorat kuvautuvat suoriksi. Olemassa oleva portaikko on fiktiivisen kapenemattoman portaikon kollineaarinen kuva.

Andersenin kirja sisältää myös lyhyen ja selkeän johdatuksen perspektiivin geometriaan sekä muutamia harjoitustehtäviä. Jos lukija haluaa yksityiskohtaisemman esityksen, tällainen on olemassa myös suomeksi: Alan klassikko on Teknillisen korkeakoulun sovelletun matematiikan professorin E. J. Nyströmin kaksikielinen (painettu) moniste Perspektiivioppi – Perspektivlära vuodelta 1947. Tätä saattaa olla vaikeata löytää. Uudempi vaihtoehto on oma teokseni Perspektiivikuvan geometriset perusteet (http://www.elisanet.fi/simo.kivela/kirjat.html).

Suoran piirtäminen paperin ulkopuolella olevan pisteen kautta

Kaksi pistettä määrää tunnetusti suoran yksikäsitteisesti.  Asettamalla viivoittimen reuna pisteiden kautta suora voidaan alkeisgeometriassa piirtää. Tehtävästä tulee vaikeampi, jos toinen piste sijaitsee piirustuspaperin ulkopuolella ja tunnetaan vain kahden tunnetun suoran leikkauspisteenä. Ongelma tosin on hieman vanhanaikainen: moderneissa geometriaohjelmissahan ei ole piirustuspaperia ja kaukana oleviin pisteisiin päästään käsiksi piirustusalaa skaalaamalla tai siirtämällä.

Tehtävä on kuitenkin mielenkiintoinen ja avaa näköaloja hieman pidemmällekin. Annettuna on siis kaksi suoraa ja piste. Tulee piirtää annetun pisteen $P$ ja suorien $s_1$ ja $s_2$ leikkauspisteen $Q$ kautta kulkeva suora, mutta $Q$ on kuitenkin kaukana.

Tarvittava konstruktio on seuraava: Valitaan jokin piste $K$ ja piirretään sen kautta kolme suoraa (punaiset). Yksi näistä leikkaa suoran $s_1$ pisteessä $A_1$ ja suoran $s_2$ pisteessä $A_2$.  Piirretään suorat $PA_1$ ja $PA_2$. Nämä leikkaavat toisen punaisista suorista pisteissä $B_1$ ja $B_2$. Kolmas punainen suora leikkaa suorat $s_1$ ja $s_2$ pisteissä $C_1$ ja $C_2$.  Piirretään suorat $B_1C_1$ ja $B_2C_2$. Näiden leikkauspiste $R$ on etsittävän suoran piste, ts. pisteet $P$, $Q$ ja $R$ ovat samalla suoralla $s$.

Miksi konstruktio sitten toimii? Kyseessä on Desarguesin lause: Jos suorat $A_1A_2$, $B_1B_2$ ja $C_1C_2$ kulkevat saman pisteen kautta, niin pisteet \[P = A_1B_1 \cap A_2B_2, \quad R = B_1C_1 \cap B_2C_2, \quad Q = C_1A_1 \cap C_2A_2\] ovat samalla suoralla. Tässä $A_1B_1 \cap A_2B_2$ tarkoittaa suorien $A_1B_1$ ja $A_2B_2$ leikkauspistettä jne. Girard Desargues oli ranskalainen 1600-luvulla vaikuttanut matemaatikko (ks. esim. http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Desargues.html).

Desarguesin lauseen todistus on helpompi kolmessa dimensiossa kuin kahdessa.

Jos nimittäin kolme punaista suoraa eivät ole samassa tasossa, niillä olevat pisteet $A_1$, $B_1$ ja $C_1$ määräävät erään tason, pisteet $A_2$, $B_2$ ja $C_2$ vastaavasti toisen tason. Näiden leikkaussuora olkoon $s$.

Toisaalta pisteet $K$, $A_1$ ja $B_1$ määräävät tason, jossa myös pisteet $A_2$ ja $B_2$ ovat. Suorat $A_1B_1$ ja $A_2B_2$ sijaitsevat tässä tasossa eivätkä siis ole ristikkäisiä. Tällöin niillä on leikkauspiste $P$. Tämä sijaitsee sekä tasossa $A_1B_1C_1$ että tasossa $A_2B_2C_2$, ts. suoralla $s$.

Vastaavasti voidaan osoittaa, että sekä suorien $B_1C_1$ ja $B_2C_2$ leikkauspiste $R$ että suorien $C_1A_1$ ja $C_2A_2$ leikkauspiste $Q$ ovat suoralla $s$.

Kaksidimensioinen todistus saadaan tämän jälkeen tulkitsemalla kaksidimensioinen kuvio kolmidimensioisen projektiokuvaksi.

Päättelyissä ja jo alkuperäisessä kuviossakin syntyy poikkeustilanteita, jos jotkin suorat eivät leikkaakaan, vaan ovat yhdensuuntaisia.  Esimerkiksi alkuperäisestä kuviosta voi kysyä, mitä tapahtuu, jos suorat $s_1$ ja $s_2$ ovatkin yhdensuuntaiset. Projektiivisessa geometriassa tällaiset ongelmat ratkeavat liittämällä geometriseen tasoon äärettömän kaukaisia pisteitä. Ajatellaankin, että kaksi yhdensuuntaista suoraa leikkaa toisensa äärettömän kaukana olevassa pisteessä, johon päästään etenemällä suoria pitkin kumpaan tahansa suuntaan. Tällä tavoin syntyy ristiriidaton — ja kaunis — geometria, mutta kaikkia euklidisen geometrian totuttuja ominaisuuksia sillä ei ole.

Perspektiivinen rautatie

Terra Cognita julkaisee verkkosivuillaan sunnuntaipähkinöitä.  Pähkinä nro 22 julkaistiin 17.4.2016 ja kyseessä oli oheisen kuvan mukainen perspektiiviongelma: Perspektiivikuvassa suoran rautatien kiskot suuntautuvat pisteeseen $O$. Näkyviin on piirretty kaksi ratapölkkyä, $AB$ ja $CD$. Miten on piirrettävä seuraava ratapölkky, kun ne tietenkin ovat tasavälisiä?

Viikkoa myöhemmin esitettiin ratkaisu, oleellisesti sama kuin alla olevassa kuvassa. Ratkaisun avaimena ovat apupisteet $F_1$ ja $F_2$, joiden avulla voidaan piirtää miten monta ratapölkkyä tahansa.

Mutta miksi juuri tämä on oikea ratkaisu eikä jokin muu menettely, joka myös antaisi ratapölkkyjä tihenevästi?

Taiteilijalla on tietenkin vapautensa piirtää perspektiivikuvia näkemyksensä varassa niin kuin haluaa. Jos kuvan säännönmukaisuuksia kuitenkin halutaan tutkia tarkemmin ja muodostaa perspektiivisääntöjä kuvan piirtämiseen, johdutaan luonteeltaan matemaattiseen — geometriseen — ongelmaan. Aluksi on määriteltävä, mitä oikeastaan tarkoitamme puhuessamme perspektiivikuvasta.

Luonnollisinta on ajatella perspektiivikuvan olevan keskusprojektiolla tasopinnalle muodostettu kohteen kuva. Tällöin kolmiulotteisessa avaruudessa on kiinnitettynä piste, projektiokeskus, ja taso, kuvataso. Projektiokeskus ei saa olla kuvatasossa. Kohteessa olevan pisteen kuva löydetään asettamalla suora pisteen ja projektiokeskuksen kautta ja etsimällä tämän leikkauspiste kuvatason kanssa.

Keskusprojektion valitseminen perustuu siihen, että optinen systeemi, kuten ihmissilmä tai kamera, muodostaa kuvan likimain tällä periaatteella.

Perspektiivin geometrinen tutkiminen alkoi varhaisrenessassin aikana 1400-luvulla, jolloin useat taiteilijat kiinnostuivat aiheesta ja seurauksena oli lukuisia maalauksia, joissa perspektiivin ominaisuuksia tutkittiin. Tyypillinen esimerkki on Piero della Francescan työnä pidetty Citta ideale (Ihanteellinen kaupunki) noin vuodelta 1470.  Vuonna 1525 ilmestyi Albrecht Dürerin teos Underweysung der Messung, mit dem Zirckel und Richtscheyt, in Linien, Ebenen unnd gantzen corporen, jossa tutkittiin kuvien muodostamista geometrian pohjalta.  Teoksesta on peräisin tunnettu luutun perspektiivikuvan muodostamista esittävä kuva.

Keskeisimmän perspektiivikuvia koskevan geometrisen tuloksen mukaan kohteen yhdensuuntaisilla suorilla on kuvassa yhteinen pakopiste. Tätä voidaan ajatella suorilla äärettömän kaukana olevan pisteen kuvana, ts. jos suoralla oleva piste etääntyy äärettömän kauas, sen kuva lähestyyy pakopistettä. Tämän mukaisesti rautatien kiskot suuntautuvat tehtävässä pisteeseen $O$.

Ratkaisu perustuu samaan tulokseen. Ratapölkkyjen väliin jäävien yhtenevien suorakulmioiden lävistäjät nimittäin muodostavat kaksi keskenään yhdensuuntaista suoraparvea, jolloin kummallakin on oma pakopisteensä, $F_1$ ja $F_2$. Nämä sijaitsevat horisontiksi kutsutulla suoralla $h$, joka sisältää kaikkien vaakasuorien suoraparvien pakopisteet. Kun $F_1$ ja $F_2$ saadaan määritetyiksi suorien $AD$ ja $BC$ avulla, voidaan piirtää lisää lävistäjäsuorien kuvia ja näiden avulla ratapölkkyjen kuvia.

Jos lukija on lähemmin kiinnostunut perspektiivikuvien geometriasta tai yleisemmin kuvien piirtämisen geometrisista perusteista, suosittelen kirjaani Perspektiivikuvan geometriset perusteet (esim. https://www.booky.fi/tuote/simo_kivela/perspektiivikuvan_geometriset_perusteet/9789525491494).

-------------

Sain Facebookissa kysymyksen:

Jotain on minulta päässyt unohtumaan: miten ratapölkyn A-B suunta määräytyy? Yksi katoamispiste lisää, mutta minne? Niin että näyttää hyvältä?

Ja vastaukseni:

Suunta oli annettu Terra Cognitan tehtävänasettelussa, $AB$ ja $CD$ vaakasuoria. Näin ei tarvitse olla. Ratapölkyt ovat tietenkin yhdensuuntaisia, joten niillä on yhteinen pakopiste Oheisen kuvan tilannekin on siten mahdollinen, ja konstruktio toimii siinäkin. Jos ratapölkyt ovat yhdensuuntaisia, niiden pakopiste on äärettömän kaukana oleva yhdensuuntaisten suorien leikkauspiste. Projektiivinen geometrikko tykkää tällaisista.