maanantai 4. helmikuuta 2019

Sieventämisen kauneus ja kauheus


Lupauduin auttamaan lukiolaista matematiikan kertaamisessa ja taitojen testaamiseksi annoin ratkaistavaksi muutaman sievennystehtävän. Tällaisiahan on hieno kokoelma Kalle Väisälän klassikossa, Algebran oppi- ja esimerkkikirjan ensimmäisessä osassa, jota aikoinani itse käytin. Sievennystehtäviä ratkaistiin keskikoulun viimeisellä luokalla vastaten nykyistä peruskoulun viimeistä vuotta.

Sievennystehtävissä tuli kerratuksi polynomien ja rationaalilausekkeiden perusalgebra.  Niistä opittiin jotakin yleisempääkin: Yhtä ainoaa tietä lausekkeen sieventämiseen ei ole, vaan voidaan edetä montaa erilaista reittiä joko paljon työtä tehden tai hyvän oikotien löytäen. Lopputuloskaan ei ole yksikäsitteinen, vaan sievyys riippuu mieltymyksistä ja siitä, mitä lausekkeella on seuraavaksi tarkoitus tehdä.

Väisälällä on yhtenä esimerkkinä lauseke
\[ \frac{x^2 + \frac{1 }{x^2} + 2}{x + \frac{1}{x}}, \] jossa osoittaja ja nimittäjä voidaan ensin saattaa samannimiseiksi ja sitten suorittaa murtolausekkeiden jakolasku:
\[ \frac{\dfrac{x^4 + 1 + 2x^2}{x^2}}{\dfrac{x^2 + 1}{x}} = \frac{x(x^4 + 1 + 2x^2)}{x^2(x^2 + 1)}. \] Tekijällä $x$ voidaan supistaa ja osoittaja tunnistaa binomin neliöksi:
\[ \frac{(x^2 + 1)^2}{x(x^2 + 1)} = \frac{x^2 + 1}{x}. \]
Hieman suorempaan olisi päästy laventamalla alkuperäinen murtolauseke tekijällä $x^2$ ja tunnistamalla binomin neliö (tai suorittamalla polynomien jakolasku):
\[ \frac{x^4 + 1 + 2x^2}{x^3 + x} = \frac{(x^2 + 1)^2}{x(x^2 + 1)} = \frac{x^2 + 1}{x}. \]
Lyhin tie kuitenkin varmaan olisi tunnistaa alkuperäisen lausekkeen osoittaja binomin neliöksi:
\[ \frac{\left(x + \frac{1}{x}\right)^2}{x + \frac{1}{x}} = x + \frac{1}{x} \] Lopputulos on hieman erinäköinen kuin edellä, mutta kuitenkin yhtäpitävä. Molempia voidaan pitää kohtuullisen sievinä.

Tällaisia sievennyksiä ei nykyään enää taideta koulussa juurikaan opetella. Pitäisikö kuitenkin?

Pelkkä lausekkeiden sieventäminen sujuu kyllä helposti symbolisilla ohjelmilla. Tällöin ei kuitenkaan kehity laskijan taito hahmottaa rakenteita ja tarpeen tullen muuntaa lauseke johonkin muuhun kuin ohjelman sievänä pitämään muotoon. Arvelen, ettei Väisäläkään pitänyt tärkeänä konstikkaiden lausekkeiden sieventämistä sinänsä vaan taitoa yleensä muokata lausekkeita, ja tähän sievennystehtävät olivat hyvää harjoitusta. Aivan kuten polkupyörällä temppuilu johtaa varmuuteen pyörän hallitsemisessa yllättävissäkin tilanteissa.

Symbolisissa laskentaohjelmissakaan lausekkeen muokkaus ei ole aina suoraviivaista.  Esimerkiksi Mathematica tarjoaa yleiskäyttöisen Simplify-komennon lisäksi joukon spesiaalimpia muokkauskomentoja: Expand, ExpandAll, TrigExpand, PowerExpand, ComplexExpand, FunctionExpand, Reduce, TrigReduce, ExpToTrig, TrigToExp, Together, Apart, Cancel, ... Näiden käyttö edellyttää näkemystä siitä, mitä on tekemässä. Mekaanisen työn ne kyllä hoitavat.

1 kommentti:

markku halmetoja kirjoitti...

Väisälän Algebra I:n (16. painos) sievennykset eivät todellakaan olleet pelkkiä sievennyksiä sievennyksien itsensä vuoksi, vaan niiden myötä oppilaat tulivat tietämättään alustavasti perehtyneeksi

1) geometriseen summaan ja -sarjaan, teht.487 - 489,
2) erotusosamäärään, teht. 782,
3) toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaan, teht. 795,
4) ympyrän ja hyperbelin parametriesityksiin, teht. 799 - 780,
5) rationaalilausekkeen osamurtohajotelmaan, teht. 889 - 890.

Lisäksi kirjan runsas sanallisten tehtävien valikoima vakuutti kriittisimmänkin murrosikäisen matematiikan hyödyllisyydestä. Väisälän kirjan läpikäytyään jokaiselle lukioon menijälle oli päivänselvää, kumpi matematiikka oli oikea valinta. Valitettavasti tämä pitkä oppimisen ja osaamisen perinne katkaistiin koulu-uudistusten pyörteissä. Peruskoulun nykyiset ops ja oppimateriaalit on laadittu keskimääräistä heikommille oppilaille. Lahjakkaammat eivät saa tarvitsemaansa haastetta ja ilman valistuneiden vanhempien toimintaa heistä monesti tulee alisuoriutujia. Ylioppilaiden keskimääräinen matemaattinen osaaminen on heikentynyt, mikä ei välttämättä näy yo-kokeiden pisteissä, koska niiden taso on laskenut suunnilleen samassa tahdissa. Tosin nyt syksyn 2018 kokeessa magnan sai 23 pisteellä, mikä lienee kaikkien aikojen pohjanoteeraus. Miten tähän saataisiin korjaus? Laskimien käyttö ei lisää ymmärrystä. Mielenkiintoista olisi tietää millä prosentilla kevennetyn aineenopettajan tutkinnon suorittanut yläkoulun opettaja selviäisi yllä listaamistani Väisälän tehtävistä. Pelonsekaisella mielellä odotellaan lukion valmistumassa olevaa opetussuunnitelmaa. Valmistelusta ei ole paljoakaan tietoa tihkunut. Kuinka alas vaatimustasoa vielä aiotaan laskea?