Mitä matematiikan tehtävässä kysytään?

Selasin erästä sosiaalisen median matematiikkaryhmää ja havahduin postaukseen, jossa ihmeteltiin seuraavaa ongelmaa:

Tasavälisiä kokonaislukuja korotetaan tiettyyn (positiiviseen) kokonaislukupotenssiin. Syntyvästä lukujonosta lasketaan perättäisten lukujen erotukset, jolloin saadaan uusi lukujono. Tästä lasketaan uudelleen perättäisten lukujen erotukset, jolloin syntyy jälleen uusi lukujono. Näin jatketaan ja todetaan, että jossakin vaiheessa saadaan vakiolukujono, ts. kaikki luvut yhtä suuria. Seuraava askel tuottaisi nollajonon. Miksi näin käy? Mistä tässä on kysymys?

Pohdin asiaa hetken ja mieleeni tuli moniakin matemaattisia asioita, joilla on yhteys ongelmaan. Tilanteen konkretisoimiseksi alla on Mathematicalla laskettu esimerkki, jossa lähtökohtana ovat parilliset luvut korotettuina seitsemänteen potenssiin (kuva suurenee klikkaamalla).

Yleensä matematiikan tehtävissä pyydetään laskemaan jotakin tai todistamaan jotakin. Nämä ovat selväpiirteisiä tehtäviä: opiskelija tietää, mihin pyrkiä, ja opettajan on melko yksiselitteistä arvioida esimerkiksi koetehtävässä, miten pitkälle on päästy. Edellä olevan ongelman asettelu on kuitenkin avoimempi. Kysytään miksi näin käy, mistä oikeastaan on kysymys. Voitaisiin vielä kysyä, mihin muihin asioihin ongelma voisi liittyä. Tällaisena ongelma ei oikein kelpaa koetehtäväksi, mutta hyvin opettavainen se voi olla. Tutki asiaa, käytä kaikkia välineitä mitä sinulla on, mieti kaikkea mitä jostakin tämäntyyppisestä tiedät. Vastaus olisi luonnollisimmin aihetta käsittelevä essee. 

Esseen tai työskentelyä kuvaavan dokumentin kirjoittaminen on asia, johon varmasti olisi hyvä oppia jo kouluaikana. Matematiikassahan kirjoittamiseen usein opitaan vasta muutaman vuoden yliopisto-opintojen jälkeen. Siihen asti matematiikan tehtävien käsittely on kaavojen kirjoittamista allekkain, viereen ehkä jokunen sana perusteluiksi. Matematiikastakin on kuitenkin hyvä oppia kirjoittamaan normaalilla kielellä kielioppisääntöjä noudattaen ja kaavat selittävään tai kommentoivaan tekstiin upottaen. (Vaikka eivät edes oppimateriaalit useinkaan näin tee.)

Matemaattisilta taidoiltaan samatasoisten henkilöiden tuotokset voivat olla hyvin erilaisia, puhumattakaan siitä, että eri tasoilla olevat henkilöt päätyvät laajempiin tai suppeampiin esityksiin. 'Oikeaa vastausta' ei ole. Tämän takia kyse ei yleensä voi olla osaamisen arvioimisesta vaan asioiden tutkimisen oppimisesta avoimessa tilanteessa. Luontevaa on, että tällöin käytössä ovat kaikki tarjolla olevat välineet, kynän ja paperin ohella erilaiset laskenta- ja grafiikkavälineet. Kokeilevaa matematiikkaa voi harrastaa. Nettiä ja miksei tekoälyäkin voi hyödyntää. Tuotoksen täytyy kuitenkin olla itse sisäistetty ja käytettyjen lähteiden tulee ilmetä.

Tehtävän avoimuus antaa myös mahdollisuuden retkeillä oman mielenkiinnon mukaan tehtävänantoa laajemmalle, kunhan esseen aihepiiri jotenkin säilyy ehjänä. Esimerkissä voisin vaikka luopua kokonaislukuoletuksesta.

Mitä kaikkea sitten mieleeni johtui tehtävää pohtiessani? Mitä johtuu lukijan mieleen? Kommentteja voi esittää  joko blogiin tai Facebook-ympäristön blogi-ilmoituksen yhteyteen (esseetä ei toki tarvitse kirjoittaa). Omasta ajatusmaailmastani olkoon esimerkkinä seuraava, joka voisi löytyä jostakin numeerisen analyysin oppikirjasta: \[\begin{aligned}p_n(t) &= p_n(t_0 + sd) = x_0 + \binom{s}{1} \Delta^1 x_0 + \dots + \binom{s}{n} \Delta^n x_0, \\ \Delta^n x_j &= \Delta^{n-1} x_{j+1} - \Delta^{n-1} x_j, \quad \Delta^0 x_j = x_j. \end{aligned}\] Vastailen mahdollisiin kommentteihin ja ehkä palaan asiaan jossakin myöhemmässä blogikirjoituksessa.

Edellä oleva esimerkki antaa myös kuvan matemaattisen lukutaidon merkityksestä. Mitä kaavoista oikeastaan purkautuu ja mitä niistä pitäisi nähdä? Matemaattinen teksti on usein tapana kirjoittaa aika tiiviiksi (tarpeettomastikin) ja lukijalle jää pohdittavaa.