Eksponenttifunktiosta

Napierin logaritmeja koskevan teoksen kansilehti

Varsinaisen eksponenttifunktion $e^x$ kantalukua $e$ kutsutaan Neperin luvuksi skotlantilaisen matemaatikon John Napierin (1550–1617) mukaan. Neper oli hänen nimensä latinalaistettu muoto. Napier pyrki helpottamaan pitkien lukujen kertolaskua muuntamalla sen logaritmien yhteenlaskuksi. Tässä hän oleellisesti käytti eksponenttifunktiota esittämättä asiaa kuitenkaan näin. Myöskään nimeään kantavaan lukuun hän ei viittaa. Sen tunnisti merkittäväksi matemaattiseksi vakioksi Jacob Bernoulli (1655–1705) ja symbolin $e$ otti käyttöön Leonhard Euler (1707–1783).

Eksponenttifunktiota ja Neperin lukua käytti ainakin Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) vuonna 1691 julkaisemassaan ketjukäyrää — päistään kiinnitetyn vapaasti roikkuvan ketjun muotoa — koskevassa tutkimuksessaan. Tällöin hän myös laski varsin tarkan likiarvon Neperin luvulle.

Leibnizin muistiinpanoja Neperin luvun laskemiseksi

Ajan kuluessa tietämys eksponenttifunktion ominaisuuksista on lisääntynyt ja tavat sen määrittelyyn ovat hioutuneet. Edellisessä postauksessani esittelin neljä erilaista nykyään käytettyä tapaa määritellä eksponenttifunktio ja johtaa sen ominaisuudet määritelmästä lähtien. Voidaan kuitenkin menetellä myös toisinpäin: lähdetään funktion perusominaisuuksista ja katsotaan, millaiseen funktioon tällöin päädytään. Kun aikoinaan aloitin matematiikan opintoni Helsingin yliopistossa, eksponenttifunktiota tarkasteltiin näin, mikä oli minulle — lyhyen matematiikan lukiossa lukeneelle — hieman hämmentävää.

En muista tätä esitystä nähneeni pitkään aikaan missään muussa oppikirjassa kuin Juhani Pitkärannan teoksessa Calculus fennicus. Tämä on kooltaan amerikkalaisten calculus-kirjojen luokkaa oleva yli tuhatsivuinen opus, joka kuitenkin on tiukkaa asiaa eikä lainkaan amerikkalaisen tradition mukainen.  Suosittelen lämpimästi henkilölle, joka haluaa huolella perehtyä yliopistotasoiseen peruskurssimatematiikkaan.  Kirja on tehty Teknillisen korkeakoulun (sen otaniemeläisen) laajalle peruskurssille, mutta ei taida olla käytössä oppikirjana enää missään. Sääli. Fyysisen kirjan painos näyttää olevan lopussa, mutta sähköinen versio on olemassa.

Miten eksponenttifunktiota sitten tässä lähestytään?

Lähtökohtana ovat perusominaisuudet: \[ E(0) \neq 0, \quad E(x+y) = E(x)E(y) \] kaikilla reaalisilla $x$, $y$. Lisäksi vaaditaan, että $E$ on jatkuva ja derivoituva origossa. Muuta ei funktiosta $E$ tarvitsekaan olettaa.

Voi tietenkin kysyä, miksi juuri tällaiset perusominaisuudet eikä jotakin muuta. Nämä ovat kuitenkin luonnollisia ominaisuuksia fysikaalisille kasvu- ja vaimenemisongelmille, joten niistä on hyvä lähteä, jos tarkoituksena on sopivan matemaattisen työkalun luominen. Tämä tosin on jälkiviisautta, historiallisesti eksponenttifunktio ei ole syntynyt näin.

Lähtökohdista saadaan vaiheittain suhteellisen yksinkertaisilla laskuilla $E(0) = 1$ ja $E(x) > 0$ kaikilla reaalisilla $x$. Seuraavaksi osoitetaan, että $E$ on kaikkialla jatkuva ja sille saadaan lauseke $E(x) = b^x$, kun $x$ on rationaalinen ja $b = E(1)$. Funktio on aidosti kasvava tai aidosti vähenevä riippuen siitä, onko $b > 1$ vai $b < 1$. Koska $E$ on origossa derivoituva, on olemassa $E'(0) = a$.  Tästä seuraa helposti, että $E$ on kaikkialla derivoituva ja $E'(x) = a E(x)$.

Eksponenttifunktion karakteristiset ominaisuudet purkautuvat siis varsin helposti, mutta avoimeksi jää funktion olemassaolo. Vakiofunktio $E(x) = 1$ epäilemättä toteuttaa ehdot ja tällöin $b=1$, $a=0$.  Onkin hieman isompi työ osoittaa, että tämä ei ole ainoa mahdollisuus, vaan funktio on olemassa kaikilla vakion $b$ positiivisilla arvoilla. Jos erityisesti $b$ on Neperin luku, on $a = 1$ ja saadaan varsinainen eksponenttifunktio.

En mene yksityiskohtiin. Lukija löytää ne Juhani Pitkärannan kirjasta.

Tällainen eksponenttifunktion käsittely ei ole oppikirjoissa kovin yleinen ja tuskin sopii ensimmäiseksi näkökulmaksi aiheeseen. Kuitenkin se kertoo jotakin olennaista matemaattisen päättelyn luonteesta ja sellaisena on minusta paikallaan yliopistotason matematiikan opiskelijoille. Lukio-opettajan ja ehkä joidenkin oppilaidenkin näkemystä se saattaisi monipuolistaa tuomalla matematiikan uuteen valoon kaavakokoelma-ajattelun sijaan.

Eksponenttifunktion tarina ei pääty tähän, vaan sitä voidaan jatkaa vakion $b$ negatiivisiin arvoihin. Tällaisiahan monet matemaattiset ohjelmistot laskevat sujuvasti. Tällöin kuitenkin siirrytään siinä määrin uusille alueille, että en jatka tässä.

Matematiikan ja sen opettamisen kumulatiivisuudesta

Eräs reaaliluku

Yliopistotason kurssi matemaattisesta analyysista — differentiaali- ja integraalilaskennasta — alkaa usein reaalilukujen aksioomilla. Periaatteellisena ajatuksena on rakentaa analyysi näiden päälle: muodostetaan uusia käsitteitä, asetetaan määritelmiä ja todistetaan lauseita vetoamalla vain aksioomiin tai niiden avulla aiemmin muodostettuihin rakenteisiin. Tämä kuitenkin jää hyvin periaatteelliseksi. Jo yksinomaan epäyhtälön $1 > 0$ todistaminen huolellisesti aksioomiin vedoten on monivaiheinen prosessi. On siis pakko luottaa siihen, että opiskelijat ovat koulussa hankkineet lujan ja toivottavasti oikeanlaisen uskon reaalilukuihin.

Analyysin kurssi voitaisiin tietenkin aloittaa hieman kauempaakin. Voitaisiin ottaa lähtökohdaksi Peanon aksioomien avulla määritellyt luonnolliset luvut ja rakentaa näiden avulla ensin kokonaisluvut, sitten rationaaliluvut ja näiden avulla lopuksi reaaliluvut. Prosessi on aika pitkä ja raskas eikä kovin mielenkiintoinen. Tosin reaalilukujen konstruointi joko Dedekindin leikkausten tai Cauchyn jonojen avulla kertoo ajattelevalle opiskelijalle jotakin olennaista reaaliluvuista. Jos taas ei jää pohdiskelemaan, prosessi on erittäin tylsä. Opetuksen kannalta ongelmana on, että opiskelija jo osaa laskea luvuilla yleensä varsin hyvin, joten miksi tuhlata aikaa pohdiskeluihin.

Puhdasoppinen matemaatikko ei tyytyisi luonnollisiin lukuihinkaan, vaan aloittaisi joukko-opin aksiomatiikasta.

Mitä koulussa sitten pitäisi kertoa reaaliluvuista? Ainakin jotakin, mikä luo lujan uskon niihin ja antaa pääpiirteissään oikean ymmärryksen. Ehkä enemmän kulttuurihistorian puolelle menee kertomus pythagoralaisista, joille ihmetyksen ja hämmennyksen aiheena oli päättely, joka osoitti, että tasakylkisen suorakulmaisen kolmion kateetin ja hypotenuusan pituutta ei voida tasan mitata samalla mittatikulla, olipa tämä miten lyhyt tahansa. Seurauksena tulee todetuksi, että $\sqrt{2}$ ei ole rationaaliluku, kuten asia meidän aikanamme ilmaistaan. Pohtimisen arvoista on myös, onko $0.99999\dots = 1$. Yleensä ei pidetä selvänä, että vastaus on myönteinen.

Koulutasolla reaaliluvuista riittäneekin mielikuva, että jos on jotakin, jolle voidaan laskea yhä tarkempia likiarvoja (tai jopa täsmällinen arvo), niin tämä jokin on olemassa ja sitä kutsutaan reaaliluvuksi. Tällainen mielikuva menee varsin lähelle Cauchyn jonojen ideaa (mitä ei tarvitse koululaisille kertoa).

Tämän jälkeen tie on auki funktioiden jatkuvuuteen, raja-arvoihin, differentiaali- ja integraalilaskentaan.  Joissakin kohdissa kuitenkin tulee ongelmia. Esimerkiksi Bolzanon lause — jos jatkuva funktio vaihtaa merkkiään suljetulla välillä, niin välillä on ainakin yksi nollakohta — saa usein tarpeettoman juhlallisen sävyn.  Asiahan on selviö, jos jatkuvuus mielletään vain kuvaajan yhtenäisyytenä. Kuitenkaan lause ei päde, jos tarkastelu rajoitetaan rationaalilukuihin. Reaaliluvut rationaaliluvuista erottavan täydellisyysaksiooman täytyy siis olla lauseen kannalta oleellinen.

Pitävän todistuksen esittäminen Bolzanon lauseelle ei siten ole mahdollista, jos käsitys reaaliluvuista perustuu lujaan uskoon, eikä tätä koulutasolla onneksi yritetäkään. Tiukkaan kumulatiivisuuteen jää aukko ja se voisi olla hieman isompikin: Bolzanon lausetta voisi pitää selviönä antamatta sille edes nimeä. Ajattelevaisen lukiolaisen ei tarvitsisi ihmetellä, mikä lauseesta tekee juhlallisen. Vielä enemmän ajattelevaiselle voi sitten kertoa reaaliluvuista syvemmin.

Alkeisfunktioiden (potenssit, eksponenttifunktio, trigonometriset funktiot, näiden käänteisfunktiot sekä näistä peruslaskutoimituksilla ja funktioiden yhdistämisellä saatavat funktiot) kohtuullisen tarkkaan kumulatiiviseen määrittelyyn on syytä kiinnittää huomiota eikä vain antaa valmiita kaavoja tai tuloksia.  Funktioistahan koululainen jo jotakin tietää laskimen näppäinhattujen tai tietokoneen käytön perusteella, mutta määrittelyprosessi kertoo jotakin oleellista matematiikan luonteesta.

Tietyn alkeisfunktion määrittelyyn voi olla useita teitä. Eksponenttifunktio on tästä hyvä esimerkki:

1) Lähtökohdaksi voidaan ottaa, että kyseessä on potenssi, jossa hieman mystillisesti määritelty luku \[e = \lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n})^n\] korotetaan muuttujan $x$ ilmaisemaan potenssiin. Tätä varten on ymmärrettävä, mitä tarkoittaa raja-arvo ja miten potenssit määritellään, kun eksponentti on kokonais-, rationaali- tai irrationaaliluku.

2) Voidaan myös antaa määritelmä muuttujasta riippuvana raja-arvona: \[\exp(x) = \lim_{n \to \infty} (1+\frac{x}{n})^n.\] Raja-arvon olemassaolon lisäksi ongelmana on potenssin laskusääntöjen osoittaminen: $\exp(x)\exp(y) = \exp(x+y)$ jne.

3) Voidaankin ensin määritellä käänteisfunktio: \[\ln(x) = \int_1^x \dfrac{dt}{t}.\] Tämän käänteisfunktio on $\exp(x)$. Tarvitaan tieto integraalin määrittelystä ja olemassaolosta, kun integroitavana on jatkuva funktio. Lisäksi on pääteltävä käänteisfunktion olemassaolo. Potenssin laskusäännöt on osoitettava.

4) Myös sarjamäärittely on mahdollinen: \[\exp(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}.\] Täytyy osoittaa, että sarja suppenee ja että potenssin laskusäännöt ovat voimassa.

Mikään näistä teistä ei ole aivan helppo, vaan joudutaan vetoamaan aiemmin esitettyihin käsitteisiin ja tuloksiin. Kumulatiivisuus on oleellista ja jollakin tavoin tähän haasteeseen täytyy opetuksessa vastata, vaikka kaikkia yksityiskohtia ei ehkä voidakaan — tasosta riippuen — huolellisesti käsitellä.  Matematiikan kumulatiivisen luonteen tulee näkyä, jotta mielikuva ei jää kaavakokoelman ja laskinohjelman tasolle.

Mikä edellä olevista eksponenttifunktion määrittelytavoista sitten on paras? Ei tähän ole vastausta.  Riippuu yhteydestä ja varmaan myös opettajan mieltymyksistä.

Jatkuvuuden epsilon-delta-määrittely

Funktiota $f$ sanotaan jatkuvaksi pisteessä $a$, jos seuraava pätee:
\[
\forall(\varepsilon > 0)\exists(\delta > 0)(|x - a| < \delta \implies |f(x) - f(a)| < \varepsilon),
\]
ts. jokaista positiivilukua $\varepsilon$ (epsilon) kohden on olemassa positiiviluku $\delta$ (delta) siten, että jos $x$:n etäisyys $a$:sta on pienempi kuin $\delta$, niin $f(x)$:n etäisyys $f(a)$:sta on pienempi kuin $\varepsilon$.

Jatkuvuuden määrittely tällä tavoin on eräänlaista šokkihoitoa aloittelevalle matematiikan opiskelijalle. Tokihan tämäntyyppisiä lausekkeita on syytä oppia lukemaan ja kirjoittamaankin, mutta jatkuvuuden opettaminen tällä tavoin on kuin uimaan opettaminen heittämällä oppilas veteen ja katsomalla uppoaako. Ainakin pitäisi olla valmis onkimaan oppilas kuiville.

Tällaista šokkihoitoa sain itsekin aloittaessani matematiikan opinnot 1960-luvulla Helsingin yliopistossa opiskeltuani lukiossa lyhyen matematiikan. Kuiville pääsin kevätlukukauteen mennessä tyytyväisenä: 'Eikö se tämän kummallisempaa ollutkaan?'

Ei jatkuvuuden määrittely tällä tavoin ole kovin vaikeaa, kunhan määritelmää hieman avataan. Kyseessä on eräänlainen kahden pelaajan, A ja B, hieman epäreilu peli. Jos A voittaa, funktio on epäjatkuva, jos B, niin se on jatkuva. Alussa pelaaja A valitsee positiiviluvun $\varepsilon$ ja pelaajan B pitää löytää positiiviluku $\delta$ siten, että implikaatio toteutuu. Jos B ei löydä, A on voittanut eikä funktio ole jatkuva. Jos B löytää, A antaa uuden epsilonin ja otetaan uusi kierros. Näin jatketaan tarvittaessa äärettömän monta kierrosta, minkä jälkeen B on voittaja ja funktio on jatkuva.  Jatkuvuuteen tarvitaan äärettömän monta kierrosta, koska testattavana ovat kaikki positiiviset epsilonit.

Tarkastelupisteessä jatkuva funktio

Yllä oleva GeoGebralla tehty graafinen sovellus tekee pelistä inhimillisemmän ja samalla määritelmä tulee helpommin ymmärrettäväksi. A valitsee epsilonin liukusäätimellä, jolloin vihreät vaakasuorat viivat rajaavat y-akselilla alueen, jossa etäisyys funktion arvosta $f(a)$ (musta piste) on pienempi kuin $\varepsilon$. B hakee vastaavaa deltaa toisella liukusäätimellä, jolloin punaiset pystysuorat viivat rajaavat x-akselilla alueen, jossa etäisyys pisteestä $a$ on pienempi kuin $\delta$. Kun sopiva delta löytyy, merkkivalo muuttuu punaisesta vihreäksi. Tällöin funktion kuvaaja pysyy vihreiden viivojen välissä punaisten viivojen rajaamalla alueella, mikä tarkoittaa implikaation toteutumista. Pienellä kokeilulla on melko helppoa oppia ymmärtämään, miten $\delta$ on valittava.

Kuvan funktio on jatkuva eikä tämä vielä auta ymmärtämään, miksi jatkuvuus on järkevää määritellä juuri näin. Tässä — kuten monissa muissakin matematiikan määrittelyissä — on oleellista katsoa, miten määritelmä erottaa tapaukset, joissa ehto ei ole voimassa. Alla olevat kuvat ovat muutoin samanlaisia kuin edellä, mutta kyseessä ei ole jatkuva funktio. Tällöin on toki olemassa epsiloneja, joita vastaava delta löytyy ongelmitta. Mutta on myös epsiloneja — riittävän pieniä — joille vastaavaa deltaa ei löydy. Epäjatkuvuus näkyy tällä tavoin. Deltanhan pitää löytyä kaikilla positiivisilla epsiloneilla.

Funktio jolla on hyppyepäjatkuvuus

Origossa epäjatkuva funktio $\sin(1/x)/2$, origossa arvo $0$

Edellä sanottu on oikeastaan vasta puolet asiasta: määritelmän idea. Toinen puoli jatkuvuuden osoittamisessa on hakea laskemalla annettua epsilonia vastaava delta. Piirroskuviahan ei ole tapana hyväksyä todistuksiksi. Tällöin lähtökohtana on kiinnitetty luku $\varepsilon$, jota käsitellään symbolina. Tavoitteena on hakea tähän liittyvä $\delta$, ts. esittää delta jonkinlaisena funktiona epsilonista. Hakeminen merkitsee yleensä epäyhtälöiden manipulointia, mikä sekin on sinänsä tarpeellinen taito, mutta eri asia kuin jatkuvuuden määrittely. Epäjatkuvuuden osoittamiseen taas riittää löytää yksi epsilon, jota vastaavaa deltaa ei todistettavasti ole.

Arvelen, että osa määritelmän vaikeudesta johtuu siitä, että idea hukkuu teknisen epäyhtälöiden manipuloinnin taakse. Kun jälkimmäinen vie päähuomion, ymmärtämiselle ei riitä energiaa.

Edellä olevat kuvat ovat staattisia, mutta GeoGebralla tehty sovellus löytyy verkko-osoitteesta http://matta.hut.fi/matta/demot.html.  Siellä on myös Mathematica-versio, jonka käyttöön tarvitaan laskentaohjelma Mathematica tai katseluohjelma Wolfram Player (CDF Player).

Verbaalinen epsilon ja delta

Raja-arvon määrittelyä epsilonia ja deltaa käyttäen pidetään — aiheellisesti — vaikeana asiana. Aiemmin opiskeltuun matematiikkaan nähden abstraktiotaso on selvästi korkeampi. Tämän sijasta usein määritellään, että funktiolla $f$ on pisteessä $a$ raja-arvo $b$, siis $\lim_{x \to a} f(x) = b$, jos funktion $f$ arvot tulevat mielivaltaisen lähelle lukua $b$, kun muuttujan $x$ arvot tulevat riittävän lähelle lukua $a$. Tätä voidaan täydentää jollakin epsilon-delta-ajatteluun viittaavalla lausumalla, mutta se ei kovin paljoa opiskelijalle anna. Kirjoittaja vain pesee kätensä määritelmänsä epämääräisyydestä.

Ei liene aivan selvää, millaisia mielikuvia raja-arvosta em. määritelmä opiskelijalle synnyttää. Luin jokin aika sitten amerikkalaisen professorin David Bressoudin blogikirjoituksia Beyond the Limit I, II, III, joissa käsiteltiin aiheesta tehtyjä tutkimuksia. Opiskelijoille on annettu yhdentoista tehtävän sarja, joissa heitä on pyydetty selittämään (explain) raja-arvoihin liittyviä ideoita, merkityksiä ja syitä. Tulosten perusteella käsitykset on luokiteltu eri tyyppeihin.  Vastaavanlainen tutkimus suomalaisista pitkän matematiikan lukijoista voisi olla kiinnostava.  Onkohan tällaisia tehty?

Edellä mainitun määritelmän epämääräisyys näkyy verbivalinnassa: mitä tarkoittaa arvon 'tuleminen'?  Onko kyseessä jonkinlainen dynamiikka? Verbiä voi toki vaihtaakin, mutta epämääräisyyttä se ei poista.  Onko arvoja paljon? Voivatko ne jotenkin heilahdella? Lähestyvätkö ne tasaisesti? (Mitä se sitten onkin.)  Ongelmiin joudutaan viimeistään yritettäessä yleistää määritelmää kahden muuttujan funktioille.

Epämääräisyydestä huolimatta esitystä yleensä jatketaan lauseilla summan, tulon ja osamäärän raja-arvoista. Tietenkään näitä ei todisteta, ei toki oikein voitaisikaan, mutta tulokset julistetaan tärkeinä lauseina. Toisinaan tähän sarjaan liitetään myös alussa olevan kuvan yhdistettyä funktiota koskeva lause. Ilmeisen tuntuinen tulos, jonka toki voinee todistaakin epsilon-delta-tekniikalla. Paitsi että lause ei pidä paikkaansa.

Virheellisen lauseen on esittänyt suomenkielinen Wikipediakin (ainakin 16.9.2019, olen huomauttanut asiasta). Englannin- ja saksankielisissä Wikipedia-artikkeleissa on vastaesimerkki, joka osoittaa lauseen vääräksi. Ehkä yksinkertaisin esimerkki on $f(x) = 0$, kun $x \neq 0$, $f(0) = 1$ ja tarkastellaan yhdistettyä funktiota $f \circ f$.

Ranskankielinen Wikipedia-artikkeli esittää yhdistettyjä funktiota koskevan tuloksen pätevänä lauseena, ja tällä kertaa se sitä onkin, sillä ranskalainen raja-arvon määritelmä on hieman erilainen: funktion arvo pisteessä $a$ otetaan huomioon, ts. $0 \le |x-a| < \delta$. Tämäkin kyllä sopii em. verbaaliin määrittelyyn.

Miten raja-arvo sitten tulisi määritellä lukiotasolla? Epsilon-delta-määritelmästä aloittaminen on varmasti liian vaativaa, joten edellä esitettyyn epämääräisyyteen on tyydyttävä. Vierastan tällöin kuitenkin pohdiskeluja raja-arvon laskusäännöistä ja toispuolisista raja-arvoista. Ikään kuin oltaisiin kehittämässä täsmällistä teoriaa. Todettakoon mieluummin suoraan määritelmän riittämättömyys ja palattakoon siihen myöhemmin jossakin analyysin jatkokurssissa, jolloin kykyä abstraktisuuden käsittelemiseen on ehtinyt kertyä. Intuitiivisen mielikuvan ja raja-arvojen numeerisen laskemisen pohjalta päästään aivan hyvin kiinni erotusosamäärän raja-arvoon, ts. derivaattaan. Samalla kurssi muuttuu selvästi kevyemmäksi.

Tällä tavoin asia on hoideltu Kalle Väisälän maineikkaassa algebran kirjassa. Sitä selailemalla ei oikein voi välttyä käsitykseltä, että Väisälä oli pedagogi, joka taisi tehdä paljon töitä löytääkseen asioille luontevan ja kohtuullisen helposti omaksuttavan esitystavan.

Kimurantti Bolzano

Bolzanon lause

Jokainen pitkän matematiikan lukija taitaa nykyään oppia Bolzanon lauseen ja sen tärkeyden: Jos jatkuva funktio saa erimerkkiset arvot välin päätepisteissä, niin sillä on tällä välillä ainakin yksi nollakohta. Miksi tämä sitten on niin tärkeä tulos? Eikö ajattelevan lukiolaisen pitäisi pikemminkin pitää asiaa triviaalina: jos x-akselin alapuolella oleva piste ja yläpuolella oleva piste yhdistetään yhtenäisellä käyrällä, niin pakkohan käyrän on leikata x-akseli jossakin pisteessä? Miksi tässä pitää vannoa 1800-luvun alkupuoliskolla vaikuttaneen tšekkiläisen matemaatikon Bernard Bolzanon nimiin? Onhan sekin selvää, että jos ympyrän keskipiste ja ympyrän ulkopuolinen piste yhdistetään, niin yhdysjana leikkaa ympyrän jossakin pisteessä.

Kyseessä on yllättävän pitkän iän saavuttanut jäänne ajalta, jolloin analyysia — differentiaali- ja integraalilaskentaa — pyrittiin lukiossakin opettamaan nykyistä täsmällisemmin. Ajankohta on 60-luku, jolloin matematiikan opetusta kehitettäessä abstraktiotasoa pyrittiin nostamaan ja iskettiin kyllä myös kirves joukko-opin kiveen. Sen jälkeen muutokset ovat olleet oppimäärän supistuksia ja trivialisointeja, mutta joitakin kohokohtia on jäänyt kuin oksankohtia kuluneeseen lattiaan. Bolzanon lause on näitä.

Jos jatkuvuus määritellään huolellisesti epsilonien ja deltojen avulla eikä vain epämääräisesti funktion kuvaajan katkeamattomuutena, asia ei ole aivan yksinkertainen. Reaalilukuihinkin voi suhtautua vain lujasti uskoen sen enempää ihmettelemättä. Täsmällisempään käsittelyyn tarvitaan aksiomatiikka mukaan luettuna pienimmän ylärajan olemassaoloa koskeva täydellisyysaksiooma. Vaihtoehtona on Cauchyn jonojen käyttö. Mitään näistä ei oikein voi sisällyttää lukion oppimäärään ehkä poisluettuna matematiikkaan vahvasti panostavat lukiot.

Tässä ympäristössä Bolzanon lause ei ole lainkaan triviaali. Sen todistuksessa tarvitaan sekä jatkuvuuden täsmällinen karakterisointi että reaalilukujoukon täydellisyys. Eihän se edes ole voimassa rationaalilukujoukossa. Arvelen, että Bolzanon lauseen luonne ei ole selvä monille opettajillekaan, vaikka ehkä ovatkin sen aikanaan yliopistossa opiskelleet.

Voisi olla parempi, että Bolzanon lausetta ei lukiossa käsiteltäisi, ellei sitten voida avata sen todellista luonnetta. Ei ole syytä antaa mielikuvaa, että matematiikka on selviin asioihin kohdistuvaa saivartelua ja pilkunviilausta.

Lopuksi pientä pohdittavaa asiaan liittyen.

Cantorin funktioksi, joskus myös paholaisen portaiksi kutsutaan oheisen kuvan mukaista välillä $[0,1]$ määriteltyä funktiota $f$:

Cantorin funktio

Päätepisteissä on $f(0) = 0$ ja $f(1) = 1$. Väli $[0,1]$ jaetaan kolmeen yhtä suureen osaan ja keskimmäisellä kolmanneksella (suljetulla välillä) funktio saa vakioarvon päätepistearvojen puolivälistä, siis $\frac{1}{2}$. Jäljellä olevat osat, ensimmäinen ja viimeinen kolmannes jaetaan jälleen kolmeen yhtä suureen osaan. Keskimmäisillä (suljetuilla) osilla funktio saa vakioarvon päätepistearvojen puolivälistä, siis $\frac{1}{4}$ ja $\frac{3}{4}$. Jäljellä olevat palat jaetaan jälleen kolmeen yhtä suureen osaan ja jatketaan samaan tapaan loputtomiin.

Funktio tulee tällöin määritellyksi osaväleillä, joiden yhteinen pituus on
\[
\frac{1}{3} + 2\cdot\frac{1}{9} + 4\cdot\frac{1}{27} + \dots =
\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^k = 1,
\]
ts. se on määritelty koko välillä $[0,1]$. Ilmeisesti funktio on myös jatkuva.

Bolzanon lauseesta seuraa, että tällainen funktio saa kaikki arvot pienimmän ja suurimman arvonsa väliltä, siis esimerkiksi irrationaaliarvon $1/\sqrt{2}$. Edellä olevan mukaan funktio saa kuitenkin vain arvoja, jotka ovat luvun $\frac{1}{2}$ potenssien monikertoja, ts. muotoa $\displaystyle\frac{n}{2^k}$, missä $n$ ja $k$ ovat luonnollisia lukuja. Nämä ovat rationaaliarvoja.

On siis syntynyt ristiriita. Vai onko?