Laskentaohjelman rönsyt

Olen käyttänyt laskentaohjelma Mathematicaa sen syntymästä saakka, vuodesta 1988. Pääversioita on tähän mennessä kertynyt 12 ja laajentuminen on ollut melkoista. Kyseessä on edelleen pääasiassa matemaattinen laskentaohjelma, mutta rönsyilyä on tapahtunut moneen suuntaan: dynaamisia animaatioita, dokumenttimuoto nimeltään computable document format, ohjelmointikieli, verkkoresursseja, kuvankäsittelyä, kartografiaa jne. Ehkä erikoisimpana Wolfram Researchin tietokanta, josta Mathematican komennoilla voidaan hakea monenlaista silpputietoa. Osittain nämä rönsyt ovat varmaan kokeellisia: katsotaan, mikä voisi olla järkevää ja miten se pitäisi toteuttaa.

En pyri minkäänlaiseen kattavaan esittelyyn, vaan jätän markkinoinnin Wolfram Researchille (https://www.wolfram.com/). Tyydyn kertomaan kartografiaan ja tietokantoihin liittyvistä kokeiluistani kesähelteiden ratoksi.

Wolfram Knowledgebase sisältää mm. luettelon Europpan maista. Jokaisesta maasta löytyy kartografista tietoa ja melkoinen määrä tilasto- ym. dataa. 

Euroopan maat Wolfram Knowledgebasen mukaan

Suomeen liittyvien ominaisuuksien listan alkuosa Wolfram Knowledgebasessa

Tietoja voidaan yhdistellä ja kohdistaa niihin laskutoimituksia computable document format -hengessä. Siten on esimerkiksi mahdollista koostaa kuva Euroopan valtioiden ääriviivoista ja värittää maa harmaasävyllä, joka on sitä tummempi, mitä suurempi on maan pääkaupungin väkiluvun suhde koko maan väkilukuun.

Euroopan maat ääriviivoina

Lukija voi yrittää tunnistaa maat oheisesta kuvasta. Kunkin maan kohdalla mittakaava on mitä on, pohjoinen on kuitenkin kaikissa ylöspäin.

Data on peräisin Wolframin tietokannoista, mutta mistä se on sinne tullut, ei käsittääkseni ilmene.  Lähdekritiikkiä ei siis pääse helposti harjoittamaan. Tietokannassa on Suomen väkiluku vuosittain aika pitkältä ajalta. Otin tiedot sadan vuoden ajalta 1910–2010, piirsin grafiikan ja vertasin Tilastokeskuksen sivuilta saatavaan dataan. Olivat samanlaiset.

Otin vastaavalla tavalla Helsingin väkilukutiedot ja laskin suhteen Suomen väkilukuun vuosittain. Grafiikka tuotti yllätyksen:

Helsingin väkiluvun suhde Suomen väkilukuun vuosittain Wolfram Knowledgebasen mukaan

Tarkempi selvittely osoitti, että tietokannassa ei olekaan Helsingin väkilukua kuin kymmenen vuoden välein ja välivuosina toistetaan samaa lukua. Dataa pyydettäessä tämä ei kuitenkaan ilmene. Suomen väkiluku sen sijaan on vuosittain.

Lähdekritiikki siis on tarpeen. Millä perusteella monet valinnat on tehty, jää myös avoimeksi. Edellä olevassa Euroopan valtioiden luettelossakin on monia, joita ei oikeastaan odottaisi. Vielä selkeämmin tämä tulee esiin pyydettäessä Helsingin osalta luetteloa 'notable people who died in city', joka sisältää 77 henkilöä ja alkaa seuraavasti:

Alvar Aalto, Tom of Finland, Tove Jansson, Paavo Johannes Nurmi, Urho Kekkonen, Mika Waltari, Juho Kusti Paasikivi, Frans Eemil Sillanpää, Artturi Virtanen, Hannes Kolehmainen, Kaarlo Juho Ståhlberg, Carl Ludvig Engel, Harri Holkeri, Rolf Herman Nevanlinna, Timo Sarpaneva, Tapio Rautavaara, Ville Ritola, Paavo Berglund, Leena Peltonen-Palotie, Ernst Leonard Lindelöf, Lauri Kristian Relander, Karl Frithiof Sundman, Edward Vesala, Clas Thunberg, Matti Järvinen, Hjalmar Mellin, Albin Stenroos, Lars Sonck, Tommy Tabermann, Heino Kaski, Richard Stites, J. S. Sirén, ...

Ehkäpä, mutta miksi juuri nämä? Ja onko kuolinpaikka merkityksellinen näkökulma?

Vertailun vuoksi otin Botswanan pääkaupungin Gaboronen 'notable people born in city'. Tuloksena yksi henkilö, Mpule Kwelagobe, jonka 'occupation' on 'beauty queen' ja josta 'notable facts' ei anna mitään. En Botswanan merkkihenkilöistä paljoakaan tiedä, mutta Wikipedia-artikkeli antaa Mpule Kwelagobesta paljon monipuolisemman kuvan.

Edellä sanottu antaa Wolframin tietokannoista ehkä hieman turhan huonon kuvan. Kyllä siellä on hyödyllistä ja hyvin järjestettyäkin tietoa, mutta vaikeata on välttyä silppukokoelman vaikutelmalta. Lähdekritiikkiä ei voi harjoittaa, ajantasaisuus jää avoimeksi. Maailmassa ja verkossa on luotettavampiakin lähteitä. Ihmettelen Mathematican laajentamista tähän suuntaan. On lähdetty puremaan liian suurta palaa. Kaikenkattavuus ei ole järkevä tavoite. Ja lisääkö vai vähentääkö tämä ohjelman arvostusta?

Leonhard Euler ja eräs saksalainen prinsessa

Kuvat: Public domain, via Wikimedia Commons

American Mathematical Society julkaisee Bulletin-nimistä lehteä, joka leviää amerikkalaisille matemaatikoille, mutta sangen laajasti myös Amerikan ulkopuolelle. Viime heinäkuun numerossa oli matemaattisemman sisällön ohessa myös muutaman sivun juttu Leonhard Eulerista. Lehden kansikuvana oli Eulerin teoksen Lettres à une Princesse d'Allemagne sur divers sujets de physique et de philosophie nimiösivu.

Minulla ei ole käsitystä, missä vaiheessa suomalaisen matematiikan opiskelijan tajuntaan tunkeutuu tieto Leonhard Eulerista. Varmaankin aluksi käsitteiden nimissä: Eulerin kaava, differentiaaliyhtälö, vakio, funktio, suora, lause jne. Myöhemmin kuva henkilöstä ja hänen merkityksestään matematiikassa toivottavasti syvenee. Tätä auttaisivat muutaman sivun mittaiset, nopeasti luettavat artikkelit kuten Bulletinin juttu. Tällaisia voisi toivoa julkaistavan myös suomenkielisissä lehdissä niin opiskelijoiden — lukiosta lähtien — kuin opettajienkin tarpeisiin.

Kyse ei ole siitä, ettei tietoja Eulerista — tai monesta muusta merkittävästä henkilöstä — olisi löydettävissä. Digitaaliaikana vallitsee pikemminkin runsauden pula, kuten esimerkiksi seuraavat linkit osoittavat:

• suomenkielinen Wikipedia, https://fi.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler
• englanninkielinen Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler
• St Andrews -yliopiston matemaatikkoelämäkerrat, http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/Biographies/Euler.html
• Bulletin-lehden juttu, http://dx.doi.org/10.1090/bull/1577
• sveitsiläinen elämäkerta, https://www.mathematik.ch/mathematiker/euler.php
• ...

Näiden tutkiminen edellyttää kuitenkin aika selkeää tarvetta asiaan paneutumiseen.

Kuka sitten oli Leonhard Euler? Syntynyt Baselissa Sveitsissä 1707, kuollut Pietarissa 1783, työskenteli Pietarissa ja Fredrik Suuren kutsusta Berliinissä, myöhemmin Katariina Suuren kutsusta uudelleen Pietarissa. Euler oli tavattoman tuottelias: luettelossa http://eulerarchive.maa.org/ on 866 nimekettä. Aihepiirejä olivat matematiikka, fysiikka ja tähtitiede, mutta Euler oli kiinnostunut myös monenlaisista luonnonfilosofisista näkökohdista. Eulerin vaikutus siihen matematiikkaan, jota nykyään opetetaan yliopistollisissa peruskursseissa, oli suuri. Melkoinen osa standardiharjoitustehtävistä lienee peräisin Eulerilta.

Saksalainen prinsessa oli Eulerin ystävän, maakreivi von Brandenburg-Schwedtin tytär Friederike Charlotte Leopoldine Luise (https://en.wikipedia.org/wiki/Friederike_Charlotte_of_Brandenburg-Schwedt), jolle Euler aluksi opetti alkeisgeometriaa. Maakreivin muutettua hovinsa Berliinistä Magdeburgiin vuonna 1760 opetus jatkui kirjeitse. Kaikkiaan kirjeitä kertyi 234. Siirryttyään Berliinistä uudelleen Pietariin Euler julkaisi kirjeet kolmena niteenä vuosina 1768-1772. Teos käännettiin monelle kielelle ja siitä tuli eurooppalaista sivistyneistöä kiinnostava tieteellisen valistuksen merkkiteos.

Kirjeet antavat mielenkiintoisen kuvan Eulerin monipuolisuudesta, mutta myös siitä, millaisia asioita ja näkökulmia aikakausi piti tärkeinä. Joitakin kirjeiden aiheita:

• Ilmakehästä ja ilmapuntarista
• Taivaan sinisestä väristä
• Maailmankaikkeuden rakenteesta
• Sielun ja ruumiin liittymisestä toisiinsa
• Ehdollisista lauseista ja niille perustuvista päätelmistä
• Moraalisesta ja fyysisestä pahasta
• Ajatuksia sähkön alkuperästä ja eri tavoista sen tuottamiseksi
• Tavasta määrittää paikan leveys eli napakorkeus
• Objektiivien aukon koosta

Teoksesta on vuonna 2007 ilmestynyt omakustanteena suomenkielinen käännös nimenä Kirjeitä saksalaiselle prinsessalle fysiikasta ja filosofiasta. Suomentaja ja julkaisija on Johan Stén.  Edellä olevat aiheet ovat Sténin käännöksen mukaiset. Kirja näkyy olevan edelleen saatavana joistakin verkkokaupoista.

Matematiikan vaellusretket

Julkaisin viime helmikuussa matematiikkaa popularisoivan kirjan Vaellusretkiä matematiikkaan, omakustanne, 210 sivua, 25 toisistaan riippumatonta artikkelia. Saatavana verkkokirjakaupoista tai suoraan minulta. Tarkempia tietoja on verkkosivulla http://www.elisanet.fi/simo.kivela/vaellmat.html.

Painos oli 150 kappaletta, joista tällä hetkellä on jäljellä neljä.  Lisäkappaleita on tilattu 50. Tiedossani on kolme arviointia:

Matti Lehtinen verkkolehti Solmussa, http://matematiikkalehtisolmu.fi/2017/2/vaellusretkia.pdf

Aaro Salosensaari blogissaan, https://aqsalose.kapsi.fi/blog/book-vaellusretkia.html

Petri Laarne blogissaan, http://www.nollakohta.fi/2017/05/lukuvinkki-vaellusretkia-matematiikkaan.html

Tekijälle on aina miellyttävää, kun joku on paneutunut tuotokseen ja innostuu kommentoimaan. Mainituissa arvioineissa nostetaan esiin näkökohtia, jotka ansainnevat enemmänkin pohdiskelua. Omina kommentteinani seuraavaa:

Kirjaani luonnehditaan hieman vaativaksi ja harvinaisuudeksi suomalaisessa ympäristössä. Ehkä näin on, mutta vastaavanlaisia artikkeleita kyllä löytyy ainakin verkkolehti Solmusta (http://matematiikkalehtisolmu.fi/). Tässä on vastakkain perinteinen kirja ja digimaailma. Miten nykyään pitäisi julkaista?

Verkkomateriaali on helposti saavutettavissa ainakin, jos se ei ole maksumuurin takana. Usein se kuitenkin muodostaa aika sekavan kokoelman, jota voi silmäillä, mutta jonka jäsentäminen on vaikeata. Kirjaan kuuluu jotenkin luonnostaan selkeämpi jäsennys. Kirja on enemmän olemassa: Sen voi antaa lahjaksi vaikka tuoreelle ylioppilaalle. Nettiosoitteen antaminen ei oikein tunnu samalta sen enempää saajalle kuin antajallekaan.

Kirjasta joutuu maksamaan, nettimateriaalin ilmaisuuteen on totuttu. Vaikka tekijä tietenkin onkin palkkansa ansainnut, ei kummastakaan vaihtoehdosta korvausta työlleen saa. Hyvä kun saa kirjan painolaskun kuitatuksi.

Kun kirjassa on 25 artikkelia, on selvää, että se ei voi antaa minkäänlaista yleisempää kuvaa 'mistä matematiikassa on kysymys ylioppilaskirjoitusten vaatimusten tuolla puolen' (Aaro Salosensaaren erinomainen formulointi).  Yhden henkilön projektiksi tällaisen kuvan antaminen olisi aika vaativa.  Voisikin kysyä, löytyisikö useita henkilöitä puhaltamaan yhteiseen hiileen, kukin oman asiantuntemuksensa mukaan.

Kirjani kunkin artikkelin lopussa on muun ohella verkkoviitteitä jatkolukemiseen.  Näiden osoitteet saattavat olla pitkiäkin, eikä niiden naputteleminen selaimeen kovin hauskaa ole. Myönnän kritiikin aiheelliseksi ja tarjoan apuvälineen: pdf-tiedosto http://www.elisanet.fi/simo.kivela/vaellmatViitteet.pdf sisältää artikkelien loppuhuomautukset aktiivisine linkkeineen.

Kommentoijia kiitän.

Lukio ja matemaattinen yleissivistys

Lukion opetussuunnitelman perusteiden mukaan lukiokoulutuksen tehtävänä on yleissivistyksen vahvistaminen. Yleissivistys puolestaan muodostuu arvoista, tiedoista, taidoista, asenteista ja tahdosta. Tätä ei ole aivan helppoa konkretisoida oppiainekohtaisesti, mutta ehkä ei ole aivan väärin sanoa, että yleissivistys on sitä, mikä jää jäljelle, kun kaikki detaljitieto on unohtunut.

Millaisen matemaattisen yleissivistyksen lukio sitten antaa? Pelkään, ettei oikeastaan mitään. Opetussuunnitelman perusteet luettelee joukon detaljeja, jotka kursseissa on käsiteltävä, toisinaan vielä rajaten pois näkökulmia, jotka saattaisivat kehittää ajattelua. Kun detaljit ovat unohtuneet, ei jää jäljelle oikein mitään. Ei ole yllättävää, että monet lukion käyneet myöhemmin sanovat, että eivät ole tarvinneet matematiikkaa mihinkään eikä siitä ole ollut mitään hyötyä.

Historiaakin voisi tietenkin opettaa detaljikokoelmana, mutta onneksi näin ei tehdä. Eivät yksityiskohdat sinänsä ole tärkeitä, mutta ne rakentavat kokonaisuutta ja luovat näkemystä. Samoin pitäisi tapahtua matematiikassa.

Matematiikan opetussuunnitelmaa leimaa ajatus opettaa laskemaan ylioppilaskokeessa esiintyvät laskut. Toki tämä auttaa myös matematiikkaa hyödyntävien alojen jatko-opinnoissa, mutta muiden alojen opiskelijoille hyöty jää vähäiseksi.

Mitä matemaattinen yleissivistys sitten olisi ja miten sen tulisi näkyä lukion opetussuunnitelmassa? Muutamien pääideoiden tulisi hahmottua lukiolaiselle:

Kirjaimilla laskeminen eli algebra. Kyseessä on seuraava askel luvuilla laskemisen jälkeen. Kaavojen käyttö tulee mahdolliseksi, asioita voidaan tutkia sotkeutumatta lukujen muodostamiin erikoistapauksiin, löytyy lähes mekaaninen tekniikka yhtälöiden ratkaisemiseen jne.

Funktio on ehkä matematiikan tärkein käsite. Sen avulla kuvataan asioiden välisiä riippuvuuksia joko numeerisesti, lausekkeilla tai mutkikkaammilla määrittelyillä.  Funktion mallina esitetään usein ns. funktiokone, joka onkin hyvä malli, koska jokaisella oppilaalla on sellainen: laskin.

Geometria opettaa ymmärtämään kaksi- tai kolmiulotteista tilaa. Näkökulmia on kaksi: kulttuurihistoriallisesti tärkeä ja ajattelua kehittävä antiikin kreikkalaisten idea päätellä mutkikkaammat totuudet yksinkertaisempien pohjalta ja paljon myöhemmin syntynyt geometrian ja algebran symbioosi, geometrian hallitseminen laskemalla.

Käsitteellisesti vaativia ovat rajaprosessit: mitä tapahtuu, kun jokin muuttuja lähestyy jotakin jollakin tavoin kriittistä arvoa. Kyseessä on laajan kokonaisuuden lähtökohta: analyysi raja-arvoineen, sarjoineen, derivaattoineen, integraaleineen.  Matematiikan historiaan tämä on ilmestynyt suhteellisen myöhään, vaikka ensimmäisillä sittemmin unohtuneilla ideoilla onkin ikää paljon.

Toisinaan diskreetiksi matematiikaksi kutsuttu hieman diffuusi kokonaisuus: kombinatoriikka, (abstrakti) algebra, logiikka, jolla on kasvava merkitys digitaalisessa maailmassa.

Tietotekniikan käyttöä en pääideoihin sisällytä. Sen tulee olla tavanomainen apuväline kaikessa työskentelyssä, mutta ainakaan toistaiseksi se ei ole merkittävä osa varsinaista matematiikkaa.

Selvyyden vuoksi lienee syytä sanoa, että edellä sanottu ei ole tarkoitettu opetussuunnitelmaksi. Kyseessä ovat käsitteellisesti merkittävät asiat, joiden tulisi olla opetussuunnitelman laatimisen lähtökohtana ja antaa opetussuunnitelmalle tietty ryhti. Kurssijaon ja -sisältöjen muodostaminen on tämän jälkeen oma tehtävänsä, joka ei ole aivan helppo.

Kaksi matematiikan oppikirjaa

Lueskelin kahta hyvin erilaista peruskoulun ja lukion taitteeseen suunnattua matematiikan oppikirjaa. Toinen taaksepäin katsova peruskoulun oppimäärän kertaus, sisältönä kaikki se, minkä lukion opettaja toivoisi lukiotulokkaiden osaavan. Toinen eteenpäin suuntaava yrittää antaa jonkinlaisen mielikuvan siitä, mitä matematiikka on, miksi se ehkä on mielenkiintoista ja miksi sitä kannattaa opiskella.

Edellinen on Paavo Jäppisen, Alpo Kupiaisen ja Matti Räsäsen Matematiikan linkki , kustantajana Otava, verkkokaupassa 22 euroa. Kyseessä on tiivis kertaus peruskoulumatematiikasta. "Linkki on oppikirja, joka kertaa peruskoulun matematiikan keskeiset aihepiirit ja valmentaa opiskelemaan matematiikkaa peruskoulun jälkeen. Linkki soveltuu johdantokurssiksi sekä lukion pitkään että lyhyeen matematiikkaan."

Toinen on Jukka Ilmosen Matematiikka on avain luontoon. Teksti on vapaasti saatavissa pdf-tiedostona, mutta sen voi tilata myös print-on-demand-periaatteella Amazon-yhtymän Create Space -palvelussa kustannettuna kirjana. Hinta tuntuu vaihtelevan erikoisella tavalla: hieman alle $200 (http://www.amazon.com/Matematiikka-avain-luontoon-Finnish-Edition/dp/1482763222) tai £3.50 (http://www.amazon.co.uk/Matematiikka-avain-luontoon-Jukka-Ilmonen/dp/1482763222).  Esittelytekstin mukaan kirja "antaa vastauksia kysymykseen miksi matematiikka ja luonnontieteet ovat tärkeitä. Siinä perustellaan miksi matematiikkaa ja luonnontieteitä pitää opiskella, vaikka laskimet onkin keksitty ja luonnontieteellistä tietoa voi hakea suoraan internetistä. Lisäksi kirjassa selvitetään miten matematiikka ja luonnontieteet ovat tekniikan kautta vaikuttaneet jokapäiväiseen elämäämme." Tekijä on opettanut Päivölän Kansalaisopiston matematiikkalinjalla ja kirja on syntynyt opettajien ja oppilaiden kanssa käytyjen pohdiskelujen pohjalta.

En esittele Jukka Ilmosen kirjaa tarkemmin, vaan viittaan Matti Lehtisen Solmussa julkaisemaan arviointiin.  Lukija voi myös itsekin helposti tutustua kirjaan lataamalla tiedoston.  Varsinaisia tekstisivujakaan ei ole enempää kuin 107.

Kirjat sijaitsevat monessa mielessä vaihteluvälin ääripäissä. Toinen on perinteisen kustantajan tuotantoa, toinen testaa uusia julkaisumahdollisuuksia.  Toinen on kokeneiden opettajien käsialaa, toisessa katsellaan asioita poikkeavista näkökulmista taustana matematiikkaan ja luonnontieteisiin painottuneet opinnot. Toisessa kerrataan matematiikkaa vakiintuneella, ehkä ikävystyttävälläkin tavalla, toisessa lennetään korkealla arkipäivä unohtaen.

Kummallakin on varmasti käyttönsä. Rautaisannos peruskoulun kertaamiseen on hyvä olla tarjolla. Kaiken ei kuitenkaan pidä tähdätä vain yksityiskohtien moitteettomaan osaamiseen, varsinkaan jos tämä tuo mukanaan kangistumisen 'ainoan oikean' ratkaisutavan esittämiseen. Ainoaan oikeaan ei sinänsä matematiikan oppikirjoissa tietenkään pyritä, mutta tavaksi tullut esitystyyli johtaa tähän: esimerkki, perässä ratkaisu, toki joskus harvoin myös vaihtoehto.  Houkutus opetella ratkaisutapa ulkoa on suuri, sillähän saa kokeessa täydet pisteet. Mihin unohtuu ajattelu?

Taivaanrantaa maalaava esitys on herkästi tasapainoton ja valituista näkökulmista voi olla eri mieltäkin. En pitäisi tätä kuitenkaan haittana, jos asioita myös pohditaan kirjan lukijan kanssa. Avara näkemys on kiistatta innostavampi kuin mahdollisimman hyvään koesuoritukseen keskittyvä. Lukiota aloittavalle opiskelijalle suosittelisin empimättä mieluummin Ilmosen kirjaa kuin Linkkiä. Jos innostus herää, mahdolliset puutteet peruskoulun oppimäärän osaamisessa eivät ole ongelma.

Moderni julkaisutapa tuo kuitenkin hieman vaikeuksia. Jos kirjan haluaisi antaa lahjaksi, ei oikein tunnu tyyliin sopivalta antaa vain nettiosoite. Fyysisen kirjan hankkiminen on ongelmallista: parikymmentä euroa voisin maksaa, mutta en kyllä lähes kahta sataa. Markkinoinnilla ja jakelulla on merkityksensä. Vai onko jokin kohtuullinen kanava, jota en ole huomannut? Ilmosen kirja olisi tällaisen arvoinen.

Lukiomatematiikan aloitus

Valtioneuvosto sai lopulta päätetyksi lukion tuntijaosta. Kovin paljon muutoksia ei tullut.  Ehkä on hyväkin, että suuria muutoksia ei tehdä, ennen kuin on nähty, mitä sähköisistä ylioppilaskirjoituksista tulee. Uusien opetussuunnitelmien teko voi nyt alkaa, ja ne otetaan käyttöön syksyllä 2016.

Joitakin merkittäviä muutoksia kuitenkin tapahtui: kolme syventävää teemaopintojen kurssia sekä pitkän ja lyhyen matematiikan yhteinen aloituskurssi. Teemaopintojen kurssien aihepiirit eivät risteä muiden kurssien kanssa, eikä niiden suunnittelu kireän aikataulun puitteissa tuottane ylivoimaisia vaikeuksia.

Matematiikan yhteisen aloituskurssin osalta tilanne on toinen. Ei ole selvää, mitä kurssin pitäisi sisältää, ja toteutustavasta riippuen vaikutus muihin matematiikan kursseihin voi olla suurikin. Jos aika loppuu kesken, on tyydyttävä pikaisesti tehtyyn hätäratkaisuun.  Kyseessä on uhka matematiikan osaamiselle. Huolellisesti tehty uudistus sen sijaan antaisi mahdollisuuden tilanteen parantamiseen.

Helppoja hätäratkaisuja ovat ainakin seuraavat:

Peruskoulumatematiikan kertauskurssi, jossa sisällöllisesti ei ole uutta. Tällainen on tarpeen osalle opiskelijoista, mutta peruskoulumatematiikkansa osaaville se on hyödytön ja hukkaan heitettyä aikaa. Innostava se tuskin on kenellekään.

Laskinkurssi, jossa opetellaan käyttämään jotakin laskinta tai tietokoneohjelmaa ja kerrataan sen avulla peruskoulun matematiikkaa. Laskimen työvälinekäyttöä on kuitenkin vaikeata oppia ilman riittävää substanssia. Leimautuminen laskinkurssiksi merkitsee keskittymistä nappulatekniikkaan, joka kaikista lukion asiasisällöistä vanhenee nopeimmin.

Jokin nykyisistä kursseista siirretään aloituskurssiksi. Tällainen voisi olla tilastoja ja todennäköisyyttä käsittelevä kurssi tai kooste nykyisten ensimmäisten kurssien asiasisällöistä. Kumpikaan vaihtoehto ei anna oikeaa kuvaa siitä, mitä matematiikka on, eikä auta valinnassa.

Kokonaan uuden aloituskurssin rakentaminen ei ole helppoa. Lähtökohtana pitäisi olla lyhyen ja pitkän matematiikan välillä valitsemisen helpottaminen, mutta samalla jonkin uuden oppiminen unohtamatta varsin monen tarvitsemaa peruskoulumatematiikan kertausta. Samalla tulisi kehittyä jonkinlainen näkemys matematiikan merkityksestä ja käyttökelpoisuudesta.  Julistuksenomainen tieto ei aina aloittelevalle lukiolaiselle riitä eikä sen oikeastaan pidäkään riittää.

Teen ehdotuksen: Yhteinen aloituskurssi rakennetaan matematiikan ehkä merkityksellisimmän käsitteen, funktion varaan. Määrittelyn jälkeen esimerkkeinä peruskoulusta tuttuja lineaarisia funktioita ja polynomeja, mutta myös mutkikkaampia lausekkeita ja laskimessa esiintyviä funktioita (trigonometriaa, eksponenttifunktio, jopa käänteisfunktion käsite), yhtälöitä ja epäyhtälöitä, kaksi- ja kolmiulotteiset koordinaatistot. Käsittelyn pohjana manuaalinen sieventäminen, graafiset esitykset käsin ja laskimella tehtyinä, ei niinkään asioiden todistaminen.

Riittävän funktiokokoelman hahmottaminen antaa mahdollisuuden kurkistaa joihinkin matematiikan sovelluksiin reaalimaailmassa ja nähdä jotakin matematiikan käyttökelpoisuudesta.  Laskimien (tai tietokoneiden) käyttöön työvälineinä opitaan, jolloin niiden hyödyntäminen myös koulun ulkopuolisessa elämässä on luonnollista.

Ongelmana on, että kurssi väistämättä vaikuttaa myös muihin kursseihin, jotka pitää muokata vastaavasti. Tarvitaan laajempi opetussuunnitelman uudistus, aidosti uudet kirjat ja opettajillekin aikaa perehtyä muutokseen.

Syksy 2016 on liian pian. Ehkä kuitenkin kannattaisi mieluummin tähdätä harkittuun uudistukseen eikä hyväksyä hätäratkaisua.

Kulman kolmiajako, Internet, koulu ja ylioppilaskoe

Kulman jako kolmia: ns. merkitty viivoitin ja harppi
(http://matta.hut.fi/matta/geogebra/kulmanKolmiajako.html)

Ryhdyin selvittelemään kulman kolmiajaon historiaa. Ongelmahan on vanha, sitä pohdittiin jo antiikin Kreikassa, mutta lopullinen todistus harppi-viivoitin-konstruktion mahdottomuudesta on vasta 1800-luvulta.

Asiaa käsitteleviä dokumentteja löytyy netistä paljon, tietenkin.  Joukossa toki myös sellaisia, joissa väitetään löydetyn harppi-viivoitin-ratkaisu.  Kaikki eivät mahdottomuustodistusta usko tai ymmärrä, mitä harpin ja viivoittimen käytöllä tarkoitetaan. Netti on tuonut jotakin sellaista, mistä en omina opiskeluaikoinani osannut unelmoidakaan. Siihen aikaan oli jokunen kirja, jossa asiaa käsiteltiin, eikä niitäkään välttämättä saanut käsiinsä kovin helposti.

Pitäisikö tilanteen muuttumisen sitten jotenkin näkyä tämän päivän nuorison opiskelussa, esimerkiksi lukiossa? Ehkä pitäisi, mutta ei oikein näy. En tarkoita erityisesti kulman jakamista kolmeen yhtä suureen osaan. Vastaavia asioita on paljon muitakin. Jos lukiolainen ohjattaisiin tekemään laaja-alainen tutkielma jostakin tällaisesta aiheesta, miten paljon hän oppisikaan. Esimerkkitapauksessa kaari antiikista melkein nykyaikaan, geometrisen konstruktion luonne, kulman jaon ja polynomin nollakohtien välinen yhteys, Cardanon ja Vietan työt 1500-luvulla, millainen Eurooppa tuolloin oli, mikä sai heräämään kiinnostuksen polynomiyhtälöihin, erikielisten verkkolähteiden ja kirjallisuuden käyttö oman kielitaidon mukaan ja sitä kehittäen, tutkielman lopullinen kirjoittaminen viiteluetteloineen.  Vaativuutta olisi enemmän tai vähemmän tekijän taitojen ja kokemuksen mukaan.

En väitä, että tutkielmien ohjaaminen olisi helppoa. Opettajiltakin se vaatii paljon, eivätkä nykyiset resurssitkaan riittäisi. Silti ajatusta ei pidä hylätä. Kaikkea ei voi saada heti, mutta tähän suuntaan pitäisi edetä. Uusissa opetussuunnitelmakaavailuissa puhutaan teemaopinnoista.  Olisivatko ne jotakin tällaista? Olisiko tässä kyse siitä yleissivistävyydestä, jonka sanotaan olevan lukion tehtävä?

Ylioppilastutkinto ohjaa lukio-opetusta enemmän kuin mikään muu ja sekin on muuttumassa tavalla, jonka seurauksia on vaikea ennakoida. Tutkinnon sähköistäminen ja työkaluina käytettävät tietokoneohjelmat näyttävät pelottavan ainakin opettajia, ehkä myös oppilaita. Aihetta käsittelevät Facebook-keskustelut eivät hyvää lupaa: opettajakunta näyttää haluavan malleja tyyppitehtävistä ja tietoa siitä, mitä ohjelmistoista pitää opettaa.  Jossain mielessä ymmärrettävää, mutta tämän tien päästä löytyy ulkoa opeteltujen tyyppitehtävien ratkaiseminen vanhentuneita ohjelmistoja käyttäen. Aletaan olla aika kaukana yleissivistyksestä.

Ei ole helppoa sanoa, mitä pitäisi tehdä. Mieleen hiipii ajatus ylioppilastutkinnon poistamisesta. Lukiossa opiskeltaisiin, mitä missäkin halutaan, ja lopuksi pannaan valkoinen lakki päähän. Toisissa lukioissa opitaan paljon, toisissa kulutetaan aikaa. Varsinainen testi on jatko-opiskelun valintakokeissa. Ei hyvä näinkään, ainakin eriarvoisuus lisääntyy.

Onnittelut kuitenkin kevään ylioppilaille. Jos tuloksissa on edes yksi keskitasoinen tai parempi arvosana, onnittelut on myös ansaittu.