Trigonometrinen Pythagoras

American Mathematical Society (AMS) julkaisee Math in the Media -sivustoa, jossa nostetaan esiin mediassa olleita matematiikkaa jollakin tavalla käsitelleitä artikkeleita tai uutisia. Osastossa Math Digests näihin liittyy myös koululaisille tarkoitettu Classroom Activities.

Maaliskuussa aiheena oli muun ohella trigonometriaan perustuva Pythagoraan lauseen todistus, jonka Calcea Johnson ja Ne’Kiya Jackson — kaksi koulutyttöä New Orleansista — olivat esittäneet AMS:n paikallisessa kevätkokouksessa. Asia on saanut mediassa yllättävänkin paljon huomiota, sitä ovat käsitelleet ainakin Scientific American, The Guardian ja Popular Mechanics. Viimeksi mainittu väittäen, että matemaatikot eivät koskaan olleet kyenneet tällaista todistusta esittämään (mitä tytöt itse eivät väittäneet).

Taustana on Elisha Scott Loomisin vuonna 1928 julkaistu teos The Pythagorean Proposition, joka käsittelee erilaisia Pythagoraan lauseen todistuksia ja jossa todetaan, että trigonometrinen todistus ei ole mahdollinen, koska se väistämättä perustuisi identiteettiin $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Tämä on itse asiassa sama kuin Pythagoraan lause, jolloin kyseessä olisi kehäpäättely.

Loomisin väite on moneen kertaan todettu vääräksi ja esimerkiksi sivustossa Cut-The-Knot on trigonometriaan perustuvia todistuksia. Johnsonin ja Jacksonin todistus saattaa olla uusi, mutta mitenkään mullistava se ei ole. Todistusta ei ilmeisesti ole (vielä?) julkaistu, mutta paikallisen televisiokanavan esitelmätilaisuudesta kuvaaman videon perusteella sen todennäköinen rakenne on hahmoteltu.

Lähtökohtana oleva kolmio $ABC$ peilataan kolmioksi $ADC$ ja piirretään suora $AD$. Asetetaan pisteen $B$ kautta janalle $AB$ normaali; tämä leikkaa suoran $AD$ pisteessä $E$. Suorien $AE$ ja $BE$ väliin konstruoidaan alkuperäisen kolmion $ABC$ kanssa yhdenmuotoiset kolmiot, jotka suppenevat kohden pistettä $E$. Yhdenmuotoisuuden perusteella näiden kolmioiden hypotenuusojen pituudet voidaan laskea. Nämä muodostavat kummallakin suoralla $AE$ ja $BE$ geometrisen jonon, jossa suhdeluku on $a^2/b^2$. Janojen $AE$ ja $BE$ pituudet saadaan tällöin geometrisen sarjan summana: \begin{align*} |AE| &= c + \frac{2a^2c}{b^2} + \frac{2a^4c}{b^4} + \dots = c + \frac{\frac{2a^2c}{b^2}}{1 - \frac{a^2}{b^2}} = c\frac{a^2 + b^2}{b^2 - a^2}, \\ |BE| &= \frac{2ac}{b} + \frac{2a^3c}{b^3} + \dots = \frac{\frac{2ac}{b}}{1 - \frac{a^2}{b^2}} = \frac{2abc}{b^2 - a^2}.\end{align*} Kummallakin rivillä viimeinen vaihe on saadun lausekkeen sieventäminen mahdollisimman yksinkertaiseen muotoon.

Koska kolmio $ABE$ on suorakulmainen, on \[\sin(2\alpha) = \frac{|BE|}{|AE|} = \frac{2ab}{a^2 + b^2}.\] Suorakulmaisessa kolmiossa $ABC$ on $\sin(\beta) = b/c$. Tämän jälkeen seuraa vaihe, joka tekee todistuksesta trigonometrisen: Kolmiossa $ABD$ on trigonometrisen sinilauseen mukaan \[\frac{\sin(2\alpha)}{2a} = \frac{\sin(\beta)}{c}.\] Kun tähän sijoitetaan edellä saadut lausekkeet, päädytään yhtälöön \[\frac{b}{a^2 + b^2} = \frac{b}{c^2},\] mistä seuraa Pythagoraan yhtälö $a^2 + b^2 = c^2$.

Oleellista on, että sinilauseen todistus ei perustu yhtälöön $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, jolloin kyseessä ei ole kehäpäättely. Sinilauseen todistus löytynee edelleenkin esimerkiksi lukion oppikirjoista.

Todistus tuntuu aika mutkikkaalta. Eikö vähemmällä selvittäisi?

Suorakulmainen kolmio voidaan tunnetusti jakaa hypotenuusan vastaisella korkeusjanalla kahteen osakolmioon, jotka ovat yhdenmuotoisia alkuperäisen kolmion kanssa. Yllä olevan kuvion mukaisesti on tällöin \[ x = a\sin\alpha,\ y = b\cos\alpha,\ a = c\sin\alpha,\ b = c\cos\alpha.\] Jakamalla ensimmäinen yhtälö kolmannella ja toinen neljännellä, saadaan $x/a = a/c,\ y/b = b/c$. Tästä seuraa \[ c = x + y = \frac{a^2}{c} + \frac{b^2}{c}\] ja edelleen $c^2 = a^2 + b^2$.

Sivuhuomiona voi todeta, että kertomalla ensimmäinen ja kolmas yhtälö keskenään, samoin toinen ja neljäs, päädytään yhtälöön \[\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \frac{x}{c} + \frac{y}{c} = \frac{x + y}{c} = 1,\] joten trigonometrian perusyhtälökin tulee todistetuksi, tosin vain kulmille $0 < \alpha < \pi/2$.

Voi kysyä, onko edellä oleva Pythagoraan lauseen todistus trigonometrinen. Eihän siinä oikeastaan käytetä trigonometriaa, vaan ainoastaan yhdenmuotoisten kolmioiden sivujen verrannollisuutta. Samaa voi kysyä Johnson-Jackson-todistuksesta. Sekin lepää lähinnä kolmioiden yhdenmuotisuuden ja geometrisen sarjan varassa. Mitä yleensä tarkoittaa trigonometrinen todistus? Miten vahvasti trigonometriaa on käytettävä?

Aikojen kuluessa Pythagoraan lauseelle on esitetty lukuisia erilaisia, eri näkökohtiin pohjautuvia todistuksia. Edellä mainitun Loomisin kirjan lisäksi hyvä kokoelma on Cut-The-Knot-sivustossa. Klassikko on tietenkin Eukleideen todistus (englanniksi  tai kreikaksi).

Mielenkiintoista pohdittavaa antaa todistuksien perimmäisten lähtökohtien ('aksioomien') miettiminen. Jos todistuksessa käytetään yhdenmuotoisia kolmioita, niin mitä itse asiassa tarvitaan näiden määrittelyyn? Mitä oikeastaan tarkoittaa jo peruskäsitekin, suora kulma? Eukleideella on oma vastauksensa, modernin aksiomaattisen määrittelyn esittävät esimerkiksi Matti Lehtinen, Jorma Merikoski ja Timo Tossavainen kirjassaan Johdatus tasogeometriaan. Siinä kuin klassisen geometrian perustana on janojen mittaaminen harpilla, voidaan geometrian lähtökohdaksi myös ottaa Pythagoraan lauseeseen perustuva janojen pituus (pisteiden etäisyysfunktio).

Johnsonin ja Jacksonin todistus ei tuo kovin paljon lisää, mutta osaltaan näyttää, miten Pythagoraan lauseeseen kietoutuu melkoinen annos matematiikkaa.