Geometriaa?

Maailmassa julkaistaan paljon kirjoja, myös matemaattisia. Selasin kirjamainoksia ja katsoin muutamaa mielenkiintoiselta näyttävää teosta verkkokirjakauppa Amazonin sivuilta. Amazon tarjoaa mahdollisuuden katsella joitakin kirjojen sivuja sähköisesti, joten pelkällä selaamisellakin voi oppia yhtä ja toista.

En ole ennen tiennyt, mikä on Miquelin lause, mutta sekä Gerard A. Veneman kirja Exploring Advanced Euclidean Geometry with GeoGebra että Alfred S. Posamentierin ja Ingmar Lehmannin kirja Secrets of Triangles käsittelevät sitä. Auguste Miquel puolestaan oli ranskankielisen Wikipedian mukaan (http://fr.wikipedia.org/wiki/Auguste_Miquel) 1800-luvulla vaikuttanut erityisesti geometriaan paneutunut matematiikan opettaja.  Hänen julkaisujaan löytyy helposti ranskalaisesta verkkokirjastosta Gallica, Bibliothèque numérique.

Miquelin lause ilmenee alla olevasta kuviosta.

ABC on mielivaltainen kolmio, D, E ja F sen sivuilla olevia mielivaltaisia pisteitä.  Piirretään kolme ympyrää, joista kukin kulkee kolmion yhden kärjen ja viereisillä sivuilla olevien pisteiden kautta. Miquelin lauseen mukaan ympyrät leikkaavat toisensa samassa pisteessä H. Lisäksi lukija voi miettiä, miten alkuperäinen kolmio ABC ja ympyröiden keskipisteiden muodostama kolmio PQR suhtautuvat toisiinsa.

Tehtävää on luontevaa tutkia dynaamisen geometrian ohjelmalla, esimerkiksi GeoGebralla, ja hakea ideoita väitteiden todistamiseen. Aikoinaan koulussa euklidista geometriaa ja geometrisia todistuksia opiskelleita tämä varmasti viehättää. Kuulun näihin itsekin. Selaimessa toimiva GeoGebra-dokumentti on osoitteessa http://matta.hut.fi/matta/geogebra/miquel.html.

Tulisiko tällaisia tehtäviä sitten käsitellä koulussa nykyään? Mitä näistä olisi tarkoitus oppia?  Vastaavia geometrisia tuloksia on paljon, ja näiden opiskeluun Veneman kirjakin tarjoaa materiaalia. Tulosten tietäminen ei kuitenkaan sinänsä voi olla kovin tärkeätä. Ajatus todistamisesta ja hierarkkisesta päättelystä ehkä on oppimisen arvoista, mutta olisiko sen oppimiseen tarjolla sisällöltään relevantimpia yhteyksiä? Geometriaahan pitäisi opiskella aika paljon, jotta päättelyjärjestelmän ideasta voisi syntyä mielikuva. Siirtyykö geometriassa mahdollisesti saatu taito muihin yhteyksiin, jolloin sillä voisi olla yleisempää merkitystä?

Otsikossa oleva kysymysmerkki ei viittaa siihen, että epäilisin, onko ns.  dynaaminen geometria geometriaa lainkaan. Kyllä se varmasti on kelvollinen lähestymistapa geometriaan ja ansaitsee siinä mielessä paikkansa. Ongelma sen sijaan mielestäni on, onko Veneman kirjan tyyppiseen geometrian opetukseen perusteltua käyttää aikaa.

Matematiikan opettajan soisi tuntevan euklidisen geometrian päättelyn idean, vaikka sitä ei varsinaisesti koulussa opetettaisikaan. Vaiko onko tässäkin kyse vain vanhaan takertumisesta? Mieleeni nousee jostakin matematiikan kirjan mainoksesta vuosia sitten lukemani tarina: Kiinalainen opiskeli — teoreettisesti — lohikäärmeiden pyydystämistä. Vuosien uurastuksen jälkeen hän saavutti taidossa täydellisyyden ja ryhtyi pyydystämään lohikäärmeitä, mutta ei löytänyt ainuttakaan. Loppuelämänsä hän käytti opettamalla lohikäärmeiden pyydystämistä.