Silmän huijaaminen ja perspektiivin geometria

American Mathematical Society ja Mathematical Association of America ovat yhdessä julkaisseet viime vuonna kirjan Optical Illusions of Rome, jonka tilasin joulun alla.  Tekijä on matematiikan historiaa tutkinut Kirsti Andersen Aarhusin yliopistosta, ja teos on alunperin ilmestynyt tanskaksi. Aiheena ovat pääosin renessanssiaikaiset perspektiiviset seinäkuvat ja arkkitehtoniset rakenteet sekä niiden taustana oleva keskusprojektion — eli perspektiivikuvien — teoria. Kolmiulotteista projektiivista geometriaa siis.

Perspektiivikuvien piirtämisen lait selvitettiin renessanssiaikana. Monet taiteilijat ja arkkitehdit tekivät erilaisia perspektiivikokeiluja, ja asiaa tutkittiin myös geometrisesti. Erityisesti Albrecht Dürer (1471–1528) oli paitsi taiteilija myös geometrikko, ja hänen teoksensa Underweysung der messung mit dem zirckel und richtscheyt in Linien ebnen unnd gantzen corporen vuodelta 1525 on deskriptiivisen geometrian klassikko.

Perspektiivikuvan muodostaminen Dürerin teoksessa Underweysung ...

Perspektiivilakien tunteminen ja innostus kokeiluihin johti ns. trompe l'œil -illuusioiden konstruointiin.  Tavoitteena oli huijata silmää (ransk. tromper l'œil) luomalla vaikutelma tilasta, jota todellisuudessa ei ollut. Esimerkiksi huoneen seinään maalattiin perspektiivikuva, jossa pylväikön takaa aukeni avara näköala kauniiseen ympäristöön. Jos rakennusteknisistä (tai taloudellisista) syistä kirkon päälaivan päälle ei voitu rakentaa kupolia, kattoon maalattiin kupolin perspektiivikuva. Alla olevat kirjassa käsitellyt esimerkit ovat Roomasta, mutta vastaavia on toki tehty muuallakin.

Virtuaalinen takaseinä, Villa Farnesina, Sala delle prospettive,
Combusken (Wikimedia Commons) [CC BY-SA]

Virtuaalinen kupoli,Chiesa di Sant'Ignazio,
Jean-Christophe Benoist (Wikimedia Commons) [CC BY-SA]

Ongelmana oli, että periaatteessa perspektiivikuva näyttää oikealta vain katsottuna yhdestä ainoasta pisteestä, siitä projektiokeskuksesta, jota käyttäen kuva on muodostettu. Muualta katsottaessa kuva näyttää enemmän tai vähemmän vääristyneeltä. Ihmissilmä on kuitenkin niin tottunut katsomaan kuvia, että pienet vääristymät eivät häiritse, vaan aivot tulkitsevat kuvan parhain päin. Tästä huolimatta kuvien laatiminen edellytti perspektiivilakien tarkkaa tuntemista sekä taidokkaita valintoja ja kompromisseja.

Saatettiin toimia myös toisin päin. Seinälle maalattiin kuva, joka näytti omituiselta ja venähtäneeltä ja jonka hahmottaminen ei oikein onnistunut. Se oli kuitenkin oikein konstruoitu perspektiivikuva, mutta oikea katselupaikka on hieman sivussa yllättävässä paikassa. Tästä katsottuna kuva hahmottuu helposti.

Paitsi maalauksia — perspektiivikuvia — tehtiin myös kolmiulotteisia kokeiluja. Vatikaanissa on sisätiloihin johtava porraskäytävä (Scala Regia), joka vähitellen kapenee ja madaltuu ja jonka reunoilla olevat pylväät ovat yhä tiheämmässä. Seurauksena on vaikutelma mahtavammasta portaikosta kuin todellisuudessa on kyse. Paikassa ei myöskään olisi tilaa näyttävämmälle portaikolle.

Scala Regia -portaikko,
Sailko (Wikimedia Commons) [CC BY]

Portaikko on arkkitehti Gian Lorenzo Berninin suunnittelema, eikä sen geometrinen konstruktio ole aivan yksinkertainen.  Periaatteessa kyseessä on kollineaarinen kuvaus (kollineaatio) kolmiulotteisesta avaruudesta siihen itseensä.  Tässä suorat kuvautuvat suoriksi. Olemassa oleva portaikko on fiktiivisen kapenemattoman portaikon kollineaarinen kuva.

Andersenin kirja sisältää myös lyhyen ja selkeän johdatuksen perspektiivin geometriaan sekä muutamia harjoitustehtäviä. Jos lukija haluaa yksityiskohtaisemman esityksen, tällainen on olemassa myös suomeksi: Alan klassikko on Teknillisen korkeakoulun sovelletun matematiikan professorin E. J. Nyströmin kaksikielinen (painettu) moniste Perspektiivioppi – Perspektivlära vuodelta 1947. Tätä saattaa olla vaikeata löytää. Uudempi vaihtoehto on oma teokseni Perspektiivikuvan geometriset perusteet (http://www.elisanet.fi/simo.kivela/kirjat.html).

Neliulotteinen kuvaaja

Tavallisen reaalifunktion $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ kuvaaja muodostuu xy-tason pisteistä $(x,f(x))$, missä $x$ sijaitsee määrittelyjoukossa (tai siinä alueessa, jossa kuvaaja halutaan piirtää).  Kuvaaja asuu siis kaksiulotteisessa tasossa, kuten jokainen lukiolainen tietää.

Entäpä jos kyseessä olisikin kahden muuttujan funktio, jonka arvotkin ovat lukupareja, siis vaikkapa $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$, $f(x,y) = (x^2 - y^2, xy)$? Tällöin kuvaaja muodostuu pisteistä $((x,y),(x^2 - y^2, xy))$ tai hieman toisin kirjoitettuna $(x,y,x^2 - y^2, xy)$.  Nämä ovat neliulotteisen avaruuden pisteitä ja kuvaaja siis asuu neliulotteisessa avaruudessa.

Tällaisia funktioita ovat myös kompleksifunktiot: Jos $w = f(z)$ eli $u + iv = f(x + iy)$, ovat sekä $u$ että $v$ funktioita muuttujista $x$ ja $y$. Piste $(x,y)$ kuvautuu siis pisteeksi $(u,v) = (u(x,y),v(x,y))$ ja kuvaaja muodostuu pisteistä $(x,y,u(x,y),v(x,y))$. Tällainen on esimerkiksi kompleksinen eksponenttifunktio, joka yksinkertaisimmin määritellään seuraavasti: \[w = u + iv = \exp(z) = \exp(x + iy) = e^x (\cos(y) + i\sin(y)),\] jolloin \[u(x,y) = e^x \cos(y), \quad v(x,y) = e^x \sin(y).\]
Neliulotteinen avaruus ei ole kovin havainnollinen. Maailmamme on (tai ainakin näyttää olevan) kolmiulotteinen eikä ihmisellä ole ainakaan luonnostaan neliulotteista havaintokykyä tai mielikuvitusta. Voitaisiinko neliulotteisessa avaruudessa asuvaa kuvaajaa kuitenkin jotenkin havainnollistaa?

Kolmiulotteisen avaruuden asioista piirretään kaksiulotteisia kuvia. Matemaattisesti ajatellen tässä on kyseessä projektiokuvaus kolmiulotteisesta avaruudesta sopivasti asetettuun kaksiulotteiseen tasoon (kuvatasoon). Projektiokuvaus on yleensä joko keskusprojektio, jolloin syntyy perspektiivikuvia, tai yhdensuuntaisprojektio, jolloin syntyy ns. aksonometrisia kuvia.

Yhdensuuntaisprojektio on helpompi yleistää neliulotteiseen avaruuteen. Tällöin valitaan neliulotteisessa avaruudessa jokin projisiointisuunta, ts. yksiulotteinen aliavaruus, ja projisioidaan kohde — kuvaaja — tämän kolmiulotteiseen ortogonaalikomplementtiin, kuten lineaarialgebrikko sanoisi. Sitten hän muodostaisi projektiokuvaukselle matriisin. Projektiokuva on siten kolmiulotteisessa avaruudessa asuva pinta.

Laskenta on sen verran suuritöistä, että se on luontevaa tehdä sopivalla laskentaohjelmalla.  Näissä on yleensä myös valmiina työkalut kolmiulotteisen avaruuden objektien katseluun ja pyörittelyyn, jolloin pintaa on helppoa tarkastella kaksiulotteisella näytöllä.

Neliulotteista kuvaajaa voidaan tällöin tarkastella muuttamalla projisiointisuuntaa neliulotteisessa avaruudessa tai pyörittelemällä projektiona saatua pintaa kolmiulotteisessa avaruudessa.

Millaisia kuvia sitten saadaan ja miten helppoa niiden avulla on hahmottaa neliulotteista kuvaajaa? Aivan helppoa se ei ole. Ehkä neliulotteisuudesta ei oikein synny mielikuvaa, mutta projisiointisuuntaa vaihtamalla voidaan saada esiin erilaisia kuvaajan piirteitä.

Eksponenttifunktion tapauksessa kuvaajan pisteet neliulotteisessa avaruudessa ovat muotoa $(x,y,e^x \cos(y),e^x \sin(y))$. Muuttujat on oheisissa kuvissa rajattu ehdoilla $-3 \le x \le 3/2$, $-2\pi \le y \le 2\pi$. Laskenta on tehty Mathematicalla ja artikkelin alussa oleva kuva näyttää Mathematican tarjoaman työskentely-ympäristön. Tässä projektiosuunta annetaan säätimillä, jotka viittaavat neliulotteisen avaruuden pallokoordinaatteihin. Säätimien arvot ovat asteita. Kuvaan on lisätty myös neliulotteisen avaruuden akselit $x$, $y$, $u$ ja $v$.

Alla olevissa kuvissa projisiointisuunnaksi neliulotteisessa avaruudessa on valittu ensin x-akseli ja sitten y-akseli, jolloin nämä projisioituvat yhdeksi pisteeksi.

Valitsemalla projisiointisuunnat sopivasti saadaan alla oleva kuvapari, joka antaa hieman yleisemmin käytetyn tavan kuvata kompleksista eksponenttifunktiota: xy-tason suorakulmainen ruudukko kuvautuu uv-tasoon samakeskisiksi ympyröiksi.

Joulupukin liikenneympyrä ja Fredericus-tontun ongelma

Liikenne ja ruuhka joulupukin pajan edustalla oli siinä määrin lisääntynyt, että katsottiin välttämättömäksi rakentaa pajan eteen liikenneympyrä, jossa kuljettaisiin vain positiiviseen kiertosuuntaan. Lahjojen toimittamista varten joulupukilla oli myös lukuisia poroja ja moottorikelkkoja, joille tarvittiin pysäköintitilaa mahdollisimman läheltä pajan ulko-ovea.

Niinpä pajan oven eteen päätettiin rakentaa liikenneympyrä, jonka keskiympyrän halkaisija olisi 40 metriä.  Pysäköintipaikat päätettiin sijoittaa keskiympyrään, puolet ympyrän alasta poroille ja toinen puoli moottorikelkoille. Tarvittavan kaavamuutoksen saaminen kesti kauan eikä rakennustyökään ihan nopeasti sujunut. Kun ympyrä lopulta valmistui, pukin kuljetuskalusto oli siinä määrin motorisoitunut, että poroja oli jäljellä enää yksi. Kaavamääräykset olivat kuitenkin tiukat: poroille oli varattava tasan puolet keskiympyrän alasta.

Aitauksen rakentamista yhdelle ainoalle porolle ei enää pidetty taloudellisesti järkevänä, vaan poro päätettiin panna sopivan pituiseen liekaan, joka kiinnitettäisiin keskiympyrän reunaan. Liean pituus tuli määrätä siten, että poro pääsisi syömään jäkälää täsmälleen puolella ympyrän alasta eikä se voisi käydä pureskelemassa moottorikelkkojen satuloita tai muita maistuvia osia.

Joulupukki-konsernissa oli matemaattinen osasto, joka varsinaisesti vastasi lahjojen hinnoittelusta ja konsernin tulokseen liittyvistä laskelmista. Lisäksi sillä oli tilastomatemaattista asiantuntemusta mielipidekyselyjen analysointiin. Tarvittaessa sitä käytettiin muihinkin matemaattisiin tehtäviin.  Osasto sai tehtäväkseen selvittää liekanarun pituuden.

Osaston päämatemaatikko oli Stefanus Superbus -niminen tonttu, joka hallitsi erinomaisesti matemaattisten laskentaohjelmien käytön, mutta joka inhosi kynään tarttumista ja varsinkin paperia, ellei se tullut ulos tulostimesta. Osastolla omassa kammiossaan yleensä suljetun oven takana pohdiskeli matemaattisia ongelmia myös tonttu nimeltään Fredericus Minimus. Hän oli Stefanuksen täydellinen vastakohta: kulutti suunnattomasti paperia luonnosteluihin ja pohdiskeluihin ennen kuin kirjoitti lopullisen tiiviin esityksen pienellä ja selkeällä käsialalla. Teknisiin apuvälineisiin hän tarttui vain äärimmäisessä hädässä pahoinvointia tuntien. Kumpikin paneutui liekanaruongelmaan.

Stefanus kirjoitti keskiympyrän muotoon $x^2+y^2 = 1$, jolloin yksikkönä on keskiympyrän säde.  Liean kiinnityspisteeksi hän valitsi $(0,-1)$. Jos liean pituus on $r$, poro pääsee alueelle $x^2 + (y+1)^2 \le r^2$, jolloin keskiympyrän sisäpuolelle jäävän alueen ala saadaan integraalista
\[
\int_{-r\sqrt{1-r^2/4}}^{r\sqrt{1-r^2/4}} \left(-1+\sqrt{r^2-x^2}+\sqrt{1-x^2}\right)\,dx.
\]
Tässä tulee olla $0 \le r \le \sqrt{2}$. Laskentaohjelma antoi integraalille arvon
\[
-r\sqrt{1-r^2/4} + r^2 \mathrm{arccot}\left(\frac{r}{\sqrt{4-r^2}}\right) + \arcsin\left(r\sqrt{1-r^2/4}\right).
\]
Koska tämän tulee olla puolet keskiympyrän alasta eli $\pi/2$, on saatu yhtälö liean pituudelle.  Laskentaohjelman Newtonin iteraatio antoi nollakohdaksi $r = 1.1587\dots$. Koska keskiympyrän säde on 20 metriä, sai Stefanus liean pituudeksi noin 23.17 metriä.

Fredericus puolestaan piirteli kuvan, jossa poron laidunalueen puolikas muodostui kahdesta osittain päällekkäin olevasta sektorista keskipisteinä $K$ ja $P$. Yhteinen osa oli kolmio, ja Fredericus laski pinta-alan vähentämällä kolmion alan sektoreiden yhteispinta-alasta. Koko laidunalueen pinta-alaksi tuli tällöin
\[
\pi - r\sqrt{1-r^2/4} + (r^2 - 2)\arctan\left(\sqrt{4/r^2 - 1}\right).
\]
Tämän oli siis oltava puolet keskiympyrän alasta eli $\pi/2$. Ratkaisun olemassaolon Fredericus päätteli helposti, mutta lukuarvon laskemiseen hän joutui käyttämään taskulaskinta.  Tulokseksi tuli sama kuin Stefanuksella.

Liean pituus oli siis saatu selvitetyksi. Heräsi kuitenkin kysymys, olivatko saadut pinta-alan lausekkeet samat. Stefanus syötti lausekkeet laskentaohjelmaan ja pani ohjelman sieventämään niiden erotusta. Tulisiko tulokseksi 0? Ei tullut. Lauseke hieman yksinkertaistui, mutta se sisälsi edelleen molemmat funktiot $\arcsin$ ja $\arctan$. Jäi avoimeksi, voisiko tulosta sieventää edelleen.  Stefanus oli kuitenkin toiminnan tonttu: hän piirsi ohjelmalla kummankin lausekkeen kuvaajan, ja kun ne osuivat päällekkäin, totesi niiden olevan samat ja asian tulleen loppuun käsitellyksi.

Käsin laskuun luottava ja tarkkaa päättelyä arvostava Fredericuskin ryhtyi puuhaan ja vannoi selvittävänsä asian täsmällisesti ennen joulupuuron syöntiä. Aika kului ja joulu lähestyi.  Fredericuksen kammion lattia alkoi peittyä revittyihin suttupapereihin, ja hän pyysi lisää paperia.  Tuskanhiki nousi hänen otsalleen. Eikö käsin laskeminen johtaisikaan tulokseen ja jäisikö joulupuuro syömättä?

Jouluun on vielä muutama päivä. Osaisitko auttaa Fredericus-parkaa?

Mikä on suora?

Christophorus Clavius, Euclidis Elementa, 1574

Viime blogijutussani esittelin epäeuklidisen geometrian mallia, jossa suorina pidettiin ympyränkaaria, jotka kohtaavat erään rajaympyrän kohtisuorasti. Miksi tällaisia kutsutaan suoriksi, vaikka ne ovat kaarevia eivätkä suinkaan suoria?

Matematiikka on vanha tiede ja tässäkin on mentävä juurille yli kahden tuhannen vuoden taakse.  Antiikin kreikkalaisten suuri idea oli rakentaa geometriasta johdonmukainen järjestelmä. Lähtökohtina olivat yksinkertaiset käsitteet (määritelmät), niiden perusominaisuudet (postulaatit) ja päättelysäännöt (aksioomat). Postulaatteja kutsuttaisiin nykyään mieluummin aksioomiksi. Näihin pohjautuen esitettiin konstruktioita ja väittämiä (propositioita, teoreemoja), joiden tuli perustua joko lähtökohtiin tai aiemmin todistettuihin väittämiin. Kyseessä oli logiikkaan pohjautuva deduktiivinen päättely.

Oppijärjestelmän esitti Eukleides Aleksandrialainen noin vuonna 300 eaa. teoksessaan Στοιχεῖα (Stoikheia), latinaksi Elementa, suomeksi yleensä Alkeet (vaikkakaan se ei ole alkeisoppikirja vaan pikemminkin oppijärjestelmän perusteet). Teoksesta tuli geometrian oppikirja yli 2000 vuodeksi. Siitä on kirjoitettu useita toisistaan enemmän tai vähemmän poikkeavia versioita kommentaareineen. Vielä 1960-luvulla suomalaisen oppikoulun (peruskoulun yläkoulun ja lukion) geometrian kurssin pohjana oli Eukleideen geometria.

Viivan Eukleides määrittelee pituudeksi ilman leveyttä (määritelmä 2, Linea est longitudo sine latitudine).  Suora viiva eli suora taas on sellainen, joka on pisteidensä suhteen tasainen (määritelmä 4, Recta linea est quæ ex æquo sua interiacet puncta). Teoksen alkukieli oli tietenkin kreikka, joten olisi oikeampaa nojautua kreikankieliseen tekstiin. Tämäkin on kyllä saatavissa, esimerkiksi Dimitrios E. Mourmourasin verkkosivuilta. Latina on kuitenkin hieman helpommin ymmärrettävää, vaikka matemaatikko toki kreikkalaiset kirjaimet hallitseekin.  Teoksen latinankielisiä versioita (tai siihen pohjautuvia tekstejä) on vuosisatojen kuluessa julkaistu useita, esimerkiksi Carolus Malapertiuksen kommentoitu esitys vuodelta 1620.  Myös englanninkielinen versio löytyy.

Varsinkin suoran määritelmästä on Eukleideen esitystä noudattelevissa teoksissa esitetty erilaisia versioita. Mikään näistä ei oikeastaan ole määritelmä nykyaikaisessa mielessä vaan jonkinlainen kuvailu siitä, mitä tarkoitetaan: pisteidensä suhteen tasainen, pisteestä toiseen ulottuva, päätepiste varjostaa välipisteet (vrt. valonsäteeseen).

Historiallisesti mielenkiintoinen on viides postulaatti, joka muodostaa pohjan ns. paralleeliaksioomalle.  Latinankielisessä on hieman tavaamista: Et quod si ceciderit linea recta super duas lineas rectas, et fecerit in una duarum partium duos angulos interiores minores duobus rectis, ille due linee recte, quando in illam partem protrahentur, coniungentur. Englanninkielinen versio ehkä auttaa: That, if a straight line falling on two straight lines makes the interior angles on the same side less than two right angles, the two straight lines, if produced indefinitely, meet on that side on which are the angles less than the two right angles. Tästä seuraa paralleeliaksiooma sellaisena kuin se suomalaisissa geometrian kirjoissa yleensä on esitetty: Suoran ulkopuolella olevan pisteen kautta voidaan asettaa täsmälleen yksi sen suuntainen suora.

Viides postulaatti ei ollut yhtä yksinkertainen ja itsestään selvänä pidettävä kuin muut postulaatit, ja tuntui, että se (tai edellä oleva paralleeliaksiooman muotoilu) pitäisi voida todistaa muihin postulaatteihin perustuen, jolloin kyseessä olisikin teoreema eikä postulaatti. Tätä yritettiin vuosisatojen ajan onnistumatta. Vielä nykyäänkin tapaa aina silloin tällöin hieman originelleja matematiikan harrastajia, jotka pyrkivät todistamaan paralleeliaksiooman.

Asia ratkesi vasta 1800-luvun alkupuolella, jolloin venäläinen Nikolai Lobatševski ja unkarilainen Janos Bolyai toisistaan riippumatta esittivät geometrisen järjestelmän, joka toteutti muut postulaatit mutta ei paralleeliaksioomaa. Tämä osoitti, että paralleeliaksioomaa ei ollut mahdollista todistaa muiden postulaattien pohjalta. Intuitiivinen mielikuva suorasta oli tällöin kuitenkin hylättävä. Oli hyväksyttävä, että suora saattoi tarkoittaa muunkintyyppistä oliota, kunhan sillä vain oli suoran karakteristiset ominaisuudet, esimerkiksi se, että kaksi pistettä määrää suoran yksikäsitteisesti. Tällaisia geometrioita alettiin kutsua epäeuklidisiksi. Edellisen blogikirjoitukseni Poincarén malli on tällainen.

David Hilbert, Grundlagen der Geometrie, alku

Suoran määrittelyssä olevan epämääräisyyden poisti lopullisesti David Hilbert vuonna 1899 teoksessaan Grundlagen der Geometrie, jossa hän esitti geometrialle modernin aksiomatiikan. Lähtökohtana on kaksi objektijoukkoa, joista toisen olioita kutsutaan pisteiksi ja toisen olioita suoriksi. Näille määritellään ns. insidenssirelaatio, joka kertoo mikä piste sijaitsee milläkin suoralla. Lisäksi vaaditaan, että oliot (siis pisteet ja suorat) toteuttavat tietyt aksioomat. Nämä voidaan valita eri yhteyksissä eri tavoin, jolloin valinnasta riippuen saadaan erilaisia geometrioita. Siten esimerkiksi paralleeliaksiooman toteutuminen voidaan vaatia tai olla vaatimatta. Tämän kummallisemmin ei suoraa (eikä pistettä) määritellä tai luonnehdita. Epämääräisyys poistui jättämällä määrittely tekemättä!

Jonkinlainen ääriesimerkki geometriasta on Fanon taso, jossa on vain seitsemän pistettä ja seitsemän suoraa. Se voidaan havainnollistaa oheisella kuviolla, jossa suoria ovat kolmion sivut ja korkeusjanat sekä kolmion sisään piirretty ympyrä. Geometrian seitsemän pistettä on merkitty tavalliseen tapaan mustilla täplillä. Yhtä hyvin Fanon tason voisi esittää insidenssitaululla, jossa yläpuolen vaakarivillä ovat pisteet ja vasemman reunan pystyrivillä suorat. Taulukon täplä osoittaa pisteen kuulumista suoralle.

Epäeuklidiset GeoGebra ja Napoleon

Mustat suorat eivät kohtaa punaista suoraa, ts. ovat sen suuntaisia.

Vanhassa geometrian kirjassani (Kallio, Malmio, Geometria I, Otava 1954) esitellään paralleeliaksiooma muodossa Suoran ulkopuolella olevan pisteen kautta voidaan piirtää ainoastaan yksi sen suuntainen suora.  Tämän sanotaan olevan ns. euklidisen geometrian peruslauselmia, mutta sitä ei ole voitu todistaa. Sen jälkeen todetaan, että vastakohdaksi on kehitetty epäeuklidinen geometria, jossa lauselmaa ei käytetä ja monet paralleeliaksioomaan perustuvat väittämät saavat toisen muodon. Eikä sen enempää.

Muistan, että tämä teki hämmentävän vaikutelman. Usko paralleeliaksioomaan oli luja eikä tuntunut mitenkään järkevältä puhua mistään muunlaisesta tilanteesta. En tiedä, mitä nykyään koulussa sanotaan euklidisesta ja epäeuklidisesta geometriasta, mutta mahdollisuuksia konkretisointiin ainakin nykyään on paljon paremmin.

GeoGebra on hyvä ympäristö geometristen kuvioiden piirtelyyn ja geometristen totuuksien tutkimiseen.  On helppoa kokeilla, näyttäisikö jokin tulos olevan totta. Jos näyttää, voi lähteä etsimään todistusta.  Varsin lähellä on ajatus, että vastaavanlainen epäeuklidinen ympäristö voisi olla hyvinkin havainnollinen ja kiinnostava. Ajatuksen on maailmassa varmaankin sangen moni saanut ja epäeuklidisia ympäristöjä onkin tehty. Luultavasti paljonkin, mutta seuraavia kahta olen käyttänyt. Molemmissa on kyseessä hyperbolinen epäeuklidisen geometrian Poincarén malli:

GeoGebraan pohjautuva Poincare Disk for Hyperbolic Space, tekijänä Heather Pierce, https://www.geogebra.org/m/fUCCfAEj;

Javascript-pohjainen NonEuclid, tekijänä Joel Castellanos, https://www.cs.unm.edu/~joel/NonEuclid/NonEuclid.html.

Molemmat toimivat verkkoselaimessa, mutta myös omalle koneelle lataaminen on mahdollista.

Osoitteessa http://www.malinc.se/noneuclidean/en/index.php on Malin Christerssonin sivusto, jossa GeoGebraan pohjautuvan Poincarén mallin lisäksi on käsitelty mallin taustalla olevaa geometriaa ja GeoGebra-työkalujen muodostamista. Tiivistelmä aiheesta on Wikipedia-artikkelissa Hyperbolic Geometry, https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_geometry. Tämä on selvästi laajempi kuin vastaava suomenkielinen.

Poincarén epäeuklidisen geometrian mallissa geometrista tasoa vastaa vain kiinteän ympyrän sisäpuoli, ts. geometrian pisteitä ovat tämän rajaympyrän sisäpuolen pisteet. Geometrian suoria ovat rajaympyrän sisäpuolella olevat ympyränkaaret, jotka kohtaavat rajaympyrän kohtisuorasti. Näiden erikoistapauksena ovat rajaympyrän halkaisijat, joita voi ajatella rajaympyrän keskipisteen kautta kulkevina ääretönsäteisinä ympyränkaarina. Tällä tavoin määritellyillä suorilla on suorien tyypillinen ominaisuus: kaksi pistettä määrää suoran yksikäsitteisesti. (Ks. alussa olevaa kuvaa.)

Malliin voidaan määritellä myös sen oma metriikka, ts. tapa laskea kahden pisteen välinen etäisyys. Lauseke ei ole aivan yksinkertainen, mutta sillä on luontevat etäisyyden ominaisuudet: lyhin kahden pisteen välinen etäisyys saavutetaan pisteiden määräämää suoraa (siis ympyränkaarta) pitkin; minkä tahansa pisteen etäisyys rajaympyrästä on äärettömän suuri. Etäisyyden määrittely mahdollistaa geometrian omien ympyröiden muodostamisen: tällaisen kehä muodostuu niistä pisteistä, joiden etäisyys keskipisteestä on vakio. Osoittautuu, että tällainen Poincarén mallin ympyrä on ympyrä myös tavanomaisessa mielessä.

Yksikkösäteisiä ympyröitä, joiden keskipisteet ovat samalla suoralla.

 Kun suoria ja ympyröitä voidaan muodostaa — ts. käytettävissä ovat epäeuklidisen geometrian viivoitin ja harppi — voidaan tehdä kaikki tavanomaisen geometrian konstruktiot. Tämän jälkeen voidaankin kysyä, mitkä tavanomaisen euklidisen geometrian tulokset ovat voimassa epäeuklidisessa geometriassa tai ainakin Poincarén mallissa. Jätän lukijan ihmeteltäväksi ja kokeiltavaksi.

Napoleonin lause ei päde, kuten vihreät ympyrät osoittavat.
(Vrt. http://matta.hut.fi/matta/geogebra/Napoleon.html.)

Lupasin kerran ohjata muutamaa lukiolaista, jotka halusivat tehdä projektityön epäeuklidisesta geometriasta. Ongelmaksi muodostui aihepiirin laajuus. Lukiolaiset etsivät kaikenlaisia asiaan liittyviä verkkodokumentteja suhteellisuusteoriaa myöten, ja näitähän löytyy paljon. Yritin rajata aihetta, mutta en onnistunut rajoittamaan heidän intoaan eikä työ sitten valmistunutkaan. Projektityöt ovat hyvä ajatus, mutta vaativat usein aika tiukkaa ohjausta. Intoa ei toisaalta tietenkään pitäisi kahlita.

Jatkuvuuden epsilon-delta-määrittely

Funktiota $f$ sanotaan jatkuvaksi pisteessä $a$, jos seuraava pätee:
\[
\forall(\varepsilon > 0)\exists(\delta > 0)(|x - a| < \delta \implies |f(x) - f(a)| < \varepsilon),
\]
ts. jokaista positiivilukua $\varepsilon$ (epsilon) kohden on olemassa positiiviluku $\delta$ (delta) siten, että jos $x$:n etäisyys $a$:sta on pienempi kuin $\delta$, niin $f(x)$:n etäisyys $f(a)$:sta on pienempi kuin $\varepsilon$.

Jatkuvuuden määrittely tällä tavoin on eräänlaista šokkihoitoa aloittelevalle matematiikan opiskelijalle. Tokihan tämäntyyppisiä lausekkeita on syytä oppia lukemaan ja kirjoittamaankin, mutta jatkuvuuden opettaminen tällä tavoin on kuin uimaan opettaminen heittämällä oppilas veteen ja katsomalla uppoaako. Ainakin pitäisi olla valmis onkimaan oppilas kuiville.

Tällaista šokkihoitoa sain itsekin aloittaessani matematiikan opinnot 1960-luvulla Helsingin yliopistossa opiskeltuani lukiossa lyhyen matematiikan. Kuiville pääsin kevätlukukauteen mennessä tyytyväisenä: 'Eikö se tämän kummallisempaa ollutkaan?'

Ei jatkuvuuden määrittely tällä tavoin ole kovin vaikeaa, kunhan määritelmää hieman avataan. Kyseessä on eräänlainen kahden pelaajan, A ja B, hieman epäreilu peli. Jos A voittaa, funktio on epäjatkuva, jos B, niin se on jatkuva. Alussa pelaaja A valitsee positiiviluvun $\varepsilon$ ja pelaajan B pitää löytää positiiviluku $\delta$ siten, että implikaatio toteutuu. Jos B ei löydä, A on voittanut eikä funktio ole jatkuva. Jos B löytää, A antaa uuden epsilonin ja otetaan uusi kierros. Näin jatketaan tarvittaessa äärettömän monta kierrosta, minkä jälkeen B on voittaja ja funktio on jatkuva.  Jatkuvuuteen tarvitaan äärettömän monta kierrosta, koska testattavana ovat kaikki positiiviset epsilonit.

Tarkastelupisteessä jatkuva funktio

Yllä oleva GeoGebralla tehty graafinen sovellus tekee pelistä inhimillisemmän ja samalla määritelmä tulee helpommin ymmärrettäväksi. A valitsee epsilonin liukusäätimellä, jolloin vihreät vaakasuorat viivat rajaavat y-akselilla alueen, jossa etäisyys funktion arvosta $f(a)$ (musta piste) on pienempi kuin $\varepsilon$. B hakee vastaavaa deltaa toisella liukusäätimellä, jolloin punaiset pystysuorat viivat rajaavat x-akselilla alueen, jossa etäisyys pisteestä $a$ on pienempi kuin $\delta$. Kun sopiva delta löytyy, merkkivalo muuttuu punaisesta vihreäksi. Tällöin funktion kuvaaja pysyy vihreiden viivojen välissä punaisten viivojen rajaamalla alueella, mikä tarkoittaa implikaation toteutumista. Pienellä kokeilulla on melko helppoa oppia ymmärtämään, miten $\delta$ on valittava.

Kuvan funktio on jatkuva eikä tämä vielä auta ymmärtämään, miksi jatkuvuus on järkevää määritellä juuri näin. Tässä — kuten monissa muissakin matematiikan määrittelyissä — on oleellista katsoa, miten määritelmä erottaa tapaukset, joissa ehto ei ole voimassa. Alla olevat kuvat ovat muutoin samanlaisia kuin edellä, mutta kyseessä ei ole jatkuva funktio. Tällöin on toki olemassa epsiloneja, joita vastaava delta löytyy ongelmitta. Mutta on myös epsiloneja — riittävän pieniä — joille vastaavaa deltaa ei löydy. Epäjatkuvuus näkyy tällä tavoin. Deltanhan pitää löytyä kaikilla positiivisilla epsiloneilla.

Funktio jolla on hyppyepäjatkuvuus

Origossa epäjatkuva funktio $\sin(1/x)/2$, origossa arvo $0$

Edellä sanottu on oikeastaan vasta puolet asiasta: määritelmän idea. Toinen puoli jatkuvuuden osoittamisessa on hakea laskemalla annettua epsilonia vastaava delta. Piirroskuviahan ei ole tapana hyväksyä todistuksiksi. Tällöin lähtökohtana on kiinnitetty luku $\varepsilon$, jota käsitellään symbolina. Tavoitteena on hakea tähän liittyvä $\delta$, ts. esittää delta jonkinlaisena funktiona epsilonista. Hakeminen merkitsee yleensä epäyhtälöiden manipulointia, mikä sekin on sinänsä tarpeellinen taito, mutta eri asia kuin jatkuvuuden määrittely. Epäjatkuvuuden osoittamiseen taas riittää löytää yksi epsilon, jota vastaavaa deltaa ei todistettavasti ole.

Arvelen, että osa määritelmän vaikeudesta johtuu siitä, että idea hukkuu teknisen epäyhtälöiden manipuloinnin taakse. Kun jälkimmäinen vie päähuomion, ymmärtämiselle ei riitä energiaa.

Edellä olevat kuvat ovat staattisia, mutta GeoGebralla tehty sovellus löytyy verkko-osoitteesta http://matta.hut.fi/matta/demot.html.  Siellä on myös Mathematica-versio, jonka käyttöön tarvitaan laskentaohjelma Mathematica tai katseluohjelma Wolfram Player (CDF Player).

Verbaalinen epsilon ja delta

Raja-arvon määrittelyä epsilonia ja deltaa käyttäen pidetään — aiheellisesti — vaikeana asiana. Aiemmin opiskeltuun matematiikkaan nähden abstraktiotaso on selvästi korkeampi. Tämän sijasta usein määritellään, että funktiolla $f$ on pisteessä $a$ raja-arvo $b$, siis $\lim_{x \to a} f(x) = b$, jos funktion $f$ arvot tulevat mielivaltaisen lähelle lukua $b$, kun muuttujan $x$ arvot tulevat riittävän lähelle lukua $a$. Tätä voidaan täydentää jollakin epsilon-delta-ajatteluun viittaavalla lausumalla, mutta se ei kovin paljoa opiskelijalle anna. Kirjoittaja vain pesee kätensä määritelmänsä epämääräisyydestä.

Ei liene aivan selvää, millaisia mielikuvia raja-arvosta em. määritelmä opiskelijalle synnyttää. Luin jokin aika sitten amerikkalaisen professorin David Bressoudin blogikirjoituksia Beyond the Limit I, II, III, joissa käsiteltiin aiheesta tehtyjä tutkimuksia. Opiskelijoille on annettu yhdentoista tehtävän sarja, joissa heitä on pyydetty selittämään (explain) raja-arvoihin liittyviä ideoita, merkityksiä ja syitä. Tulosten perusteella käsitykset on luokiteltu eri tyyppeihin.  Vastaavanlainen tutkimus suomalaisista pitkän matematiikan lukijoista voisi olla kiinnostava.  Onkohan tällaisia tehty?

Edellä mainitun määritelmän epämääräisyys näkyy verbivalinnassa: mitä tarkoittaa arvon 'tuleminen'?  Onko kyseessä jonkinlainen dynamiikka? Verbiä voi toki vaihtaakin, mutta epämääräisyyttä se ei poista.  Onko arvoja paljon? Voivatko ne jotenkin heilahdella? Lähestyvätkö ne tasaisesti? (Mitä se sitten onkin.)  Ongelmiin joudutaan viimeistään yritettäessä yleistää määritelmää kahden muuttujan funktioille.

Epämääräisyydestä huolimatta esitystä yleensä jatketaan lauseilla summan, tulon ja osamäärän raja-arvoista. Tietenkään näitä ei todisteta, ei toki oikein voitaisikaan, mutta tulokset julistetaan tärkeinä lauseina. Toisinaan tähän sarjaan liitetään myös alussa olevan kuvan yhdistettyä funktiota koskeva lause. Ilmeisen tuntuinen tulos, jonka toki voinee todistaakin epsilon-delta-tekniikalla. Paitsi että lause ei pidä paikkaansa.

Virheellisen lauseen on esittänyt suomenkielinen Wikipediakin (ainakin 16.9.2019, olen huomauttanut asiasta). Englannin- ja saksankielisissä Wikipedia-artikkeleissa on vastaesimerkki, joka osoittaa lauseen vääräksi. Ehkä yksinkertaisin esimerkki on $f(x) = 0$, kun $x \neq 0$, $f(0) = 1$ ja tarkastellaan yhdistettyä funktiota $f \circ f$.

Ranskankielinen Wikipedia-artikkeli esittää yhdistettyjä funktiota koskevan tuloksen pätevänä lauseena, ja tällä kertaa se sitä onkin, sillä ranskalainen raja-arvon määritelmä on hieman erilainen: funktion arvo pisteessä $a$ otetaan huomioon, ts. $0 \le |x-a| < \delta$. Tämäkin kyllä sopii em. verbaaliin määrittelyyn.

Miten raja-arvo sitten tulisi määritellä lukiotasolla? Epsilon-delta-määritelmästä aloittaminen on varmasti liian vaativaa, joten edellä esitettyyn epämääräisyyteen on tyydyttävä. Vierastan tällöin kuitenkin pohdiskeluja raja-arvon laskusäännöistä ja toispuolisista raja-arvoista. Ikään kuin oltaisiin kehittämässä täsmällistä teoriaa. Todettakoon mieluummin suoraan määritelmän riittämättömyys ja palattakoon siihen myöhemmin jossakin analyysin jatkokurssissa, jolloin kykyä abstraktisuuden käsittelemiseen on ehtinyt kertyä. Intuitiivisen mielikuvan ja raja-arvojen numeerisen laskemisen pohjalta päästään aivan hyvin kiinni erotusosamäärän raja-arvoon, ts. derivaattaan. Samalla kurssi muuttuu selvästi kevyemmäksi.

Tällä tavoin asia on hoideltu Kalle Väisälän maineikkaassa algebran kirjassa. Sitä selailemalla ei oikein voi välttyä käsitykseltä, että Väisälä oli pedagogi, joka taisi tehdä paljon töitä löytääkseen asioille luontevan ja kohtuullisen helposti omaksuttavan esitystavan.