Sieventäminen ei aina mene niin kuin luulisi

GeoGebran CAS

Potenssilausekkeen (herätteenä K. Väisälän algebran kirjan harjoitustehtävä, joskaan ei ihan tässä muodossa)
\[
x^{1+n} (x^{n-1})^n (x^n)^{-n}
\]
sieventäminen on useimmille lukiolaisille yksinkertainen juttu: tulos on $x$. GeoGebrakin sieventää sen ongelmitta: pelkän lausekkeen syöttäminen tosin antaa kesken jääneen tuloksen mutta lausekkeen uudelleen kutsuminen (tai suoraan Simplify/Sievennä-komennon käyttö) antaa tuloksen $x$.

Mathematica ei kuitenkaan suostu sieventämään lauseketta Simplify-komennolla, vaan palauttaa sen muuttumattomana. Mitä tästä pitäisi ajatella? Sievennys kyllä onnistuu, jos asetetaan sopiva lisäehto, esimerkiksi Simplify[lsk,x>0] tai Simplify[lsk,Element[n,Integers]], missä lsk tarkoittaa kyseistä lauseketta ja komennon jälkimmäinen argumentti määrittelee $x$:n positiiviseksi reaaliluvuksi tai $n$:n kokonaisluvuksi. Eikö sievennys pädekään rajoituksitta?

Mathematican oletuksena on, että symbolit ovat kompleksilukuja (joiden osajoukkona tietenkin ovat reaaliluvut). Tällöin siis $x$, $n$ tai laskennan välitulokset voivat olla kompleksilukuja, ellei toisin ilmoiteta. GeoGebra sen sijaan ei kompleksilukualgebraa kaikissa suhteissa käytä eikä ota huomioon mahdollisia kompleksiarvoja.

Onko sitten olemassa joitakin arvoja luvuille $x$ ja $n$, joilla lausekkeen arvo ei olekaan $x$?  Ehkä helpoin tapa lähteä tutkimaan asiaa on ajatella lauseke kahden muuttujan, $x$ ja $n$ funktioksi ja piirtää sen kuvaaja, ts. kolmiulotteisen avaruuden pinta. Tähän on olemassa komento, ja tulos on oheisen kuvan mukainen. Mitä ovat pinnan liuskat ja niiden välissä olevat tyhjät tilat?

Plot3D[lsk, {x, -2, 2}, {n, -5, 5}]

Komento Plot3D piirtää reaaliarvoisten funktioiden kuvaajia. Jos arvo on jossakin pisteessä kompleksinen, se jätetään yksinkertaisesti piirtämättä. Lausekkeen reaaliosa ja imaginaariosa ovat kuitenkin reaaliarvoisia:

Plot3D[Re[lsk], {x, -2, 2}, {n, -5, 5}]

Plot3D[Im[lsk], {x, -2, 2}, {n, -5, 5}]

Vaikuttaa siis siltä, että esimerkiksi arvolla $n = -1/5$ funktion arvot ovat kompleksisia, jos $x < 0$. Näin onkin. Arvoksi saadaan Mathematicalla laskettuna
\[
\left(\frac{\sqrt{5}-1}{4} - i\sqrt{\frac{\sqrt{5}+5}{8}}\right)x.
\]
Jos $n = -1/2$ ja $x < 0$, tulos on $-x$.

Lukija ehkä kysyy, miten murtopotenssit — tai niiden päähaarat — on tällöin määritelty ja voiko olla varma, että Mathematica laskee oikein. Tai että ylipäätään jokin laskentaohjelma laskee oikein. Varovaisuus on paikallaan. Mikään ihmisen tekemä ei yleensä ole täysin virheetöntä eivätkä määritelmätkään ole aina samoja. Saman laskun voikin varmuuden vuoksi laskea useammalla ohjelmalla. Ihan itse käsin laskeminen on lisäksi opettavaista, mutta saattaa olla työlästä eikä sekään aina virheetöntä.

Onko edellä oleva sitten laskettu oikein? Ainakin Matlab-klooni Octave laskee samoin.

Sieventämisen kauneus ja kauheus

Lupauduin auttamaan lukiolaista matematiikan kertaamisessa ja taitojen testaamiseksi annoin ratkaistavaksi muutaman sievennystehtävän. Tällaisiahan on hieno kokoelma Kalle Väisälän klassikossa, Algebran oppi- ja esimerkkikirjan ensimmäisessä osassa, jota aikoinani itse käytin. Sievennystehtäviä ratkaistiin keskikoulun viimeisellä luokalla vastaten nykyistä peruskoulun viimeistä vuotta.

Sievennystehtävissä tuli kerratuksi polynomien ja rationaalilausekkeiden perusalgebra.  Niistä opittiin jotakin yleisempääkin: Yhtä ainoaa tietä lausekkeen sieventämiseen ei ole, vaan voidaan edetä montaa erilaista reittiä joko paljon työtä tehden tai hyvän oikotien löytäen. Lopputuloskaan ei ole yksikäsitteinen, vaan sievyys riippuu mieltymyksistä ja siitä, mitä lausekkeella on seuraavaksi tarkoitus tehdä.

Väisälällä on yhtenä esimerkkinä lauseke
\[ \frac{x^2 + \frac{1 }{x^2} + 2}{x + \frac{1}{x}}, \] jossa osoittaja ja nimittäjä voidaan ensin saattaa samannimiseiksi ja sitten suorittaa murtolausekkeiden jakolasku:
\[ \frac{\dfrac{x^4 + 1 + 2x^2}{x^2}}{\dfrac{x^2 + 1}{x}} = \frac{x(x^4 + 1 + 2x^2)}{x^2(x^2 + 1)}. \] Tekijällä $x$ voidaan supistaa ja osoittaja tunnistaa binomin neliöksi:
\[ \frac{(x^2 + 1)^2}{x(x^2 + 1)} = \frac{x^2 + 1}{x}. \]
Hieman suorempaan olisi päästy laventamalla alkuperäinen murtolauseke tekijällä $x^2$ ja tunnistamalla binomin neliö (tai suorittamalla polynomien jakolasku):
\[ \frac{x^4 + 1 + 2x^2}{x^3 + x} = \frac{(x^2 + 1)^2}{x(x^2 + 1)} = \frac{x^2 + 1}{x}. \]
Lyhin tie kuitenkin varmaan olisi tunnistaa alkuperäisen lausekkeen osoittaja binomin neliöksi:
\[ \frac{\left(x + \frac{1}{x}\right)^2}{x + \frac{1}{x}} = x + \frac{1}{x} \] Lopputulos on hieman erinäköinen kuin edellä, mutta kuitenkin yhtäpitävä. Molempia voidaan pitää kohtuullisen sievinä.

Tällaisia sievennyksiä ei nykyään enää taideta koulussa juurikaan opetella. Pitäisikö kuitenkin?

Pelkkä lausekkeiden sieventäminen sujuu kyllä helposti symbolisilla ohjelmilla. Tällöin ei kuitenkaan kehity laskijan taito hahmottaa rakenteita ja tarpeen tullen muuntaa lauseke johonkin muuhun kuin ohjelman sievänä pitämään muotoon. Arvelen, ettei Väisäläkään pitänyt tärkeänä konstikkaiden lausekkeiden sieventämistä sinänsä vaan taitoa yleensä muokata lausekkeita, ja tähän sievennystehtävät olivat hyvää harjoitusta. Aivan kuten polkupyörällä temppuilu johtaa varmuuteen pyörän hallitsemisessa yllättävissäkin tilanteissa.

Symbolisissa laskentaohjelmissakaan lausekkeen muokkaus ei ole aina suoraviivaista.  Esimerkiksi Mathematica tarjoaa yleiskäyttöisen Simplify-komennon lisäksi joukon spesiaalimpia muokkauskomentoja: Expand, ExpandAll, TrigExpand, PowerExpand, ComplexExpand, FunctionExpand, Reduce, TrigReduce, ExpToTrig, TrigToExp, Together, Apart, Cancel, ... Näiden käyttö edellyttää näkemystä siitä, mitä on tekemässä. Mekaanisen työn ne kyllä hoitavat.

Miten laskea reitti Korvatunturilta Pääsiäissaarelle

Reitti Korvatunturilta Pääsiäissaarelle

Edellisessä blogikirjoituksessani — Joulusadussa — oli kyse lyhimmän reitin laskemisesta Korvatunturilta Pääsiäissaarelle. Sadussa Korvatunturin tontut eivät suoriutuneet tehtävästä ja se tilattiin konsultilta, jonka palkkio osoittautui isoksi. Miten reitti — pituus ja lähtösuunta — pitäisi laskea, kun lähtötietoina ovat Korvatunturin ja Pääsiäissaaren maantieteelliset koordinaatit?

Digitaalimaailmassa on tarjolla ohjelmistoja, joilla laskenta sujuu lähes asioita ymmärtämättä.  Koordinaatit löytyvät vaikka Googlen karttojen avulla: klikkaus kyseiseen pisteeseen ja valinta 'Mitä täällä on?'.  Tuloksena saadaan leveys ja pituus: ktunturi = {68.07, 29.32}, psaari = {-27.11, -109.35}.  Ainakin laskentaohjelma Mathematica tarjoaa valmiit funktiot etäisyyden ja lähtösuunnan laskemiseen:

Reitin piirtäminenkään ei ole vaikeata (kuva alussa):

Sadussa tarvittu pienoiskopterin viimeinen mahdollinen huoltopaikkakin saadaan valmiilla funktiolla:

Tämä osuu Meksikon Tyynenmeren rannikolle.

Olisiko tällaisten työkalujen hallinta sitten matematiikkaa? Kun lukion opetussuunnitelmakin painottaa teknisten apuvälineiden käyttöä, tulisiko matematiikan opetuksessa keskittyä ohjelmistotyökaluihin?  Seuraamalla ns. CAS-laskentaa ja ohjelmistojen ongelmia koskevaa keskustelua syntyy käsitys, että tällainen ajattelu valtaa alaa. Muuhun ei aikaa ole.

Ohjelmistojen käyttökoulutus ei kuitenkaan ole matematiikkaa, eikä koulumaailman digitalisointia voisi pahemmin väärin ymmärtää. Silti digitalisoinnilla on paikkansa. Sen järkevä ja hyödyllinen käyttö on vain jäänyt paljolti pohtimatta.

Millä muulla tavalla sitten joulusadun tehtävät voitaisiin laskea? Kovin vaativasta asiasta ei ole kyse. Trigonometriset funktiot — lähinnä sini ja kosini — on ymmärrettävä, lisäksi tarvitaan vektorialgebraa ristitulo mukaan luettuna. Tämän jälkeen tervettä järkeä ja kykyä sommitella asioita yhteen. Viimeksi mainitut ovat hyödyllisiä taitoja muuallakin kuin matematiikassa. Paikallaan oppia lukiossa.

Entä digitaalisuus? Ohjelmointi on hyödyllinen taito, jonka tunteminen auttaa ymmärtämään modernin maailman toimintaa. Joulusadun ongelmien ohjelmointikaan ei ole liian vaativa tehtävä, jos käytettävissä on yksinkertainen mutta hyvä ohjelmointiympäristö (jota ei kyllä nykyään kouluihin tarjottavista ohjelmistoista taida löytyä). Toimiva itse tehty ohjelma myös osoittaa, että tarvittava matematiikka on ymmärretty. Saattaisi antaa kiinnostavan näkökulman matematiikkaan ja sen sovelluksiin.

Tämäntyyppisellä ohjelmoinnilla olisi paikkansa lukion matematiikassa. Se myös pakottaisi syventymään varsinaiseen matematiikkaan vain lukiossa käytettävien ohjelmistojen sijasta.

En selvittele joulusadussa tarvittavaa laskentaa tarkemmin. Kiinnostuneet löytävät sen kirjastani Vaellusretkiä matematiikkaan (http://www.elisanet.fi/simo.kivela/vaellmat.html).

Joulusatu

Pikku Rapa asui Pääsiäissaarella. Hän oli kuullut, että kaukana pohjoisessa Korvatunturilla, maapallon toisella puolella asui Joulupukki, joka huolehti siitä, että maailman kaikki kiltit lapset saivat joululahjoja, ainakin yhden. Joulupukille saattoi lähettää kirjeen ja toivoa, mitä kaikkein mieluimmin haluaisi joululahjaksi.

Pikku Rapa tiesi, että Joulupukilla oli tontuiksi kutsuttuja apulaisia, jotka käyttivät tonttulakkia, eräänlaista punaista pipoa, jonka päässä heilui valkoinen tupsu. Joulupukillakin oli tällainen lakki ja siinä oli oikein iso tupsu. Rapa oli nähnyt kuviakin ja hän halusi tuollaisen lakin. Ehkäpä joku Pääsiäissaarella ihastuisi lakkiin ja päättäisi tehdä vähän isomman, joka pantaisiin jonkun saarella olevan kivipatsaan päähän. Se vasta olisi hieno näky. Rapa kirjoitti Joulupukille.

Postilaitos kuljetti kirjettä, moneen kertaan se harhautui, mutta löysi lopulta tiensä Korvatunturille täynnä erilaisia leimoja ja uudelleenlähetysmerkintöjä. Joulupukki luki kirjeen ja päätti toteuttaa toiveen.

Joulupukin lähettämössä oli juuri otettu käyttöön moderni tekniikka ja varsinkin kauas toimitettavat lahjat lähetettiin pienoishelikopterilla, dronella.Tätä päätettiin kokeilla myös Pääsiäissaaren yhteyteen. Lennon piti tapahtua mahdollisimman suoraan, jotta kopterin akkujen varaus varmasti riittäisi. Etäisyys piti saada lasketuksi, samoin suunta, johon kopterin piti Korvatunturilta lähteä.

Tästä syntyi ongelma. Osa tontuista oli kyllä suorittanut ylitonttututkinnon, johon sisältyi myös matematiikkaa, mutta ei niin paljoa, että he olisivat osanneet laskea suunnan ja etäisyyden. Päätettiin käyttää ulkopuolista konsulttia lähimmästä yliopistokaupungista. Tämä laski hetkessä halutut luvut ja kirjoitti palveluksistaan varsin suolaisen laskun. Joulupukki totesi, että laskun takia 5000 lapsen lahjat oli valittava alemmasta hintaluokasta. Lahjojen tekemisestä vastasi Tonttupaja, joka oli osa samaa konsernia kuin Joulupukkipalvelu, mutta konsernin sisällä sovellettiin sisäistä laskutusta. Joulupukkipalvelulle kuului vain logistiikka, ja tällä tavoin konsultin lasku siirtyi Tonttupajan kannettavaksi.

Etäohjattava kopteri saatiin matkaan. Akkujen latauksen oli määrä riittää Pääsiäissaarelle saakka. Muutaman päivän kuluttua kopterilta kuitenkin tuli ilmoitus, että akkujen varaustila oli laskenut odotettua nopeammin ja uusi lataus tarvittaisiin viimeistään 10000 kilometrin lennon jälkeen. Joulupukkipalvelussa jouduttiin pohtimaan, mistä lataus olisi tilattava ja mihin kopteri olisi ohjattava laskeutumaan.

Aiemmin käytetty konsultti tuli avuksi, ja selvitti hetkessä sopivan latauspaikan. Toiset 5000 lasta joutuivat tyytymään alemman hintaluokan lahjaan.

Lataus järjestyi, ja kopteri pääsi onnellisesti Pääsiäissaarelle, jossa Rapa oli jo jonkin aikaa tähyillyt horisonttiin kopteria odottaen. Oikean tähyilysuunnan hän oli itse laskenut.

Korvatunturilla konsultin palkkiot herättivät kiivaan keskustelun. Vaadittiin, että ylitonttututkintoon oli lisättävä trigonometriaa ja vektorialgebraa niin paljon, että tontut itsekin suoriutuisivat suunnistukseen tarvittavista laskuista. Toiset kuitenkin katsoivat, että tämänkaltainen panostus oli ylimitoitettua ja riittäisi, että hankittaisiin laskentaohjelma, jossa tarvittavat laskut olisivat valmiiksi ohjelmoituina; modernissa maailmassa matematiikka on ohjelmistojen käyttöä ja niiden opettelu riittäisi. Asiaa ei jaksettu pohtia ja vähitellen keskustelu laantui. Sen sijaan siirryttiin pohtimaan tutkinnon yleistä tietokoneistamista: tulisiko kokeessa kirjoittaa vastaukset Times-, Lucida- vai Comic Sans -fontilla.


Sen pituinen se.

----------
Joulupohdittavaa lukijalle: Mikä on etäisyys Korvatunturilta Pääsiäsissaarelle ja mihin suuntaan kopterin on lähdettävä? Miltä lentoreitti näyttää kartalla? Mitkä olisivat sopivia paikkoja kopterin akkujen lataamiseen? Mihin suuntaan Rapa tähyili kopteria odottaessaan? Työvälineinä kynä ja paperi tai jokin ohjelmisto tai jotakin muuta, mikä lukijaa miellyttää. Vastauksen voi jättää kommenttina, mukaan tieto välineistä.

Pallon pyöreydestä

Pallo GeoGebralla tehtynä

Pallon piirtäminen sujuu nykyisissä kolmiulotteisuutta tukevissa geometriaohjelmistoissa vaivatta. Oheinen kuvio on tehty GeoGebralla ja pallon ääriviiva näkyy ympyränä, kuten kaiketi pitääkin.

Kynä ja paperi -aikaan kolmiulotteisia kuvioita piirrettiin kaksiulotteiselle paperille usein ns. kavaljeeriprojektiota (kavaljeeriperspektiiviä) käyttäen. Tällöin paperi ajatellaan yz-tasoksi ja x-akseli on alunperin sitä vastaan kohtisuorassa. Sen ajatellaan kuvautuvan 45 asteen kulmaan alavasemmalle siten, että yksikönpituus on puolet y- ja z-akselien yksikönpituudesta. Tällöin kaikki yz-tason suuntaiset tasokuviot kuvautuvat kokonsa ja muotonsa säilyttäen.

Pallon konstruktio kavaljeeriprojektiossa (itse asiassa hieman tästä poikkeavaa ns. ruutumenetelmää käyttäen)

Pallon kuva kavaljeeriprojektiossa voidaan siten hahmotella leikkaamalla palloa yz-tason suuntaisilla tasoilla. Leikkauskuviot ovat ympyröitä ja ne siis kuvautuvat kokonsa ja muotonsa säilyttäen. Jos pallon keskipiste on origossa, ympyröiden keskipisteet ovat x-akselilla ja helposti löydettävissä. Leikkausympyröiden kuvat voidaan siten piirtää harppia käyttäen, kuten oheisessa kuviossa on tehty. Oikeanpuolinen ympyrä on apukonstruktio leikkausympyröiden säteiden määrittämistä varten. Pallon ääriviiva saadaan leikkausympyröiden kuvien verhokäyränä, ts. käyränä joka sulkee sisäänsä kaikki ympyrät. Tätä ei ole kuvioon piirretty, mutta se hahmottuu helposti, kun vihreät leikkausympyrät ovat riittävän tiheässä.

Verhokäyrä näyttää kuitenkin olevan hieman elliptinen ja pallo venähtänyt x-akselin suunnassa. Tämä näkyy punaisesta ympyrästä, joka ympäröi pallon kuvaa. Eikö pallon ääriviiva siis olekaan ympyrä?

Tässä tapauksessa se ei ole ympyrä vaan ellipsi, mikä johtuu siitä, että kavaljeeriprojektio on vino projektio. Yleinen yhdensuuntaisprojektio syntyy siten, että kiinnitetään kuvataso ja projektiosäteiden suunta. Pisteen kuva saadaan asettamalla suora — projektiosäde — pisteen kautta ja hakemalla tämän ja kuvatason leikkauspiste. Selvää on, että projektiosäteet eivät saa olla kuvatason suuntaisia. Luontevinta on, että ne ovat kuvatasoa vastaan kohtisuoria, jolloin puhutaan ortogonaaliprojektiosta. Ne voivat kuitenkin olla vinossa asennossa kuvatasoon nähden, jolloin projektion sanotaan olevan vino.

3D-geometriaohjelmistot tekevät oletuksena ortogonaaliprojektiokuvia, kuten luonnollista onkin. Aikoinaan käytettiin kavaljeeriprojektiota, koska tällöin käsin piirtämisestä tuli melko helppoa: yz-tason suuntaiset kuviot kuvautuivat sellaisinaan.

Millaisia yhdensuuntaisprojektiot — ortogonaaliset tai vinot — sitten voivat olla? Erään vastauksen antaa ns. Pohlken lause: Jos piirretään kolme samasta pisteestä $O$ lähtevää sädettä ja asetetaan jokaiselle yksi piste, $E_x$, $E_y$, $E_z$, niin nämä ovat positiivisten (suorakulmaisten) koordinaattiakseleiden $x$, $y$ ja $z$ kuvat eräässä yhdensuuntaisprojektiossa ja pisteet $E_x$, $E_y$, $E_z$ ovat yksikköpisteiden $(1,0,0)$, $(0,1,0)$, $(0,0,1)$ kuvat. Edellytyksenä on, että pisteet $O$, $E_x$, $E_y$ ja $E_z$ eivät kaikki ole samalla suoralla. (Lisätietoja kirjoittajan kirjoista Perspektiivikuvan geometriset perusteet ja Vaellusretkiä matematiikkaan.)

Pohlken kuvio, ts. suorakulmaisen avaruuskoordinaatiston kuva eräässä yhdensuuntaisprojektiossa

Karl Wilhelm Pohlke (1810-1876) oli saksalainen taiteilija ja geometrikko, joka esitti lauseen 1860, mutta ei liene todistanut sitä. Todistuksen esitti Hermann Amandus Schwarz 1864.

Pohlken lauseen mukainen yhdensuuntaisprojektio on joko ortogonaalinen tai vino. Kummasta on kyse, on selvitettävissä hieman yllättävällä kriteerillä: Asetetaan piste $O$ kompleksitason origoksi ja tulkitaan pisteet $E_x$, $E_y$ ja $E_z$ kompleksiluvuiksi $z_1$, $z_2$ ja $z_3$. Kyseessä on ortogonaaliprojektio, jos ja vain jos $z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = 0$. En oikein osaa sanoa, onko tässä jotakin syvällistä, vai onko kyseessä pikemminkin sattuma, mitä se tässä yhteydessä sitten tarkoittaisikin.

SAT-testi ja ylioppilaskoe

Ilman laskinta ratkaistava SAT-tehtävä.

Tuttavapiirin lukiolainen aloitti lukio-opintonsa Suomessa, mutta jatkaa niitä nyt New Yorkissa. Tilanne on siten otollinen suomalaisen ja amerikkalaisen systeemin vertailuun. Sain nähdäkseni sikäläisen SAT-testin, jolla arvioidaan mm. matematiikan osaamista. Näistä testeistä löytyy tietoa myös netistä — kuinkas muuten: https://collegereadiness.collegeboard.org/. Harjoitteluun tarkoitettuja esimerkkikokeitakin on saatavissa:
https://collegereadiness.collegeboard.org/sat/practice/full-length-practice-tests tai
https://collegereadiness.collegeboard.org/psat-nmsqt-psat-10/practice/full-length-practice-tests.
Näissä on neljä osaa, kaksi ensimmäistä liittyvät englannin kieleen, kaksi viimeistä ovat matematiikkaa.

En tarkoin tunne amerikkalaista systeemiä enkä tiedä, mikä on SAT-testien käyttö ja missä määrin ne vaikuttavat esimerkiksi jatko-opintoihin valittaessa, ts. ovatko ne verrattavissa suomalaiseen ylioppilastutkintoon. Tästä riippumatta ne ovat mahdollinen malli päättökokeiden järjestämiseen. Yhden maan ratkaisuja ei yleensä ole mahdollista eikä järkevää sellaisenaan kopioida toiseen maahan, toisenlaisiin oloihin. Eri mahdollisuuksiin kannattaa silti perehtyä: aina voi oppia uutta, saada uusia ideoita. Myös PISA-menestyksellä mitaten maailman parhaassa Suomessa. (En tiedä, missä määrin näin on tehty. Ainakaan en ole nähnyt vertailuihin perustuvia pohdiskeluja ylioppilastutkintoa uudistettaessa. Jos joku tietää, niin kertokoon.)

Jos SAT-testiä ja suomalaista ylioppilastutkintoa verrataan matematiikan osalta, niin mitkä ovat havainnot?

Ensinnäkin SAT-testi on matemaattisessa mielessä selvästi suomalaista ylioppilaskoetta helpompi. Silti arvelen, että monet tehtävistä eivät olisi mitenkään liian helppoja suomalaiseen ylioppilaskokeeseen. Painotus on suomalaista koetta käytännöllisempi.

SAT-koe on kaksiosainen: ilman laskinta ja laskimen kanssa. Ohjelmistoja ei käytetä. Monissa laskinosion tehtävissä laskinta ei millään tavoin tarvita ja on vaikeata keksiä, miten sitä voisi käyttää.

Suurin osa tehtävistä on monivalintatehtäviä, tarjolla on neljä vaihtoehtoa, joista yksi oikea. Vastaukset annetaan koneellisesti luettavalle vastauslomakkeelle. Loppupään tehtävissä annetaan vastaus numeerisesti tietynlaiseen taulukkoon, joka myös luetaan koneellisesti. Arvostelu perustuu siten yksinomaan vastauksiin. Minkäänlaisia selityksiä tai perusteluja ei kirjoiteta.

Hämmästyttävin ero on kuitenkin käytettävissä oleva aika. Eräässä esimerkkikokeessa on laskimettomassa osiossa 20 tehtävää ja aikaa 25 minuuttia. Laskinosiossa on 38 tehtävää ja aikaa 55 minuuttia. Kiire tulee, vaikka tehtävät ovatkin helppoja. Voisi kuvitella, että tulosten hajonta syntyy opiskelijan nopeuden ja paineen sietämisen perusteella. Tällöin voi kysyä, mitä koe oikeastaan mittaa.

Toteutukseltaan koe on varmasti yksinkertaisempi kuin suomalainen ylioppilastutkinto, jonka tietotekninen vaativuus hakee vertaistaan. (Minua hämmästyttää, miten innokkaasti opettajakunta paneutuu aika eksoottiseen tietotekniseen virittelyyn, kun ylioppilastutkintolautakunta käyttää työnantajan valtaa ja käskee.)

Ei SAT-mallia varmastikaan kannata kopioida, mutta siinä voisi olla aineksia, joita kannattaisi harkita. Kyse on paljolti siitä, mitä ylioppilaskokeen halutaan olevan. Jokaisella systeemillä on enemmän tai vähemmän heikkoutena, että se ohjaa opetusta kokeesta selviämisen suuntaan. SAT-mallia on kritisoitu siitä, että opetuksesta tulee testien harjoittelua, mutta ei Suomessakaan vastaavasta kaukana olla. Olisi syytä pitää mielessä lukio-opintojen tarkoitus. Mikä se sitten onkin.

SAT-tehtävä, jossa laskimen käyttö on sallittu.

Matematiikan yksikäsitteisyydestä

K. Väisälä, Trigonometria, 5. painos, s. 46

En oikein ymmärrä, mitä matematiikan yksikäsitteisyys voisi tarkoittaa, mutta olen tavannut koko joukon henkilöitä, jotka pitävät matematiikkaa yksikäsitteisenä siinä mielessä, että jokainen matematiikan tehtävä voidaan ratkaista vain yhdellä oikealla tavalla. Käsitys tuntuu minusta aika erikoiselta, mutta ehkä se on yleisempikin, koska didaktikotkin ovat siihen kiinnittäneet huomiota: Riikka Palkki, Matematiikan opettajien ja opettajaopiskelijoiden käsityksiä vertailumenetelmästä (https://www.lumat.fi/index.php/lumat/article/view/327/324). Artikkelin vertailumenetelmä tarkoittaa, että oppilaat joko itse laativat tai heille esitetään erilaisia ratkaisutapoja samaan tehtävään ja että asiaa tämän jälkeen pohditaan.

Milloinkahan tällainen yksikäsitteisyyskäsitys on syntynyt?

Olen käynyt lukioni 50-luvun lopulla ja 60-luvulla opiskellut matematiikkaa yliopistossa. Jo kouluaikana minulle oli selvää, että tehtäviä saattoi ratkaista eri tavoilla, kaikki oikeita. Ei asiaa mitenkään erityisesti painotettu, näin vain tapahtui ja tilanne tuntui täysin luonnolliselta. Se oli myös osa matematiikan viehätystä: asiaa saattoi lähestyä eri näkökulmista ja taustalla oli jotakin invarianttia, näkökulmista riippumatonta.

Onko jossakin vaiheessa noiden aikojen jälkeen matematiikan opetus muuttunut siten, että tehtäviin pyritään tarjoamaan valmis tietyn reseptin mukainen ratkaisu, joka oppilaan tulee oppia? Tavallaan siis opetellaan ulkoa tiettyjä rutiineja: näin ratkaistaan ensimmäisen asteen yhtälö, näin haetaan funktion maksimikohta, näin tämän tyypin tehtävä. Kuvittelen, että ennen opetettiin pikemminkin toisin päin: esimerkiksi erilaisia työkaluja lausekkeen muokkaamiseen ja näiden ominaisuuksia, sitten näitä eri tavoin kombinoimalla ratkaistiin tehtävä. Kombinointi saattoi tapahtua monella tavalla ja syntyi erilaisia ratkaisutapoja.

Toki olen omissa opinnoissani moneen kertaan opetellut myös rutiineja, mutta ainoina mahdollisuuksina en ole niitä koskaan ajatellut. Esimerkkinä vaikkapa rationaalifunktion integrointi: jos et mitään fiksumpaa keksi, niin tee seuraavasti ... Olen myös opettanut tällaisia rutiineja, mutta en toivoakseni koskaan ainoana sallittuna tai ainoana mahdollisena lähestymistapana.

Pitkään matematiikkaan kuului lukioaikanani erillinen trigonometrian osuus. Tässä ratkaistiin myös trigonometrisia yhtälöitä ja jopa epäyhtälöitä. Nämä muodostivat erinomaisen esimerkin mahdollisuuksista käyttää erilaisia lähestymistapoja. Käytettävissä olivat trigonometrian peruskaavat ja näitä saattoi käyttää monella eri tavalla. Tuloksena monia erilaisia ratkaisutapoja. Ehkä kuvaavaa on, että kun säästin lukioaikaiset laskuni käyttääkseni niitä myöhemmin yksityistunteja antaessani, totesin ne aika pian hyödyttömiksi. Omat taidot olivat kehittyneet sen verran, että lähes poikkeuksetta löysin tehtävälle lyhyemmän ja fiksumman ratkaisutavan.

Vaikka trigonometriset yhtälöt olivatkin opettavaisia, olivat ne jo tuolloin aika eksoottinen pitkän matematiikan osa. Vielä enemmän ne olisivat sitä nyt. Sopivia joustavuuden harjoittelukohteita löytyy kuitenkin muitakin, vaikkapa lausekkeiden algebrallinen sievennys. Tämä on sikälikin hyvä vaihtoehto, että sievyys ei ole yksikäsitteistä, vaan riippuu siitä, mitä tuloksella on seuraavaksi tarkoitus tehdä. Eikä symbolisista laskentaohjelmistakaan ole aina apua. Niillä on omat periaatteensa ja tulosten saattaminen johonkin vaihtoehtoiseen muotoon voi olla vaativa tehtävä.

Jos rutiinien sijaan painotetaan sopivien työkalujen opettelua, nousee oleelliseksi kysymykseksi, mitkä ovat tarpeellisia ja sopivia työkaluja. Trigonometria on tässäkin kohdassa hyvä — tai usein huono — esimerkki. Trigonometrisia kaavoja on paljon ja usein esitetään aika sekalainen näistä valittu kokoelma. Oleellisempaa olisi esittää varsin harvoja kaavoja ja näyttää näiden riippuvuudet ja johtaminen. Kyse on matemaattisen tiedon jäsentämisestä, minkä pitäisi olla opetuksen tärkeimpiä tavoitteita. Oman näkemykseni trigonometriasta olen esittänyt lukiolaiselle sopivassa tietosanakirjassa M niinkuin matematiikka, http://matta.hut.fi/matta/isom/isom.pdf#page.106. (Olemassa myös painettuna kirjana, ks. http://www.elisanet.fi/simo.kivela/kirjat.html.)