Matemaattinen pinta 3D-tulostuksella

Postauksessani 2.3.2015  kirjoitin yksivaippaisen hyperboloidin pääkaarevuuskeskuksien urasta. Tämä on kolmiulotteisen avaruuden pinta, josta on Saksassa tehty kipsimalli yli sata vuotta sitten. Näitä myytiin, ja sellainen sisältyy myös Teknilliseen korkeakouluun hankittuun kokoelmaan, joka on nykyään esillä matematiikan laitoksen käytävällä Otaniemessä. Postauksessani on valokuva kipsimallista ja vastaava Mathematicalla laskettu kuva.

Pohdin myös, onnistuisiko pinnan 3D-tulostus, kun kerran parametrimuotoiset yhtälöt ovat tiedossa. Tämä on nyt sitten tehty, kiitokset Matti Harjulalle.  Alla on kuva noin 10 cm korkeasta mallista.

Pelkästään Mathematicalla tehdystä kuvasta, puhumattakaan 3D-mallista saa paljon paremman käsityksen pinnasta kuin 1800-luvun lopun kipsimallista. Jälkimmäinen ei oikein anna mielikuvaa kahdesta erillisestä pinnasta, joista toinen on osittain toisen sisällä. Toisesta, kaksisuuntaista kartiota muistuttavasta pinnasta myös syntyy virheellinen mielikuva: sen ylä- ja alaosa eivät nimittäin liity toisiinsa pyöristetyissä kärjissä vaan ne kohtaavat pitkin ellipsiä, jonka sisäosa on avoin, ts. pinnan sisällä voi kulkea pystysuorassa suunnassa. Tämä näkyy 3D-mallista, mutta myös Mathematicalla tehdystä kuvasta, joka itse asiassa on 3D-malli, jolloin sitä voi pyöritellä ruudulla. Toki asian voi myös päätellä kaarevuuskeskuksien ominaisuuksista, mutta ei matematiikassakaan pidä syrjiä havainnollisuutta.

Edistystä on siis tapahtunut sadassa vuodessa.

Uudet mahdollisuudet ovat myös herättäneet uudelleen mielenkiinnon geometrisiin pintoihin. Vanhoja kokoelmia on kunnostettu monissa yliopistoissa, emmekä tietenkään olleet ensimmäiset, jotka kiinnostuivat 3D-tulostuksesta. Postaukseeni 25.5.2013  sisältyy kuva Clebschin diagonaalipinnasta sekä kipsimallista otettuna valokuvana että Mathematicalla laskettuna. 3D-tulostuksen tällaisesta voi nykyään ostaakin kirjoituspöydän nurkalla pidettäväksi. Jotta en mainosta, niin en anna suoraa osoitetta, mutta hakukoneelle voi kirjoittaa 'clebsch diagonal surface'.

Mielenkiintoista on, että matemaatikoiden ohella pintamalleista kiinnostuneet henkilöt tulevat nykyään usein taiteen piiristä.

Ylioppilaskoe

Matematiikan ylioppilaskokeen lähestyessä ja koska matematiikan osaamista muutoinkin on syytä edistää, tarjoan opiskelumateriaalia:

Tehtävä. Suorakulmaisen kolmion hypotenuusan pituus on $75$ ja kateettien pituudet $x$ sekä $\frac{x}{2} + 15$. Määritä kateettien pituudet.

Ratkaisu 1. Pythagoraan lauseen mukaan on
\[
x^2 + (\frac{x}{2} + 15)^2 = 75^2
\]
eli
\[
x^2 = 75^2 - (\frac{x}{2} + 15)^2.
\]
Ottamalla neliöjuuri puolittain ja poistamalla sulut saadaan
\[
x = 75 - \frac{x}{2} + 15,
\]
mistä seuraa $x = 60$ ja $\frac{x}{2} + 15 = 45$.

Ratkaisu 2. Kolmiossa sivujen vektorisumma on $= 0$, jolloin saadaan yhtälö
\[
x + (\frac{x}{2} + 15) + 75 = 0.
\]
Tämän ratkaisu on $x = -60$. Sivun pituuden tulee kuitenkin olla positiivinen. Vektorisummassa ei myöskään ole väliä, miten päin kierretään. Siis $x = 60$. Tällöin $\frac{x}{2} + 15 = 45$.

Ratkaisu 3. Pythagoraan lauseesta saatu yhtälö voidaan muokata myös muotoon
\[
x^2 + \frac{x^2}{2} + 225 = 5625.
\]
Juuret ovat $x = \pm 60$, joista vain positiivinen kelpaa. Siis $x = 60$, $\frac{x}{2} + 15 = 45$.

Ratkaisu 4. Koska kolmiossa summa on $180$, saadaan yhtälö
\[
x + (\frac{x}{2} + 15) + 75 = 180.
\]
Tämän ratkaisu on $x = 60$, jolloin $\frac{x}{2} + 15 = 45$.

Ratkaisu 5. Pythagoraan lauseesta saatu yhtälö voidaan muokata kolmanteenkin muotoon:
\[
\tfrac{5}{4}x^2 + 15x + 225 = 5625.
\]
Tämän juuret ovat $x_1 = -72$, $x_2 = 60$. Vain positiivinen kelpaa, ja siis $x = 60$, $\frac{x}{2} + 15 = 45$.

Pintojen mallit

Olen vanhassa työpaikassani Teknillisen korkeakoulun — nykyään Aalto-yliopiston — matematiikan laitoksella järjestelemässä geometrian mallikokoelmaa. Muun ohella tähän kuuluu yli sata vuotta vanhoja matemaattisten pintojen kipsi- ja lankamalleja. Pintojen geometrian tutkimus oli tuolloin varsinkin Saksassa varsin intensiivistä ja mallit olivat havainnollistuksia. Olen näistä kirjoittanut aikaisemminkin, postauksessani 24.5.2013.  Silloin kokoelma purettiin tilojen peruskorjauksen ajaksi ja nyt se järjestetään uudelleen uusiin korjattuihin tiloihin.

Olen edellisen kerran järjestänyt kokoelman vuonna 1966, jolloin malleja koskevia lähteitä ei ollut niinkään helppoa löytää. Lähinnä käytin repaleista, mutta huolellisesti laadittua saksalaista myyntiluetteloa vuodelta 1911. Nyt tilanne on täysin toinen: kyseinen luettelo monen muun vastaavan ohella on verkossa skannattuna, monien yliopistojen verkkosivuilta löytyy hyvin dokumentoituina tiedot näiden kokoelmista, malleista on Groningenin yliopistossa tehty väitöskirjakin.

Laskentaohjelmilla voi piirtää kuvia pinnoista ja pyöritellä niitä ruudulla, joten uusiakin mahdollisuuksia havainnollistamiseen on. Esimerkkinä olkoon yksivaippaisen hyperboloidin Centrafläche, kuten mainittu myyntiluettelo sanoo. Kipsimallin kuva on ohessa. Hieman kummallinen pinta: sileän pinnan sivuilla on palteita ja jonkinlaisia väkäsiä. Mistä mahtaa olla kyse?

Kipsimalli

Mallin vanhat esitetekstit viittasivat jollakin tavoin pinnan, siis yksivaippaisen hyperboloidin kaarevuuskeskuksiin. Differentiaaligeometrian mukaan pinnan jokaiseen pisteeseen liittyy kaksi pääkaarevuutta, jotka vastaavat pinnan normaalileikkauskäyrän suurinta ja pienintä kaarevuutta. Kumpaakin vastaa kaarevuusympyrä, jolloin kyse saattaisi olla näiden keskipisteiden muodostamista urista.

Asian varmistamiseksi päätin piirtää kyseiset urat. Laskentaohjelmissa on nykyään aika vahvoja työkaluja, joten työ ei ehkä olisi aivan mahdoton. Eikä se ollutkaan, tulos tuli Mathematicalla pikemminkin helposti. Tosin lausekkeet eivät ole aivan yksinkertaisia: esimerkiksi toisen urapinnan parametrimuotoinen x-koordinaatti on
\begin{align*}
\frac{1}{80} \sqrt{4 v^2+1}\, &\cos (u)
\biggl(42 \bigl(4 v^2+1\bigr)
\cos (2 u)\\
-\sqrt{2}\, &\sqrt{2604 \bigl(16 v^4-1\bigr) \cos (2 u)+441 \bigl(4
   v^2+1\bigr)^2 \cos (4 u)+37808 v^4+4792 v^2+2363}+248 v^2+146\biggr)
\end{align*}

Parametriesitysten perusteella urapinnat sitten olikin suoraviivaista piirtää:

Kaksi läpikuultavaa urapintaa, punainen ja vihreä

Tulos on kipsimallia havainnollisempi. Koska toinen pinta jää suurelta osalta toisen sisään, siitä ei massiivisessa kipsimallissa voi paljon näkyä.  Tietokoneella tehtyyn kuvaan sen sijaan voidaan määritellä läpikuultavuutta ja katselusuuntaa voidaan kohdetta pyörittelemällä vaihtaa, jolloin kuvasta voi todeta pintojen putkimaisuudenkin: pystysuorassa voi kulkea läpi.

Mathematicasta saa ulos myös 3D-tulostimen tarvitseman määrittelytiedoston.  Pitänee vielä kokeilla, saako tällä tavoin todellakin pintamallin, ei massiivista kappaletta.

Aikansa taskulaskin

Curta säilytyskoteloineen

Kullakin aikakaudella on laskentavälineensä. Taskulaskimet tulivat 60- ja 70-lukujen vaihteessa ja elektroniikan aikakausi alkoi. Aluksi laskin oli ainoastaan numeerinen, peruslaskutoimitukset kattava, mutta varsin pian mukaan tulivat myös tavalliset alkeisfunktiot. Seuraava vaihe oli graafinen laskin, ja nykyään myös algebra onnistuu. Tämän päivän älypuhelimessa on kaikki tämä 70-luvun laskimen kokoisessa rasiassa ja lisäksi puhelin, televisio, musiikkisoitin ja verkkoselain.

Mutta ei taskuun mahtuvan laskimen historia alkanut elektronisten taskulaskimien tullessa. Jo 40-luvun lopulla valmistettiin Curtaa. Tämä on mekaaninen laskin, jonka osittain juutalaistaustainen vuonna 1902 syntynyt Curt Herzstark ideoi 1938 Wienissä ja suunnitteli yksityiskohtaisesti Buchenwaldin keskitysleirillä 40-luvun alkupuolella. Työ sallittiin, koska laitetta ajateltiin lahjaksi Hitlerille, kun sota olisi voitettu.  Herzstark selviytyi keskitysleiriltä, ja jo vuonna 1945 hän sai valmistutetuksi kolme toimivaa Curtaa.

Liechtensteinin ruhtinaan tuella laitteiden valmistus alkoi Liechtensteinissa Contina-yhtiössä ja ensimmäiset sarjatuotantokappaleet valmistuivat 1948. Curta on pienikokoinen myllyä muistuttava käsin pyöritettävä laskin yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolaskuun, todellinen insinööritaidon ja hienomekaniikan taidonnäyte. Myös alkeisfunktioiden arvojen laskemiseen on esitetty algoritmeja, ts. toimintaohjeita peruslaskutoimitusten tehokkaaseen kombinoimiseen.

Manuaalin esimerkki jakolaskun suorittamisesta

Aivan yksinkertaista Curtan käyttö ei ole. Edes kerto- tai jakolasku ei suju yhdellä kammen pyöräytyksellä. Yhtä nappia painamaan tottunut tämän päivän ihminen on ihmeissään. A6-kokoisessa manuaalissa neliöjuuren laskemista koskevaan esimerkkiin tarvitaan kolme ja puoli sivua.

Kovin laajaa ei Curtan käytöstä tullutkaan. Vuoteen 1972 mennessä valmistettiin noin 150000 Curtaa. Elektronisten laskimien tulo siirsi sen laskentavälineenä historiaan.

Samoihin aikoihin päättyi monen muunkin mekaanisen laskukoneen valmistus. Curta oli kuitenkin ainoa, joka mahtui taskuun. Hienomekaanisena taidonnäytteenä se kuitenkin on edelleenkin kiinnostava, ja Curtaa käsitteleviä verkkosivuja on monia. Sekä historiaa että tekniikkaa löytyy saksankielisistä sivustoista http://www.curta.de/ ja http://www.curta.li/.

Kaksi vaikeaa: matematiikan aloituskurssi ja laskin

Lukion opetussuunnitelmien laatiminen kirvoittaa vähitellen keskusteluja, jollaisia olisi pitänyt käydä jo paljon aikaisemmin. Jos jotakin uutta halutaan, näkemykset kypsyvät hitaasti, ei yksinomaan oppilailla, vaan meillä kaikilla. Ongelmana vain on, että opetussuunnitelmatyö ei anna aikaa tähän. Loogista olisi vaipua epätoivoon ja luovuttaa, mutta jos nyt kuitenkin. (Matemaatikon ja juristin logiikan ero on siinä, että matemaatikko päättelee aukottomasti joutuneensa umpikujaan ja luovuttaa; juristi tekee reiän, josta tulee ulos.)

Yhteisen aloituskurssin rakentaminen on uuden opetussuunnitelman vaikein asia. Yhtäältä sen täytyy antaa mahdollisuus vähitellen kypsyä matematiikkaan eikä se siis saa olla liian vaativa. Toisaalta sen täytyy sisältää jotakin oleellista, joka kantaa eteenpäin matematiikan opinnoissa, olipa kyseessä lyhyt tai pitkä matematiikka.

Toinen ongelma syntyy laskimien ja tietokoneiden käytöstä. Mielipiteet jakautuvat: Konservatiivit pelkäävät laskimien tuhoavan loputkin matematiikan osaamisesta ja mielellään kieltäisivät tekniikan käytön kokonaan. Tekniikkaan innostuneet uudistajat odottavat tietotekniikan käytön avaavan rajattomien mahdollisuuksien aikakauden, jossa oppimisesta tulee helppoa. Todellisuus on jossakin tällä välillä. Laskimia — tai mitä uusia välineitä lähivuosina tuleekaan — pitäisi hyödyntää matematiikan opiskelussa varsinaista tavoitetta unohtamatta.

Funktio on matematiikan ehkä tärkein käsite. Aloituskurssin voisi rakentaa tämän ympärille, jolloin voidaan kerrata lausekkeiden käsittelyä, piirtää kuvaajia (käsin ja tekniikalla), pohtia funktion abstraktia määrittelyä, määritellä vaikka trigonometriset funktiot (jopa käänteisfunktioineen!), oppia käyttämään laskinta työvälineenä, kurkistaa varovasti sovelluksiin jne. Kaikki hyödyksi sekä pitkässä että lyhyessä matematiikassa.  Hyvin tehtynä voisi auttaa myös siihen, että maa ei olisi täynnä ihmisiä, jotka sanovat etteivät ole koskaan ymmärtäneet matematiikkaa eikä siitä mitään hyötyä ole ollut.

Jospa aloitettaisiin aloituskurssi laskimista ja tietokoneista, kun tämä maailma sellaisia tuntuu käyttävän ja meille niitä tarjoaa. Ehkä niistä olisi jotakin iloa. Seuraavaan tapaan:

-----

Mitä ne näppäimet tekevät?

Ne ovat funktioita: jokin luku sisään, toinen tulee ulos.

Mitä ne funktiot ovat?

Matematiikan tärkein käsite: abstrakti määrittely.

Mistä ne luvut tulevat?

Funktio on määriteltävä: lausekkeella, geometrisesti (trigonometria), havainnoista (lämpötila ajan funktiona tai paikan funktiona), on myös kahden (ja useammankin) muuttujan funktioita tai kokonaislukumuuttujan funktioita, paljon muuta.

Voiko niitä jotenkin nähdä?

Niistä voi piirtää kuvaajia ($\mathbb{R}^2$, $\mathbb{R}^3$, $\mathbb{R}^?$, empiirinen data, ...).

Mitä kuvaajista voi nähdä?

Tulosta paperille ja ota viivoitin esiin. Mittaa vaikka seuraavia ...

Miksi funktiot ovat niin tärkeitä?

Niitä käytetään sekä sovelluksissa että teoriassa (koronkorko, verotus, resonanssivärähtely, lämpötila aamuisin Helsingissä tai ydinreaktorin sydämessä, alkulukujen tai yo-arvosanojen jakauma, ...).

Mitä se $2^{1/2}$ tarkoittaa, kun laskinkin saa siitä jotakin?

Jos vanhat laskusäännöt pitävät paikkansa, niin $(2^{1/2})^2 = 2$. Siis ...

-----

Kyllä tästä kurssi syntyy. Avaa näköaloja ja opettaa jotakin, joka kantaa hedelmää myöhemmin.  Ei tosin ole aksiomaatikon näkemysten mukainen, mutta aloituskurssin ei pidäkään. Täsmällisyyden paikka on sitten pitkän matematiikan kakkoskurssista eteenpäin.

Polynomikäyriä ja -pintoja Bézier'n tapaan

Koulussa opetetaan polynomilaskentaa. Lähinnähän tämä on pohjaa lausekkeiden muokkaamiseen ja sieventämiseen, mikä saattaisi olla aiheen rehellisempi nimi.  Monelle ehkä jää hieman hämäräksi, missä polynomeja oikeastaan voi käyttää.  Tämä onkin hankala kysymys, niin monessa yhteydessä polynomeilla on käyttöä.  Yhtenä esimerkkinä ovat autojen peltien muodot. Puolisen vuosisataa sitten alkoivat nimittäin ranskalaiset Paul de Casteljau (Citroënilla) ja Pierre Bézier (Renaultilla) käyttää polynomeja tietokoneavusteisen suunnittelun (CAD, Computer Aided Design) apuvälineinä. Tekniikkaa käytetään nykyään muuallakin, mm. kuvankäsittelyohjelmissa.

Kyse on käyrien ja pintojen esittämisestä sopivan parametrisoinnin avulla.  Käyrän parametriesitys on periaatteessa muotoa \[ x = f(t), \quad y = g(t),  \] avaruudessa lisäksi $z = h(t)$. Jokaista parametrin $t$ arvoa vastaamaan saadaan yksi käyrän piste. Pinnan tapauksessa parametreja on kaksi, $u$ ja $v$: \[ x = f(u,v), \quad y = g(u,v), \quad z = h(u,v).  \] Funktioista $f$, $g$ ja $h$ riippuu, millainen käyrä tai pinta syntyy.  Suunnittelutehtävissä nämä ovat polynomeja, joiden kertoimet määräytyvät ns. ohjauspisteiden sijainnin perusteella. Siirtämällä näitä hiirellä tietokoneen ruudulla voidaan käyrää tai pintaa muunnella ja hakea sille haluttu muoto.

Ohjauspisteiden tulee olla sellaisia, että suunnittelija voi mieltää helposti niiden vaikutuksen käyrän tai pinnan muotoon. Luonnollisimmaksi on osoittautunut kolmannen asteen polynomin käyttö (pinnan tapauksessa kummankin parametrin suhteen erikseen). Tällöin puhutaan Bézier'n käyristä ja pinnoista. Perustapauksessa käyrällä on neljä ohjauspistettä, pinnalla 16. Käyrän vektorimuotoinen parametriesitys on \[ \vec{r}(t) = (1 - t)^3\vec{p}_1 + 3t(1 - t)^2\vec{p}_2 + 3t^2(1 - t)\vec{p}_3 + t^3\vec{p}_4, \] missä $\vec{p}_j$ tarkoittaa ohjauspisteen paikkavektoria. Pinnan tapauksessa lauseke on selvästi mutkikkaampi: \[ \vec{r}(u,v) = \sum_{j=0}^3\sum_{k=0}^3 \binom{3}{j}\binom{3}{k} u^j(1-u)^{3-j}v^k (1 - v)^{3-k}\vec{p}_{jk}, \]

Bézier'n käyrä. Ohjauspisteet punaisella.

Bézier'n pinta. Ohjauspisteet vihreän verkon solmupisteitä.

Jos halutaan pitempi ja mutkikkaampi käyrä, saattaisi tuntua luonnolliselta nostaa polynomin astelukua, jolloin ohjauspisteitäkin tulee lisää. Tällöin kuitenkin menetetään intuitiivisuus: ei ole enää aivan helppoa hahmottaa, mitä ohjauspisteitä on siirrettävä haluttuun tulokseen pääsemiseksi. Parempi ratkaisu on tyytyä kolmannen asteen polynomeihin, mutta siirtyä paloittain jatkuviin funktioihin: parametrin osaväleillä lausekkeet ovat kolmannen asteen polynomeja, mutta lauseke vaihtuu yhteenliimauskohdissa. Käyrän laskennasta tulee monimutkaisempaa ja algoritmien tehokkuuteen on kiinnitettävä huomiota (tietokoneissakin). Tällöin puhutaan splinikäyristä. (Sana 'splini' tarkoittaa alunperin piirtäjän työkalua, joustavasta metalliliuskasta tehtyä viivainta, joka voitiin taivuttaa halutulle mutkalle ja sen avulla piirtää käyrä.  Nimitys on säilynyt, vaikka suunnittelija onkin siirtynyt käyttämään kynän sijasta tietokonetta.)

Splinikäyrä. Ohjauspisteet punaisella.

Kuvia vastaavat laskentaohjelma Mathematicalla tehdyt koodit ovat lukijan käytettävissä, mutta tähän tarvitaan ilmainen CDF Player (Wolfram Research), joka on ensin asennettava omaan koneeseen. Linkit alla.

Yksinkertainen Bézier'n käyrä. Punaisia ohjauspisteitä voi siirtää hiirellä.

Splinikäyrä. Useita punaisia ohjauspisteitä, joita voi siirrellä.

Bézier'n pinta. Ohjauspisteet merkitty kaksinkertaisilla indekseillä, vasemmanpuolisessa ruudukossa säädetään x- ja y-koordinaatti, oikeanpuolisilla janoilla z-koordinaatti.  Painikkeissa on muutamia valmiita esimerkkejä (joita myös voi muokata).

Lukiomatematiikan aloitus

Valtioneuvosto sai lopulta päätetyksi lukion tuntijaosta. Kovin paljon muutoksia ei tullut.  Ehkä on hyväkin, että suuria muutoksia ei tehdä, ennen kuin on nähty, mitä sähköisistä ylioppilaskirjoituksista tulee. Uusien opetussuunnitelmien teko voi nyt alkaa, ja ne otetaan käyttöön syksyllä 2016.

Joitakin merkittäviä muutoksia kuitenkin tapahtui: kolme syventävää teemaopintojen kurssia sekä pitkän ja lyhyen matematiikan yhteinen aloituskurssi. Teemaopintojen kurssien aihepiirit eivät risteä muiden kurssien kanssa, eikä niiden suunnittelu kireän aikataulun puitteissa tuottane ylivoimaisia vaikeuksia.

Matematiikan yhteisen aloituskurssin osalta tilanne on toinen. Ei ole selvää, mitä kurssin pitäisi sisältää, ja toteutustavasta riippuen vaikutus muihin matematiikan kursseihin voi olla suurikin. Jos aika loppuu kesken, on tyydyttävä pikaisesti tehtyyn hätäratkaisuun.  Kyseessä on uhka matematiikan osaamiselle. Huolellisesti tehty uudistus sen sijaan antaisi mahdollisuuden tilanteen parantamiseen.

Helppoja hätäratkaisuja ovat ainakin seuraavat:

Peruskoulumatematiikan kertauskurssi, jossa sisällöllisesti ei ole uutta. Tällainen on tarpeen osalle opiskelijoista, mutta peruskoulumatematiikkansa osaaville se on hyödytön ja hukkaan heitettyä aikaa. Innostava se tuskin on kenellekään.

Laskinkurssi, jossa opetellaan käyttämään jotakin laskinta tai tietokoneohjelmaa ja kerrataan sen avulla peruskoulun matematiikkaa. Laskimen työvälinekäyttöä on kuitenkin vaikeata oppia ilman riittävää substanssia. Leimautuminen laskinkurssiksi merkitsee keskittymistä nappulatekniikkaan, joka kaikista lukion asiasisällöistä vanhenee nopeimmin.

Jokin nykyisistä kursseista siirretään aloituskurssiksi. Tällainen voisi olla tilastoja ja todennäköisyyttä käsittelevä kurssi tai kooste nykyisten ensimmäisten kurssien asiasisällöistä. Kumpikaan vaihtoehto ei anna oikeaa kuvaa siitä, mitä matematiikka on, eikä auta valinnassa.

Kokonaan uuden aloituskurssin rakentaminen ei ole helppoa. Lähtökohtana pitäisi olla lyhyen ja pitkän matematiikan välillä valitsemisen helpottaminen, mutta samalla jonkin uuden oppiminen unohtamatta varsin monen tarvitsemaa peruskoulumatematiikan kertausta. Samalla tulisi kehittyä jonkinlainen näkemys matematiikan merkityksestä ja käyttökelpoisuudesta.  Julistuksenomainen tieto ei aina aloittelevalle lukiolaiselle riitä eikä sen oikeastaan pidäkään riittää.

Teen ehdotuksen: Yhteinen aloituskurssi rakennetaan matematiikan ehkä merkityksellisimmän käsitteen, funktion varaan. Määrittelyn jälkeen esimerkkeinä peruskoulusta tuttuja lineaarisia funktioita ja polynomeja, mutta myös mutkikkaampia lausekkeita ja laskimessa esiintyviä funktioita (trigonometriaa, eksponenttifunktio, jopa käänteisfunktion käsite), yhtälöitä ja epäyhtälöitä, kaksi- ja kolmiulotteiset koordinaatistot. Käsittelyn pohjana manuaalinen sieventäminen, graafiset esitykset käsin ja laskimella tehtyinä, ei niinkään asioiden todistaminen.

Riittävän funktiokokoelman hahmottaminen antaa mahdollisuuden kurkistaa joihinkin matematiikan sovelluksiin reaalimaailmassa ja nähdä jotakin matematiikan käyttökelpoisuudesta.  Laskimien (tai tietokoneiden) käyttöön työvälineinä opitaan, jolloin niiden hyödyntäminen myös koulun ulkopuolisessa elämässä on luonnollista.

Ongelmana on, että kurssi väistämättä vaikuttaa myös muihin kursseihin, jotka pitää muokata vastaavasti. Tarvitaan laajempi opetussuunnitelman uudistus, aidosti uudet kirjat ja opettajillekin aikaa perehtyä muutokseen.

Syksy 2016 on liian pian. Ehkä kuitenkin kannattaisi mieluummin tähdätä harkittuun uudistukseen eikä hyväksyä hätäratkaisua.