9999 potenssiin 9999

Silmiini osui tehtävä, jossa piti selvittää, kuinka monta numeroa on luvussa $9999^{9999}$ ja mitkä ovat kolme ensimmäistä numeroa. Ilmeisestikin kyseessä logaritmien harjoittelu ja käytettävissä laskin tai vastaava tietokoneohjelma.

Samantyyppisiä tehtäviä lienee aina käytetty logaritmien harjoittelemiseen. Klassikossa, K. Väisälän algebran kirjassakin on tehtävä, jossa kysytään luvun $9^{9^9}$ numeroiden lukumäärää. Tuolloin ei ollut laskimia, ainoastaan viisidesimaaliset logaritmitaulut.  Näilläkin tehtävän saattoi ainakin melkein ratkaista, numeroita oli noin 370 miljoonaa.  Paljon tarkempaan ei ollut mahdollista päästä eikä ensimmäisten numeroiden selvittämiseenkään tarkkuus riittänyt.

Potenssi $9999^{9999}$ on vaatimattomampi kuin $9^{9^9}$ ja ensimmäiseksi tekee mieli koettaa, selvittäisiinkö ilman logaritmeja, yksinkertaisesti laskemalla kokonaislukupotenssi suoraan normaalilla ohjelmiston aritmetiikalla. GeoGebralle ja TI-Nspirelle luku on liian suuri, GeoGebra antaa kysymysmerkin, TI-Nspire $\infty$-symbolin ja varoituksen ylivuodosta.

Mathematica sen sijaan laskee luvun ja antaa pitkän jonon numeroita. Näiden lukumäärän laskeminen olisi ikävä tehtävä, mutta tarkoitukseen on valmis funktio IntegerLength, jolla tulokseksi saadaan 39996 numeroa. Kolme ensimmäistä ovat 367. Mathematicaan pohjautuva verkossa toimiva Wolfram|Alpha ei anna suoraan kaikkia numeroita, mutta kertoo niiden lukumäärän. Onko enää tarpeen miettiäkään logaritmeja, jos laskentaohjelmien kapasiteetti kasvaa näinkin suureksi?

Jos kuitenkin käytetään logaritmeja, kannattaa aluksi laskea potenssin logaritmi muodosta $9999\lg(9999)$, missä $\lg$ tarkoittaa kymmenkantaista (Briggsin) logaritmia. GeoGebra antaa tulokseksi $39995.57$. Tämän kokonaisosa $39995$ on logaritmin ns. karakteristika.  Tämä on yhtä pienempi kuin luvun numeroiden määrä, joka siis on 39996. Desimaaliosa $0.57$ on logaritmin mantissa, jonka avulla saadaan luvun numeroiden alkupää. Tämä perustuu hajotelmaan
\[ 9999^{9999} = 10^{39995.56\dots} = 10^{39995} \cdot 10^{0.56\dots}. \]
GeoGebra kuitenkin tuottaa pienen yllätyksen: $10^{0.57} = 3.72$, mutta jos talletetaan muuttujaan alkuperäinen logaritmi, $s = 9999\lg(9999)$, ja lasketaan $10^{s-39995}$, saadaankin $3.68$. Ovatko oikeat alkupään numerot siis 372 vai 368?

Lasku GeoGebralla

TI-Nspirellä käy suurin piirtein samoin.

Selityksenä on, että ohjelmistojen numeerisessa laskennassa on käytössä huomattavasti enemmän desimaaleja kuin käyttäjälle normaalisti näytetään. Tarkkuuden säilyttämiseksi kannattaa siis tallettaa välitulokset muistiin eikä kopioida niitä uudelleen näytön mukaisina. Tämäkään ei poista kaikkia virheitä, koska laskennassa kuitenkin käytetään rajallista desimaalimäärää (tai oikeastaan bittimäärää). Jossakin tilanteessa virhe tulee aina esiin.

Olisiko logaritmien lisäksi jotakin muuta tapaa suoriutua tehtävästä, jos laskentaväline ei suoriudu suurista luvuista ilman ylivuotoa? Kantaluvun $9999$ voi skaalata jakamalla sen $10000$:lla. Tällöin syntyy luku $0.9999$, jonka korottaminen potenssiin $9999$ ei aiheuta ylivuotoa. Tulos on $0.36789\dots$, mikä antaa ensimmäiset numerot. Numeroiden lukumäärä saadaan kertomalla tämä skaalauksen takia tekijällä $10000^{9999} = 10^{39996}$.

Mitä kaikesta tästä — ja paljosta muusta vastaavasta — pitäisi oppia? Ohjelmisto on ensisijaisesti laskentaväline olipa kyse numeerisesta tai symbolisesta laskennasta. Se toimii omilla ehdoillaan eikä aina siten, kuin matemaattisessa mielessä pitäisi. Laskentaväline myös vaikuttaa siihen, millaista matematiikkaa on järkevää käyttää. Esimerkiksi logaritmitaulut ja ohjelmistot edellyttävät erilaista näkökulmaa.

How to slay dragons

Lueskelin American Mathematical Societyn Notices-lehden kesä-heinäkuun numeroa, jossa on myös matematiikan opettamista koskeva artikkeli What Is Inquire-Based Learning? (http://www.ams.org/journals/notices/201706/rnoti-p570.pdf).

Matematiikan opettamisen ongelmat tuntuvat olevan paljolti samanlaisia kaikkialla maailmassa, mutta yhden maan ratkaisuja ei kuitenkaan yleensä voi sellaisinaan siirtää toiseen maahan. Jotakin niistä kuitenkin voi oppia ja tuulettaa niiden avulla omia ajatuksiaan. Artikkelissa viitataan muun ohella sivustoon http://math.colorado.edu/activecalc, josta löytyy esimerkiksi funktioiden kuvaajia käsittelevä tehtävä http://math.arizona.edu/~calc/m124/Equations.pdf. Annettuna on neljä melko yksinkertaista funktiota ja ohjeistuksena 'Use your graphing calculator to graph each of the following functions. Use your mathematical skills to determine the real characteristics of the function. Does your calculator show these features?  Include detailed sketches.' Teknologian käyttöä siis.

Esimerkkifunktioista ei kuitenkaan selvitä antamalla vain piirtokomento. Laskin ei välttämättä näytä kaikkia kuvaajan oleellisia piirteitä, joten käyttäjän tulee suhtautua tulokseen kriittisesti ja tutkia asiaa lähemmin käyttämällä laskintaan työvälineenä ja yhdistämällä tähän matemaattiset tietonsa. Laskinta ei siis voikaan käyttää mustana laatikkona, joka antaa totuuden, vaan luovuutta vaativana työvälineenä.  Meillä saattaisi Suomessa olla opittavaa.

Selasin myös Solmussa ilmestynyttä Markku Halmetojan kokoelmaa Sata lukion matematiikan tehtävää (http://matematiikkalehtisolmu.fi/2017/sata.pdf). Ansiokas kokoelma, jossa esipuheen mukaan 'kantavana periaatteena on ollut välineistä riippumattoman matematiikan esilläpito'. Joukossa on kuitenkin monia tehtäviä, joissa mahdollisesti hieman muunnettuina voitaisiin hyödyntää teknologiaa järkevällä tavalla. Esimerkkinä tehtävä 53, jossa pyydetään määrittämään funktion $f(x) = e^x + e^{-x} - x^2$ ääriarvot. Lisätään tähän kerroin, $f(x) = e^x + e^{-x} - a x^2$, ja pyydetään tarkastelemaan ääriarvoja, kun $0.8 < a < 1.2$.  Lähtökohtana voi piirtää kuvaajia, laskea ääriarvokohtia numeerisesti sopivilla $a$:n arvoilla ja tapaus $a = 1$ vaatii edelleen saman huomion kuin ennenkin.

Tällä tavoin painottuisi matematiikan käyttö työvälineenä, eikä kyse olisi sen ainoan oikean ratkaisun etsimisestä, jonka opettaja tietää. Matematiikka voisi alkaa näyttää hyödylliseltä myös niille, joiden ensisijainen mielenkiinto ei ole matematiikassa sinänsä.

En oikein voi mitään sille, että Halmetojan kokoelma tuo mieleeni 70-luvulla talteen ottamani kirjamainoksen, joka on tämän jutun alkukuvana. Totuuden siemenhän tässä on.  Eikä Halmetoja (eivätkä monet muutkaan) ole mitenkään huonossa seurassa: Dschuang Dsi (Zhuangzi) oli neljännellä vuosisadalla eaa. elänyt taolainen filosofi eikä René Thomkaan (1923-2002) mitätön matemaatikko ole. En ole mainokseen kirjoittanut sen lähdettä, mutta internetin ihmemaasta se löytyy hakusanoilla 'dschuang dsi rene thom'. Kuva (ja runo) on Th. Bröckerin ja L. Landerin kirjassa Differential Germs and Catastrophes (Cambridge University Press, 1975) sisällysluettelosivun kääntöpuolella.

Mitä symbolilaskentaohjelmalta voi odottaa ja mitä ei?

Matematiikan opiskelussa on alettu käyttää symbolisia laskentaohjelmia.  Näiden käyttö ei kuitenkaan ole aina sitä, mitä äkkiseltään voisi odottaa.  Ohjelman antamat tulokset voivat näyttää yllättäviltä, jopa vääriltä verrattuna matematiikassa totuttuun. Onkin syytä ajatella, että ohjelma elää omaa elämäänsä, vaikka sillä toki onkin läheinen suhde matematiikkaan.

Symbolisella laskennalla on ohjelmoinnin luonne, ja tämän takia olisi parempi käyttää laskennan syötteissä ohjelmointikielen tyyppisiä komentoja ja funktioita traditionaalisen matemaattisen notaation sijasta, vaikka aloituskynnyksestä ehkä tuleekin korkeampi. Matematiikan notaatio ei myöskään ole yksikäsitteistä, vaan tarvitsee asiaa ymmärtävän ihmisen tulkintaa.  Esimerkiksi $a(b+c)$ saattaa tarkoittaa summan $b+c$ kertomista luvulla $a$ tai funktion $a$ arvoa argumenttina $b+c$.

Paitsi että syötteiden ajatteleminen ohjelmointikielenä korostaa matematiikan ja ohjelmalla tehdyn laskennan eroa, se myös auttaa eteenpäin: yksinkertaiset syötteet on helpompaa oppia laajentamaan usean komennon jonoiksi, ts. pieniksi ohjelmiksi. Ainakin jos ohjelmoinnin perusidea on tuttu.

Esitän seuraavassa joitakin esimerkkejä hieman yllättävistä tilanteista.  Nämä on laskettu Mathematicalla; pdf-muotoinen laskentadokumentti löytyy osoitteesta http://www.elisanet.fi/simo.kivela/blg/SymbLask.pdf .  Eri ohjelmat ovat erilaisia. Ilmiö, joka esiintyy yhdessä, ei ehkä esiinny toisessa. Kaikissa kuitenkin on jotakin yllättävää, mikä on osoitus symbolisen laskennan vaikeudesta: tuskin mikään algoritmi on täydellinen. Kyse voi myös olla tasapainoilusta täydellisyyden ja kohtuullisen laskenta-ajan välillä.

Jos joku on kiinnostunut ratkaisemaan samat esimerkit jollakin muulla ohjelmalla, julkaisen dokumentin mielelläni.

Neljännen asteen yhtälö

Jos yhtälöstä $ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0$ ratkaistaan $x$ symbolisella ohjelmalla, saadaan periaatteessa neljännen asteen yhtälön ratkaisukaavat.  Kertoimille voidaan sijoittaa numeeriset arvot joko yhtälöön tai ratkaisukaavoihin. Edellisessä tapauksessa ratkaisualgoritmia sovelletaan numerokertoimiseen yhtälöön, jälkimmäisessä vain sijoitetaan arvot valmiisiin lausekkeisiin.

Tulosten tietenkin pitäisi olla samat. Useimmiten näin toki onkin, mutta toisinkin voi käydä: Jos $a = 1$, $b = c = d = 0$ ja $e = -1$ ja nämä sijoitetaan yhtälöön, on ratkaistavana yhtälö $x^4 - 1 = 0$. Mathematica antaa oikean tuloksen $\pm 1$, $\pm i$. Ratkaisukaavoihin sijoittamalla saadaan neljään kertaan Indeterminate. Jos kertoimen $b$ arvoa hieman muutetaan, $b = 1/1000000$, molemmat tavat antavat saman oikean tuloksen.

Oikeastaan tilanne ei ole kovin kummallinen: eivät toisen asteen yhtälön ratkaisukaavatkaan toimi, jos $a = 0$.

Yliharmoninen sarja

Sarja $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}$ suppenee, jos $s > 1$ (jos kompleksiset arvot sallitaan, niin tulee olla $\mathrm{re}(s) > 1$).

Mikäli symbolinen ohjelma yleensä pystyy laskemaan sarjan summan, se saattaa antaa tulokseksi zeta(s). Kyseessä on Riemannin $\zeta$-funktio. Tapauksessa $s = 2$, on $\zeta(2) = \dfrac{\pi^2}{6}$, mikä on oikea sarjan summa. Tapauksessa $s = -1$ saataisiin sarjan summaksi $\zeta(-1) = -\dfrac{1}{12}$, jolloin siis luonnollisten lukujen summa olisi $1 + 2 + 3 + 4 + \dots = -\dfrac{1}{12}$.

Toimintoa on pidettävä virheellisenä. Summaan zeta(s) tulisi liittyä rajoitus $\mathrm{re}(s) > 1$. Riemannin $\zeta$-funktio on nimittäin näillä arvoilla määriteltävissä sarjan summana, mutta vaikka se muilla keinoilla voidaankin määritellä myös negatiivisella puolella, harmonistyyppisestä sarjasta sitä ei saada.

Syynä omituiseen summaukseen saattaa olla, että symbolisissa ohjelmissa usein esitetään tulos ns. yleisessä tapauksessa jättäen poikkeukselliset arvot huomiotta.  Tässä tapauksessa poikkeusarvoja on kuitenkin paljon.

Itseisarvoyhtälö

Yhtälön $|z - a| = |z - b|$ ratkaisuksi usein saadaan $z = \frac{1}{2}(a + b)$, mikä on tietenkin oikea tulos, mutta ei kata tapausta $a = b$. Tulos ei ole riittävä myöskään kompleksialueella, missä jokainen pisteitä $a$ ja $b$ yhdistävän janan keskinormaalin piste on ratkaisu.

Symbolisessa ohjelmassa saattaa olla yhtälön ratkaisemiseen tarkoitetun solve-funktion lisäksi jokin muu funktio tilanteen tarkempaa analyysia varten. Tämän avulla ehkä saadaan myös kompleksialueella pätevä ratkaisu, joka kuitenkin voi olla monimutkainen eikä kovinkaan helposti hahmotettavissa.

Trigonometrinen yhtälö

Yhtälöllä $\sin(x) = \sin(x + \frac{\pi}{5})$ on yksinkertainen ratkaisu $x = \frac{2\pi}{5} + n\pi$, mikä on käsinlaskulla helposti löydettävissä. Symbolinen ohjelma saattaa kuitenkin antaa monimutkaisempaa:
\[
x = \arctan\left(\frac{\sqrt{2(5 - \sqrt{5})}}{3 - \sqrt{5}}\right) + 2n\pi,
\quad
x = \arctan\left(\frac{\sqrt{2(5 - \sqrt{5})}}{3 - \sqrt{5}}\right) - \pi + 2n\pi.
\] Tulos on sinänsä oikea. Jos ohjelma pystyy sieventämään sen, päästään samaan kuin käsinlaskulla.

Miksi sitten näin monimutkaista? Yhtälön ratkaisualgoritmi varautuu paljon hankalampiinkin yhtälöihin eikä siten aina löydä optimaalista ratkaisutapaa. Hyvä ohje onkin yrittää sieventää, jos lauseke näyttää kovin mutkikkaalta. Tämä tosin voi johtaa huomattavan kauan kestävään laskentaan, mahdollisesti päättymättömään. Käyttäjän on syytä tietää, millä loputon laskenta voidaan katkaista.

Buffon, laskimet ja koulu

Johduin jokin aika sitten palauttamaan mieleeni probleeman, jonka Buffonin kreivi, Georges-Louis Leclerc de Buffon esitti vuonna 1733. Tämä on todennäköisyyteen liittyvä koe, joka tunnetaan Buffonin neulaprobleeman nimellä:

Paperille piirretään tasavälisiä yhdentaisia viivoja. Kuvion päälle pudotetaan satunnaisesti neula, jonka pituus on sama kuin viivojen etäisyys toisistaan. Millä todennäköisyydellä neula putoaa siten, että se leikkaa jonkin viivan?

Buffonin neulaprobleema: yhdensuuntaiset viivat ja neula

Ainakin yliopistojen todennäköisyyslaskennan kursseissa tämä yleensä lienee harjoitustehtävänä. Tulos on $2/\pi \approx 0.63662$. En esitä ratkaisua tässä. Kiinnostuneet voivat katsoa vaikkapa verkkodokumenttia http://fi.wikipedia.org/wiki/Buffonin_neula.

Lukiossakin opetetaan todennäköisyyslaskentaa. Saattaa olla, että ratkaisu on hieman vaikea lukiolaiselle käsitteellisellä tasolla, vaikka se teknisesti on täysin mahdollinen.

Mutta lukiolainenhan voisi simuloida probleemaa. Piirretään viivat paperille ja heitetään neulaa vaikkapa 10000 kertaa. Lasketaan viivan päälle osumisten suhde kaikkien heittojen määrään ja katsotaan, päästäänkö lähelle lukua $2/\pi$. Ehkei sentään. Olisi vähän tylsää ja kuntakin joutuisi ostamaan neuloja aika läjän.

Mutta tässä olisi sopiva tehtävä toteutettavaksi laskimilla tai mieluummin tietokoneilla. Jouduttaisiin pohtimaan todennäköisyyden luonnetta ja simuloinnin ideaa, saataisiin matematiikan oppimista tukeva ohjelmointitehtävä. Konkreettista tekemistä, jossa ei kysytäkään opettajalta, milloin tehtävä on tehty, vaan saatu tulos ratkaisee.

Edellytyksenä tietenkin on, että käytössä oleva laskin tai tietokoneohjelma tukee tällaista käyttöä. Ainakin tarvitaan satunnaislukugeneraattori, joka tuottaa jollekin välille tasaisesti jakautuneita satunnaislukuja. (Mitä nämä ovat? Lisää pohdittavaa tunnille.) Lisäksi tarvitaan mahdollisuus kirjoittaa riittävän helposti yksinkertaista ohjelmakoodia, ja laskentanopeuttakin pitäisi olla riittävästi. Miljoonan neulanpudotuksen pitäisi olla mahdollista muutamassa minuutissa, ehkä alle minuutin. Varovaisempaa tietenkin aloittaa tuhannesta tai muutamasta kymmenestä tuhannesta pudotuksesta.

En tiedä, miten hyvin nykyiset laskimet ja kouluihin tarjottavat tietokoneohjelmat tukevat tällaista laskentaa. Esitänkin haasteen laskinfirmojen edustajille: laatikaa ohjelma ja julkaiskaa se, lisäksi tiedot laskentaan kuluvasta ajasta.

Matematiikan ymmärtämisen kannalta symbolisten laskimien käyttö saattaa herkästi painottaa vääriä asioita. Oleelliseksi tulee valmiiden työkalujen käytön oppiminen ja sivuun jää se, mihin näitä varsinaisesti tarvitaan. Numeerinen laskenta ohjelmointiin yhdistettynä saattaa avata oppilaille näköaloja enemmän kuin symbolinen laskenta asiana sinänsä. Ei symbolinen laskenta silti tarpeetonta ole. Sen ja ohjelmoinnin yhdistäminen avaa mahdollisuuksia vielä enemmän.

Joku saattaa sanoa, ettei koulumatematiikka tällaista ole eikä koulussa ole mahdollisuuksia tällaiseen. Aivan oikeassa hän on. Mutta tällaista sen pitäisi lähitulevaisuudessa olla, ja tähän suuntaan pitäisi edetä.

Matematiikan opetus ja tietokoneet, ei hyvältä näytä

Olen puolustanut laskimien tai mieluummin matemaattisten tietokoneohjelmien käyttöä matematiikan opetuksessa, mutta samalla vaatinut niiden järkevää käyttöä. 'Järkevä' tarkoittaa matematiikan oppimisen edistämistä, ei mitä tahansa tietoteknistä räpeltämistä.

Viime aikojen keskustelua seurattuani on pakko todeta, että ei hyvältä näytä. Opettajakuntaa ei kiinnosta mikään muu kuin ylioppilaskokeen arvosteluperusteet. Kaikkein mieluiten haluttaisiin auktorisoitu lista kokeessa sallituista laskimen käyttötempuista, ja tämä sitten taottaisiin lukiolaisparkojen päähän. Laskimien maahantuojia kiinnostaa ainoastaan oma markkinaosuus. Tämän turvaamiseksi opettajia koulutetaan juuri meidän laskimemme surkeaan käyttöliittymään. Opettajankouluttajat ovat hämmästyttävän hiljaa. Juuri heidänhän luulisi olevan kiinnostuneita pedagogisesti järkevästä tekniikan käytöstä. Varsinaisesta matematiikan osaamisesta ovat kiinnostuneita vain konservatiiviset opettajat, jotka haluavat paluuta menneeseen.

Olenko pessimisti? Ehkä en kuitenkaan ihan. Myönnän toki, että tilanne on hämmentävä: tarjontaa erilaisista tietoteknisistä välineistä ja ratkaisuista on paljon, niihin paneutuminen vaatisi aikaa, opetussuunnitelmia uudistetaan, ylioppilaskoetta sähköistetään (ja purraan aika isoa palaa). Silti ei pitäisi heittää lasta eli matematiikkaa pesuveden eli tietotekniikan mukana pois. Molempia tarvitaan.

Mitä sitten näen pahimpina ongelmina? Jonkinlaista idealismia kaipaisin.  Matematiikka on hieno asia ja oppilaille on annettava mahdollisuus innostua siihen.  Tärkeintä ei tällöin todellakaan ole ylioppilaskokeen vaatimukset.  Nekin muuttuvat eikä niitä pidä tiukasti formalisoida. Innostuneisuus matematiikkaan on paljon tärkeämpää kuin muutama koepiste sinne tai tänne.

Opettajien pitää ymmärtää, että laskin on apuväline, jota saa käyttää, mutta jota ei saa syyttää omasta ymmärtämättömyydestä. Jos laskin (tai tietokoneohjelma) antaa virheellisen, puutteellisen tai kryptisen tuloksen, ei ole lieventävä asianhaara, että tulos on saatu laskimesta.  Kyseessä on käyttäjän vika. Oppilas ei ehkä heti usko tätä, mutta koulussa ollaan, jotta opitaan.

Lähinnä kai kaupallisista syistä laskimiin kehitetään mahdollisimman monia valmiita toimintoja mutkikkaiden valikoiden taakse. Tavoitteena sanotaan olevan oppimisen helpottaminen. Seurauksena on kuitenkin oppimisen suuntautuminen tietyn laskimen valikoiden opetteluun, ei matematiikkaan.  Tarjolla olevien työkalujen tulisikin olla primitiivejä, perustyökaluja, joita opiskelijan on kombinoitava matemaattisen ymmärryksensä mukaan.  Samalla astutaan luonnollisella tavalla ohjelmoinnin maailmaan: taitojen karttuessa kerätään primitiiveistä itse tehty paketti tiettyä tehtävää varten.  Edellytyksenä tietenkin on, että laskin tukee yksinkertaista, mutta selkeää ja ilmaisuvoimaista ohjelmakoodia.

Samaan tapaan kuin kirjallisuutta arvostellaan tai tekniikkaa testataan, olisi tarpeen arvioida koulumaailmaan tarjottuja laskimia, ohjelmistoja, opetuspaketteja yms. Tasapuolinen arvionti ilman henkilökohtaisia mieltymyksiä ei vain ole aivan pieni tehtävä.

Laskimien käyttö on painottunut hieman kummallisella tavalla: Niitä käytetään suhteellisen yksinkertaisiin perustehtäviin (jolloin kyllä opitaan tietoteknistä sorminäppäryyttä), mutta ne eivät useinkaan toimi siltoina laajempaan omaehtoiseen matemaattiseen kokeiluun ja pienimuotoiseen tutkimukseen. Ei ole opittu katsomaan yli koulukurssien eivätkä kaikki laskimet edes tue kovin hyvin tällaisia kokeiluja. Kaikki opiskelijat eivät varmasti matemaattiseen pohdiskeluun innostu, mutta ei toki tarvitsekaan.  Riittää, että jotkut innostuvat, heille tarjotaan mahdollisuus, ja muille syntyy periaatteellinen mielikuva matematiikasta koulukurssia laajempana työkaluna ja tieteenä.

Odottaisin matematiikan didaktikkojen paljon nykyistä voimakkaammin vastaavan tietotekniikan tuomaan haasteeseen. Kyseessä on muutos, jossa joudutaan miettimään uudelleen eksaktin, todistamiseen perustuvan matematiikan ja käytännöllisen tai kokeilevan, laskennallisen matematiikan välinen suhde.  Lisäpiirre tulee ohjelmoinnin opetuksesta: se on hyvä työkalu matematiikan opiskeluun, mutta kaikki ohjelmointi ei suinkaan ole matematiikkaa.  Ainakin Suomen ulkopuolelta kaipaamaani mielenkiintoa on toki löytynytkin: Varsin suurta suosiota saavuttanut GeoGebra on ymmärtääkseni peräisin opettajankoulutuslaitokselta. Muutakin vastaavaa lienee.

Maailma muuttuu eikä paluuta menneeseen ole. Tietotekniikka on tullut jäädäkseen eikä matematiikkakaan ole täysin entisensä. Meillä riittää opittavaa.

Aikansa taskulaskin

Curta säilytyskoteloineen

Kullakin aikakaudella on laskentavälineensä. Taskulaskimet tulivat 60- ja 70-lukujen vaihteessa ja elektroniikan aikakausi alkoi. Aluksi laskin oli ainoastaan numeerinen, peruslaskutoimitukset kattava, mutta varsin pian mukaan tulivat myös tavalliset alkeisfunktiot. Seuraava vaihe oli graafinen laskin, ja nykyään myös algebra onnistuu. Tämän päivän älypuhelimessa on kaikki tämä 70-luvun laskimen kokoisessa rasiassa ja lisäksi puhelin, televisio, musiikkisoitin ja verkkoselain.

Mutta ei taskuun mahtuvan laskimen historia alkanut elektronisten taskulaskimien tullessa. Jo 40-luvun lopulla valmistettiin Curtaa. Tämä on mekaaninen laskin, jonka osittain juutalaistaustainen vuonna 1902 syntynyt Curt Herzstark ideoi 1938 Wienissä ja suunnitteli yksityiskohtaisesti Buchenwaldin keskitysleirillä 40-luvun alkupuolella. Työ sallittiin, koska laitetta ajateltiin lahjaksi Hitlerille, kun sota olisi voitettu.  Herzstark selviytyi keskitysleiriltä, ja jo vuonna 1945 hän sai valmistutetuksi kolme toimivaa Curtaa.

Liechtensteinin ruhtinaan tuella laitteiden valmistus alkoi Liechtensteinissa Contina-yhtiössä ja ensimmäiset sarjatuotantokappaleet valmistuivat 1948. Curta on pienikokoinen myllyä muistuttava käsin pyöritettävä laskin yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolaskuun, todellinen insinööritaidon ja hienomekaniikan taidonnäyte. Myös alkeisfunktioiden arvojen laskemiseen on esitetty algoritmeja, ts. toimintaohjeita peruslaskutoimitusten tehokkaaseen kombinoimiseen.

Manuaalin esimerkki jakolaskun suorittamisesta

Aivan yksinkertaista Curtan käyttö ei ole. Edes kerto- tai jakolasku ei suju yhdellä kammen pyöräytyksellä. Yhtä nappia painamaan tottunut tämän päivän ihminen on ihmeissään. A6-kokoisessa manuaalissa neliöjuuren laskemista koskevaan esimerkkiin tarvitaan kolme ja puoli sivua.

Kovin laajaa ei Curtan käytöstä tullutkaan. Vuoteen 1972 mennessä valmistettiin noin 150000 Curtaa. Elektronisten laskimien tulo siirsi sen laskentavälineenä historiaan.

Samoihin aikoihin päättyi monen muunkin mekaanisen laskukoneen valmistus. Curta oli kuitenkin ainoa, joka mahtui taskuun. Hienomekaanisena taidonnäytteenä se kuitenkin on edelleenkin kiinnostava, ja Curtaa käsitteleviä verkkosivuja on monia. Sekä historiaa että tekniikkaa löytyy saksankielisistä sivustoista http://www.curta.de/ ja http://www.curta.li/.