Mietteitä pitkän matematiikan ylioppilaskokeesta

Entisenä ylioppilastutkintolautakunnan matemaatikkojäsenenä seuraan edelleen ainakin jonkinlaisella kiinnostuksella ylioppilaskokeita. Muutoksiahan on minun aikani jälkeen tapahtunut paljon. Tutkinto on digitalisoitu useallakin tavalla: tehtävissä on aiempaa monipuolisempia materiaaleja, käytetään erilaisia tietokoneohjelmistoja, kokeiden organisaatio perustuu aika laajaan tietotekniikan hyödyntämiseen.

Aktiivisesta työstä poisjääminen antaa usein mahdollisuuden katsella asioita hieman etäämmältä, kun akuutit ongelmat eivät enää kaadu päälle. Pohdin seuraavassa eräitä näkökulmia, vaikka osuutta tutkinnon kehittämiseen minulla ei olekaan.

Tavalliseen tapaan pitkän matematiikan koetta on pidetty vaikeana. Taktisista syistä koulukollektiivin kannattaa tietenkin olla tätä mieltä, toiveena saada seuraavalla kierroksella helpompi koe, ts. sama arvosana vähemmällä työllä. Jos kuitenkin yritän objektiivisesti arvioida koetta, en voi pitää sitä kovin vaikeana. Joukossa toki on vaikeita tehtäviä, mutta myös sellaisia, joista aika helposti voi kerätä pisteitä, vaikka tehtävän täydellinen ratkaisu ei onnistuisikaan. Näin minusta pitääkin olla.

Tehtävä 6 ratkaistuna GeoGebralla

Perinteisen laskemisen ja ohjelmistojen käytön välinen rajanveto tuntuu ongelmalliselta.  Tämä tulee esiin erityisesti tehtävässä 6, jossa annetaan paraabeli ja sen ulkopuolinen piste. On määrättävä ne paraabelin pisteet, joihin asetettu tangentti kulkee annetun pisteen kautta, ja annettua pistettä lähinnä oleva paraabelin piste sekä etäisyys tähän. Vastaukseksi kelpaavat myös likiarvot. Hyvin klassinen tehtävä ja hyvän vastauksen piirteissäkin on klassinen ratkaisu. Mutta tehtävä ratkeaa näppärästi myös GeoGebran funktioilla Tangentti, Etäisyys ja LähinPiste (Tangent, Distance, ClosestPoint), kuten yllä oleva kuva osoittaa. Muita kokeessa sallittuja ohjelmistoja minulla ei ole, joten en osaa sanoa, löytyykö niistäkin vastaavat työkalut.

Vaikka GeoGebraa käytettäessä ei tarvitsekaan laskea yhtään mitään, tehtävän hahmottaminen kyllä edellyttää jonkinlaisia matemaattisia perustietoja GeoGebran hallitsemisen lisäksi. Eri ratkaisutavat pohjautuvat kuitenkin hyvin erilaisiin matemaattisiin taitoihin. Tällöin joudutaan pohtimaan, mitä tehtävä oikeastaan mittaa. Halutaanko painottaa ohjelmistoihin perehtymisen tärkeyttä? Pitäisikö kokelaan perehtyä useisiin kokeessa tarjolla oleviin ohjelmistoihin, koska niissä saattaa olla tiettyyn tehtävään eritasoisia työkaluja? Näin, vaikka juuri näitä ohjelmistoja myöhemmissä opinnoissa tai elämässä yleensäkään ei enää käytettäisi? Taustalla on aika olennainen kysymys: Mitä varten matematiikkaa koulussa oikeastaan opetetaan? Mitä sen opetuksen pitäisi kattaa?

Olen aikoinani pitänyt tarpeellisena laskentavälineiden ja ohjelmistojen tuomista koulun matematiikan opetukseen. Samalla olen sanonut, että se edellyttää muutoksia monissa asioissa eikä muutos ole tämän takia helppo. Periaatteessa olen samaa mieltä edelleen, mutta muutos olisi pitänyt toteuttaa toisin, eikä missään tapauksessa yrittää digitalisoida ylioppilastutkintoa kaikissa suhteissa samaan aikaan. Ohjelmistot ovat ohjanneet opetusta liiaksi, eikä niiden kehitys aina ole edennyt hyvään suuntaan. GeoGebrakin oli lähtökohdiltaan hyvä, mutta minusta se on mennyt pilalle ominaisuuksien lisääntyessä. Eroonkaan siitä ei helposti enää päästä. (Onneksi olen eläkkeellä eikä minun tarvitse kirjoittaa muistiota asiasta.)

Ohjelmistojen käytön kannalta ongelmallisia ovat myös pitkän matematiikan kokeen tehtävät 8 (polynomien jakoalgoritmi), 11 (lukujono) ja 12 (geometrisen keskiarvon todennäköisyyksiä).  Polynomien jakolaskuun on GeoGebrassa valmis komento, jota kyllä tässä ei sanamuodon perusteella ilmeisestikään voi käyttää, mutta yleisemmin voi pohtia, miten tehtävien tulisi suhtautua tarjolla oleviin laskentatyökaluihin. Millaisia laskentatyökaluja tulisi oppia käyttämään? Lukujonotehtävässä raja-arvo on löydettävissä numeerisella rekursiivisella laskulla. Tällöin lasketaan likiarvoilla, mutta tulos tulee täysin selväksi. Riittäisikö tämä, kun kerran luotamme laskimeen monissa muissakin numeerisissa laskuissa?

Tehtävän 12 ratkaiseminen kaikki tapaukset taulukoimalla tai simuloinnilla on mielenkiintoinen avaus.  Millaisia ja miten näppäriä tapoja eri ohjelmistot tarjoavat tähän? Hyvän vastauksen piirteissä on annettu kaksi taulukkolaskentatiedostoa, joiden mielekkyyttä en oikein ymmärrä. Alla on vertailun vuoksi tiivis ratkaisu Mathematicalla, joka tosin ei ole kokeessa käytettäviä ohjelmistoja.

Tehtävän 12 jälkiosa ratkaistuna Mathematicalla

Ohjelmistojen käytöstä huolimatta kokeen on syytä mitata nimenomaan matematiikan osaamista, ei ohjelmistojen ehkä hieman eksoottistenkin piirteiden hallitsemista. En oikein usko, että tähän on muuta tietä kuin muotoilla tehtävänannot osoittamaan näkökulma, josta asiaa tulee tarkastella.  Joskus oli aika, jolloin saattoi luottaa siihen, että tehtävän ratkaiseminen osoitti myös tietyn matematiikan osaamista. Ohjelmistojen aikana tämä ei enää päde.

Lisää silmän huijaamisesta

Kirjoitin viimeksi kirjasta, jossa esiteltiin trompe l'œil -maalauksia ja -rakenteita Roomasta. Ei toki tarvitse mennä juuri Roomaan, vaan vastaavia ilmiöitä löytyy muualtakin, myös Suomesta. Helsingin elokuvateatteri Orionissa on kapeneva perspektiivinen käytävä samaan tapaan kuin Vatikaanissa.  Ehkä Vatikaanissa on komeampi; en kylläkään ole käynyt katsomassa. Helsingin Suomalaisen Yhteiskoulun (SYK) pihalla on Anssi Asunnan teos Valekuutio, joka panee ohikulkijan hieraisemaan silmiään. Tiedekeskus Heurekan ulkoseinältä löytyy myös samankaltaisia kuutioita, nekin Anssi Asunnan teoksia.

SYK:n valekuutio kaukaa ja läheltä

Mikä Valekuutiossa sitten hämää ja miksi käy näin? SYK:n kuutio sijaitsee piha-aukion laidassa.  Hieman etäämmällä kulkevasta näyttää, että kuutio kääntyy ja seuraa hänen kulkuaan. Jos hän pysähtyy, niin kuutiokin pysähtyy. Ja kun hän jatkaa kulkuaan, kuutio alkaa taas kiertyä. Lähemmäksi mennessä salaisuus paljastuu: kyseessä ei olekaan kuution muotoinen kappale, vaan ainoastaan yksi kuution nurkka sisältäpäin katsottuna. Mutta miksi katsoja tulee hämätyksi?

Geometrisista kappaleista on tapana piirtää mallikuvia, jotka ovat ns. aksonometrisia kuvia, ts.  muodostettu yhdensuuntaisprojektion avulla. Tällöin kappaleen yhdensuuntaiset suorat näkyvät kuvassakin yhdensuuntaisina. Ohessa on tällainen kuva kuutiosta, ns. rautalankamallista, ei massiivisesta kuutiosta. Sinisellä piirretyt särmät ovat katsojaan päin, punaiset katsojasta poispäin, ja kuutiota katsotaan yläviistosta. Mutta kuva on kaksikäsitteinen: yhtä hyvin voidaan ajatella, että kuutiota katsotaankin alaviistosta ja punaiset särmät ovat katsojaan päin, siniset takana. Useimmille ihmisille edellinen tulkinta dominoi. Syynä ehkä se, että olemme tottuneet katsomaan kuutioita yleensä vähän ylempää, emme alempaa.

Aksonometrinen ja perspektiivinen kuutio

Aksonometrinen kuution kuva näyttää herkästi hieman venähtäneeltä. Keskusprojektiolla muodostettu perspektiivikuva näyttää yleensä paremmalta. Syynä on, että niin silmä kuin kamerakin noudattaa keskusprojektiota (kohtalaisen tarkasti). Perspektiivikuvassa yhdensuuntaisten suorien kuvat eivät aina olekaan yhdensuuntaisia, vaan ne tähtäävät yhteiseen pakopisteeseen. Oheisessa kuvassa vaakasuorat ovat tällaisia, pystysuorat kyllä ovat yhdensuuntaisia (mikä ei olisi välttämätöntä).  Kaksitulkintaisuus ei tässä oikein toimi. Siniset särmät ovat katsojaan päin, punaiset takana.  Päinvastainen näyttää omituiselta. Tässäkin on kysymys oppimisesta: olemme tottuneet näkemään asiat säännöllisinä, ja jos punaiset viivat olisivat etualalla, kyseessä ei olisi säännöllinen kuutio.  Hylkäämme siis toisen tulkinnan.

Jos jätetään etualan särmät pois, saadaan kuva, jonka yleensä tulkitsemme kuution takaosan soppea esittäväksi. Jos se esittäisi katsojaan päin olevaa kuution kärkeä, olisivat vaakasuorien suuntien pakopisteet väärällä puolella, ja tämän takia tulkinta hylätään. Mutta katsojaahan voi huijata: Pidetään soppi muutoin ennallaan, mutta muutetaan hieman sen sivutahkoja. Veistetään niiden reunoista pois kolmionmuotoiset palat siten, että saadaan pakopisteet toiselle puolelle.  Sivutahkot eivät tällöin ole oikeastaan enää neliöiden kuvia, mutta tulos hahmotetaan säännöllisen kuution nurkaksi, jonka kärki on katsojaan päin.

Kuution soppi sisältäpäin ja pakopistesuunnat korjattuina

Valekuutiossa on tehty tämäntyyppinen konstruktio. Senkään sivutahkot eivät ole neliöitä, ja tämän takia se hahmotetaan ulkoapäin katsotuksi kuutioksi, vaikka se onkin vain soppi.

Toki Anssi Asunta ei ole jättänyt hämäystä vain tämän varaan. Sivutahkojen pinnat ja niissä olevat pintakäsittelyt vahvistavat hämäävää vaikutusta.

Viime aikoina paljon siteeratun sanonnan mukaan matematiikkaa on kaikkialla. Ehkei aivan kaikkialla, mutta aika yllättävissäkin paikoissa. Eikä aina ole suinkaan kyse modernista digitaalitekniikasta.

Projektiokuvista enemmän kiinnostuneelle lukijalle tarjoan kirjaani Perspektiivikuvan geometriset perusteet (http://www.elisanet.fi/simo.kivela/kirjat.html).

Silmän huijaaminen ja perspektiivin geometria

American Mathematical Society ja Mathematical Association of America ovat yhdessä julkaisseet viime vuonna kirjan Optical Illusions of Rome, jonka tilasin joulun alla.  Tekijä on matematiikan historiaa tutkinut Kirsti Andersen Aarhusin yliopistosta, ja teos on alunperin ilmestynyt tanskaksi. Aiheena ovat pääosin renessanssiaikaiset perspektiiviset seinäkuvat ja arkkitehtoniset rakenteet sekä niiden taustana oleva keskusprojektion — eli perspektiivikuvien — teoria. Kolmiulotteista projektiivista geometriaa siis.

Perspektiivikuvien piirtämisen lait selvitettiin renessanssiaikana. Monet taiteilijat ja arkkitehdit tekivät erilaisia perspektiivikokeiluja, ja asiaa tutkittiin myös geometrisesti. Erityisesti Albrecht Dürer (1471–1528) oli paitsi taiteilija myös geometrikko, ja hänen teoksensa Underweysung der messung mit dem zirckel und richtscheyt in Linien ebnen unnd gantzen corporen vuodelta 1525 on deskriptiivisen geometrian klassikko.

Perspektiivikuvan muodostaminen Dürerin teoksessa Underweysung ...

Perspektiivilakien tunteminen ja innostus kokeiluihin johti ns. trompe l'œil -illuusioiden konstruointiin.  Tavoitteena oli huijata silmää (ransk. tromper l'œil) luomalla vaikutelma tilasta, jota todellisuudessa ei ollut. Esimerkiksi huoneen seinään maalattiin perspektiivikuva, jossa pylväikön takaa aukeni avara näköala kauniiseen ympäristöön. Jos rakennusteknisistä (tai taloudellisista) syistä kirkon päälaivan päälle ei voitu rakentaa kupolia, kattoon maalattiin kupolin perspektiivikuva. Alla olevat kirjassa käsitellyt esimerkit ovat Roomasta, mutta vastaavia on toki tehty muuallakin.

Virtuaalinen takaseinä, Villa Farnesina, Sala delle prospettive,
Combusken (Wikimedia Commons) [CC BY-SA]

Virtuaalinen kupoli,Chiesa di Sant'Ignazio,
Jean-Christophe Benoist (Wikimedia Commons) [CC BY-SA]

Ongelmana oli, että periaatteessa perspektiivikuva näyttää oikealta vain katsottuna yhdestä ainoasta pisteestä, siitä projektiokeskuksesta, jota käyttäen kuva on muodostettu. Muualta katsottaessa kuva näyttää enemmän tai vähemmän vääristyneeltä. Ihmissilmä on kuitenkin niin tottunut katsomaan kuvia, että pienet vääristymät eivät häiritse, vaan aivot tulkitsevat kuvan parhain päin. Tästä huolimatta kuvien laatiminen edellytti perspektiivilakien tarkkaa tuntemista sekä taidokkaita valintoja ja kompromisseja.

Saatettiin toimia myös toisin päin. Seinälle maalattiin kuva, joka näytti omituiselta ja venähtäneeltä ja jonka hahmottaminen ei oikein onnistunut. Se oli kuitenkin oikein konstruoitu perspektiivikuva, mutta oikea katselupaikka on hieman sivussa yllättävässä paikassa. Tästä katsottuna kuva hahmottuu helposti.

Paitsi maalauksia — perspektiivikuvia — tehtiin myös kolmiulotteisia kokeiluja. Vatikaanissa on sisätiloihin johtava porraskäytävä (Scala Regia), joka vähitellen kapenee ja madaltuu ja jonka reunoilla olevat pylväät ovat yhä tiheämmässä. Seurauksena on vaikutelma mahtavammasta portaikosta kuin todellisuudessa on kyse. Paikassa ei myöskään olisi tilaa näyttävämmälle portaikolle.

Scala Regia -portaikko,
Sailko (Wikimedia Commons) [CC BY]

Portaikko on arkkitehti Gian Lorenzo Berninin suunnittelema, eikä sen geometrinen konstruktio ole aivan yksinkertainen.  Periaatteessa kyseessä on kollineaarinen kuvaus (kollineaatio) kolmiulotteisesta avaruudesta siihen itseensä.  Tässä suorat kuvautuvat suoriksi. Olemassa oleva portaikko on fiktiivisen kapenemattoman portaikon kollineaarinen kuva.

Andersenin kirja sisältää myös lyhyen ja selkeän johdatuksen perspektiivin geometriaan sekä muutamia harjoitustehtäviä. Jos lukija haluaa yksityiskohtaisemman esityksen, tällainen on olemassa myös suomeksi: Alan klassikko on Teknillisen korkeakoulun sovelletun matematiikan professorin E. J. Nyströmin kaksikielinen (painettu) moniste Perspektiivioppi – Perspektivlära vuodelta 1947. Tätä saattaa olla vaikeata löytää. Uudempi vaihtoehto on oma teokseni Perspektiivikuvan geometriset perusteet (http://www.elisanet.fi/simo.kivela/kirjat.html).

Neliulotteinen kuvaaja

Tavallisen reaalifunktion $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ kuvaaja muodostuu xy-tason pisteistä $(x,f(x))$, missä $x$ sijaitsee määrittelyjoukossa (tai siinä alueessa, jossa kuvaaja halutaan piirtää).  Kuvaaja asuu siis kaksiulotteisessa tasossa, kuten jokainen lukiolainen tietää.

Entäpä jos kyseessä olisikin kahden muuttujan funktio, jonka arvotkin ovat lukupareja, siis vaikkapa $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$, $f(x,y) = (x^2 - y^2, xy)$? Tällöin kuvaaja muodostuu pisteistä $((x,y),(x^2 - y^2, xy))$ tai hieman toisin kirjoitettuna $(x,y,x^2 - y^2, xy)$.  Nämä ovat neliulotteisen avaruuden pisteitä ja kuvaaja siis asuu neliulotteisessa avaruudessa.

Tällaisia funktioita ovat myös kompleksifunktiot: Jos $w = f(z)$ eli $u + iv = f(x + iy)$, ovat sekä $u$ että $v$ funktioita muuttujista $x$ ja $y$. Piste $(x,y)$ kuvautuu siis pisteeksi $(u,v) = (u(x,y),v(x,y))$ ja kuvaaja muodostuu pisteistä $(x,y,u(x,y),v(x,y))$. Tällainen on esimerkiksi kompleksinen eksponenttifunktio, joka yksinkertaisimmin määritellään seuraavasti: \[w = u + iv = \exp(z) = \exp(x + iy) = e^x (\cos(y) + i\sin(y)),\] jolloin \[u(x,y) = e^x \cos(y), \quad v(x,y) = e^x \sin(y).\]
Neliulotteinen avaruus ei ole kovin havainnollinen. Maailmamme on (tai ainakin näyttää olevan) kolmiulotteinen eikä ihmisellä ole ainakaan luonnostaan neliulotteista havaintokykyä tai mielikuvitusta. Voitaisiinko neliulotteisessa avaruudessa asuvaa kuvaajaa kuitenkin jotenkin havainnollistaa?

Kolmiulotteisen avaruuden asioista piirretään kaksiulotteisia kuvia. Matemaattisesti ajatellen tässä on kyseessä projektiokuvaus kolmiulotteisesta avaruudesta sopivasti asetettuun kaksiulotteiseen tasoon (kuvatasoon). Projektiokuvaus on yleensä joko keskusprojektio, jolloin syntyy perspektiivikuvia, tai yhdensuuntaisprojektio, jolloin syntyy ns. aksonometrisia kuvia.

Yhdensuuntaisprojektio on helpompi yleistää neliulotteiseen avaruuteen. Tällöin valitaan neliulotteisessa avaruudessa jokin projisiointisuunta, ts. yksiulotteinen aliavaruus, ja projisioidaan kohde — kuvaaja — tämän kolmiulotteiseen ortogonaalikomplementtiin, kuten lineaarialgebrikko sanoisi. Sitten hän muodostaisi projektiokuvaukselle matriisin. Projektiokuva on siten kolmiulotteisessa avaruudessa asuva pinta.

Laskenta on sen verran suuritöistä, että se on luontevaa tehdä sopivalla laskentaohjelmalla.  Näissä on yleensä myös valmiina työkalut kolmiulotteisen avaruuden objektien katseluun ja pyörittelyyn, jolloin pintaa on helppoa tarkastella kaksiulotteisella näytöllä.

Neliulotteista kuvaajaa voidaan tällöin tarkastella muuttamalla projisiointisuuntaa neliulotteisessa avaruudessa tai pyörittelemällä projektiona saatua pintaa kolmiulotteisessa avaruudessa.

Millaisia kuvia sitten saadaan ja miten helppoa niiden avulla on hahmottaa neliulotteista kuvaajaa? Aivan helppoa se ei ole. Ehkä neliulotteisuudesta ei oikein synny mielikuvaa, mutta projisiointisuuntaa vaihtamalla voidaan saada esiin erilaisia kuvaajan piirteitä.

Eksponenttifunktion tapauksessa kuvaajan pisteet neliulotteisessa avaruudessa ovat muotoa $(x,y,e^x \cos(y),e^x \sin(y))$. Muuttujat on oheisissa kuvissa rajattu ehdoilla $-3 \le x \le 3/2$, $-2\pi \le y \le 2\pi$. Laskenta on tehty Mathematicalla ja artikkelin alussa oleva kuva näyttää Mathematican tarjoaman työskentely-ympäristön. Tässä projektiosuunta annetaan säätimillä, jotka viittaavat neliulotteisen avaruuden pallokoordinaatteihin. Säätimien arvot ovat asteita. Kuvaan on lisätty myös neliulotteisen avaruuden akselit $x$, $y$, $u$ ja $v$.

Alla olevissa kuvissa projisiointisuunnaksi neliulotteisessa avaruudessa on valittu ensin x-akseli ja sitten y-akseli, jolloin nämä projisioituvat yhdeksi pisteeksi.

Valitsemalla projisiointisuunnat sopivasti saadaan alla oleva kuvapari, joka antaa hieman yleisemmin käytetyn tavan kuvata kompleksista eksponenttifunktiota: xy-tason suorakulmainen ruudukko kuvautuu uv-tasoon samakeskisiksi ympyröiksi.

Joulupukin liikenneympyrä ja Fredericus-tontun ongelma

Liikenne ja ruuhka joulupukin pajan edustalla oli siinä määrin lisääntynyt, että katsottiin välttämättömäksi rakentaa pajan eteen liikenneympyrä, jossa kuljettaisiin vain positiiviseen kiertosuuntaan. Lahjojen toimittamista varten joulupukilla oli myös lukuisia poroja ja moottorikelkkoja, joille tarvittiin pysäköintitilaa mahdollisimman läheltä pajan ulko-ovea.

Niinpä pajan oven eteen päätettiin rakentaa liikenneympyrä, jonka keskiympyrän halkaisija olisi 40 metriä.  Pysäköintipaikat päätettiin sijoittaa keskiympyrään, puolet ympyrän alasta poroille ja toinen puoli moottorikelkoille. Tarvittavan kaavamuutoksen saaminen kesti kauan eikä rakennustyökään ihan nopeasti sujunut. Kun ympyrä lopulta valmistui, pukin kuljetuskalusto oli siinä määrin motorisoitunut, että poroja oli jäljellä enää yksi. Kaavamääräykset olivat kuitenkin tiukat: poroille oli varattava tasan puolet keskiympyrän alasta.

Aitauksen rakentamista yhdelle ainoalle porolle ei enää pidetty taloudellisesti järkevänä, vaan poro päätettiin panna sopivan pituiseen liekaan, joka kiinnitettäisiin keskiympyrän reunaan. Liean pituus tuli määrätä siten, että poro pääsisi syömään jäkälää täsmälleen puolella ympyrän alasta eikä se voisi käydä pureskelemassa moottorikelkkojen satuloita tai muita maistuvia osia.

Joulupukki-konsernissa oli matemaattinen osasto, joka varsinaisesti vastasi lahjojen hinnoittelusta ja konsernin tulokseen liittyvistä laskelmista. Lisäksi sillä oli tilastomatemaattista asiantuntemusta mielipidekyselyjen analysointiin. Tarvittaessa sitä käytettiin muihinkin matemaattisiin tehtäviin.  Osasto sai tehtäväkseen selvittää liekanarun pituuden.

Osaston päämatemaatikko oli Stefanus Superbus -niminen tonttu, joka hallitsi erinomaisesti matemaattisten laskentaohjelmien käytön, mutta joka inhosi kynään tarttumista ja varsinkin paperia, ellei se tullut ulos tulostimesta. Osastolla omassa kammiossaan yleensä suljetun oven takana pohdiskeli matemaattisia ongelmia myös tonttu nimeltään Fredericus Minimus. Hän oli Stefanuksen täydellinen vastakohta: kulutti suunnattomasti paperia luonnosteluihin ja pohdiskeluihin ennen kuin kirjoitti lopullisen tiiviin esityksen pienellä ja selkeällä käsialalla. Teknisiin apuvälineisiin hän tarttui vain äärimmäisessä hädässä pahoinvointia tuntien. Kumpikin paneutui liekanaruongelmaan.

Stefanus kirjoitti keskiympyrän muotoon $x^2+y^2 = 1$, jolloin yksikkönä on keskiympyrän säde.  Liean kiinnityspisteeksi hän valitsi $(0,-1)$. Jos liean pituus on $r$, poro pääsee alueelle $x^2 + (y+1)^2 \le r^2$, jolloin keskiympyrän sisäpuolelle jäävän alueen ala saadaan integraalista
\[
\int_{-r\sqrt{1-r^2/4}}^{r\sqrt{1-r^2/4}} \left(-1+\sqrt{r^2-x^2}+\sqrt{1-x^2}\right)\,dx.
\]
Tässä tulee olla $0 \le r \le \sqrt{2}$. Laskentaohjelma antoi integraalille arvon
\[
-r\sqrt{1-r^2/4} + r^2 \mathrm{arccot}\left(\frac{r}{\sqrt{4-r^2}}\right) + \arcsin\left(r\sqrt{1-r^2/4}\right).
\]
Koska tämän tulee olla puolet keskiympyrän alasta eli $\pi/2$, on saatu yhtälö liean pituudelle.  Laskentaohjelman Newtonin iteraatio antoi nollakohdaksi $r = 1.1587\dots$. Koska keskiympyrän säde on 20 metriä, sai Stefanus liean pituudeksi noin 23.17 metriä.

Fredericus puolestaan piirteli kuvan, jossa poron laidunalueen puolikas muodostui kahdesta osittain päällekkäin olevasta sektorista keskipisteinä $K$ ja $P$. Yhteinen osa oli kolmio, ja Fredericus laski pinta-alan vähentämällä kolmion alan sektoreiden yhteispinta-alasta. Koko laidunalueen pinta-alaksi tuli tällöin
\[
\pi - r\sqrt{1-r^2/4} + (r^2 - 2)\arctan\left(\sqrt{4/r^2 - 1}\right).
\]
Tämän oli siis oltava puolet keskiympyrän alasta eli $\pi/2$. Ratkaisun olemassaolon Fredericus päätteli helposti, mutta lukuarvon laskemiseen hän joutui käyttämään taskulaskinta.  Tulokseksi tuli sama kuin Stefanuksella.

Liean pituus oli siis saatu selvitetyksi. Heräsi kuitenkin kysymys, olivatko saadut pinta-alan lausekkeet samat. Stefanus syötti lausekkeet laskentaohjelmaan ja pani ohjelman sieventämään niiden erotusta. Tulisiko tulokseksi 0? Ei tullut. Lauseke hieman yksinkertaistui, mutta se sisälsi edelleen molemmat funktiot $\arcsin$ ja $\arctan$. Jäi avoimeksi, voisiko tulosta sieventää edelleen.  Stefanus oli kuitenkin toiminnan tonttu: hän piirsi ohjelmalla kummankin lausekkeen kuvaajan, ja kun ne osuivat päällekkäin, totesi niiden olevan samat ja asian tulleen loppuun käsitellyksi.

Käsin laskuun luottava ja tarkkaa päättelyä arvostava Fredericuskin ryhtyi puuhaan ja vannoi selvittävänsä asian täsmällisesti ennen joulupuuron syöntiä. Aika kului ja joulu lähestyi.  Fredericuksen kammion lattia alkoi peittyä revittyihin suttupapereihin, ja hän pyysi lisää paperia.  Tuskanhiki nousi hänen otsalleen. Eikö käsin laskeminen johtaisikaan tulokseen ja jäisikö joulupuuro syömättä?

Jouluun on vielä muutama päivä. Osaisitko auttaa Fredericus-parkaa?

Mikä on suora?

Christophorus Clavius, Euclidis Elementa, 1574

Viime blogijutussani esittelin epäeuklidisen geometrian mallia, jossa suorina pidettiin ympyränkaaria, jotka kohtaavat erään rajaympyrän kohtisuorasti. Miksi tällaisia kutsutaan suoriksi, vaikka ne ovat kaarevia eivätkä suinkaan suoria?

Matematiikka on vanha tiede ja tässäkin on mentävä juurille yli kahden tuhannen vuoden taakse.  Antiikin kreikkalaisten suuri idea oli rakentaa geometriasta johdonmukainen järjestelmä. Lähtökohtina olivat yksinkertaiset käsitteet (määritelmät), niiden perusominaisuudet (postulaatit) ja päättelysäännöt (aksioomat). Postulaatteja kutsuttaisiin nykyään mieluummin aksioomiksi. Näihin pohjautuen esitettiin konstruktioita ja väittämiä (propositioita, teoreemoja), joiden tuli perustua joko lähtökohtiin tai aiemmin todistettuihin väittämiin. Kyseessä oli logiikkaan pohjautuva deduktiivinen päättely.

Oppijärjestelmän esitti Eukleides Aleksandrialainen noin vuonna 300 eaa. teoksessaan Στοιχεῖα (Stoikheia), latinaksi Elementa, suomeksi yleensä Alkeet (vaikkakaan se ei ole alkeisoppikirja vaan pikemminkin oppijärjestelmän perusteet). Teoksesta tuli geometrian oppikirja yli 2000 vuodeksi. Siitä on kirjoitettu useita toisistaan enemmän tai vähemmän poikkeavia versioita kommentaareineen. Vielä 1960-luvulla suomalaisen oppikoulun (peruskoulun yläkoulun ja lukion) geometrian kurssin pohjana oli Eukleideen geometria.

Viivan Eukleides määrittelee pituudeksi ilman leveyttä (määritelmä 2, Linea est longitudo sine latitudine).  Suora viiva eli suora taas on sellainen, joka on pisteidensä suhteen tasainen (määritelmä 4, Recta linea est quæ ex æquo sua interiacet puncta). Teoksen alkukieli oli tietenkin kreikka, joten olisi oikeampaa nojautua kreikankieliseen tekstiin. Tämäkin on kyllä saatavissa, esimerkiksi Dimitrios E. Mourmourasin verkkosivuilta. Latina on kuitenkin hieman helpommin ymmärrettävää, vaikka matemaatikko toki kreikkalaiset kirjaimet hallitseekin.  Teoksen latinankielisiä versioita (tai siihen pohjautuvia tekstejä) on vuosisatojen kuluessa julkaistu useita, esimerkiksi Carolus Malapertiuksen kommentoitu esitys vuodelta 1620.  Myös englanninkielinen versio löytyy.

Varsinkin suoran määritelmästä on Eukleideen esitystä noudattelevissa teoksissa esitetty erilaisia versioita. Mikään näistä ei oikeastaan ole määritelmä nykyaikaisessa mielessä vaan jonkinlainen kuvailu siitä, mitä tarkoitetaan: pisteidensä suhteen tasainen, pisteestä toiseen ulottuva, päätepiste varjostaa välipisteet (vrt. valonsäteeseen).

Historiallisesti mielenkiintoinen on viides postulaatti, joka muodostaa pohjan ns. paralleeliaksioomalle.  Latinankielisessä on hieman tavaamista: Et quod si ceciderit linea recta super duas lineas rectas, et fecerit in una duarum partium duos angulos interiores minores duobus rectis, ille due linee recte, quando in illam partem protrahentur, coniungentur. Englanninkielinen versio ehkä auttaa: That, if a straight line falling on two straight lines makes the interior angles on the same side less than two right angles, the two straight lines, if produced indefinitely, meet on that side on which are the angles less than the two right angles. Tästä seuraa paralleeliaksiooma sellaisena kuin se suomalaisissa geometrian kirjoissa yleensä on esitetty: Suoran ulkopuolella olevan pisteen kautta voidaan asettaa täsmälleen yksi sen suuntainen suora.

Viides postulaatti ei ollut yhtä yksinkertainen ja itsestään selvänä pidettävä kuin muut postulaatit, ja tuntui, että se (tai edellä oleva paralleeliaksiooman muotoilu) pitäisi voida todistaa muihin postulaatteihin perustuen, jolloin kyseessä olisikin teoreema eikä postulaatti. Tätä yritettiin vuosisatojen ajan onnistumatta. Vielä nykyäänkin tapaa aina silloin tällöin hieman originelleja matematiikan harrastajia, jotka pyrkivät todistamaan paralleeliaksiooman.

Asia ratkesi vasta 1800-luvun alkupuolella, jolloin venäläinen Nikolai Lobatševski ja unkarilainen Janos Bolyai toisistaan riippumatta esittivät geometrisen järjestelmän, joka toteutti muut postulaatit mutta ei paralleeliaksioomaa. Tämä osoitti, että paralleeliaksioomaa ei ollut mahdollista todistaa muiden postulaattien pohjalta. Intuitiivinen mielikuva suorasta oli tällöin kuitenkin hylättävä. Oli hyväksyttävä, että suora saattoi tarkoittaa muunkintyyppistä oliota, kunhan sillä vain oli suoran karakteristiset ominaisuudet, esimerkiksi se, että kaksi pistettä määrää suoran yksikäsitteisesti. Tällaisia geometrioita alettiin kutsua epäeuklidisiksi. Edellisen blogikirjoitukseni Poincarén malli on tällainen.

David Hilbert, Grundlagen der Geometrie, alku

Suoran määrittelyssä olevan epämääräisyyden poisti lopullisesti David Hilbert vuonna 1899 teoksessaan Grundlagen der Geometrie, jossa hän esitti geometrialle modernin aksiomatiikan. Lähtökohtana on kaksi objektijoukkoa, joista toisen olioita kutsutaan pisteiksi ja toisen olioita suoriksi. Näille määritellään ns. insidenssirelaatio, joka kertoo mikä piste sijaitsee milläkin suoralla. Lisäksi vaaditaan, että oliot (siis pisteet ja suorat) toteuttavat tietyt aksioomat. Nämä voidaan valita eri yhteyksissä eri tavoin, jolloin valinnasta riippuen saadaan erilaisia geometrioita. Siten esimerkiksi paralleeliaksiooman toteutuminen voidaan vaatia tai olla vaatimatta. Tämän kummallisemmin ei suoraa (eikä pistettä) määritellä tai luonnehdita. Epämääräisyys poistui jättämällä määrittely tekemättä!

Jonkinlainen ääriesimerkki geometriasta on Fanon taso, jossa on vain seitsemän pistettä ja seitsemän suoraa. Se voidaan havainnollistaa oheisella kuviolla, jossa suoria ovat kolmion sivut ja korkeusjanat sekä kolmion sisään piirretty ympyrä. Geometrian seitsemän pistettä on merkitty tavalliseen tapaan mustilla täplillä. Yhtä hyvin Fanon tason voisi esittää insidenssitaululla, jossa yläpuolen vaakarivillä ovat pisteet ja vasemman reunan pystyrivillä suorat. Taulukon täplä osoittaa pisteen kuulumista suoralle.

Epäeuklidiset GeoGebra ja Napoleon

Mustat suorat eivät kohtaa punaista suoraa, ts. ovat sen suuntaisia.

Vanhassa geometrian kirjassani (Kallio, Malmio, Geometria I, Otava 1954) esitellään paralleeliaksiooma muodossa Suoran ulkopuolella olevan pisteen kautta voidaan piirtää ainoastaan yksi sen suuntainen suora.  Tämän sanotaan olevan ns. euklidisen geometrian peruslauselmia, mutta sitä ei ole voitu todistaa. Sen jälkeen todetaan, että vastakohdaksi on kehitetty epäeuklidinen geometria, jossa lauselmaa ei käytetä ja monet paralleeliaksioomaan perustuvat väittämät saavat toisen muodon. Eikä sen enempää.

Muistan, että tämä teki hämmentävän vaikutelman. Usko paralleeliaksioomaan oli luja eikä tuntunut mitenkään järkevältä puhua mistään muunlaisesta tilanteesta. En tiedä, mitä nykyään koulussa sanotaan euklidisesta ja epäeuklidisesta geometriasta, mutta mahdollisuuksia konkretisointiin ainakin nykyään on paljon paremmin.

GeoGebra on hyvä ympäristö geometristen kuvioiden piirtelyyn ja geometristen totuuksien tutkimiseen.  On helppoa kokeilla, näyttäisikö jokin tulos olevan totta. Jos näyttää, voi lähteä etsimään todistusta.  Varsin lähellä on ajatus, että vastaavanlainen epäeuklidinen ympäristö voisi olla hyvinkin havainnollinen ja kiinnostava. Ajatuksen on maailmassa varmaankin sangen moni saanut ja epäeuklidisia ympäristöjä onkin tehty. Luultavasti paljonkin, mutta seuraavia kahta olen käyttänyt. Molemmissa on kyseessä hyperbolinen epäeuklidisen geometrian Poincarén malli:

GeoGebraan pohjautuva Poincare Disk for Hyperbolic Space, tekijänä Heather Pierce, https://www.geogebra.org/m/fUCCfAEj;

Javascript-pohjainen NonEuclid, tekijänä Joel Castellanos, https://www.cs.unm.edu/~joel/NonEuclid/NonEuclid.html.

Molemmat toimivat verkkoselaimessa, mutta myös omalle koneelle lataaminen on mahdollista.

Osoitteessa http://www.malinc.se/noneuclidean/en/index.php on Malin Christerssonin sivusto, jossa GeoGebraan pohjautuvan Poincarén mallin lisäksi on käsitelty mallin taustalla olevaa geometriaa ja GeoGebra-työkalujen muodostamista. Tiivistelmä aiheesta on Wikipedia-artikkelissa Hyperbolic Geometry, https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_geometry. Tämä on selvästi laajempi kuin vastaava suomenkielinen.

Poincarén epäeuklidisen geometrian mallissa geometrista tasoa vastaa vain kiinteän ympyrän sisäpuoli, ts. geometrian pisteitä ovat tämän rajaympyrän sisäpuolen pisteet. Geometrian suoria ovat rajaympyrän sisäpuolella olevat ympyränkaaret, jotka kohtaavat rajaympyrän kohtisuorasti. Näiden erikoistapauksena ovat rajaympyrän halkaisijat, joita voi ajatella rajaympyrän keskipisteen kautta kulkevina ääretönsäteisinä ympyränkaarina. Tällä tavoin määritellyillä suorilla on suorien tyypillinen ominaisuus: kaksi pistettä määrää suoran yksikäsitteisesti. (Ks. alussa olevaa kuvaa.)

Malliin voidaan määritellä myös sen oma metriikka, ts. tapa laskea kahden pisteen välinen etäisyys. Lauseke ei ole aivan yksinkertainen, mutta sillä on luontevat etäisyyden ominaisuudet: lyhin kahden pisteen välinen etäisyys saavutetaan pisteiden määräämää suoraa (siis ympyränkaarta) pitkin; minkä tahansa pisteen etäisyys rajaympyrästä on äärettömän suuri. Etäisyyden määrittely mahdollistaa geometrian omien ympyröiden muodostamisen: tällaisen kehä muodostuu niistä pisteistä, joiden etäisyys keskipisteestä on vakio. Osoittautuu, että tällainen Poincarén mallin ympyrä on ympyrä myös tavanomaisessa mielessä.

Yksikkösäteisiä ympyröitä, joiden keskipisteet ovat samalla suoralla.

 Kun suoria ja ympyröitä voidaan muodostaa — ts. käytettävissä ovat epäeuklidisen geometrian viivoitin ja harppi — voidaan tehdä kaikki tavanomaisen geometrian konstruktiot. Tämän jälkeen voidaankin kysyä, mitkä tavanomaisen euklidisen geometrian tulokset ovat voimassa epäeuklidisessa geometriassa tai ainakin Poincarén mallissa. Jätän lukijan ihmeteltäväksi ja kokeiltavaksi.

Napoleonin lause ei päde, kuten vihreät ympyrät osoittavat.
(Vrt. http://matta.hut.fi/matta/geogebra/Napoleon.html.)

Lupasin kerran ohjata muutamaa lukiolaista, jotka halusivat tehdä projektityön epäeuklidisesta geometriasta. Ongelmaksi muodostui aihepiirin laajuus. Lukiolaiset etsivät kaikenlaisia asiaan liittyviä verkkodokumentteja suhteellisuusteoriaa myöten, ja näitähän löytyy paljon. Yritin rajata aihetta, mutta en onnistunut rajoittamaan heidän intoaan eikä työ sitten valmistunutkaan. Projektityöt ovat hyvä ajatus, mutta vaativat usein aika tiukkaa ohjausta. Intoa ei toisaalta tietenkään pitäisi kahlita.