Eksponenttifunktiosta

Napierin logaritmeja koskevan teoksen kansilehti

Varsinaisen eksponenttifunktion $e^x$ kantalukua $e$ kutsutaan Neperin luvuksi skotlantilaisen matemaatikon John Napierin (1550–1617) mukaan. Neper oli hänen nimensä latinalaistettu muoto. Napier pyrki helpottamaan pitkien lukujen kertolaskua muuntamalla sen logaritmien yhteenlaskuksi. Tässä hän oleellisesti käytti eksponenttifunktiota esittämättä asiaa kuitenkaan näin. Myöskään nimeään kantavaan lukuun hän ei viittaa. Sen tunnisti merkittäväksi matemaattiseksi vakioksi Jacob Bernoulli (1655–1705) ja symbolin $e$ otti käyttöön Leonhard Euler (1707–1783).

Eksponenttifunktiota ja Neperin lukua käytti ainakin Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) vuonna 1691 julkaisemassaan ketjukäyrää — päistään kiinnitetyn vapaasti roikkuvan ketjun muotoa — koskevassa tutkimuksessaan. Tällöin hän myös laski varsin tarkan likiarvon Neperin luvulle.

Leibnizin muistiinpanoja Neperin luvun laskemiseksi

Ajan kuluessa tietämys eksponenttifunktion ominaisuuksista on lisääntynyt ja tavat sen määrittelyyn ovat hioutuneet. Edellisessä postauksessani esittelin neljä erilaista nykyään käytettyä tapaa määritellä eksponenttifunktio ja johtaa sen ominaisuudet määritelmästä lähtien. Voidaan kuitenkin menetellä myös toisinpäin: lähdetään funktion perusominaisuuksista ja katsotaan, millaiseen funktioon tällöin päädytään. Kun aikoinaan aloitin matematiikan opintoni Helsingin yliopistossa, eksponenttifunktiota tarkasteltiin näin, mikä oli minulle — lyhyen matematiikan lukiossa lukeneelle — hieman hämmentävää.

En muista tätä esitystä nähneeni pitkään aikaan missään muussa oppikirjassa kuin Juhani Pitkärannan teoksessa Calculus fennicus. Tämä on kooltaan amerikkalaisten calculus-kirjojen luokkaa oleva yli tuhatsivuinen opus, joka kuitenkin on tiukkaa asiaa eikä lainkaan amerikkalaisen tradition mukainen.  Suosittelen lämpimästi henkilölle, joka haluaa huolella perehtyä yliopistotasoiseen peruskurssimatematiikkaan.  Kirja on tehty Teknillisen korkeakoulun (sen otaniemeläisen) laajalle peruskurssille, mutta ei taida olla käytössä oppikirjana enää missään. Sääli. Fyysisen kirjan painos näyttää olevan lopussa, mutta sähköinen versio on olemassa.

Miten eksponenttifunktiota sitten tässä lähestytään?

Lähtökohtana ovat perusominaisuudet: \[ E(0) \neq 0, \quad E(x+y) = E(x)E(y) \] kaikilla reaalisilla $x$, $y$. Lisäksi vaaditaan, että $E$ on jatkuva ja derivoituva origossa. Muuta ei funktiosta $E$ tarvitsekaan olettaa.

Voi tietenkin kysyä, miksi juuri tällaiset perusominaisuudet eikä jotakin muuta. Nämä ovat kuitenkin luonnollisia ominaisuuksia fysikaalisille kasvu- ja vaimenemisongelmille, joten niistä on hyvä lähteä, jos tarkoituksena on sopivan matemaattisen työkalun luominen. Tämä tosin on jälkiviisautta, historiallisesti eksponenttifunktio ei ole syntynyt näin.

Lähtökohdista saadaan vaiheittain suhteellisen yksinkertaisilla laskuilla $E(0) = 1$ ja $E(x) > 0$ kaikilla reaalisilla $x$. Seuraavaksi osoitetaan, että $E$ on kaikkialla jatkuva ja sille saadaan lauseke $E(x) = b^x$, kun $x$ on rationaalinen ja $b = E(1)$. Funktio on aidosti kasvava tai aidosti vähenevä riippuen siitä, onko $b > 1$ vai $b < 1$. Koska $E$ on origossa derivoituva, on olemassa $E'(0) = a$.  Tästä seuraa helposti, että $E$ on kaikkialla derivoituva ja $E'(x) = a E(x)$.

Eksponenttifunktion karakteristiset ominaisuudet purkautuvat siis varsin helposti, mutta avoimeksi jää funktion olemassaolo. Vakiofunktio $E(x) = 1$ epäilemättä toteuttaa ehdot ja tällöin $b=1$, $a=0$.  Onkin hieman isompi työ osoittaa, että tämä ei ole ainoa mahdollisuus, vaan funktio on olemassa kaikilla vakion $b$ positiivisilla arvoilla. Jos erityisesti $b$ on Neperin luku, on $a = 1$ ja saadaan varsinainen eksponenttifunktio.

En mene yksityiskohtiin. Lukija löytää ne Juhani Pitkärannan kirjasta.

Tällainen eksponenttifunktion käsittely ei ole oppikirjoissa kovin yleinen ja tuskin sopii ensimmäiseksi näkökulmaksi aiheeseen. Kuitenkin se kertoo jotakin olennaista matemaattisen päättelyn luonteesta ja sellaisena on minusta paikallaan yliopistotason matematiikan opiskelijoille. Lukio-opettajan ja ehkä joidenkin oppilaidenkin näkemystä se saattaisi monipuolistaa tuomalla matematiikan uuteen valoon kaavakokoelma-ajattelun sijaan.

Eksponenttifunktion tarina ei pääty tähän, vaan sitä voidaan jatkaa vakion $b$ negatiivisiin arvoihin. Tällaisiahan monet matemaattiset ohjelmistot laskevat sujuvasti. Tällöin kuitenkin siirrytään siinä määrin uusille alueille, että en jatka tässä.