Onko 0 = 1 ?

Usein käytettyjä integroinnin työkaluja on osittaisintegrointi:
\[
\int u(x)v'(x)\,dx = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x)\,dx
\]
(ks. esim. Wikipediaa tai MathWorldia ).

Soveltamalla tätä funktioihin $u(x) = 1/x$ ja $v(x) = x$ saadaan
\[
\int \frac{1}{x} \cdot 1\,dx = \frac{1}{x} \cdot x - \int -\frac{1}{x^2} \cdot x\,dx
\]
eli
\[
\int \frac{1}{x}\,dx = 1 + \int \frac{1}{x}\,dx.
\]
Tässä integraalit kumoutuvat ja jäljelle jää $0 = 1$.

Kyseessä ei tunnetusti ole ainoa mahdollisuus yrittää todistaa, että $0 = 1$. Tällaisilla paradokseilla on merkityksensä: Emme suinkaan ala uskoa, että nolla ja ykkönen olisivat sama asia, jolloin päättelyssä täytyy olla jotakin vikaa. Tämän löytäminen saattaa hyvinkin opettaa jotakin uutta, panna ajattelemaan muutoin huomaamatta jääviä asioita. Jätän pohtimisen lukijalle.

Olen muutaman kerran esittänyt edellä olevan päättelyn luennoillani vain eräänä esimerkkinä osittaisintegroinnista ajoitettuna kaksoisluennon ensimmäisen tunnin loppuun, jolloin tulos tuli kuulijoille yllätyksenä. Poistuin tauolle. Sali jäi tuijottamaan hölmistyneenä eikä kenelläkään ollut kiirettä kahvijonoon. Tauon jälkeen asiaan toki oli syytä palata.