Alkeisgeometriaa ja kompleksilukuja

Yksikkösäteisen ympyrän kehälle asetetaan $n$ pistettä tasavälisesti.  Yksi pisteistä yhdistetään kaikkiin muihin, jolloin ympyrään syntyy $n-1$ jännettä. Mikä on näiden jänteiden pituuksien tulo?

Mikko Rahikan GeoGebra-sovelma (appletti) osoitteessa http://tube.geogebra.org/material/simple/id/92564 antaa aiheen arvella, että tulo olisi tasan $n$.

Varsin yksinkertainen geometrinen kuvio ja yksinkertaisen tuntuinen tulos, mutta miten sen voisi todistaa? Ja tietenkin, onko se näin?  Miten Eukleides olisi ongelmaa lähestynyt?

En tunne alkeisgeometrista todistusta, mutta tällainen voisi olla kiinnostava. Toivotan kommentin tervetulleeksi, jos joku lukijoista tuntee tai löytää todistuksen.

Kompleksiluvut tuovat usein mahdollisuuden todistaa geometrisia tuloksia, mutta aivan alkeellisina todistuksia ei voida pitää.  Ainakaan ne eivät olisi onnistuneet antiikin kreikkalaisille.  Tässäkin tapauksessa kompleksiluvuista on iloa:

Sijoitetaan ympyrä koordinaatistoon siten, että sen keskipiste on origossa ja erikoisasemassa oleva piste on $z_0 = (1,0)$ tai kompleksiluvuksi ajateltuna $z_0 = 1$. Muut pisteet ovat tällöin
\[
z_k = \cos(2k\pi/n) + i\sin(2k\pi/n), \quad k = 1,2,\dots,n-1.
\]
Jänteiden pituudet ovat $|z_k - z_0| = |1 - z_k|$, $k = 1,2,\dots,n-1$, ja näiden tulo
\[
\prod_{k=1}^{n-1}|1 - z_k| = \left|\prod_{k=1}^{n-1}(1 - z_k)\right|.
\]

Ympyrän kehällä olevat pisteet ovat luvun $1$ $n$:nnen juuren kaikki kompleksiset arvot, ts. polynomiyhtälön $z^n - 1 = 0$ ratkaisut.  Tällöin polynomi voidaan kirjoittaa muotoon
\[
z^n - 1 = (z - z_0)(z - z_1)\dots(z - z_{n-1}) = \prod_{k=0}^{n-1}(z - z_k).
\]
Jakamalla tekijällä $z - z_0$ ($= z - 1$) saadaan
\[
\frac{z^n - 1}{z - 1} = \prod_{k=1}^{n-1}(z - z_k).
\]
Vasen puoli voidaan tulkita geometriseksi summaksi, kun $z \neq 1$:
\[
\frac{z^n - 1}{z - 1} = 1 + z + z^2 + \dots + z^{n-1}.
\]
Tällöin
\[
\prod_{k=1}^{n-1}(z - z_k) = 1 + z + z^2 + \dots + z^{n-1}
\]
aina kun $z \neq 1$. Koska yhtälön kummallakin puolella on raja-arvo, kun $z \to 1$, täytyy raja-arvojenkin olla yhtä suuret. Siis
\[
\prod_{k=1}^{n-1}(1 - z_k) = n
\]
ja väite on saatu todistetuksi.

Mitä symbolilaskentaohjelmalta voi odottaa ja mitä ei?

Matematiikan opiskelussa on alettu käyttää symbolisia laskentaohjelmia.  Näiden käyttö ei kuitenkaan ole aina sitä, mitä äkkiseltään voisi odottaa.  Ohjelman antamat tulokset voivat näyttää yllättäviltä, jopa vääriltä verrattuna matematiikassa totuttuun. Onkin syytä ajatella, että ohjelma elää omaa elämäänsä, vaikka sillä toki onkin läheinen suhde matematiikkaan.

Symbolisella laskennalla on ohjelmoinnin luonne, ja tämän takia olisi parempi käyttää laskennan syötteissä ohjelmointikielen tyyppisiä komentoja ja funktioita traditionaalisen matemaattisen notaation sijasta, vaikka aloituskynnyksestä ehkä tuleekin korkeampi. Matematiikan notaatio ei myöskään ole yksikäsitteistä, vaan tarvitsee asiaa ymmärtävän ihmisen tulkintaa.  Esimerkiksi $a(b+c)$ saattaa tarkoittaa summan $b+c$ kertomista luvulla $a$ tai funktion $a$ arvoa argumenttina $b+c$.

Paitsi että syötteiden ajatteleminen ohjelmointikielenä korostaa matematiikan ja ohjelmalla tehdyn laskennan eroa, se myös auttaa eteenpäin: yksinkertaiset syötteet on helpompaa oppia laajentamaan usean komennon jonoiksi, ts. pieniksi ohjelmiksi. Ainakin jos ohjelmoinnin perusidea on tuttu.

Esitän seuraavassa joitakin esimerkkejä hieman yllättävistä tilanteista.  Nämä on laskettu Mathematicalla; pdf-muotoinen laskentadokumentti löytyy osoitteesta http://www.elisanet.fi/simo.kivela/blg/SymbLask.pdf .  Eri ohjelmat ovat erilaisia. Ilmiö, joka esiintyy yhdessä, ei ehkä esiinny toisessa. Kaikissa kuitenkin on jotakin yllättävää, mikä on osoitus symbolisen laskennan vaikeudesta: tuskin mikään algoritmi on täydellinen. Kyse voi myös olla tasapainoilusta täydellisyyden ja kohtuullisen laskenta-ajan välillä.

Jos joku on kiinnostunut ratkaisemaan samat esimerkit jollakin muulla ohjelmalla, julkaisen dokumentin mielelläni.

Neljännen asteen yhtälö

Jos yhtälöstä $ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0$ ratkaistaan $x$ symbolisella ohjelmalla, saadaan periaatteessa neljännen asteen yhtälön ratkaisukaavat.  Kertoimille voidaan sijoittaa numeeriset arvot joko yhtälöön tai ratkaisukaavoihin. Edellisessä tapauksessa ratkaisualgoritmia sovelletaan numerokertoimiseen yhtälöön, jälkimmäisessä vain sijoitetaan arvot valmiisiin lausekkeisiin.

Tulosten tietenkin pitäisi olla samat. Useimmiten näin toki onkin, mutta toisinkin voi käydä: Jos $a = 1$, $b = c = d = 0$ ja $e = -1$ ja nämä sijoitetaan yhtälöön, on ratkaistavana yhtälö $x^4 - 1 = 0$. Mathematica antaa oikean tuloksen $\pm 1$, $\pm i$. Ratkaisukaavoihin sijoittamalla saadaan neljään kertaan Indeterminate. Jos kertoimen $b$ arvoa hieman muutetaan, $b = 1/1000000$, molemmat tavat antavat saman oikean tuloksen.

Oikeastaan tilanne ei ole kovin kummallinen: eivät toisen asteen yhtälön ratkaisukaavatkaan toimi, jos $a = 0$.

Yliharmoninen sarja

Sarja $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}$ suppenee, jos $s > 1$ (jos kompleksiset arvot sallitaan, niin tulee olla $\mathrm{re}(s) > 1$).

Mikäli symbolinen ohjelma yleensä pystyy laskemaan sarjan summan, se saattaa antaa tulokseksi zeta(s). Kyseessä on Riemannin $\zeta$-funktio. Tapauksessa $s = 2$, on $\zeta(2) = \dfrac{\pi^2}{6}$, mikä on oikea sarjan summa. Tapauksessa $s = -1$ saataisiin sarjan summaksi $\zeta(-1) = -\dfrac{1}{12}$, jolloin siis luonnollisten lukujen summa olisi $1 + 2 + 3 + 4 + \dots = -\dfrac{1}{12}$.

Toimintoa on pidettävä virheellisenä. Summaan zeta(s) tulisi liittyä rajoitus $\mathrm{re}(s) > 1$. Riemannin $\zeta$-funktio on nimittäin näillä arvoilla määriteltävissä sarjan summana, mutta vaikka se muilla keinoilla voidaankin määritellä myös negatiivisella puolella, harmonistyyppisestä sarjasta sitä ei saada.

Syynä omituiseen summaukseen saattaa olla, että symbolisissa ohjelmissa usein esitetään tulos ns. yleisessä tapauksessa jättäen poikkeukselliset arvot huomiotta.  Tässä tapauksessa poikkeusarvoja on kuitenkin paljon.

Itseisarvoyhtälö

Yhtälön $|z - a| = |z - b|$ ratkaisuksi usein saadaan $z = \frac{1}{2}(a + b)$, mikä on tietenkin oikea tulos, mutta ei kata tapausta $a = b$. Tulos ei ole riittävä myöskään kompleksialueella, missä jokainen pisteitä $a$ ja $b$ yhdistävän janan keskinormaalin piste on ratkaisu.

Symbolisessa ohjelmassa saattaa olla yhtälön ratkaisemiseen tarkoitetun solve-funktion lisäksi jokin muu funktio tilanteen tarkempaa analyysia varten. Tämän avulla ehkä saadaan myös kompleksialueella pätevä ratkaisu, joka kuitenkin voi olla monimutkainen eikä kovinkaan helposti hahmotettavissa.

Trigonometrinen yhtälö

Yhtälöllä $\sin(x) = \sin(x + \frac{\pi}{5})$ on yksinkertainen ratkaisu $x = \frac{2\pi}{5} + n\pi$, mikä on käsinlaskulla helposti löydettävissä. Symbolinen ohjelma saattaa kuitenkin antaa monimutkaisempaa:
\[
x = \arctan\left(\frac{\sqrt{2(5 - \sqrt{5})}}{3 - \sqrt{5}}\right) + 2n\pi,
\quad
x = \arctan\left(\frac{\sqrt{2(5 - \sqrt{5})}}{3 - \sqrt{5}}\right) - \pi + 2n\pi.
\] Tulos on sinänsä oikea. Jos ohjelma pystyy sieventämään sen, päästään samaan kuin käsinlaskulla.

Miksi sitten näin monimutkaista? Yhtälön ratkaisualgoritmi varautuu paljon hankalampiinkin yhtälöihin eikä siten aina löydä optimaalista ratkaisutapaa. Hyvä ohje onkin yrittää sieventää, jos lauseke näyttää kovin mutkikkaalta. Tämä tosin voi johtaa huomattavan kauan kestävään laskentaan, mahdollisesti päättymättömään. Käyttäjän on syytä tietää, millä loputon laskenta voidaan katkaista.

Geometrista todistamista vai koodaamista

Olen eläkepäivinäni ryhtynyt opiskelemaan latinaa ja siten paikkaamaan sivistyksessäni ammottavaa aukkoa. Viime tunnilla minulla oli esitelmä — toki suomeksi — jonka aiheeksi valitsin Eukleideen Elementan. Alunperinhän se on kirjoitettu kreikaksi, mutta geometriaa on opetettu sen pohjalta vuosisatojen kuluessa käyttäen latinaksi kirjoitettuja kirjoja. Näitä pääsee nykyään myös helposti lukemaan: skannattuja verkkodokumentteja on paljon.

Vuonna 1620 Duacumissa (nykyään Douai Pohjois-Ranskassa) ilmestyneen jesuiitta Carolus Malapertiuksen kirjan nimilehdellä luvataan pyrkiä helpompaan omaksumiseen oheisen kuvan mukaisesti.  Ja sitten aloitetaan pudottamalla määritelmät opiskelijan ihmeteltäviksi (toinen kuva). Jäin miettimään, mitä tästä on aikakauden opiskelija mahtanut saada irti. Ehkä hän on lähinnä opetellut tekstit ulkoa. Eikä tästä kauhean paljon poikennut sekään geometrian opetus, jota itse nautin 50-luvulla, paitsi että kirja oli suomeksi.

Ulkoa opittu tieto on silti saattanut vähitellen kypsyä ymmärrykseksi ainakin osalla opiskelijoista. Tässä tietenkin on geometrian opetuksen idea: johdatus deduktiiviseen päättelyyn ja logiikkaan. Mistään välittömästi hyödynnettävästä työelämätaidosta ei koskaan ollut kyse. Poikkeuksena ehkä matematiikan opettajat.

Euklidisen geometrian opetus koulussa on jäänyt historiaan. Jotakin johdonmukaiseen ajatteluun ja logiikkaan johdattavaa kuitenkin kaivataan. Todistamisen opettaminen differentiaali- ja integraalilaskennan yhteydessä ei oikein toimi: joko tilanteet ovat opiskelijan näkökulmasta niin yksinkertaisia, että todistamiseen ei ole tarvetta, tai sitten olisi sukellettava niin syvälle reaalilukujen ja analyysin perusteisiin, että se ei lukiossa ole perusteltua. Mitä siis tilalle?

Uusissa opetussuunitelmissa tarjotaan ns. koodaamista. Puhuisin kuitenkin mieluummin ohjelmoinnista. Nimitys koodaaminen painottaa minusta liiaksi oikeaa syntaksia perusidean sijasta. Tietenkin syntaksi on tärkeätä, jos halutaan saada jotakin toimivaa, mutta sen oppiminen ei ole varsinainen tavoite. Ei tarkoitus ole opettaa työelämässä hyödynnettävää taitoa puhumattakaan peliteollisuuden edistämisestä. Tavoitteena on oppia kuvaamaan jokin rakenne johdonmukaisella tavalla ja ottamaan kokonaisuus hallintaan. Logiikan alkeet tulevat siinä sivussa. Yksinkertainen jakolaskuesimerkki alla.

Tällä tavoin ymmärrettynä koodaamisen tavoitteet rinnastuvat geometriseen päättelyyn tavalla, joka sopii tietotekniikkaa hyödyntävään maailmaan.  Opettajanakin tietokone on lahjomaton: jos koodi ei toimi, virhe on etsittävä ja korjattava.

Edellytyksenä on kuitenkin, että opetuksen varsinaista tavoitetta ei unohdeta.  Kyse on tietoteknisen aikakauden yleissivistyksestä, ei työelämävalmennuksesta eikä muutaman vuoden kuluttua unholaan siirtyvän syntaksin opettelusta.

Ellipsi ennen ja nyt

Opetin deskriptiivistä geometriaa 1970-luvulla Teknillisessä korkeakoulussa ja opin tuolloin käyttämään piirustuspöytään kiinnitettyä piirustuskonetta.  Jäätyäni eläkkeelle vuonna 2006 sain kotiini piirustuspöydän koneineen: sillä oli kiva leikkiä, vaikka työvälineenä se olikin jo vanhentunut. Nyt pöytä on palautettu museoesineeksi Aalto-yliopistoon, Teknillisen korkeakoulun seuraajaan.

Piirsin ja kiinnitin museopöytään tyypillisen deskriptiivisen geometrian konstruktion: Annettuna on suunnikas ja tehtävänä on piirtää tämän sisään ellipsi. Aksonometrisia kuvia (yhdensuuntaisprojektiokuvia) piirrettäessä ongelma esiintyy usein.  Kohteessa oleva ympyrä nimittäin näkyy kuvassa ellipsinä, ja yleensä on aika helppoa konstruoida ympyrää ulkopuolisesti sivuavan neliön kuva, joka on suunnikas. Sen sisään on sitten piirrettävä ellipsi.

Perinteinen ratkaisu etenee seuraavasti: Suunnikkaan (oheisessa kuvassa mustalla) vastakkaisten sivujen keskipisteiden yhdysjanat ovat ellipsin liittohalkaisijat.  Rytzin akselikonstruktion avulla voidaan tällöin konstruoida ellipsin akselit ja näiden avulla ellipsin sisältävä suorakulmio (kuvassa punaisella). Suorakulmion avulla muodostetaan ellipsin akseleiden päätepisteisiin liittyvät kaarevuusympyrät (vaaleanpunaisella), joiden avulla voidaan käsivaraisesti hahmotella ellipsi (sinivihreä katkoviiva) aika suurella tarkkuudella.

Kuva kylläkin on sikäli epärehellinen, että se on tehty modernilla työkalulla, GeoGebralla. (Avaa GeoGebra-dokumentti.)

Yksityiskohdista kiinnostuneelle lukijalle:

Rytzin akselikonstruktiossa liittosäteistä $KP$ ja $KQ$ toista kierretään 90 astetta keskipisteen $K$ ympäri; kuvassa tuloksena on $KQ'$. Piirretään ympyrä, jonka keskipiste on janan $PQ'$ keskipiste $M$ ja joka kulkee pisteen $K$ kautta.  Tämä leikkaa suoran $PQ'$ pisteissä $R$ ja $S$. Ellipsin akselisuunnat ovat $KR$ ja $KS$, puoliakselien pituudet $Q'R$ ja $Q'S$.

Kaarevuusympyröiden keskipisteet löydetään asettamalla suorakulmion lävistäjälle normaalit (vihreällä) kahdesta muusta kärjestä ja etsimällä näiden leikkauspisteet ellipsin akselisuorien kanssa.

Konstruktioiden pätevyyden päättelyn jätän lukijalle. Aivan helppoa se ei ole.

Perinteisen ratkaisun konstruominen GeoGebralla on tietenkin hieman näköalatonta.  Jos uusi työkalu tarjoaa uudet ja paremmat mahdollisuudet ongelman ratkaisemiseen, näitä toki pitäisi hyödyntää.  GeoGebrassa ellipsin saa muodostetuksi, jos tunnetaan polttopisteet ja yksi kehäpiste. Myös mikä tahansa kartioleikkaus (ellipsi, paraabeli, hyperbeli) voidaan muodostaa, kun tunnetaan sen viisi pistettä. Jätän lukijan pohdittavaksi, miten näitä voi näppärimmin hyödyntää piirrettäessä ellipsiä annetun suunnikkaan sisään.

Kaksi matematiikan oppikirjaa

Lueskelin kahta hyvin erilaista peruskoulun ja lukion taitteeseen suunnattua matematiikan oppikirjaa. Toinen taaksepäin katsova peruskoulun oppimäärän kertaus, sisältönä kaikki se, minkä lukion opettaja toivoisi lukiotulokkaiden osaavan. Toinen eteenpäin suuntaava yrittää antaa jonkinlaisen mielikuvan siitä, mitä matematiikka on, miksi se ehkä on mielenkiintoista ja miksi sitä kannattaa opiskella.

Edellinen on Paavo Jäppisen, Alpo Kupiaisen ja Matti Räsäsen Matematiikan linkki , kustantajana Otava, verkkokaupassa 22 euroa. Kyseessä on tiivis kertaus peruskoulumatematiikasta. "Linkki on oppikirja, joka kertaa peruskoulun matematiikan keskeiset aihepiirit ja valmentaa opiskelemaan matematiikkaa peruskoulun jälkeen. Linkki soveltuu johdantokurssiksi sekä lukion pitkään että lyhyeen matematiikkaan."

Toinen on Jukka Ilmosen Matematiikka on avain luontoon. Teksti on vapaasti saatavissa pdf-tiedostona, mutta sen voi tilata myös print-on-demand-periaatteella Amazon-yhtymän Create Space -palvelussa kustannettuna kirjana. Hinta tuntuu vaihtelevan erikoisella tavalla: hieman alle $200 (http://www.amazon.com/Matematiikka-avain-luontoon-Finnish-Edition/dp/1482763222) tai £3.50 (http://www.amazon.co.uk/Matematiikka-avain-luontoon-Jukka-Ilmonen/dp/1482763222).  Esittelytekstin mukaan kirja "antaa vastauksia kysymykseen miksi matematiikka ja luonnontieteet ovat tärkeitä. Siinä perustellaan miksi matematiikkaa ja luonnontieteitä pitää opiskella, vaikka laskimet onkin keksitty ja luonnontieteellistä tietoa voi hakea suoraan internetistä. Lisäksi kirjassa selvitetään miten matematiikka ja luonnontieteet ovat tekniikan kautta vaikuttaneet jokapäiväiseen elämäämme." Tekijä on opettanut Päivölän Kansalaisopiston matematiikkalinjalla ja kirja on syntynyt opettajien ja oppilaiden kanssa käytyjen pohdiskelujen pohjalta.

En esittele Jukka Ilmosen kirjaa tarkemmin, vaan viittaan Matti Lehtisen Solmussa julkaisemaan arviointiin.  Lukija voi myös itsekin helposti tutustua kirjaan lataamalla tiedoston.  Varsinaisia tekstisivujakaan ei ole enempää kuin 107.

Kirjat sijaitsevat monessa mielessä vaihteluvälin ääripäissä. Toinen on perinteisen kustantajan tuotantoa, toinen testaa uusia julkaisumahdollisuuksia.  Toinen on kokeneiden opettajien käsialaa, toisessa katsellaan asioita poikkeavista näkökulmista taustana matematiikkaan ja luonnontieteisiin painottuneet opinnot. Toisessa kerrataan matematiikkaa vakiintuneella, ehkä ikävystyttävälläkin tavalla, toisessa lennetään korkealla arkipäivä unohtaen.

Kummallakin on varmasti käyttönsä. Rautaisannos peruskoulun kertaamiseen on hyvä olla tarjolla. Kaiken ei kuitenkaan pidä tähdätä vain yksityiskohtien moitteettomaan osaamiseen, varsinkaan jos tämä tuo mukanaan kangistumisen 'ainoan oikean' ratkaisutavan esittämiseen. Ainoaan oikeaan ei sinänsä matematiikan oppikirjoissa tietenkään pyritä, mutta tavaksi tullut esitystyyli johtaa tähän: esimerkki, perässä ratkaisu, toki joskus harvoin myös vaihtoehto.  Houkutus opetella ratkaisutapa ulkoa on suuri, sillähän saa kokeessa täydet pisteet. Mihin unohtuu ajattelu?

Taivaanrantaa maalaava esitys on herkästi tasapainoton ja valituista näkökulmista voi olla eri mieltäkin. En pitäisi tätä kuitenkaan haittana, jos asioita myös pohditaan kirjan lukijan kanssa. Avara näkemys on kiistatta innostavampi kuin mahdollisimman hyvään koesuoritukseen keskittyvä. Lukiota aloittavalle opiskelijalle suosittelisin empimättä mieluummin Ilmosen kirjaa kuin Linkkiä. Jos innostus herää, mahdolliset puutteet peruskoulun oppimäärän osaamisessa eivät ole ongelma.

Moderni julkaisutapa tuo kuitenkin hieman vaikeuksia. Jos kirjan haluaisi antaa lahjaksi, ei oikein tunnu tyyliin sopivalta antaa vain nettiosoite. Fyysisen kirjan hankkiminen on ongelmallista: parikymmentä euroa voisin maksaa, mutta en kyllä lähes kahta sataa. Markkinoinnilla ja jakelulla on merkityksensä. Vai onko jokin kohtuullinen kanava, jota en ole huomannut? Ilmosen kirja olisi tällaisen arvoinen.

Matematiikan tylsyys?

Johduin selaamaan lukion matematiikan kirjaa: pitkän matematiikan kurssi 7, derivaatta. Tuotti jälleen jonkinlaisen järkytyksen, vaikka en voikaan sanoa, etten olisi aikaisemminkin selannut ja kummastellut silloinkin. Onko todella niin, että matematiikka pitää välttämättä saada näyttämään mahdollisimman tylsältä ja hyödyttömältä? En kerro kustantajaa, koska arvelen, että erot kustantajien välillä eivät ole suuria.

Tällaiseen näkemykseenhän herkästi törmää, kun keskustelu humanistin, juristin, yhteiskuntatieteilijän tai jonkun ns. tavallisen ihmisen kanssa kääntyy matematiikkaan. Heillä ei yleensä ole lukiota enempää matemaattista koulutusta, joten mielikuva on peräisin omalta lukioajalta. Kirjaa selattuani en ihmettele käsityksen syntyä.

Yleisenä rakenteena lukion matematiikan kirjoissa näyttää olevan lukuisien esimerkkien tarjoaminen lyhytsanaisen asian esittelyn jälkeen. Esittelyssä ei yleensä viitata siihen ajatusmaailmaan, josta käsitteet ovat syntyneet. Havainnollistuksia voi olla, mutta usein näitä leimaa keinotekoisuus ja sekavuus, jonka epäilen hämmentävän enemmän kuin selittävän. Esimerkkien hengen pelkään olevan 'ethän tätä kuitenkaan ymmärrä, mutta laske näin sitten ylioppilaskokeessa'. Opetetaan rutiineja ja apinointia, mutta ei ajattelua.

Kyseessä on pedagoginen valinta, jota en ymmärrä. Voi olla, että ajattelun oppiminen ei ole helppoa, mutta tähän tulisi kuitenkin tähdätä. Kaikki eivät opi kaikkea, eikä kaikkien tarvitse oppia matematiikkaa kovin hyvin. Oikea mielikuva, vaikka puutteellinenkin, tulisi kuitenkin saada. Väärä mielikuva täydennettynä nopeasti unohtuvilla ulkoa opituilla rutiineilla ei ole paljonkaan arvoista.

Toinen pedagoginen valinta, jota myöskään en ymmärrä, on kirjan lopussa oleva sangen monen sivun kertausjakso, jossa asiat käydään uudelleen lävitse. Tämähän on viesti, että asioita ei oikeastaan tarvitse opetella silloin kun ne esitetään. Kurssin lopussa — ja ehkä myöhemminkin — ne kuitenkin tarjoillaan kertauksena. Eikö opiskelun pitäisi olla sitä, että oppija rakentaa itselleen mielikuvan asiasta, ja kun sitä ei kuitenkaan kerralla omaksu, on itse palattava aiempaan esitykseen ja kerrattava asia, tarvittaessa monta kertaa. Vastuu siirtyy oppijalle, joka toki tarvitsee ohjausta ja tukea, mutta samalla oppii kirjallisuuden käyttämisen alkeet: etsi kirjasta, nykyään myös verkosta, ja sulata löytämäsi.

Lukuisat esimerkit ja laaja kertaus tekevät kirjasta paksun ja siten synnyttävät herkästi mielikuvan kurssin vaikeudesta. Samalla tavoin vaikuttaa kummallinen pyrkimys esittää samankaltaiset asiat erillisinä: derivaattakurssissa pohditaan erikseen rationaalifunktion, funktion yleensä ja polynomifunktion kulkua merkkikaavioineen. Kyseessähän on yleensä funktion kulku, jota on luontevaa havainnollistaa kuvaajalla. Merkkikaavioistakin voi olla iloa, mutta tiedettä ei niistä kannata kehittää. Karsimiselle olisi sijaa.

Osittain ongelmat aiheutuvat opetussuunnitelmasta, jossa edetään aika pitkälle, ilman että tunnetaan muita funktioita kuin polynomit ja rationaalifunktiot. Seurauksena on mm. raja-arvokäsitteen tietynlainen trivialisoituminen: rajoitutaan yksinkertaisiin tapauksiin, joita varten käsitettä ei oikeastaan tarvita. Mitään $\sin(x)/x$- tai $(1+1/n)^n$-tyyppistä tapausta ei vielä voida ottaa esiin. Ajattelevan lukiolaisen oikeastaan pitäisikin kysyä, mitä järkeä koko käsitteessä on.

Kaikkiaan syntyy käsitys, että lukiomatematiikasta on kadonnut idea: opetussuunnitelmassa asiat ovat väärässä järjestyksessä, kirjat ovat toivottoman laajoja ja osittain sekavia, eivät innosta matematiikkaan eivätkä ohjaa tulokselliseen opiskeluun. Ikävä lisäksi todeta, että peruskoulua tuntevat sanovat matematiikan opetuksen rappeutuneen sielläkin.

Kun nyt olen ihmettelemään ruvennut, niin ihmettelen vielä opettajiakin: onko todella niin, että yliopistokoulutuksen saanut opettaja tarvitsee oppikirjan, joka on samalla tuntisuunnitelma, aukeama tuntia kohden. Eikö opettajan pitäisi rakentaa tuntinsa itse? Tulisi paremmin sisäistettyä jälkeä. Kustantaja katsoo vain omaa myyntiään eikä ota sitä riskiä, mitä poikkeavan näkökulman tarjoaminen merkitsisi. Luovutammeko siis vai olisiko jonkinlaisen terästämisen paikka?

Onko 0 = 1 ?

Usein käytettyjä integroinnin työkaluja on osittaisintegrointi:
\[
\int u(x)v'(x)\,dx = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x)\,dx
\]
(ks. esim. Wikipediaa tai MathWorldia ).

Soveltamalla tätä funktioihin $u(x) = 1/x$ ja $v(x) = x$ saadaan
\[
\int \frac{1}{x} \cdot 1\,dx = \frac{1}{x} \cdot x - \int -\frac{1}{x^2} \cdot x\,dx
\]
eli
\[
\int \frac{1}{x}\,dx = 1 + \int \frac{1}{x}\,dx.
\]
Tässä integraalit kumoutuvat ja jäljelle jää $0 = 1$.

Kyseessä ei tunnetusti ole ainoa mahdollisuus yrittää todistaa, että $0 = 1$. Tällaisilla paradokseilla on merkityksensä: Emme suinkaan ala uskoa, että nolla ja ykkönen olisivat sama asia, jolloin päättelyssä täytyy olla jotakin vikaa. Tämän löytäminen saattaa hyvinkin opettaa jotakin uutta, panna ajattelemaan muutoin huomaamatta jääviä asioita. Jätän pohtimisen lukijalle.

Olen muutaman kerran esittänyt edellä olevan päättelyn luennoillani vain eräänä esimerkkinä osittaisintegroinnista ajoitettuna kaksoisluennon ensimmäisen tunnin loppuun, jolloin tulos tuli kuulijoille yllätyksenä. Poistuin tauolle. Sali jäi tuijottamaan hölmistyneenä eikä kenelläkään ollut kiirettä kahvijonoon. Tauon jälkeen asiaan toki oli syytä palata.