Joulupukin liikenneympyrä ja Fredericus-tontun ongelma

Liikenne ja ruuhka joulupukin pajan edustalla oli siinä määrin lisääntynyt, että katsottiin välttämättömäksi rakentaa pajan eteen liikenneympyrä, jossa kuljettaisiin vain positiiviseen kiertosuuntaan. Lahjojen toimittamista varten joulupukilla oli myös lukuisia poroja ja moottorikelkkoja, joille tarvittiin pysäköintitilaa mahdollisimman läheltä pajan ulko-ovea.

Niinpä pajan oven eteen päätettiin rakentaa liikenneympyrä, jonka keskiympyrän halkaisija olisi 40 metriä.  Pysäköintipaikat päätettiin sijoittaa keskiympyrään, puolet ympyrän alasta poroille ja toinen puoli moottorikelkoille. Tarvittavan kaavamuutoksen saaminen kesti kauan eikä rakennustyökään ihan nopeasti sujunut. Kun ympyrä lopulta valmistui, pukin kuljetuskalusto oli siinä määrin motorisoitunut, että poroja oli jäljellä enää yksi. Kaavamääräykset olivat kuitenkin tiukat: poroille oli varattava tasan puolet keskiympyrän alasta.

Aitauksen rakentamista yhdelle ainoalle porolle ei enää pidetty taloudellisesti järkevänä, vaan poro päätettiin panna sopivan pituiseen liekaan, joka kiinnitettäisiin keskiympyrän reunaan. Liean pituus tuli määrätä siten, että poro pääsisi syömään jäkälää täsmälleen puolella ympyrän alasta eikä se voisi käydä pureskelemassa moottorikelkkojen satuloita tai muita maistuvia osia.

Joulupukki-konsernissa oli matemaattinen osasto, joka varsinaisesti vastasi lahjojen hinnoittelusta ja konsernin tulokseen liittyvistä laskelmista. Lisäksi sillä oli tilastomatemaattista asiantuntemusta mielipidekyselyjen analysointiin. Tarvittaessa sitä käytettiin muihinkin matemaattisiin tehtäviin.  Osasto sai tehtäväkseen selvittää liekanarun pituuden.

Osaston päämatemaatikko oli Stefanus Superbus -niminen tonttu, joka hallitsi erinomaisesti matemaattisten laskentaohjelmien käytön, mutta joka inhosi kynään tarttumista ja varsinkin paperia, ellei se tullut ulos tulostimesta. Osastolla omassa kammiossaan yleensä suljetun oven takana pohdiskeli matemaattisia ongelmia myös tonttu nimeltään Fredericus Minimus. Hän oli Stefanuksen täydellinen vastakohta: kulutti suunnattomasti paperia luonnosteluihin ja pohdiskeluihin ennen kuin kirjoitti lopullisen tiiviin esityksen pienellä ja selkeällä käsialalla. Teknisiin apuvälineisiin hän tarttui vain äärimmäisessä hädässä pahoinvointia tuntien. Kumpikin paneutui liekanaruongelmaan.

Stefanus kirjoitti keskiympyrän muotoon $x^2+y^2 = 1$, jolloin yksikkönä on keskiympyrän säde.  Liean kiinnityspisteeksi hän valitsi $(0,-1)$. Jos liean pituus on $r$, poro pääsee alueelle $x^2 + (y+1)^2 \le r^2$, jolloin keskiympyrän sisäpuolelle jäävän alueen ala saadaan integraalista
\[
\int_{-r\sqrt{1-r^2/4}}^{r\sqrt{1-r^2/4}} \left(-1+\sqrt{r^2-x^2}+\sqrt{1-x^2}\right)\,dx.
\]
Tässä tulee olla $0 \le r \le \sqrt{2}$. Laskentaohjelma antoi integraalille arvon
\[
-r\sqrt{1-r^2/4} + r^2 \mathrm{arccot}\left(\frac{r}{\sqrt{4-r^2}}\right) + \arcsin\left(r\sqrt{1-r^2/4}\right).
\]
Koska tämän tulee olla puolet keskiympyrän alasta eli $\pi/2$, on saatu yhtälö liean pituudelle.  Laskentaohjelman Newtonin iteraatio antoi nollakohdaksi $r = 1.1587\dots$. Koska keskiympyrän säde on 20 metriä, sai Stefanus liean pituudeksi noin 23.17 metriä.

Fredericus puolestaan piirteli kuvan, jossa poron laidunalueen puolikas muodostui kahdesta osittain päällekkäin olevasta sektorista keskipisteinä $K$ ja $P$. Yhteinen osa oli kolmio, ja Fredericus laski pinta-alan vähentämällä kolmion alan sektoreiden yhteispinta-alasta. Koko laidunalueen pinta-alaksi tuli tällöin
\[
\pi - r\sqrt{1-r^2/4} + (r^2 - 2)\arctan\left(\sqrt{4/r^2 - 1}\right).
\]
Tämän oli siis oltava puolet keskiympyrän alasta eli $\pi/2$. Ratkaisun olemassaolon Fredericus päätteli helposti, mutta lukuarvon laskemiseen hän joutui käyttämään taskulaskinta.  Tulokseksi tuli sama kuin Stefanuksella.

Liean pituus oli siis saatu selvitetyksi. Heräsi kuitenkin kysymys, olivatko saadut pinta-alan lausekkeet samat. Stefanus syötti lausekkeet laskentaohjelmaan ja pani ohjelman sieventämään niiden erotusta. Tulisiko tulokseksi 0? Ei tullut. Lauseke hieman yksinkertaistui, mutta se sisälsi edelleen molemmat funktiot $\arcsin$ ja $\arctan$. Jäi avoimeksi, voisiko tulosta sieventää edelleen.  Stefanus oli kuitenkin toiminnan tonttu: hän piirsi ohjelmalla kummankin lausekkeen kuvaajan, ja kun ne osuivat päällekkäin, totesi niiden olevan samat ja asian tulleen loppuun käsitellyksi.

Käsin laskuun luottava ja tarkkaa päättelyä arvostava Fredericuskin ryhtyi puuhaan ja vannoi selvittävänsä asian täsmällisesti ennen joulupuuron syöntiä. Aika kului ja joulu lähestyi.  Fredericuksen kammion lattia alkoi peittyä revittyihin suttupapereihin, ja hän pyysi lisää paperia.  Tuskanhiki nousi hänen otsalleen. Eikö käsin laskeminen johtaisikaan tulokseen ja jäisikö joulupuuro syömättä?

Jouluun on vielä muutama päivä. Osaisitko auttaa Fredericus-parkaa?

Kumpi on vaikeampaa: määritelmän tekeminen vai teoreeman todistaminen?

Matemaatikon tehtävä nähdään toisinaan lauseiden eli teoreemojen todistamiseksi. Joku on antanut määritelmät ja formuloinut lauseet, minkä jälkeen matemaatikko todistaa ne. Pätee ehkä koulussa ja ylioppilaskokeessa, matematiikkakilpailuissa, mutta vaativampi tehtävä voi hyvinkin olla luoda järkeviä määritelmiä ja formuloida lauseita tai otaksumia, jotka osoittautuvat paikkansapitäviksi.

Lukija voi vaikkapa pohtia — ellei ennestään tiedä — miksi kakkonen määritellään alkuluvuksi, mutta ykköstä ei. Toisena esimerkkinä puolisuunnikkaan määritelmä.

Esitän seuraavassa hieman mutkikkaamman asetelman lukijan ihmeteltäväksi. Ne lukijat, jotka tietävät, mistä on kyse, vaietkoot, jotta ei pilata muiden iloa liian aikaisin. Lähteitä toki saa käyttää, mutta asiasta tietävät älkööt kavaltako avainsanoja.

Siis: Olkoon $\delta$ reaaliakselilla määritelty funktio, jolle pätee $\delta(x) = 0$, kun $x \neq 0$. Origossa funktion arvo on niin vahvasti ääretön, että
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x)\,dx = 1.
\]

Ja sitten pohtimaan:

Mitä on $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\delta(x)\,dx\,$?

Entä $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\delta(x-1)\,dx\,$?

Miten nämä integraalit oikein tulisi ymmärtää? Ja ovatko ne edes integraaleja? Lausuma 'niin vahvasti ääretön, että ...' ei kuulosta oikein vakuuttavalta eikä matematiikkaan sopivalta.

Fyysikot kuitenkin laskevat tällaisilla integraaleilla ja saavat ihan järkeviä tuloksia. Mistä tässä voisi olla kyse? Mitä matemaatikko sanoisi?  Jonkinlaiseksi vihjeeksi alussa oleva kuva.

Ihmettelen

Ellipsi?

Runsas puolivuosisataa sitten — siis muinaisuudessa, silloin kun minä kävin koulua — oppikoulun matematiikan kaksi ensimmäistä vuotta olivat aritmetiikkaa, minkä jälkeen se jakaantui algebraan ja geometriaan. Nykykouluun tulkittuna kyse oli peruskoulun luokista 5–9 ja lukiosta.

Geometria oli ajatusmaailmaltaan kelpo Eukleideen oppien mukaista: deduktiivista päättelyä, jolla todistettiin geometriset tulokset eli teoreemat tai lauseet. Lisäksi hyödynnettiin algebraa Pythagoraan lauseeseen ja verrannollisuuteen perustuvissa yhteyksissä.  Algebran puolella käsiteltiin analyyttista geometriaa, ts. tutkittiin suoria ja eräitä käyriä xy-tasossa niiden yhtälöiden avulla.  Vektoreita ei lainkaan käsitelty.

Puolen vuosisadan kuluessa opetussuunnitelmat ovat muuttuneet useaan kertaan. Lyhyesti sanottuna Eukleideen mallin mukainen deduktiivinen päättely on siirtynyt historiaan, vektoreita on alettu opettaa, analyyttinen geometria on hieman supistunut, mutta muuten ennallaan.  Kyseessä ovat lukion kurssit 3, 4 ja 5. Näiden kirjoja olen viime päivinä selannut, peruskoulupuolesta en tiedä, mutta koko geometria näyttää siirtyneen lukioon.

Kirjoja selatessa tulee kuitenkin tunne, että isoista muutoksista huolimatta kokonaisuutta ei ole koskaan harkittu uudelleen.  Analyyttinen geometria ei ole muuta kuin vektorigeometrian komponenttimuoto, mutta tätä ei hyödynnetä, vaan kyseessä on kaksi eri asiaa. Monet geometriset tulokset formuloidaan edelleen lauseiksi, vaikka minkäänlaisesta deduktiosta ei ole kyse. Joitakin tuloksia todistetaan (puhuisin mieluummin niiden johtamisesta tai perustelemisesta), monet annetaan vain ilmoitusasioina.

Kokonaisuutta hämärtävät asiat, jotka oikeastaan kuuluisivat muuhun yhteyteen, mutta jotka täytyy käsitellä geometrian seassa, koska niitä tarvitaan. Esimerkkinä itseisarvot ja yhtälöryhmien ratkaiseminen.

Kirjojen selailu on tietenkin varsin pintapuolista asioiden tarkastelua, mutta on vaikeata välttyä käsitykseltä, että aikaa tuhlataan asioiden sekavaan käsittelyyn. Varsin ihmeellistä, kun lukiokursseja usein pidetään aika raskaina. Selkeämpi rakenne saattaisi auttaa opiskelijaakin asioiden hahmottamisessa.

Olisi kiinnostavaa tietää, miten geometriaa tai matematiikkaa yleensäkin opetetaan esimerkiksi Ruotsin, Saksan, Englannin, Ranskan tai Venäjän kouluissa.

Niin geometrian kuin muidenkin asioiden käsittelyä vaivaa oppikirjojen tarve asioiden puhkiselittämiseen. Opiskelijan oivalluksille ei anneta tilaa. Pyrkimyksenä on esittää jokaisesta asiasta yksityiskohtaisesti ratkaistu esimerkki. Syntyy tunne, että nämä pitää opetella ulkoa eikä muuta tarvita. Eikä kai kokeessa saisi muuta kysyäkään.

Kyse on tietenkin siitä, miksi matematiikkaa oikein opetetaan. Onko tarkoitus oppia ratkaisemaan tehtäviä, joita samassa muodossa ei koskaan enää tapaa? Onko tarkoitus oppia jonkinlaista johdonmukaista ajattelua?  Onko tarkoitus oppia ymmärtämään keinoja, joilla maailmaa paljolti hallitaan?

Oman lisämausteensa keittoon tuo digitalisaatio ja laskentatyökalujen käyttö: lisää detaljeja opittavaksi ohjelmista, joita ei koskaan myöhemmin käytetä. Silti laskentatyökalut ovat tämän aikakauden työkaluja kuten logaritmitaulut olivat runsas puoli vuosisataa sitten. Niiden käyttöön on syytä tottua, mutta oikea tapa niiden hyödyntämiseen ei löydy hetkessä.

Alkeisgeometriaa ja kompleksilukuja

Yksikkösäteisen ympyrän kehälle asetetaan $n$ pistettä tasavälisesti.  Yksi pisteistä yhdistetään kaikkiin muihin, jolloin ympyrään syntyy $n-1$ jännettä. Mikä on näiden jänteiden pituuksien tulo?

Mikko Rahikan GeoGebra-sovelma (appletti) osoitteessa http://tube.geogebra.org/material/simple/id/92564 antaa aiheen arvella, että tulo olisi tasan $n$.

Varsin yksinkertainen geometrinen kuvio ja yksinkertaisen tuntuinen tulos, mutta miten sen voisi todistaa? Ja tietenkin, onko se näin?  Miten Eukleides olisi ongelmaa lähestynyt?

En tunne alkeisgeometrista todistusta, mutta tällainen voisi olla kiinnostava. Toivotan kommentin tervetulleeksi, jos joku lukijoista tuntee tai löytää todistuksen.

Kompleksiluvut tuovat usein mahdollisuuden todistaa geometrisia tuloksia, mutta aivan alkeellisina todistuksia ei voida pitää.  Ainakaan ne eivät olisi onnistuneet antiikin kreikkalaisille.  Tässäkin tapauksessa kompleksiluvuista on iloa:

Sijoitetaan ympyrä koordinaatistoon siten, että sen keskipiste on origossa ja erikoisasemassa oleva piste on $z_0 = (1,0)$ tai kompleksiluvuksi ajateltuna $z_0 = 1$. Muut pisteet ovat tällöin
\[
z_k = \cos(2k\pi/n) + i\sin(2k\pi/n), \quad k = 1,2,\dots,n-1.
\]
Jänteiden pituudet ovat $|z_k - z_0| = |1 - z_k|$, $k = 1,2,\dots,n-1$, ja näiden tulo
\[
\prod_{k=1}^{n-1}|1 - z_k| = \left|\prod_{k=1}^{n-1}(1 - z_k)\right|.
\]

Ympyrän kehällä olevat pisteet ovat luvun $1$ $n$:nnen juuren kaikki kompleksiset arvot, ts. polynomiyhtälön $z^n - 1 = 0$ ratkaisut.  Tällöin polynomi voidaan kirjoittaa muotoon
\[
z^n - 1 = (z - z_0)(z - z_1)\dots(z - z_{n-1}) = \prod_{k=0}^{n-1}(z - z_k).
\]
Jakamalla tekijällä $z - z_0$ ($= z - 1$) saadaan
\[
\frac{z^n - 1}{z - 1} = \prod_{k=1}^{n-1}(z - z_k).
\]
Vasen puoli voidaan tulkita geometriseksi summaksi, kun $z \neq 1$:
\[
\frac{z^n - 1}{z - 1} = 1 + z + z^2 + \dots + z^{n-1}.
\]
Tällöin
\[
\prod_{k=1}^{n-1}(z - z_k) = 1 + z + z^2 + \dots + z^{n-1}
\]
aina kun $z \neq 1$. Koska yhtälön kummallakin puolella on raja-arvo, kun $z \to 1$, täytyy raja-arvojenkin olla yhtä suuret. Siis
\[
\prod_{k=1}^{n-1}(1 - z_k) = n
\]
ja väite on saatu todistetuksi.

Pisteitä tasaisesti pallopinnalle

Dimensio-lehden numeron 1/2013 pulmatehtävissä pitää sijoittaa $n$ pistettä tasavälisesti pallon pinnalle mahdollisimman kauas toisistaan. Arvoille 2, 3 ja 4 ratkaisu löytyy geometrisilla päättelyillä melko helposti, kuten Dimension sähköisen version eDimension artikkeli osoittaa. Tämä sisältää myös viitteen Edith Mooersin artikkeliin, jossa ongelmaa, ns. Tammesin tehtävää käsitellään yleisesti. Tammes oli hollantilainen kasvitieteilijä, joka vuonna 1930 esitti ongelman siitepölytutkimuksissaan.

Ei ole itsestään selvää, mitä pisteiden tasainen sijoittelu pallopinnalle tarkoittaa. Mooersin artikkelissa asetetaan varsin luonnollinen vaatimus: lyhimmän kahden pisteen välisen etäisyyden tulee olla mahdollisimman suuri. Tällöin pistekonfiguraation tulee olla sellainen, että se antaa funktiolle \[ \min_{i \neq j} d_{ij} \] maksimiarvon. Tässä $d_{ij}$ tarkoittaa $i$:nnen ja $j$:nnen pisteen välistä etäisyyttä ja minimi muodostetaan kaikkien pisteparien suhteen. Etäisyys puolestaan voidaan mitata joko suoraviivaisesti tai pallon pintaa pitkin.

Tämä ei kuitenkaan ole ainoa mahdollisuus. Voisi myös ajatella, että pisteet ovat identtisiä sähkövarauksia, jotka pääsevät vapaasti liikkumaan pallopinnalla. Ne hylkivät toisiaan ja pyrkivät siten sijoittumaan toisistaan mahdollisimman kauaksi. Tällöin systeemin kokonaispotentiaalin tulee olla mahdollisimman pieni, ts. konfiguraation tulee antaa minimiarvo funktiolle \[ \sum_{i \neq j} \frac{1}{d_{ij}}. \]
Jotakin muutakin voitaisiin tasaisuuden mittana käyttää.

Antavatko eri mittaustavat sitten kuitenkin samanlaiset tulokset? Eivät välttämättä. Esimerkiksi tapauksessa $n = 5$ kelpaa edellisessä vaihtoehdossa konfiguraatio, jossa kaksi pisteistä on pallon navoilla ja muut kolme päiväntasaajalla siten, että niiden välinen kaarietäisyys on vähintään 90° (vasemmanpuolinen kuva). Mahdollisia konfiguraatioita on siten äärettömän paljon. Jälkimmäisessä vaihtoehdossa päiväntasaajalla olevien pisteiden välisen kaarietäisyyden tulee olla 120°, jolloin ratkaisuja on vain yksi (oikeanpuolinen kuva).



Lukija voi kokeilla muitakin pisteiden lukumääriä verkkosivulla http://matta.hut.fi/webMathematica/matta/partikkelit.jsp, jossa laskentavälineenä on palvelimella toimiva Mathematica. (Edellytyksenä luonnollisesti on, että järjestelmä toimii, mikä ei aina ole niinkään selvää.)

Viitteessä http://mathpages.com/home/kmath005/kmath005.htm on selvitetty identtisten sähkövarausten sijoittuminen pallopinnalle tapaukseen $n = 32$ saakka. Voisi kuvitella, että mikäli varausten (pisteiden) määrä on sama kuin jonkin Platonin kappaleen kärkien määrä, ne asettuisivat tämän kappaleen mukaiseen asemaan. Näin ei kuitenkaan kaikissa tapauksissa ole.

Kiintoisan esimerkin pisteiden ainakin jossakin määrin tasaisesta sijoittamisesta pallopinnalle muodostavat radioastronomisten antennien suojakuvut, esimerkkinä Metsähovin suojakupu (siirry sivulla hieman alaspäin). Tiedossa ei ole, millä kriteerillä pisteiden paikat on tässä valittu.