Opetin deskriptiivistä geometriaa 1970-luvulla Teknillisessä korkeakoulussa ja opin tuolloin käyttämään piirustuspöytään kiinnitettyä piirustuskonetta. Jäätyäni eläkkeelle vuonna 2006 sain kotiini piirustuspöydän koneineen: sillä oli kiva leikkiä, vaikka työvälineenä se olikin jo vanhentunut. Nyt pöytä on palautettu museoesineeksi Aalto-yliopistoon, Teknillisen korkeakoulun seuraajaan.
Piirsin ja kiinnitin museopöytään tyypillisen deskriptiivisen geometrian konstruktion: Annettuna on suunnikas ja tehtävänä on piirtää tämän sisään ellipsi. Aksonometrisia kuvia (yhdensuuntaisprojektiokuvia) piirrettäessä ongelma esiintyy usein. Kohteessa oleva ympyrä nimittäin näkyy kuvassa ellipsinä, ja yleensä on aika helppoa konstruoida ympyrää ulkopuolisesti sivuavan neliön kuva, joka on suunnikas. Sen sisään on sitten piirrettävä ellipsi.
Perinteinen ratkaisu etenee seuraavasti: Suunnikkaan (oheisessa kuvassa mustalla) vastakkaisten sivujen keskipisteiden yhdysjanat ovat ellipsin liittohalkaisijat. Rytzin akselikonstruktion avulla voidaan tällöin konstruoida ellipsin akselit ja näiden avulla ellipsin sisältävä suorakulmio (kuvassa punaisella). Suorakulmion avulla muodostetaan ellipsin akseleiden päätepisteisiin liittyvät kaarevuusympyrät (vaaleanpunaisella), joiden avulla voidaan käsivaraisesti hahmotella ellipsi (sinivihreä katkoviiva) aika suurella tarkkuudella.
Kuva kylläkin on sikäli epärehellinen, että se on tehty modernilla työkalulla, GeoGebralla. (Avaa GeoGebra-dokumentti.)
Yksityiskohdista kiinnostuneelle lukijalle:
Rytzin akselikonstruktiossa liittosäteistä $KP$ ja $KQ$ toista kierretään 90 astetta keskipisteen $K$ ympäri; kuvassa tuloksena on $KQ'$. Piirretään ympyrä, jonka keskipiste on janan $PQ'$ keskipiste $M$ ja joka kulkee pisteen $K$ kautta. Tämä leikkaa suoran $PQ'$ pisteissä $R$ ja $S$. Ellipsin akselisuunnat ovat $KR$ ja $KS$, puoliakselien pituudet $Q'R$ ja $Q'S$.
Kaarevuusympyröiden keskipisteet löydetään asettamalla suorakulmion lävistäjälle normaalit (vihreällä) kahdesta muusta kärjestä ja etsimällä näiden leikkauspisteet ellipsin akselisuorien kanssa.
Konstruktioiden pätevyyden päättelyn jätän lukijalle. Aivan helppoa se ei ole.
Perinteisen ratkaisun konstruominen GeoGebralla on tietenkin hieman näköalatonta. Jos uusi työkalu tarjoaa uudet ja paremmat mahdollisuudet ongelman ratkaisemiseen, näitä toki pitäisi hyödyntää. GeoGebrassa ellipsin saa muodostetuksi, jos tunnetaan polttopisteet ja yksi kehäpiste. Myös mikä tahansa kartioleikkaus (ellipsi, paraabeli, hyperbeli) voidaan muodostaa, kun tunnetaan sen viisi pistettä. Jätän lukijan pohdittavaksi, miten näitä voi näppärimmin hyödyntää piirrettäessä ellipsiä annetun suunnikkaan sisään.
Ei kommentteja:
Lähetä kommentti