perjantai 27. marraskuuta 2015

Alkeisgeometriaa ja kompleksilukuja

Yksikkösäteisen ympyrän kehälle asetetaan $n$ pistettä tasavälisesti.  Yksi pisteistä yhdistetään kaikkiin muihin, jolloin ympyrään syntyy $n-1$ jännettä. Mikä on näiden jänteiden pituuksien tulo?

Mikko Rahikan GeoGebra-sovelma (appletti) osoitteessa http://tube.geogebra.org/material/simple/id/92564 antaa aiheen arvella, että tulo olisi tasan $n$.

Varsin yksinkertainen geometrinen kuvio ja yksinkertaisen tuntuinen tulos, mutta miten sen voisi todistaa? Ja tietenkin, onko se näin?  Miten Eukleides olisi ongelmaa lähestynyt?

En tunne alkeisgeometrista todistusta, mutta tällainen voisi olla kiinnostava. Toivotan kommentin tervetulleeksi, jos joku lukijoista tuntee tai löytää todistuksen.

Kompleksiluvut tuovat usein mahdollisuuden todistaa geometrisia tuloksia, mutta aivan alkeellisina todistuksia ei voida pitää.  Ainakaan ne eivät olisi onnistuneet antiikin kreikkalaisille.  Tässäkin tapauksessa kompleksiluvuista on iloa:

Sijoitetaan ympyrä koordinaatistoon siten, että sen keskipiste on origossa ja erikoisasemassa oleva piste on $z_0 = (1,0)$ tai kompleksiluvuksi ajateltuna $z_0 = 1$. Muut pisteet ovat tällöin
\[
z_k = \cos(2k\pi/n) + i\sin(2k\pi/n), \quad k = 1,2,\dots,n-1.
\]
Jänteiden pituudet ovat $|z_k - z_0| = |1 - z_k|$, $k = 1,2,\dots,n-1$, ja näiden tulo
\[
\prod_{k=1}^{n-1}|1 - z_k| = \left|\prod_{k=1}^{n-1}(1 - z_k)\right|.
\]

Ympyrän kehällä olevat pisteet ovat luvun $1$ $n$:nnen juuren kaikki kompleksiset arvot, ts. polynomiyhtälön $z^n - 1 = 0$ ratkaisut.  Tällöin polynomi voidaan kirjoittaa muotoon
\[
z^n - 1 = (z - z_0)(z - z_1)\dots(z - z_{n-1}) = \prod_{k=0}^{n-1}(z - z_k).
\]
Jakamalla tekijällä $z - z_0$ ($= z - 1$) saadaan
\[
\frac{z^n - 1}{z - 1} = \prod_{k=1}^{n-1}(z - z_k).
\]
Vasen puoli voidaan tulkita geometriseksi summaksi, kun $z \neq 1$:
\[
\frac{z^n - 1}{z - 1} = 1 + z + z^2 + \dots + z^{n-1}.
\]
Tällöin
\[
\prod_{k=1}^{n-1}(z - z_k) = 1 + z + z^2 + \dots + z^{n-1}
\]
aina kun $z \neq 1$. Koska yhtälön kummallakin puolella on raja-arvo, kun $z \to 1$, täytyy raja-arvojenkin olla yhtä suuret. Siis
\[
\prod_{k=1}^{n-1}(1 - z_k) = n
\]
ja väite on saatu todistetuksi.

2 kommenttia:

Heikki kirjoitti...

Hauska todistus, kompleksiluvuilla voi tehdä kaikkea kivaa geometriassakin.
Geometrinen todistus voi olla vaikea. En tiedä, pääsiskö induktiolla eteenpäin, en kyllä aio ruveta miettimään.

Pekka Alestalo kirjoitti...

Alkeisgeometrinen lasku johtaa tulokseen 2^(n-1)*product(sin(k*pi/n),k=1..n-1). Osaan laskea tuon sinien tulon kompleksilukujen avulla kirjoittamalla sinin exp-funktion avulla ja käyttämällä geometrisen summan kaavaa. Ihan heti ei tule mieleen helppoa "reaalista" perustelua.