Projektiivinen taso, homogeeniset koordinaatit ja äärettömän kaukaiset pisteet

Rautatien äärettömän kaukainen piste (kuva Tom Barrett, Unsplash)

Geometrioita on monenlaisia. Perinteinen koulugeometria, antiikin Kreikasta lähtenyt euklidinen geometria ei ole lainkaan ainoa mahdollisuus. Epäeuklidista geometriaa olen aiemmin käsitellyt, tällä kertaa esillä on jotakin projektiivisesta geometriasta jatkona edellisen blogikirjoituksen Pascalin ja Brianchonin lauseisiin. Näissä saattoi esiintyä yhdensuuntaisia suoria, joille kuitenkin tarvittiin leikkauspiste. Kutsuin tällaisia pisteitä äärettömän kaukaisiksi pisteiksi ja niiden turvin lauseet saatiin toimimaan rajoituksitta. Mutta saisiko tällaiseen geometriaan — projektiiviseen geometriaan — jotenkin konkreettisuutta?

Lähtökohtana olkoon tavallinen euklidinen taso, jossa pisteen paikka voidaan ilmaista kahdella koordinaatilla: $P = (x,y)$. Luodaan pisteelle uudet koordinaatit, ns. homogeeniset koordinaatit lisäämällä alkuun nollas koordinaatti. Tällöin piste esitetään muodossa $P\,\widehat{=}\, (1,x,y)$ ja sovitaan, että jos koordinaatit kerrotaan nollasta eroavalla luvulla, kyseessä on edelleen sama piste: $P\,\widehat{=}\,(p,px,py)$, $p \neq 0$. Jos kääntäen pisteen homogeeniset koordinaatit ovat $(x_0,x_1,x_2)$, nämä voidaan kertoa luvulla $1/x_0$ ja saada muotoon $(1,x_1/x_0,x_2/x_0)$, mistä näkyy, että tavalliset koordinaatit ovat $(x_1/x_0,x_2/x_0)$. Edellytyksenä luonnollisesti on, että $x_0 \neq 0$.

Vaatimus, että homogeenisten koordinaattien nollas koordinaatti ei saa olla $0$, on jonkinlainen kauneusvirhe, joka rikkoo symmetrian. Siitä luopuminen tuo mahdollisuuden liittää tasoon uusia pisteitä: Sovitaan, että luvut $(x_0,x_1,x_2)$ esittävät aina pistettä, kunhan kaikki eivät ole samanaikaisesti $= 0$,. Nollasta eroavalla vakiolla kerrottuna ne esittävät edelleen samaa pistettä: $(x_0,x_1,x_2)\,\widehat{=}\,(px_0,px_1,px_2)$. Jos $x_0 \neq 0$, kyseessä on tavallinen piste, jos $x_0 = 0$, kyseessä on tasoon liitetty uusi piste, jota kutsutaan ideaalipisteeksi tai äärettömän kaukaiseksi pisteeksi. Syntyvää geometriaa kutsutaan projektiiviseksi geometriaksi. Kaikki sen pisteet ovat periaatteessa samassa asemassa. (Lineaarialgebrallisesti ajatteleva henkilö voisi kutsua niitä kolmiulotteisen avaruuden $\mathbb{R}^3$ yksiulotteisiksi aliavaruuksiksi.) Jako tavallisiin ja ideaalipisteisiin koskee vain geometrian tulkintaa jossakin yhteydessä.

Nimityksen 'äärettömän kaukainen piste' motivoimiseksi on syytä tarkastella tason suoria. Tunnetusti suoran yhtälö on muotoa $a_1x + a_2y + a_0 = 0$ ja piste $P = (x,y)$ on suoralla, jos yhtälö toteutuu. Jos piste ilmaistaan homogeenisilla koordinaateilla muodossa $(x_0,x_1,x_2)$, ehto saa muodon $a_1x_1/x_0 + a_2x_2/x_0 + a_0 = 0$ tai yhtä hyvin $a_0x_0 + a_1x_1 + a_2x_2 = 0$, koska yhtälön voi kertoa nollasta eroavalla vakiolla.

Suora määräytyy, kun tunnetaan sen yhtälön kertoimet $a_0$, $a_1$ ja $a_2$. Itse asiassa kertoimet $qa_0$, $qa_1$ ja $qa_2$ määräävät saman suoran, kun $q \neq 0$. Näitä voidaan kutsua suoran homogeenisiksi koordinaateiksi. Pisteiden ja suorien välillä vallitsee symmetrinen tilanne: kummatkin määräytyvät kolmen luvun perusteella ja nämä luvut voidaan aina kertoa nollasta eroavalla vakiolla. Piste $P\,\widehat{=}\,(x_0,x_1,x_2)$ on suoralla $s\,\widehat{=}\,(a_0,a_1,a_2)$, jos ja vain jos $a_0x_0 + a_1x_1 + a_2x_2 = 0$. Tätä kutsutaan insidenssirelaatioksi.

Jos kaksi suoraa ovat tavanomaisessa mielessä yhdensuuntaisia, niiden yhtälöt eroavat vain vakiotermien osalta. Niiden homogeeniset koordinaatit ovat tällöin muotoa $(c_1,a,b)$ ja $(c_2,a,b)$, missä $c_1 \neq c_2$. Jos suorilla on leikkauspiste, ts. yhteinen piste, jonka homogeeniset koordinaatit ovat $(x_0,x_1,x_2)$, tulee insidenssirelaatioiden \begin{align*} &c_1x_0 + ax_1 + bx_2 = 0, \\ &c_2x_0 + ax_1 + bx_2 = 0 \end{align*} toteutua. Vähentämällä yhtälöt saadaan $(c_1 - c_2)x_0 = 0$, mistä seuraa $x_0 = 0$. Yhteinen piste on siis ideaalipiste ja sen kutsuminen äärettömän kaukaiseksi pisteeksi on perusteltua, koska kahden suoran kääntyessä yhdensuuntaisiksi niiden leikkauspiste pakenee äärettömän kauas.

Koska äärettömän kaukaiset pisteet ovat muotoa $(0,x_1,x_2)$ ne sijaitsevat suoralla $(1,0,0)$: $1 \cdot 0 + 0 \cdot x_1 + 0 \cdot x_2 = 0$. Tämä on ainoa projektiiviseen tasoon laajennuksessa tullut uusi suora. Sitä kutsutaan ideaalisuoraksi tai äärettömän kaukaiseksi suoraksi.

Voidaanko äärettömän kaukaisia pisteitä sitten jotenkin 'nähdä' vai ovatko ne vain teoreettisia apukäsitteitä? Projektiivisen tason kuviot voidaan ns. projektiivisella kuvauksella muuntaa uudenlaisiksi kuvioiksi. Tällöin pisteet ja suorat ja niiden väliset insidenssirelaatiot säilyvät, mutta esimerkiksi etäisyydet tai kulmien suuruudet eivät säily. Esimerkkinä on oheinen F-kirjaimen kuvautuminen. Perspektiivikuvan muodostaminen on myös esimerkki projektiivisesta kuvauksesta. Alla olevassa kuvassa on xy-tason suorakulmaisen ruudukon perspektiivikuva. Tässä ruudukkoa rajaa yläpuolelta vaakasuora viiva, jonka pisteisiin tason yhdensuuntaiset suorat suuntautuvat. Tämä viiva (perspektiivikuvan horisontti) on ideaalisuoran kuva.

Kirjaimen F projektiivinen kuva. Harmaat viivat ovat konstruktion apuviivoja.

Suorakulmaisen ruudukon perspektiivikuva

Artikkelin alussa olevan suoran rautatien perspektiivikuvassa näkyy myös yhdensuuntaisten kiskojen äärettömän kaukaisen pisteen kuva, jossa kiskot näyttävät yhtyvän (perspektiivikuvan pakopiste).

Pascal ja Brianchon

Blaise Pascal (1623-1662) oli matemaatikko ja uskonnollinen ajattelija, jonka nimen matemaattisten aineiden opiskelija kohtaa moneen kertaan: binomikertoimien muodostama Pascalin kolmio (joka esiintyy monissa yhteyksissä), projektiivisen geometrian Pascalin lause, paineen yksikkö pascal, ohjelmointikieli Pascal. Kaksi viimeksi mainittua ovat varsin modernia nimen käyttöä, mutta sillä on taustansa Pascalin töissä: hän pohti painetta ja tyhjiötä, rakensi mekaanisen laskukoneen.

Pascalin lause

Pascalin lauseessa sijoitetaan kartioleikkaukselle — ellipsille, paraabelille tai hyperbelille — jollakin tavoin kuusi (eri) pistettä. Nämä olkoot $A_1$, $B_1$, $C_1$, $A_2$, $B_2$ ja $C_2$. Järjestyksellä tai sijainnilla ei ole merkitystä. Pisteiden kautta asetetaan suorat ja muodostetaan näiden leikkauspisteet: suorien $A_1B_2$ ja $A_2B_1$ leikkauspiste on $R$, suorien $B_1C_2$ ja $B_2C_1$ leikkauspiste $S$, suorien $C_1A_2$ ja $C_2A_1$ leikkauspiste $T$. Tällöin pisteet $R$, $S$ ja $T$ ovat samalla suoralla.

Tavallisista euklidisen geometrian lauseista tämä poikkeaa sikäli, että pisteiden etäisyydellä ei lauseessa ole mitään roolia. Kyse on ainoastaan suorien asettamisesta ja leikkauspisteiden määrittämisestä. Todistuskin perustuu — tietenkin — tämäntyyppiseen käsitteistöön. En paneudu siihen.

Pappoksen lause

Kaksi toisensa leikkaavaa tai kaksi yhdensuuntaista suoraa ovat erikoistapaus kartioleikkauksesta ja lause pätee myös tällöin. Tulosta kutsutaan Pappoksen lauseeksi 300-luvun alussa eläneen Pappos Aleksandrialaisen mukaan. Tulos on siten merkittävästi vanhempi kuin Pascalin lause.

Pascalin lause, toinen versio

Koska Pascalin lauseen pisteiden sijainti kartioleikkauksella voi olla mikä tahansa, ne voidaan siirtää siten, että $R$, $S$ ja $T$ ovat kuperan kuusikulmion vastakkaisten sivuparien leikkauspisteitä. Lause saa tällöin uuden muodon: Kartioleikkauksen sisään piirretyn kuperan kuusikulmion vastakkaisten sivuparien leikkauspisteet ovat samalla suoralla.

Lukija ehkä huomaa puutteen Pascalin lauseen muotoilussa. Jos kerran pisteet voivat sijaita kartioleikkauksella miten tahansa, jotkut suorapareista saattavat olla yhdensuuntaisia, jolloin leikkauspistettä ei ole. Pitäisikö nämä tapaukset rajata pois?

Tilanteesta selvitään toisinkin. Liitetään euklidiseen (tavalliseen) tasoon uusia pisteitä. Sovitaan, että kahdella yhdensuuntaisella suoralla onkin yhteinen äärettömän kaukana sijaitseva piste. Tähän pisteeseen päästään kulkemalla suorien suunnassa — jompaankumpaan suuntaan — äärettömän kauaksi. Yhdensuuntaisen suoraparven suorilla on yhteinen äärettömän kaukainen piste, mutta kahdella erisuuntaisella suoraparvella on kummallakin oma äärettömän kaukainen pisteensä. Tasoon liitetään myös yksi uusi suora, äärettömän kaukainen suora, joka muodostuu kaikista äärettömän kaukaisista pisteistä.

Tällä tavoin laajennettua tasoa kutsutaan projektiiviseksi tasoksi. Täsmällisestä matematiikasta viehättynyt lukija varmaan sanoo, ettei edellä oleva kelpaa matemaattiseksi määritelmäksi, ja siinä hän on aivan oikeassa. Projektiivinen taso voidaan toki määritellä täsmällisestikin, mutta edellä oleva antaa ideasta oikean ja riittävän mielikuvan, ainakin aluksi.

Projektiivisessa tasossa kaksi suoraa määrää aina pisteen, niiden leikkauspisteen, joka on joko tavallinen piste tai äärettömän kaukainen piste. Kaksi pistettä määrää aina suoran. Jos pisteistä toinen on äärettömän kaukainen piste, kyseessä on jokin tähän pisteeseen liittyvän yhdensuuntaisen suoraparven suora. Jos molemmat ovat äärettömän kaukaisia pisteitä, kyseessä on äärettömän kaukainen suora.

Projektiivisessa tasossa pisteet ja suorat ovat siten symmetrisessä asemassa. Tätä kutsutaan dualiteetiksi. Pisteitä ja suoria koskeva projektiivisen geometrian lause voidaan dualisoida: siinä voidaan vaihtaa pisteiden ja suorien roolit. Uuden lauseen todistus saadaan dualisoimalla alkuperäisen lauseen todistus: vaihdetaan siinä pisteiden ja suorien roolit.

Pascalin lause on projektiivisen geometrian lause, ts. siinä on kyse vain pisteistä ja suorista, kahden pisteen määräämistä suorista ja kahden suoran määräämistä pisteistä (leikkauspisteistä). Näin ollen se voidaan dualisoida, jolloin lähtökohtana on kuuden suoran asettaminen kartioleikkaukselle. Tämä vaatii tarkennuksen: kartioleikkauksella oleva suora tarkoittaa, että suora on kartioleikkauksen tangentti.

Dualisoitua lausetta kutsutaan Brianchonin lauseeksi ranskalaisen matemaatikon ja tykistökoulun professorin Charles-Julien Brianchonin (1783-1864) mukaan. Dualisoimalla yllä oleva Pascalin lauseen formulointi se saa seuraavan muodon:

Kartioleikkaukselle sijoitetaan jollakin tavoin kuusi (eri) tangenttia. Nämä olkoot suorat $a_1$, $b_1$, $c_1$, $a_2$, $b_2$ ja $c_2$. Järjestyksellä tai sijainnilla ei ole merkitystä. Määritetään leikkauspisteet ja asetetaan suorat: leikkauspisteiden $a_1 \cap b_2$ ja $a_2 \cap b_1$ määräämä suora on $r$, leikkauspisteiden $b_1 \cap c_2$ ja $b_2 \cap c_1$ määräämä suora $s$, leikkauspisteiden $c_1 \cap a_2$ ja $c_2 \cap a_1$ määräämä suora $t$. Tällöin suorat $r$, $s$ ja $t$ leikkaavat samassa pisteessä.  (Tässä siis joukko-opillinen leikkauksen merkki viittaa suorien leikkauspisteeseen.)

Brianchonin lause

Lisää silmän huijaamisesta

Kirjoitin viimeksi kirjasta, jossa esiteltiin trompe l'œil -maalauksia ja -rakenteita Roomasta. Ei toki tarvitse mennä juuri Roomaan, vaan vastaavia ilmiöitä löytyy muualtakin, myös Suomesta. Helsingin elokuvateatteri Orionissa on kapeneva perspektiivinen käytävä samaan tapaan kuin Vatikaanissa.  Ehkä Vatikaanissa on komeampi; en kylläkään ole käynyt katsomassa. Helsingin Suomalaisen Yhteiskoulun (SYK) pihalla on Anssi Asunnan teos Valekuutio, joka panee ohikulkijan hieraisemaan silmiään. Tiedekeskus Heurekan ulkoseinältä löytyy myös samankaltaisia kuutioita, nekin Anssi Asunnan teoksia.

SYK:n valekuutio kaukaa ja läheltä

Mikä Valekuutiossa sitten hämää ja miksi käy näin? SYK:n kuutio sijaitsee piha-aukion laidassa.  Hieman etäämmällä kulkevasta näyttää, että kuutio kääntyy ja seuraa hänen kulkuaan. Jos hän pysähtyy, niin kuutiokin pysähtyy. Ja kun hän jatkaa kulkuaan, kuutio alkaa taas kiertyä. Lähemmäksi mennessä salaisuus paljastuu: kyseessä ei olekaan kuution muotoinen kappale, vaan ainoastaan yksi kuution nurkka sisältäpäin katsottuna. Mutta miksi katsoja tulee hämätyksi?

Geometrisista kappaleista on tapana piirtää mallikuvia, jotka ovat ns. aksonometrisia kuvia, ts.  muodostettu yhdensuuntaisprojektion avulla. Tällöin kappaleen yhdensuuntaiset suorat näkyvät kuvassakin yhdensuuntaisina. Ohessa on tällainen kuva kuutiosta, ns. rautalankamallista, ei massiivisesta kuutiosta. Sinisellä piirretyt särmät ovat katsojaan päin, punaiset katsojasta poispäin, ja kuutiota katsotaan yläviistosta. Mutta kuva on kaksikäsitteinen: yhtä hyvin voidaan ajatella, että kuutiota katsotaankin alaviistosta ja punaiset särmät ovat katsojaan päin, siniset takana. Useimmille ihmisille edellinen tulkinta dominoi. Syynä ehkä se, että olemme tottuneet katsomaan kuutioita yleensä vähän ylempää, emme alempaa.

Aksonometrinen ja perspektiivinen kuutio

Aksonometrinen kuution kuva näyttää herkästi hieman venähtäneeltä. Keskusprojektiolla muodostettu perspektiivikuva näyttää yleensä paremmalta. Syynä on, että niin silmä kuin kamerakin noudattaa keskusprojektiota (kohtalaisen tarkasti). Perspektiivikuvassa yhdensuuntaisten suorien kuvat eivät aina olekaan yhdensuuntaisia, vaan ne tähtäävät yhteiseen pakopisteeseen. Oheisessa kuvassa vaakasuorat ovat tällaisia, pystysuorat kyllä ovat yhdensuuntaisia (mikä ei olisi välttämätöntä).  Kaksitulkintaisuus ei tässä oikein toimi. Siniset särmät ovat katsojaan päin, punaiset takana.  Päinvastainen näyttää omituiselta. Tässäkin on kysymys oppimisesta: olemme tottuneet näkemään asiat säännöllisinä, ja jos punaiset viivat olisivat etualalla, kyseessä ei olisi säännöllinen kuutio.  Hylkäämme siis toisen tulkinnan.

Jos jätetään etualan särmät pois, saadaan kuva, jonka yleensä tulkitsemme kuution takaosan soppea esittäväksi. Jos se esittäisi katsojaan päin olevaa kuution kärkeä, olisivat vaakasuorien suuntien pakopisteet väärällä puolella, ja tämän takia tulkinta hylätään. Mutta katsojaahan voi huijata: Pidetään soppi muutoin ennallaan, mutta muutetaan hieman sen sivutahkoja. Veistetään niiden reunoista pois kolmionmuotoiset palat siten, että saadaan pakopisteet toiselle puolelle.  Sivutahkot eivät tällöin ole oikeastaan enää neliöiden kuvia, mutta tulos hahmotetaan säännöllisen kuution nurkaksi, jonka kärki on katsojaan päin.

Kuution soppi sisältäpäin ja pakopistesuunnat korjattuina

Valekuutiossa on tehty tämäntyyppinen konstruktio. Senkään sivutahkot eivät ole neliöitä, ja tämän takia se hahmotetaan ulkoapäin katsotuksi kuutioksi, vaikka se onkin vain soppi.

Toki Anssi Asunta ei ole jättänyt hämäystä vain tämän varaan. Sivutahkojen pinnat ja niissä olevat pintakäsittelyt vahvistavat hämäävää vaikutusta.

Viime aikoina paljon siteeratun sanonnan mukaan matematiikkaa on kaikkialla. Ehkei aivan kaikkialla, mutta aika yllättävissäkin paikoissa. Eikä aina ole suinkaan kyse modernista digitaalitekniikasta.

Projektiokuvista enemmän kiinnostuneelle lukijalle tarjoan kirjaani Perspektiivikuvan geometriset perusteet (http://www.elisanet.fi/simo.kivela/kirjat.html).

Silmän huijaaminen ja perspektiivin geometria

American Mathematical Society ja Mathematical Association of America ovat yhdessä julkaisseet viime vuonna kirjan Optical Illusions of Rome, jonka tilasin joulun alla.  Tekijä on matematiikan historiaa tutkinut Kirsti Andersen Aarhusin yliopistosta, ja teos on alunperin ilmestynyt tanskaksi. Aiheena ovat pääosin renessanssiaikaiset perspektiiviset seinäkuvat ja arkkitehtoniset rakenteet sekä niiden taustana oleva keskusprojektion — eli perspektiivikuvien — teoria. Kolmiulotteista projektiivista geometriaa siis.

Perspektiivikuvien piirtämisen lait selvitettiin renessanssiaikana. Monet taiteilijat ja arkkitehdit tekivät erilaisia perspektiivikokeiluja, ja asiaa tutkittiin myös geometrisesti. Erityisesti Albrecht Dürer (1471–1528) oli paitsi taiteilija myös geometrikko, ja hänen teoksensa Underweysung der messung mit dem zirckel und richtscheyt in Linien ebnen unnd gantzen corporen vuodelta 1525 on deskriptiivisen geometrian klassikko.

Perspektiivikuvan muodostaminen Dürerin teoksessa Underweysung ...

Perspektiivilakien tunteminen ja innostus kokeiluihin johti ns. trompe l'œil -illuusioiden konstruointiin.  Tavoitteena oli huijata silmää (ransk. tromper l'œil) luomalla vaikutelma tilasta, jota todellisuudessa ei ollut. Esimerkiksi huoneen seinään maalattiin perspektiivikuva, jossa pylväikön takaa aukeni avara näköala kauniiseen ympäristöön. Jos rakennusteknisistä (tai taloudellisista) syistä kirkon päälaivan päälle ei voitu rakentaa kupolia, kattoon maalattiin kupolin perspektiivikuva. Alla olevat kirjassa käsitellyt esimerkit ovat Roomasta, mutta vastaavia on toki tehty muuallakin.

Virtuaalinen takaseinä, Villa Farnesina, Sala delle prospettive,
Combusken (Wikimedia Commons) [CC BY-SA]

Virtuaalinen kupoli,Chiesa di Sant'Ignazio,
Jean-Christophe Benoist (Wikimedia Commons) [CC BY-SA]

Ongelmana oli, että periaatteessa perspektiivikuva näyttää oikealta vain katsottuna yhdestä ainoasta pisteestä, siitä projektiokeskuksesta, jota käyttäen kuva on muodostettu. Muualta katsottaessa kuva näyttää enemmän tai vähemmän vääristyneeltä. Ihmissilmä on kuitenkin niin tottunut katsomaan kuvia, että pienet vääristymät eivät häiritse, vaan aivot tulkitsevat kuvan parhain päin. Tästä huolimatta kuvien laatiminen edellytti perspektiivilakien tarkkaa tuntemista sekä taidokkaita valintoja ja kompromisseja.

Saatettiin toimia myös toisin päin. Seinälle maalattiin kuva, joka näytti omituiselta ja venähtäneeltä ja jonka hahmottaminen ei oikein onnistunut. Se oli kuitenkin oikein konstruoitu perspektiivikuva, mutta oikea katselupaikka on hieman sivussa yllättävässä paikassa. Tästä katsottuna kuva hahmottuu helposti.

Paitsi maalauksia — perspektiivikuvia — tehtiin myös kolmiulotteisia kokeiluja. Vatikaanissa on sisätiloihin johtava porraskäytävä (Scala Regia), joka vähitellen kapenee ja madaltuu ja jonka reunoilla olevat pylväät ovat yhä tiheämmässä. Seurauksena on vaikutelma mahtavammasta portaikosta kuin todellisuudessa on kyse. Paikassa ei myöskään olisi tilaa näyttävämmälle portaikolle.

Scala Regia -portaikko,
Sailko (Wikimedia Commons) [CC BY]

Portaikko on arkkitehti Gian Lorenzo Berninin suunnittelema, eikä sen geometrinen konstruktio ole aivan yksinkertainen.  Periaatteessa kyseessä on kollineaarinen kuvaus (kollineaatio) kolmiulotteisesta avaruudesta siihen itseensä.  Tässä suorat kuvautuvat suoriksi. Olemassa oleva portaikko on fiktiivisen kapenemattoman portaikon kollineaarinen kuva.

Andersenin kirja sisältää myös lyhyen ja selkeän johdatuksen perspektiivin geometriaan sekä muutamia harjoitustehtäviä. Jos lukija haluaa yksityiskohtaisemman esityksen, tällainen on olemassa myös suomeksi: Alan klassikko on Teknillisen korkeakoulun sovelletun matematiikan professorin E. J. Nyströmin kaksikielinen (painettu) moniste Perspektiivioppi – Perspektivlära vuodelta 1947. Tätä saattaa olla vaikeata löytää. Uudempi vaihtoehto on oma teokseni Perspektiivikuvan geometriset perusteet (http://www.elisanet.fi/simo.kivela/kirjat.html).

Suoran piirtäminen paperin ulkopuolella olevan pisteen kautta

Kaksi pistettä määrää tunnetusti suoran yksikäsitteisesti.  Asettamalla viivoittimen reuna pisteiden kautta suora voidaan alkeisgeometriassa piirtää. Tehtävästä tulee vaikeampi, jos toinen piste sijaitsee piirustuspaperin ulkopuolella ja tunnetaan vain kahden tunnetun suoran leikkauspisteenä. Ongelma tosin on hieman vanhanaikainen: moderneissa geometriaohjelmissahan ei ole piirustuspaperia ja kaukana oleviin pisteisiin päästään käsiksi piirustusalaa skaalaamalla tai siirtämällä.

Tehtävä on kuitenkin mielenkiintoinen ja avaa näköaloja hieman pidemmällekin. Annettuna on siis kaksi suoraa ja piste. Tulee piirtää annetun pisteen $P$ ja suorien $s_1$ ja $s_2$ leikkauspisteen $Q$ kautta kulkeva suora, mutta $Q$ on kuitenkin kaukana.

Tarvittava konstruktio on seuraava: Valitaan jokin piste $K$ ja piirretään sen kautta kolme suoraa (punaiset). Yksi näistä leikkaa suoran $s_1$ pisteessä $A_1$ ja suoran $s_2$ pisteessä $A_2$.  Piirretään suorat $PA_1$ ja $PA_2$. Nämä leikkaavat toisen punaisista suorista pisteissä $B_1$ ja $B_2$. Kolmas punainen suora leikkaa suorat $s_1$ ja $s_2$ pisteissä $C_1$ ja $C_2$.  Piirretään suorat $B_1C_1$ ja $B_2C_2$. Näiden leikkauspiste $R$ on etsittävän suoran piste, ts. pisteet $P$, $Q$ ja $R$ ovat samalla suoralla $s$.

Miksi konstruktio sitten toimii? Kyseessä on Desarguesin lause: Jos suorat $A_1A_2$, $B_1B_2$ ja $C_1C_2$ kulkevat saman pisteen kautta, niin pisteet \[P = A_1B_1 \cap A_2B_2, \quad R = B_1C_1 \cap B_2C_2, \quad Q = C_1A_1 \cap C_2A_2\] ovat samalla suoralla. Tässä $A_1B_1 \cap A_2B_2$ tarkoittaa suorien $A_1B_1$ ja $A_2B_2$ leikkauspistettä jne. Girard Desargues oli ranskalainen 1600-luvulla vaikuttanut matemaatikko (ks. esim. http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Desargues.html).

Desarguesin lauseen todistus on helpompi kolmessa dimensiossa kuin kahdessa.

Jos nimittäin kolme punaista suoraa eivät ole samassa tasossa, niillä olevat pisteet $A_1$, $B_1$ ja $C_1$ määräävät erään tason, pisteet $A_2$, $B_2$ ja $C_2$ vastaavasti toisen tason. Näiden leikkaussuora olkoon $s$.

Toisaalta pisteet $K$, $A_1$ ja $B_1$ määräävät tason, jossa myös pisteet $A_2$ ja $B_2$ ovat. Suorat $A_1B_1$ ja $A_2B_2$ sijaitsevat tässä tasossa eivätkä siis ole ristikkäisiä. Tällöin niillä on leikkauspiste $P$. Tämä sijaitsee sekä tasossa $A_1B_1C_1$ että tasossa $A_2B_2C_2$, ts. suoralla $s$.

Vastaavasti voidaan osoittaa, että sekä suorien $B_1C_1$ ja $B_2C_2$ leikkauspiste $R$ että suorien $C_1A_1$ ja $C_2A_2$ leikkauspiste $Q$ ovat suoralla $s$.

Kaksidimensioinen todistus saadaan tämän jälkeen tulkitsemalla kaksidimensioinen kuvio kolmidimensioisen projektiokuvaksi.

Päättelyissä ja jo alkuperäisessä kuviossakin syntyy poikkeustilanteita, jos jotkin suorat eivät leikkaakaan, vaan ovat yhdensuuntaisia.  Esimerkiksi alkuperäisestä kuviosta voi kysyä, mitä tapahtuu, jos suorat $s_1$ ja $s_2$ ovatkin yhdensuuntaiset. Projektiivisessa geometriassa tällaiset ongelmat ratkeavat liittämällä geometriseen tasoon äärettömän kaukaisia pisteitä. Ajatellaankin, että kaksi yhdensuuntaista suoraa leikkaa toisensa äärettömän kaukana olevassa pisteessä, johon päästään etenemällä suoria pitkin kumpaan tahansa suuntaan. Tällä tavoin syntyy ristiriidaton — ja kaunis — geometria, mutta kaikkia euklidisen geometrian totuttuja ominaisuuksia sillä ei ole.