Pascal ja Brianchon

Blaise Pascal (1623-1662) oli matemaatikko ja uskonnollinen ajattelija, jonka nimen matemaattisten aineiden opiskelija kohtaa moneen kertaan: binomikertoimien muodostama Pascalin kolmio (joka esiintyy monissa yhteyksissä), projektiivisen geometrian Pascalin lause, paineen yksikkö pascal, ohjelmointikieli Pascal. Kaksi viimeksi mainittua ovat varsin modernia nimen käyttöä, mutta sillä on taustansa Pascalin töissä: hän pohti painetta ja tyhjiötä, rakensi mekaanisen laskukoneen.

Pascalin lause

Pascalin lauseessa sijoitetaan kartioleikkaukselle — ellipsille, paraabelille tai hyperbelille — jollakin tavoin kuusi (eri) pistettä. Nämä olkoot $A_1$, $B_1$, $C_1$, $A_2$, $B_2$ ja $C_2$. Järjestyksellä tai sijainnilla ei ole merkitystä. Pisteiden kautta asetetaan suorat ja muodostetaan näiden leikkauspisteet: suorien $A_1B_2$ ja $A_2B_1$ leikkauspiste on $R$, suorien $B_1C_2$ ja $B_2C_1$ leikkauspiste $S$, suorien $C_1A_2$ ja $C_2A_1$ leikkauspiste $T$. Tällöin pisteet $R$, $S$ ja $T$ ovat samalla suoralla.

Tavallisista euklidisen geometrian lauseista tämä poikkeaa sikäli, että pisteiden etäisyydellä ei lauseessa ole mitään roolia. Kyse on ainoastaan suorien asettamisesta ja leikkauspisteiden määrittämisestä. Todistuskin perustuu — tietenkin — tämäntyyppiseen käsitteistöön. En paneudu siihen.

Pappoksen lause

Kaksi toisensa leikkaavaa tai kaksi yhdensuuntaista suoraa ovat erikoistapaus kartioleikkauksesta ja lause pätee myös tällöin. Tulosta kutsutaan Pappoksen lauseeksi 300-luvun alussa eläneen Pappos Aleksandrialaisen mukaan. Tulos on siten merkittävästi vanhempi kuin Pascalin lause.

Pascalin lause, toinen versio

Koska Pascalin lauseen pisteiden sijainti kartioleikkauksella voi olla mikä tahansa, ne voidaan siirtää siten, että $R$, $S$ ja $T$ ovat kuperan kuusikulmion vastakkaisten sivuparien leikkauspisteitä. Lause saa tällöin uuden muodon: Kartioleikkauksen sisään piirretyn kuperan kuusikulmion vastakkaisten sivuparien leikkauspisteet ovat samalla suoralla.

Lukija ehkä huomaa puutteen Pascalin lauseen muotoilussa. Jos kerran pisteet voivat sijaita kartioleikkauksella miten tahansa, jotkut suorapareista saattavat olla yhdensuuntaisia, jolloin leikkauspistettä ei ole. Pitäisikö nämä tapaukset rajata pois?

Tilanteesta selvitään toisinkin. Liitetään euklidiseen (tavalliseen) tasoon uusia pisteitä. Sovitaan, että kahdella yhdensuuntaisella suoralla onkin yhteinen äärettömän kaukana sijaitseva piste. Tähän pisteeseen päästään kulkemalla suorien suunnassa — jompaankumpaan suuntaan — äärettömän kauaksi. Yhdensuuntaisen suoraparven suorilla on yhteinen äärettömän kaukainen piste, mutta kahdella erisuuntaisella suoraparvella on kummallakin oma äärettömän kaukainen pisteensä. Tasoon liitetään myös yksi uusi suora, äärettömän kaukainen suora, joka muodostuu kaikista äärettömän kaukaisista pisteistä.

Tällä tavoin laajennettua tasoa kutsutaan projektiiviseksi tasoksi. Täsmällisestä matematiikasta viehättynyt lukija varmaan sanoo, ettei edellä oleva kelpaa matemaattiseksi määritelmäksi, ja siinä hän on aivan oikeassa. Projektiivinen taso voidaan toki määritellä täsmällisestikin, mutta edellä oleva antaa ideasta oikean ja riittävän mielikuvan, ainakin aluksi.

Projektiivisessa tasossa kaksi suoraa määrää aina pisteen, niiden leikkauspisteen, joka on joko tavallinen piste tai äärettömän kaukainen piste. Kaksi pistettä määrää aina suoran. Jos pisteistä toinen on äärettömän kaukainen piste, kyseessä on jokin tähän pisteeseen liittyvän yhdensuuntaisen suoraparven suora. Jos molemmat ovat äärettömän kaukaisia pisteitä, kyseessä on äärettömän kaukainen suora.

Projektiivisessa tasossa pisteet ja suorat ovat siten symmetrisessä asemassa. Tätä kutsutaan dualiteetiksi. Pisteitä ja suoria koskeva projektiivisen geometrian lause voidaan dualisoida: siinä voidaan vaihtaa pisteiden ja suorien roolit. Uuden lauseen todistus saadaan dualisoimalla alkuperäisen lauseen todistus: vaihdetaan siinä pisteiden ja suorien roolit.

Pascalin lause on projektiivisen geometrian lause, ts. siinä on kyse vain pisteistä ja suorista, kahden pisteen määräämistä suorista ja kahden suoran määräämistä pisteistä (leikkauspisteistä). Näin ollen se voidaan dualisoida, jolloin lähtökohtana on kuuden suoran asettaminen kartioleikkaukselle. Tämä vaatii tarkennuksen: kartioleikkauksella oleva suora tarkoittaa, että suora on kartioleikkauksen tangentti.

Dualisoitua lausetta kutsutaan Brianchonin lauseeksi ranskalaisen matemaatikon ja tykistökoulun professorin Charles-Julien Brianchonin (1783-1864) mukaan. Dualisoimalla yllä oleva Pascalin lauseen formulointi se saa seuraavan muodon:

Kartioleikkaukselle sijoitetaan jollakin tavoin kuusi (eri) tangenttia. Nämä olkoot suorat $a_1$, $b_1$, $c_1$, $a_2$, $b_2$ ja $c_2$. Järjestyksellä tai sijainnilla ei ole merkitystä. Määritetään leikkauspisteet ja asetetaan suorat: leikkauspisteiden $a_1 \cap b_2$ ja $a_2 \cap b_1$ määräämä suora on $r$, leikkauspisteiden $b_1 \cap c_2$ ja $b_2 \cap c_1$ määräämä suora $s$, leikkauspisteiden $c_1 \cap a_2$ ja $c_2 \cap a_1$ määräämä suora $t$. Tällöin suorat $r$, $s$ ja $t$ leikkaavat samassa pisteessä.  (Tässä siis joukko-opillinen leikkauksen merkki viittaa suorien leikkauspisteeseen.)

Brianchonin lause