Epäeuklidiset GeoGebra ja Napoleon

Mustat suorat eivät kohtaa punaista suoraa, ts. ovat sen suuntaisia.

Vanhassa geometrian kirjassani (Kallio, Malmio, Geometria I, Otava 1954) esitellään paralleeliaksiooma muodossa Suoran ulkopuolella olevan pisteen kautta voidaan piirtää ainoastaan yksi sen suuntainen suora.  Tämän sanotaan olevan ns. euklidisen geometrian peruslauselmia, mutta sitä ei ole voitu todistaa. Sen jälkeen todetaan, että vastakohdaksi on kehitetty epäeuklidinen geometria, jossa lauselmaa ei käytetä ja monet paralleeliaksioomaan perustuvat väittämät saavat toisen muodon. Eikä sen enempää.

Muistan, että tämä teki hämmentävän vaikutelman. Usko paralleeliaksioomaan oli luja eikä tuntunut mitenkään järkevältä puhua mistään muunlaisesta tilanteesta. En tiedä, mitä nykyään koulussa sanotaan euklidisesta ja epäeuklidisesta geometriasta, mutta mahdollisuuksia konkretisointiin ainakin nykyään on paljon paremmin.

GeoGebra on hyvä ympäristö geometristen kuvioiden piirtelyyn ja geometristen totuuksien tutkimiseen.  On helppoa kokeilla, näyttäisikö jokin tulos olevan totta. Jos näyttää, voi lähteä etsimään todistusta.  Varsin lähellä on ajatus, että vastaavanlainen epäeuklidinen ympäristö voisi olla hyvinkin havainnollinen ja kiinnostava. Ajatuksen on maailmassa varmaankin sangen moni saanut ja epäeuklidisia ympäristöjä onkin tehty. Luultavasti paljonkin, mutta seuraavia kahta olen käyttänyt. Molemmissa on kyseessä hyperbolinen epäeuklidisen geometrian Poincarén malli:

GeoGebraan pohjautuva Poincare Disk for Hyperbolic Space, tekijänä Heather Pierce, https://www.geogebra.org/m/fUCCfAEj;

Javascript-pohjainen NonEuclid, tekijänä Joel Castellanos, https://www.cs.unm.edu/~joel/NonEuclid/NonEuclid.html.

Molemmat toimivat verkkoselaimessa, mutta myös omalle koneelle lataaminen on mahdollista.

Osoitteessa http://www.malinc.se/noneuclidean/en/index.php on Malin Christerssonin sivusto, jossa GeoGebraan pohjautuvan Poincarén mallin lisäksi on käsitelty mallin taustalla olevaa geometriaa ja GeoGebra-työkalujen muodostamista. Tiivistelmä aiheesta on Wikipedia-artikkelissa Hyperbolic Geometry, https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_geometry. Tämä on selvästi laajempi kuin vastaava suomenkielinen.

Poincarén epäeuklidisen geometrian mallissa geometrista tasoa vastaa vain kiinteän ympyrän sisäpuoli, ts. geometrian pisteitä ovat tämän rajaympyrän sisäpuolen pisteet. Geometrian suoria ovat rajaympyrän sisäpuolella olevat ympyränkaaret, jotka kohtaavat rajaympyrän kohtisuorasti. Näiden erikoistapauksena ovat rajaympyrän halkaisijat, joita voi ajatella rajaympyrän keskipisteen kautta kulkevina ääretönsäteisinä ympyränkaarina. Tällä tavoin määritellyillä suorilla on suorien tyypillinen ominaisuus: kaksi pistettä määrää suoran yksikäsitteisesti. (Ks. alussa olevaa kuvaa.)

Malliin voidaan määritellä myös sen oma metriikka, ts. tapa laskea kahden pisteen välinen etäisyys. Lauseke ei ole aivan yksinkertainen, mutta sillä on luontevat etäisyyden ominaisuudet: lyhin kahden pisteen välinen etäisyys saavutetaan pisteiden määräämää suoraa (siis ympyränkaarta) pitkin; minkä tahansa pisteen etäisyys rajaympyrästä on äärettömän suuri. Etäisyyden määrittely mahdollistaa geometrian omien ympyröiden muodostamisen: tällaisen kehä muodostuu niistä pisteistä, joiden etäisyys keskipisteestä on vakio. Osoittautuu, että tällainen Poincarén mallin ympyrä on ympyrä myös tavanomaisessa mielessä.

Yksikkösäteisiä ympyröitä, joiden keskipisteet ovat samalla suoralla.

 Kun suoria ja ympyröitä voidaan muodostaa — ts. käytettävissä ovat epäeuklidisen geometrian viivoitin ja harppi — voidaan tehdä kaikki tavanomaisen geometrian konstruktiot. Tämän jälkeen voidaankin kysyä, mitkä tavanomaisen euklidisen geometrian tulokset ovat voimassa epäeuklidisessa geometriassa tai ainakin Poincarén mallissa. Jätän lukijan ihmeteltäväksi ja kokeiltavaksi.

Napoleonin lause ei päde, kuten vihreät ympyrät osoittavat.
(Vrt. http://matta.hut.fi/matta/geogebra/Napoleon.html.)

Lupasin kerran ohjata muutamaa lukiolaista, jotka halusivat tehdä projektityön epäeuklidisesta geometriasta. Ongelmaksi muodostui aihepiirin laajuus. Lukiolaiset etsivät kaikenlaisia asiaan liittyviä verkkodokumentteja suhteellisuusteoriaa myöten, ja näitähän löytyy paljon. Yritin rajata aihetta, mutta en onnistunut rajoittamaan heidän intoaan eikä työ sitten valmistunutkaan. Projektityöt ovat hyvä ajatus, mutta vaativat usein aika tiukkaa ohjausta. Intoa ei toisaalta tietenkään pitäisi kahlita.