Kipsikuvia ja muuta matematiikkaa

Olen muutamissa aiemmissa postauksissani (24.5.2013, 2.3.2015, 11.4.2015) käsitellyt matemaattisten mallien kokoelmaa, jonka kuluneen kevään aikana olen järjestellyt nähtäväksi Aalto-yliopiston tiloihin Otaniemeen. Alunperin kyseessä on Teknillisen korkeakoulun kokoelma.

Työ on nyt valmis ja verkkosivutkin ovat olemassa: http://math.aalto.fi/models/.  Näyttely sijaitsee matematiikan ja systeemianalyysin laitoksen aulassa entisen Teknillisen korkeakoulun päärakennuksen M-siiven toisessa kerroksessa. Kiinnostuneet voivat käydä katsomassa. Kyseessä on pysyvä näyttely.

Kokoelman merkittävin osa muodostuu pintojen kipsi- ja lankamalleista sekä joistakin kinemaattisista ja topologisista malleista. Näillä on ikää yli sata vuotta. Niiden valmistus alkoi Saksassa 1870-luvulla ja ensimmäiset on hankittu silloiseen Polyteknilliseen Opistoon vuonna 1887. Tästä tuli yliopistotasoinen Teknillinen korkeakoulu vuonna 1908.

Esillä on myös geometrisia piirustusvälineitä sekä matemaattisia instrumentteja ja laskulaitteita, jotka vanhenivat tietokoneaikakauden todella alkaessa 1970-luvun alussa. Kolmantena aihepiirinä ovat deskriptiivisen geometrian piirustukset ja kolmiulotteiset mallit. Näillä on ikää yli 50 vuotta.

Tarkemmat tiedot löytyvät verkkosivujen esittelyteksti-linkistä.

Kyseessä on pala matematiikan opetuksen historiaa teknillisen opetuksen näkökulmasta. Deskriptiivisen geometrian sekä laskenta- ja piirustusvälineiden merkitys insinöörikoulutuksessa on melko selvää. Olihan deskriptiivisen geometrian luoja Gaspard Monge opettajana École polytechniquessa, ja hänen mukaansa nimetty Mongen projektio niin tärkeä työkalu mm. linnoitussuunittelussa, että se luokiteltiin suureen vallankumoukseen saakka sotasalaisuudeksi.

Geometristen kipsi- ja lankamallien suhde tekniikan opetukseen ei ole yhtä selvä. Monet niistä liittyvät siinä määrin pitkälle menevään geometriaan, että niitä tuskin on voitu käyttää tavanomaisten kurssien opetusvälineinä.  Ne ovatkin ilmeisesti liittyneet enemmän opettajien tutkimustyöhön, ja niillä on varmasti ollut merkityksensä kolmiulotteisten rakenteiden yleisessä hahmottamisessa. Ehkä on myös ajateltu, että yliopistolla tulee olla matemaattisia kokoelmia samoin kuin on mineralogisia, kasvitieteellisiä tms.  kokoelmia.

Annan mielelläni lisätietoja näyttelystä, malleista ja niiden taustoista.

Buffon, laskimet ja koulu

Johduin jokin aika sitten palauttamaan mieleeni probleeman, jonka Buffonin kreivi, Georges-Louis Leclerc de Buffon esitti vuonna 1733. Tämä on todennäköisyyteen liittyvä koe, joka tunnetaan Buffonin neulaprobleeman nimellä:

Paperille piirretään tasavälisiä yhdentaisia viivoja. Kuvion päälle pudotetaan satunnaisesti neula, jonka pituus on sama kuin viivojen etäisyys toisistaan. Millä todennäköisyydellä neula putoaa siten, että se leikkaa jonkin viivan?

Buffonin neulaprobleema: yhdensuuntaiset viivat ja neula

Ainakin yliopistojen todennäköisyyslaskennan kursseissa tämä yleensä lienee harjoitustehtävänä. Tulos on $2/\pi \approx 0.63662$. En esitä ratkaisua tässä. Kiinnostuneet voivat katsoa vaikkapa verkkodokumenttia http://fi.wikipedia.org/wiki/Buffonin_neula.

Lukiossakin opetetaan todennäköisyyslaskentaa. Saattaa olla, että ratkaisu on hieman vaikea lukiolaiselle käsitteellisellä tasolla, vaikka se teknisesti on täysin mahdollinen.

Mutta lukiolainenhan voisi simuloida probleemaa. Piirretään viivat paperille ja heitetään neulaa vaikkapa 10000 kertaa. Lasketaan viivan päälle osumisten suhde kaikkien heittojen määrään ja katsotaan, päästäänkö lähelle lukua $2/\pi$. Ehkei sentään. Olisi vähän tylsää ja kuntakin joutuisi ostamaan neuloja aika läjän.

Mutta tässä olisi sopiva tehtävä toteutettavaksi laskimilla tai mieluummin tietokoneilla. Jouduttaisiin pohtimaan todennäköisyyden luonnetta ja simuloinnin ideaa, saataisiin matematiikan oppimista tukeva ohjelmointitehtävä. Konkreettista tekemistä, jossa ei kysytäkään opettajalta, milloin tehtävä on tehty, vaan saatu tulos ratkaisee.

Edellytyksenä tietenkin on, että käytössä oleva laskin tai tietokoneohjelma tukee tällaista käyttöä. Ainakin tarvitaan satunnaislukugeneraattori, joka tuottaa jollekin välille tasaisesti jakautuneita satunnaislukuja. (Mitä nämä ovat? Lisää pohdittavaa tunnille.) Lisäksi tarvitaan mahdollisuus kirjoittaa riittävän helposti yksinkertaista ohjelmakoodia, ja laskentanopeuttakin pitäisi olla riittävästi. Miljoonan neulanpudotuksen pitäisi olla mahdollista muutamassa minuutissa, ehkä alle minuutin. Varovaisempaa tietenkin aloittaa tuhannesta tai muutamasta kymmenestä tuhannesta pudotuksesta.

En tiedä, miten hyvin nykyiset laskimet ja kouluihin tarjottavat tietokoneohjelmat tukevat tällaista laskentaa. Esitänkin haasteen laskinfirmojen edustajille: laatikaa ohjelma ja julkaiskaa se, lisäksi tiedot laskentaan kuluvasta ajasta.

Matematiikan ymmärtämisen kannalta symbolisten laskimien käyttö saattaa herkästi painottaa vääriä asioita. Oleelliseksi tulee valmiiden työkalujen käytön oppiminen ja sivuun jää se, mihin näitä varsinaisesti tarvitaan. Numeerinen laskenta ohjelmointiin yhdistettynä saattaa avata oppilaille näköaloja enemmän kuin symbolinen laskenta asiana sinänsä. Ei symbolinen laskenta silti tarpeetonta ole. Sen ja ohjelmoinnin yhdistäminen avaa mahdollisuuksia vielä enemmän.

Joku saattaa sanoa, ettei koulumatematiikka tällaista ole eikä koulussa ole mahdollisuuksia tällaiseen. Aivan oikeassa hän on. Mutta tällaista sen pitäisi lähitulevaisuudessa olla, ja tähän suuntaan pitäisi edetä.

Matematiikan opetus ja tietokoneet, ei hyvältä näytä

Olen puolustanut laskimien tai mieluummin matemaattisten tietokoneohjelmien käyttöä matematiikan opetuksessa, mutta samalla vaatinut niiden järkevää käyttöä. 'Järkevä' tarkoittaa matematiikan oppimisen edistämistä, ei mitä tahansa tietoteknistä räpeltämistä.

Viime aikojen keskustelua seurattuani on pakko todeta, että ei hyvältä näytä. Opettajakuntaa ei kiinnosta mikään muu kuin ylioppilaskokeen arvosteluperusteet. Kaikkein mieluiten haluttaisiin auktorisoitu lista kokeessa sallituista laskimen käyttötempuista, ja tämä sitten taottaisiin lukiolaisparkojen päähän. Laskimien maahantuojia kiinnostaa ainoastaan oma markkinaosuus. Tämän turvaamiseksi opettajia koulutetaan juuri meidän laskimemme surkeaan käyttöliittymään. Opettajankouluttajat ovat hämmästyttävän hiljaa. Juuri heidänhän luulisi olevan kiinnostuneita pedagogisesti järkevästä tekniikan käytöstä. Varsinaisesta matematiikan osaamisesta ovat kiinnostuneita vain konservatiiviset opettajat, jotka haluavat paluuta menneeseen.

Olenko pessimisti? Ehkä en kuitenkaan ihan. Myönnän toki, että tilanne on hämmentävä: tarjontaa erilaisista tietoteknisistä välineistä ja ratkaisuista on paljon, niihin paneutuminen vaatisi aikaa, opetussuunnitelmia uudistetaan, ylioppilaskoetta sähköistetään (ja purraan aika isoa palaa). Silti ei pitäisi heittää lasta eli matematiikkaa pesuveden eli tietotekniikan mukana pois. Molempia tarvitaan.

Mitä sitten näen pahimpina ongelmina? Jonkinlaista idealismia kaipaisin.  Matematiikka on hieno asia ja oppilaille on annettava mahdollisuus innostua siihen.  Tärkeintä ei tällöin todellakaan ole ylioppilaskokeen vaatimukset.  Nekin muuttuvat eikä niitä pidä tiukasti formalisoida. Innostuneisuus matematiikkaan on paljon tärkeämpää kuin muutama koepiste sinne tai tänne.

Opettajien pitää ymmärtää, että laskin on apuväline, jota saa käyttää, mutta jota ei saa syyttää omasta ymmärtämättömyydestä. Jos laskin (tai tietokoneohjelma) antaa virheellisen, puutteellisen tai kryptisen tuloksen, ei ole lieventävä asianhaara, että tulos on saatu laskimesta.  Kyseessä on käyttäjän vika. Oppilas ei ehkä heti usko tätä, mutta koulussa ollaan, jotta opitaan.

Lähinnä kai kaupallisista syistä laskimiin kehitetään mahdollisimman monia valmiita toimintoja mutkikkaiden valikoiden taakse. Tavoitteena sanotaan olevan oppimisen helpottaminen. Seurauksena on kuitenkin oppimisen suuntautuminen tietyn laskimen valikoiden opetteluun, ei matematiikkaan.  Tarjolla olevien työkalujen tulisikin olla primitiivejä, perustyökaluja, joita opiskelijan on kombinoitava matemaattisen ymmärryksensä mukaan.  Samalla astutaan luonnollisella tavalla ohjelmoinnin maailmaan: taitojen karttuessa kerätään primitiiveistä itse tehty paketti tiettyä tehtävää varten.  Edellytyksenä tietenkin on, että laskin tukee yksinkertaista, mutta selkeää ja ilmaisuvoimaista ohjelmakoodia.

Samaan tapaan kuin kirjallisuutta arvostellaan tai tekniikkaa testataan, olisi tarpeen arvioida koulumaailmaan tarjottuja laskimia, ohjelmistoja, opetuspaketteja yms. Tasapuolinen arvionti ilman henkilökohtaisia mieltymyksiä ei vain ole aivan pieni tehtävä.

Laskimien käyttö on painottunut hieman kummallisella tavalla: Niitä käytetään suhteellisen yksinkertaisiin perustehtäviin (jolloin kyllä opitaan tietoteknistä sorminäppäryyttä), mutta ne eivät useinkaan toimi siltoina laajempaan omaehtoiseen matemaattiseen kokeiluun ja pienimuotoiseen tutkimukseen. Ei ole opittu katsomaan yli koulukurssien eivätkä kaikki laskimet edes tue kovin hyvin tällaisia kokeiluja. Kaikki opiskelijat eivät varmasti matemaattiseen pohdiskeluun innostu, mutta ei toki tarvitsekaan.  Riittää, että jotkut innostuvat, heille tarjotaan mahdollisuus, ja muille syntyy periaatteellinen mielikuva matematiikasta koulukurssia laajempana työkaluna ja tieteenä.

Odottaisin matematiikan didaktikkojen paljon nykyistä voimakkaammin vastaavan tietotekniikan tuomaan haasteeseen. Kyseessä on muutos, jossa joudutaan miettimään uudelleen eksaktin, todistamiseen perustuvan matematiikan ja käytännöllisen tai kokeilevan, laskennallisen matematiikan välinen suhde.  Lisäpiirre tulee ohjelmoinnin opetuksesta: se on hyvä työkalu matematiikan opiskeluun, mutta kaikki ohjelmointi ei suinkaan ole matematiikkaa.  Ainakin Suomen ulkopuolelta kaipaamaani mielenkiintoa on toki löytynytkin: Varsin suurta suosiota saavuttanut GeoGebra on ymmärtääkseni peräisin opettajankoulutuslaitokselta. Muutakin vastaavaa lienee.

Maailma muuttuu eikä paluuta menneeseen ole. Tietotekniikka on tullut jäädäkseen eikä matematiikkakaan ole täysin entisensä. Meillä riittää opittavaa.

Matemaattinen pinta 3D-tulostuksella

Postauksessani 2.3.2015  kirjoitin yksivaippaisen hyperboloidin pääkaarevuuskeskuksien urasta. Tämä on kolmiulotteisen avaruuden pinta, josta on Saksassa tehty kipsimalli yli sata vuotta sitten. Näitä myytiin, ja sellainen sisältyy myös Teknilliseen korkeakouluun hankittuun kokoelmaan, joka on nykyään esillä matematiikan laitoksen käytävällä Otaniemessä. Postauksessani on valokuva kipsimallista ja vastaava Mathematicalla laskettu kuva.

Pohdin myös, onnistuisiko pinnan 3D-tulostus, kun kerran parametrimuotoiset yhtälöt ovat tiedossa. Tämä on nyt sitten tehty, kiitokset Matti Harjulalle.  Alla on kuva noin 10 cm korkeasta mallista.

Pelkästään Mathematicalla tehdystä kuvasta, puhumattakaan 3D-mallista saa paljon paremman käsityksen pinnasta kuin 1800-luvun lopun kipsimallista. Jälkimmäinen ei oikein anna mielikuvaa kahdesta erillisestä pinnasta, joista toinen on osittain toisen sisällä. Toisesta, kaksisuuntaista kartiota muistuttavasta pinnasta myös syntyy virheellinen mielikuva: sen ylä- ja alaosa eivät nimittäin liity toisiinsa pyöristetyissä kärjissä vaan ne kohtaavat pitkin ellipsiä, jonka sisäosa on avoin, ts. pinnan sisällä voi kulkea pystysuorassa suunnassa. Tämä näkyy 3D-mallista, mutta myös Mathematicalla tehdystä kuvasta, joka itse asiassa on 3D-malli, jolloin sitä voi pyöritellä ruudulla. Toki asian voi myös päätellä kaarevuuskeskuksien ominaisuuksista, mutta ei matematiikassakaan pidä syrjiä havainnollisuutta.

Edistystä on siis tapahtunut sadassa vuodessa.

Uudet mahdollisuudet ovat myös herättäneet uudelleen mielenkiinnon geometrisiin pintoihin. Vanhoja kokoelmia on kunnostettu monissa yliopistoissa, emmekä tietenkään olleet ensimmäiset, jotka kiinnostuivat 3D-tulostuksesta. Postaukseeni 25.5.2013  sisältyy kuva Clebschin diagonaalipinnasta sekä kipsimallista otettuna valokuvana että Mathematicalla laskettuna. 3D-tulostuksen tällaisesta voi nykyään ostaakin kirjoituspöydän nurkalla pidettäväksi. Jotta en mainosta, niin en anna suoraa osoitetta, mutta hakukoneelle voi kirjoittaa 'clebsch diagonal surface'.

Mielenkiintoista on, että matemaatikoiden ohella pintamalleista kiinnostuneet henkilöt tulevat nykyään usein taiteen piiristä.

Ylioppilaskoe

Matematiikan ylioppilaskokeen lähestyessä ja koska matematiikan osaamista muutoinkin on syytä edistää, tarjoan opiskelumateriaalia:

Tehtävä. Suorakulmaisen kolmion hypotenuusan pituus on $75$ ja kateettien pituudet $x$ sekä $\frac{x}{2} + 15$. Määritä kateettien pituudet.

Ratkaisu 1. Pythagoraan lauseen mukaan on
\[
x^2 + (\frac{x}{2} + 15)^2 = 75^2
\]
eli
\[
x^2 = 75^2 - (\frac{x}{2} + 15)^2.
\]
Ottamalla neliöjuuri puolittain ja poistamalla sulut saadaan
\[
x = 75 - \frac{x}{2} + 15,
\]
mistä seuraa $x = 60$ ja $\frac{x}{2} + 15 = 45$.

Ratkaisu 2. Kolmiossa sivujen vektorisumma on $= 0$, jolloin saadaan yhtälö
\[
x + (\frac{x}{2} + 15) + 75 = 0.
\]
Tämän ratkaisu on $x = -60$. Sivun pituuden tulee kuitenkin olla positiivinen. Vektorisummassa ei myöskään ole väliä, miten päin kierretään. Siis $x = 60$. Tällöin $\frac{x}{2} + 15 = 45$.

Ratkaisu 3. Pythagoraan lauseesta saatu yhtälö voidaan muokata myös muotoon
\[
x^2 + \frac{x^2}{2} + 225 = 5625.
\]
Juuret ovat $x = \pm 60$, joista vain positiivinen kelpaa. Siis $x = 60$, $\frac{x}{2} + 15 = 45$.

Ratkaisu 4. Koska kolmiossa summa on $180$, saadaan yhtälö
\[
x + (\frac{x}{2} + 15) + 75 = 180.
\]
Tämän ratkaisu on $x = 60$, jolloin $\frac{x}{2} + 15 = 45$.

Ratkaisu 5. Pythagoraan lauseesta saatu yhtälö voidaan muokata kolmanteenkin muotoon:
\[
\tfrac{5}{4}x^2 + 15x + 225 = 5625.
\]
Tämän juuret ovat $x_1 = -72$, $x_2 = 60$. Vain positiivinen kelpaa, ja siis $x = 60$, $\frac{x}{2} + 15 = 45$.

Pintojen mallit

Olen vanhassa työpaikassani Teknillisen korkeakoulun — nykyään Aalto-yliopiston — matematiikan laitoksella järjestelemässä geometrian mallikokoelmaa. Muun ohella tähän kuuluu yli sata vuotta vanhoja matemaattisten pintojen kipsi- ja lankamalleja. Pintojen geometrian tutkimus oli tuolloin varsinkin Saksassa varsin intensiivistä ja mallit olivat havainnollistuksia. Olen näistä kirjoittanut aikaisemminkin, postauksessani 24.5.2013.  Silloin kokoelma purettiin tilojen peruskorjauksen ajaksi ja nyt se järjestetään uudelleen uusiin korjattuihin tiloihin.

Olen edellisen kerran järjestänyt kokoelman vuonna 1966, jolloin malleja koskevia lähteitä ei ollut niinkään helppoa löytää. Lähinnä käytin repaleista, mutta huolellisesti laadittua saksalaista myyntiluetteloa vuodelta 1911. Nyt tilanne on täysin toinen: kyseinen luettelo monen muun vastaavan ohella on verkossa skannattuna, monien yliopistojen verkkosivuilta löytyy hyvin dokumentoituina tiedot näiden kokoelmista, malleista on Groningenin yliopistossa tehty väitöskirjakin.

Laskentaohjelmilla voi piirtää kuvia pinnoista ja pyöritellä niitä ruudulla, joten uusiakin mahdollisuuksia havainnollistamiseen on. Esimerkkinä olkoon yksivaippaisen hyperboloidin Centrafläche, kuten mainittu myyntiluettelo sanoo. Kipsimallin kuva on ohessa. Hieman kummallinen pinta: sileän pinnan sivuilla on palteita ja jonkinlaisia väkäsiä. Mistä mahtaa olla kyse?

Kipsimalli

Mallin vanhat esitetekstit viittasivat jollakin tavoin pinnan, siis yksivaippaisen hyperboloidin kaarevuuskeskuksiin. Differentiaaligeometrian mukaan pinnan jokaiseen pisteeseen liittyy kaksi pääkaarevuutta, jotka vastaavat pinnan normaalileikkauskäyrän suurinta ja pienintä kaarevuutta. Kumpaakin vastaa kaarevuusympyrä, jolloin kyse saattaisi olla näiden keskipisteiden muodostamista urista.

Asian varmistamiseksi päätin piirtää kyseiset urat. Laskentaohjelmissa on nykyään aika vahvoja työkaluja, joten työ ei ehkä olisi aivan mahdoton. Eikä se ollutkaan, tulos tuli Mathematicalla pikemminkin helposti. Tosin lausekkeet eivät ole aivan yksinkertaisia: esimerkiksi toisen urapinnan parametrimuotoinen x-koordinaatti on
\begin{align*}
\frac{1}{80} \sqrt{4 v^2+1}\, &\cos (u)
\biggl(42 \bigl(4 v^2+1\bigr)
\cos (2 u)\\
-\sqrt{2}\, &\sqrt{2604 \bigl(16 v^4-1\bigr) \cos (2 u)+441 \bigl(4
   v^2+1\bigr)^2 \cos (4 u)+37808 v^4+4792 v^2+2363}+248 v^2+146\biggr)
\end{align*}

Parametriesitysten perusteella urapinnat sitten olikin suoraviivaista piirtää:

Kaksi läpikuultavaa urapintaa, punainen ja vihreä

Tulos on kipsimallia havainnollisempi. Koska toinen pinta jää suurelta osalta toisen sisään, siitä ei massiivisessa kipsimallissa voi paljon näkyä.  Tietokoneella tehtyyn kuvaan sen sijaan voidaan määritellä läpikuultavuutta ja katselusuuntaa voidaan kohdetta pyörittelemällä vaihtaa, jolloin kuvasta voi todeta pintojen putkimaisuudenkin: pystysuorassa voi kulkea läpi.

Mathematicasta saa ulos myös 3D-tulostimen tarvitseman määrittelytiedoston.  Pitänee vielä kokeilla, saako tällä tavoin todellakin pintamallin, ei massiivista kappaletta.

Aikansa taskulaskin

Curta säilytyskoteloineen

Kullakin aikakaudella on laskentavälineensä. Taskulaskimet tulivat 60- ja 70-lukujen vaihteessa ja elektroniikan aikakausi alkoi. Aluksi laskin oli ainoastaan numeerinen, peruslaskutoimitukset kattava, mutta varsin pian mukaan tulivat myös tavalliset alkeisfunktiot. Seuraava vaihe oli graafinen laskin, ja nykyään myös algebra onnistuu. Tämän päivän älypuhelimessa on kaikki tämä 70-luvun laskimen kokoisessa rasiassa ja lisäksi puhelin, televisio, musiikkisoitin ja verkkoselain.

Mutta ei taskuun mahtuvan laskimen historia alkanut elektronisten taskulaskimien tullessa. Jo 40-luvun lopulla valmistettiin Curtaa. Tämä on mekaaninen laskin, jonka osittain juutalaistaustainen vuonna 1902 syntynyt Curt Herzstark ideoi 1938 Wienissä ja suunnitteli yksityiskohtaisesti Buchenwaldin keskitysleirillä 40-luvun alkupuolella. Työ sallittiin, koska laitetta ajateltiin lahjaksi Hitlerille, kun sota olisi voitettu.  Herzstark selviytyi keskitysleiriltä, ja jo vuonna 1945 hän sai valmistutetuksi kolme toimivaa Curtaa.

Liechtensteinin ruhtinaan tuella laitteiden valmistus alkoi Liechtensteinissa Contina-yhtiössä ja ensimmäiset sarjatuotantokappaleet valmistuivat 1948. Curta on pienikokoinen myllyä muistuttava käsin pyöritettävä laskin yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolaskuun, todellinen insinööritaidon ja hienomekaniikan taidonnäyte. Myös alkeisfunktioiden arvojen laskemiseen on esitetty algoritmeja, ts. toimintaohjeita peruslaskutoimitusten tehokkaaseen kombinoimiseen.

Manuaalin esimerkki jakolaskun suorittamisesta

Aivan yksinkertaista Curtan käyttö ei ole. Edes kerto- tai jakolasku ei suju yhdellä kammen pyöräytyksellä. Yhtä nappia painamaan tottunut tämän päivän ihminen on ihmeissään. A6-kokoisessa manuaalissa neliöjuuren laskemista koskevaan esimerkkiin tarvitaan kolme ja puoli sivua.

Kovin laajaa ei Curtan käytöstä tullutkaan. Vuoteen 1972 mennessä valmistettiin noin 150000 Curtaa. Elektronisten laskimien tulo siirsi sen laskentavälineenä historiaan.

Samoihin aikoihin päättyi monen muunkin mekaanisen laskukoneen valmistus. Curta oli kuitenkin ainoa, joka mahtui taskuun. Hienomekaanisena taidonnäytteenä se kuitenkin on edelleenkin kiinnostava, ja Curtaa käsitteleviä verkkosivuja on monia. Sekä historiaa että tekniikkaa löytyy saksankielisistä sivustoista http://www.curta.de/ ja http://www.curta.li/.