sunnuntai 29. syyskuuta 2019

Jatkuvuuden epsilon-delta-määrittely

Funktiota $f$ sanotaan jatkuvaksi pisteessä $a$, jos seuraava pätee:
\[
\forall(\varepsilon > 0)\exists(\delta > 0)(|x - a| < \delta \implies |f(x) - f(a)| < \varepsilon),
\]
ts. jokaista positiivilukua $\varepsilon$ (epsilon) kohden on olemassa positiiviluku $\delta$ (delta) siten, että jos $x$:n etäisyys $a$:sta on pienempi kuin $\delta$, niin $f(x)$:n etäisyys $f(a)$:sta on pienempi kuin $\varepsilon$.

Jatkuvuuden määrittely tällä tavoin on eräänlaista šokkihoitoa aloittelevalle matematiikan opiskelijalle. Tokihan tämäntyyppisiä lausekkeita on syytä oppia lukemaan ja kirjoittamaankin, mutta jatkuvuuden opettaminen tällä tavoin on kuin uimaan opettaminen heittämällä oppilas veteen ja katsomalla uppoaako. Ainakin pitäisi olla valmis onkimaan oppilas kuiville.

Tällaista šokkihoitoa sain itsekin aloittaessani matematiikan opinnot 1960-luvulla Helsingin yliopistossa opiskeltuani lukiossa lyhyen matematiikan. Kuiville pääsin kevätlukukauteen mennessä tyytyväisenä: 'Eikö se tämän kummallisempaa ollutkaan?'

Ei jatkuvuuden määrittely tällä tavoin ole kovin vaikeaa, kunhan määritelmää hieman avataan. Kyseessä on eräänlainen kahden pelaajan, A ja B, hieman epäreilu peli. Jos A voittaa, funktio on epäjatkuva, jos B, niin se on jatkuva. Alussa pelaaja A valitsee positiiviluvun $\varepsilon$ ja pelaajan B pitää löytää positiiviluku $\delta$ siten, että implikaatio toteutuu. Jos B ei löydä, A on voittanut eikä funktio ole jatkuva. Jos B löytää, A antaa uuden epsilonin ja otetaan uusi kierros. Näin jatketaan tarvittaessa äärettömän monta kierrosta, minkä jälkeen B on voittaja ja funktio on jatkuva.  Jatkuvuuteen tarvitaan äärettömän monta kierrosta, koska testattavana ovat kaikki positiiviset epsilonit.

Tarkastelupisteessä jatkuva funktio


Yllä oleva GeoGebralla tehty graafinen sovellus tekee pelistä inhimillisemmän ja samalla määritelmä tulee helpommin ymmärrettäväksi. A valitsee epsilonin liukusäätimellä, jolloin vihreät vaakasuorat viivat rajaavat y-akselilla alueen, jossa etäisyys funktion arvosta $f(a)$ (musta piste) on pienempi kuin $\varepsilon$. B hakee vastaavaa deltaa toisella liukusäätimellä, jolloin punaiset pystysuorat viivat rajaavat x-akselilla alueen, jossa etäisyys pisteestä $a$ on pienempi kuin $\delta$. Kun sopiva delta löytyy, merkkivalo muuttuu punaisesta vihreäksi. Tällöin funktion kuvaaja pysyy vihreiden viivojen välissä punaisten viivojen rajaamalla alueella, mikä tarkoittaa implikaation toteutumista. Pienellä kokeilulla on melko helppoa oppia ymmärtämään, miten $\delta$ on valittava.

Kuvan funktio on jatkuva eikä tämä vielä auta ymmärtämään, miksi jatkuvuus on järkevää määritellä juuri näin. Tässä — kuten monissa muissakin matematiikan määrittelyissä — on oleellista katsoa, miten määritelmä erottaa tapaukset, joissa ehto ei ole voimassa. Alla olevat kuvat ovat muutoin samanlaisia kuin edellä, mutta kyseessä ei ole jatkuva funktio. Tällöin on toki olemassa epsiloneja, joita vastaava delta löytyy ongelmitta. Mutta on myös epsiloneja — riittävän pieniä — joille vastaavaa deltaa ei löydy. Epäjatkuvuus näkyy tällä tavoin. Deltanhan pitää löytyä kaikilla positiivisilla epsiloneilla.

Funktio jolla on hyppyepäjatkuvuus

Origossa epäjatkuva funktio $\sin(1/x)/2$, origossa arvo $0$


Edellä sanottu on oikeastaan vasta puolet asiasta: määritelmän idea. Toinen puoli jatkuvuuden osoittamisessa on hakea laskemalla annettua epsilonia vastaava delta. Piirroskuviahan ei ole tapana hyväksyä todistuksiksi. Tällöin lähtökohtana on kiinnitetty luku $\varepsilon$, jota käsitellään symbolina. Tavoitteena on hakea tähän liittyvä $\delta$, ts. esittää delta jonkinlaisena funktiona epsilonista. Hakeminen merkitsee yleensä epäyhtälöiden manipulointia, mikä sekin on sinänsä tarpeellinen taito, mutta eri asia kuin jatkuvuuden määrittely. Epäjatkuvuuden osoittamiseen taas riittää löytää yksi epsilon, jota vastaavaa deltaa ei todistettavasti ole.

Arvelen, että osa määritelmän vaikeudesta johtuu siitä, että idea hukkuu teknisen epäyhtälöiden manipuloinnin taakse. Kun jälkimmäinen vie päähuomion, ymmärtämiselle ei riitä energiaa.

Edellä olevat kuvat ovat staattisia, mutta GeoGebralla tehty sovellus löytyy verkko-osoitteesta http://matta.hut.fi/matta/demot.html.  Siellä on myös Mathematica-versio, jonka käyttöön tarvitaan laskentaohjelma Mathematica tai katseluohjelma Wolfram Player (CDF Player).

perjantai 20. syyskuuta 2019

Verbaalinen epsilon ja delta

Raja-arvon määrittelyä epsilonia ja deltaa käyttäen pidetään — aiheellisesti — vaikeana asiana. Aiemmin opiskeltuun matematiikkaan nähden abstraktiotaso on selvästi korkeampi. Tämän sijasta usein määritellään, että funktiolla $f$ on pisteessä $a$ raja-arvo $b$, siis $\lim_{x \to a} f(x) = b$, jos funktion $f$ arvot tulevat mielivaltaisen lähelle lukua $b$, kun muuttujan $x$ arvot tulevat riittävän lähelle lukua $a$. Tätä voidaan täydentää jollakin epsilon-delta-ajatteluun viittaavalla lausumalla, mutta se ei kovin paljoa opiskelijalle anna. Kirjoittaja vain pesee kätensä määritelmänsä epämääräisyydestä.

Ei liene aivan selvää, millaisia mielikuvia raja-arvosta em. määritelmä opiskelijalle synnyttää. Luin jokin aika sitten amerikkalaisen professorin David Bressoudin blogikirjoituksia Beyond the Limit I, II, III, joissa käsiteltiin aiheesta tehtyjä tutkimuksia. Opiskelijoille on annettu yhdentoista tehtävän sarja, joissa heitä on pyydetty selittämään (explain) raja-arvoihin liittyviä ideoita, merkityksiä ja syitä. Tulosten perusteella käsitykset on luokiteltu eri tyyppeihin.  Vastaavanlainen tutkimus suomalaisista pitkän matematiikan lukijoista voisi olla kiinnostava.  Onkohan tällaisia tehty?

Edellä mainitun määritelmän epämääräisyys näkyy verbivalinnassa: mitä tarkoittaa arvon 'tuleminen'?  Onko kyseessä jonkinlainen dynamiikka? Verbiä voi toki vaihtaakin, mutta epämääräisyyttä se ei poista.  Onko arvoja paljon? Voivatko ne jotenkin heilahdella? Lähestyvätkö ne tasaisesti? (Mitä se sitten onkin.)  Ongelmiin joudutaan viimeistään yritettäessä yleistää määritelmää kahden muuttujan funktioille.

Epämääräisyydestä huolimatta esitystä yleensä jatketaan lauseilla summan, tulon ja osamäärän raja-arvoista. Tietenkään näitä ei todisteta, ei toki oikein voitaisikaan, mutta tulokset julistetaan tärkeinä lauseina. Toisinaan tähän sarjaan liitetään myös alussa olevan kuvan yhdistettyä funktiota koskeva lause. Ilmeisen tuntuinen tulos, jonka toki voinee todistaakin epsilon-delta-tekniikalla. Paitsi että lause ei pidä paikkaansa.

Virheellisen lauseen on esittänyt suomenkielinen Wikipediakin (ainakin 16.9.2019, olen huomauttanut asiasta). Englannin- ja saksankielisissä Wikipedia-artikkeleissa on vastaesimerkki, joka osoittaa lauseen vääräksi. Ehkä yksinkertaisin esimerkki on $f(x) = 0$, kun $x \neq 0$, $f(0) = 1$ ja tarkastellaan yhdistettyä funktiota $f \circ f$.

Ranskankielinen Wikipedia-artikkeli esittää yhdistettyjä funktiota koskevan tuloksen pätevänä lauseena, ja tällä kertaa se sitä onkin, sillä ranskalainen raja-arvon määritelmä on hieman erilainen: funktion arvo pisteessä $a$ otetaan huomioon, ts. $0 \le |x-a| < \delta$. Tämäkin kyllä sopii em. verbaaliin määrittelyyn.

Miten raja-arvo sitten tulisi määritellä lukiotasolla? Epsilon-delta-määritelmästä aloittaminen on varmasti liian vaativaa, joten edellä esitettyyn epämääräisyyteen on tyydyttävä. Vierastan tällöin kuitenkin pohdiskeluja raja-arvon laskusäännöistä ja toispuolisista raja-arvoista. Ikään kuin oltaisiin kehittämässä täsmällistä teoriaa. Todettakoon mieluummin suoraan määritelmän riittämättömyys ja palattakoon siihen myöhemmin jossakin analyysin jatkokurssissa, jolloin kykyä abstraktisuuden käsittelemiseen on ehtinyt kertyä. Intuitiivisen mielikuvan ja raja-arvojen numeerisen laskemisen pohjalta päästään aivan hyvin kiinni erotusosamäärän raja-arvoon, ts. derivaattaan. Samalla kurssi muuttuu selvästi kevyemmäksi.

Tällä tavoin asia on hoideltu Kalle Väisälän maineikkaassa algebran kirjassa. Sitä selailemalla ei oikein voi välttyä käsitykseltä, että Väisälä oli pedagogi, joka taisi tehdä paljon töitä löytääkseen asioille luontevan ja kohtuullisen helposti omaksuttavan esitystavan.