Kaksi pistettä määrää tunnetusti suoran yksikäsitteisesti. Asettamalla viivoittimen reuna pisteiden kautta suora voidaan alkeisgeometriassa piirtää. Tehtävästä tulee vaikeampi, jos toinen piste sijaitsee piirustuspaperin ulkopuolella ja tunnetaan vain kahden tunnetun suoran leikkauspisteenä. Ongelma tosin on hieman vanhanaikainen: moderneissa geometriaohjelmissahan ei ole piirustuspaperia ja kaukana oleviin pisteisiin päästään käsiksi piirustusalaa skaalaamalla tai siirtämällä.
Tehtävä on kuitenkin mielenkiintoinen ja avaa näköaloja hieman pidemmällekin. Annettuna on siis kaksi suoraa ja piste. Tulee piirtää annetun pisteen P ja suorien s1 ja s2 leikkauspisteen Q kautta kulkeva suora, mutta Q on kuitenkin kaukana.
Tarvittava konstruktio on seuraava: Valitaan jokin piste K ja piirretään sen kautta kolme suoraa (punaiset). Yksi näistä leikkaa suoran s1 pisteessä A1 ja suoran s2 pisteessä A2. Piirretään suorat PA1 ja PA2. Nämä leikkaavat toisen punaisista suorista pisteissä B1 ja B2. Kolmas punainen suora leikkaa suorat s1 ja s2 pisteissä C1 ja C2. Piirretään suorat B1C1 ja B2C2. Näiden leikkauspiste R on etsittävän suoran piste, ts. pisteet P, Q ja R ovat samalla suoralla s.
Miksi konstruktio sitten toimii? Kyseessä on Desarguesin lause: Jos suorat A1A2, B1B2 ja C1C2 kulkevat saman pisteen kautta, niin pisteet
P=A1B1∩A2B2,R=B1C1∩B2C2,Q=C1A1∩C2A2
ovat samalla suoralla. Tässä A1B1∩A2B2 tarkoittaa suorien A1B1 ja A2B2 leikkauspistettä jne. Girard Desargues oli ranskalainen 1600-luvulla vaikuttanut matemaatikko (ks. esim. http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Desargues.html).
Desarguesin lauseen todistus on helpompi kolmessa dimensiossa kuin kahdessa.
Jos nimittäin kolme punaista suoraa eivät ole samassa tasossa, niillä olevat pisteet A1, B1 ja C1 määräävät erään tason, pisteet A2, B2 ja C2 vastaavasti toisen tason. Näiden leikkaussuora olkoon s.
Toisaalta pisteet K, A1 ja B1 määräävät tason, jossa myös pisteet A2 ja B2 ovat. Suorat A1B1 ja A2B2 sijaitsevat tässä tasossa eivätkä siis ole ristikkäisiä. Tällöin niillä on leikkauspiste P. Tämä sijaitsee sekä tasossa A1B1C1 että tasossa A2B2C2, ts. suoralla s.
Vastaavasti voidaan osoittaa, että sekä suorien B1C1 ja B2C2 leikkauspiste R että suorien C1A1 ja C2A2 leikkauspiste Q ovat suoralla s.
Kaksidimensioinen todistus saadaan tämän jälkeen tulkitsemalla kaksidimensioinen kuvio kolmidimensioisen projektiokuvaksi.
Päättelyissä ja jo alkuperäisessä kuviossakin syntyy poikkeustilanteita, jos jotkin suorat eivät leikkaakaan, vaan ovat yhdensuuntaisia. Esimerkiksi alkuperäisestä kuviosta voi kysyä, mitä tapahtuu, jos suorat s1 ja s2 ovatkin yhdensuuntaiset. Projektiivisessa geometriassa tällaiset ongelmat ratkeavat liittämällä geometriseen tasoon äärettömän kaukaisia pisteitä. Ajatellaankin, että kaksi yhdensuuntaista suoraa leikkaa toisensa äärettömän kaukana olevassa pisteessä, johon päästään etenemällä suoria pitkin kumpaan tahansa suuntaan. Tällä tavoin syntyy ristiriidaton — ja kaunis — geometria, mutta kaikkia euklidisen geometrian totuttuja ominaisuuksia sillä ei ole.
Ei kommentteja:
Lähetä kommentti