Viiden pisteen ellipsi

Koordinaattitasoilla olevien ympyröiden kuvaellipsit

xy-tasossa olevan ellipsin yhtälö on aina muotoa
\[
Ax^2 + By^2 + 2Cxy + 2Dx + 2Ey + F = 0
\]
sen muodosta ja asemasta riippumatta. Yhtälö voi kertoimista riippuen esittää myös paraabelia tai hyperbeliä tai näiden erikoistapauksia. Yhteisellä nimellä käyriä kutsutaan toisen asteen käyriksi tai kartioleikkauksiksi.

Kertoimia yhtälössä on kuusi. Käyrä ei kuitenkaan muutu, jos yhtälö kerrotaan jollakin luvulla. Oleellisia eivät siten olekaan kertoimet vaan niiden suhteet, joita on viisi. Näiden määrittämiseen riittää tuntea viisi pistettä. Kertoimet saadaan siis ratkaisemalla viiden yhtälön lineaarinen ryhmä. Pisteiden sijainnista riippuen tuloksena on ellipsi, paraabeli, hyperbeli tai jokin erikoistapaus.

Valmis työkalu käyrän muodostamiseen viiden pisteen avulla löytyy monista dynaamisen geometrian ohjelmista (ainakin GeoGebra ja TI-Nspire; onko Class Padissa?). CAS-työkaluilla voi tietenkin myös ratkaista em. viiden yhtälön ryhmän.

Ellipsi kuitenkin määräytyy yksikäsitteisesti myös, jos tunnetaan yksi liittohalkaisijapari. Liittohalkaisijaparia sitoo ehto, että kumpikin puolittaa toisen suuntaiset jänteet. Tällöin tunnettuja pisteitä on kuitenkin vain neljä, liittohalkaisijoiden päätepisteet. Mistä saadaan viides piste?

Viidennen pisteen konstruointi

Viides piste löytyy varsin yksinkertaisella konstruktiolla: Muodostetaan ellipsin ympäri piirretty suunnikas asettamalla kummankin liittohalkaisijan $AB$ ja $CD$ päätepisteiden kautta toisen liittohalkaisijan suuntaiset suorat. Valitaan jokin tämän kärki ($F$) ja tätä vastaten määritetään janojen $KD$ ja $FD$ keskipisteet $M$ ja $N$. Viides piste on suorien $MF$ ja $AN$ leikkauspiste $P$.

Konstruktion pätevyys ei ole itsestään selvää. Todistus ei kuitenkaan ole hankala, kun lähdetään ajatuksesta, että jokainen ellipsi on ympyrän affiininen kuva, ts. kuva yhdensuuntaisprojektiossa eli aksonometrinen kuva. Koska tällöin janojen jakosuhteet säilyvät, janojen keskipisteet kuvautuvat kuvajanojen keskipisteiksi. Ellipsin liittohalkaisijoita vastaa ympyrän kaksi kohtisuoraa halkaisijaa; nämähän nimittäin ovat ympyrän liittohalkaisijoita, ts. kumpikin puolittaa toisen suuntaiset jänteet.

Jäljelle jää siten vain osoittaa, että vastaava konstruktio ympyrässä tehtynä tuottaa ympyrän pisteen. Tämä puolestaan on alkeisgeometriaa.

Ellipsin piirtämismenetelmänä konstruktio ei nykyisten tietokoneohjelmien aikakaudella enää ole kovin merkittävä. Alussa olevassa kuviossa ympyröiden kuvaellipsit olisi luonnollisesti voitu piirtää konstruoimalla viides piste, mutta ohjelmistot usein tarjoavat muunlaiset valmiit työkalut tällaisiin tehtäviin. Esimerkkinä GeoGebra, jolla kuvio on tehty.

Olemmeko menossa kohden maailmaa, jossa matematiikan taitoja tärkeämpää on osata käyttää ohjelmistoja?

GeoGebra ja CAS

Edellisessä postauksessani kritisoin GeoGebran CAS-osiota. Hieman laajempaa ongelmaa tutkiessani johduin uudelleen ihmettelemään sen piirteitä. Seuraava on mahdollisimman yksinkertainen esimerkki CAS-osion ja dynaamisen geometrian osion välisistä suhteista. (CAS = Computer Algebra System)

En ole hirveän hyvin perehtynyt GeoGebran sielunelämään. Joku viisaampi voi varmaan kommentoida havaintojani.

Lähtökohtana on piirtonäyttöön piirretty origokeskinen yksikköympyrä, suora $y = x$ ja näiden leikkauspisteet $C$ ja $D$. Kaikki muodostettu dynaamisen geometrian työkaluilla.

Objektit löytyvät myös CAS-puolelta: ympyrän ja suoran yhtälöt objektien nimillä, pisteet samoin. Jälkimmäisille on saatu murtolukuesitys tarkkojen arvojen painikkeella (korostettu sinisellä).

Leikkauspisteet voidaan tietenkin myös löytää ratkaisemalla ympyrän ja suoran yhtälöiden muodostama yhtälöpari. Tätä on yritetty rivillä 5, mutta tulos on omituinen. Jos Solve-komentoon sen sijaan kirjoitetaan yhtälöt niiden nimien sijasta, oikeat ratkaisut löytyvät. Ongelmana lienee, minkä nimiä $c$ ja $f$ oikeastaan ovat. Odottaisin, että nimet kelpaavat symbolisessa laskennassa.

Yhtälöpari voidaan ratkaista myös aktivoimalla rivit 1 ja 2 ja painamalla tarkan ratkaisun painiketta. Saadaan rivin 6 oikea tulos. Tämän perusteella voidaan muodostaa pisteet $C1$ ja $D1$ (rivit 7 ja 8). Nämä ilmestyvät myös piirtonäyttöön (kuvassa ne on piilotettu).

Hämäävää on, että leikkauspisteille on saatu kaksi esitystä, molemmat ns. tarkkoja ratkaisuja. Tämän perusteella täytyisi olla
\[
\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{470832}{665857},
\]
 ts. kakkosen neliöjuuri olisi rationaalinen.

Selitys luonnollisesti on, että leikkauspisteet on laskettu kahdella eri algoritmilla, dynaamisen geometrian numeerisella algoritmilla ja CASin symbolisella. Myös edellistä CAS kuitenkin käsittelee tarkkana arvona.

Dynaamisen geometrian idea, kuvion muunneltavuus, toimii kaikkialla: Jos suoraa muutetaan piirtonäytössä pisteitä $A$ ja $B$ siirtelemällä, kaikki CAS-puolen tulokset muuttuvat vastaavasti, myös pisteiden $C1$ ja $D1$ koordinaatit, joihin ilmestyy tilanteen mukaan mutkikkaita juurilausekkeita.  Tämä ei luonnollisestikaan enää päde, jos rivillä 5 syötetään ympyrän ja suoran yhtälöt Solve-komentoon. Niillähän ei tällöin enää ole kytkentää piirtonäytön objekteihin.

Esimerkki tuo esiin CAS-ohjelmien sudenkuopat. Yhtenäisyyden saavuttaminen ei ole helppoa. Ohjelman kehityksen alussa tehdyt valinnat voivat olla esteenä myöhemmin ilmenevien epäjohdonmukaisuuksien korjaamiseen. Tämä ei ole niinkään harvinaista: tie eteenpäin kulkee usein aloittamalla uusi projekti, jossa luodaan uusi ohjelma ja hyödynnetään tehtyjen virheiden antamat opetukset.

Tavallaan GeoGebrakin on tällainen uusi projekti. Aiemmat (Cabri, Cinderella, ...)  eivät käsittääkseni ole yrittäneetkään symbolilaskennan valtausta.