Elliptinen sohvapöytä

Tarinoitiin ystävien kanssa sohvapöydän ympärillä. Heräsi kysymys, onko soikea sohvapöytä ellipsin muotoinen vai ylipäätään vain jokin soikio. Miten asian voisi helpoimmin selvittää? Kamera on nykyään jokaisella mukana, joten otettiin pöytälevystä pari kuvaa, molemmat vinossa asennossa, ja päätettiin analysoida ne myöhemmin.

 

Kamera muodostaa kuvia — perspektiivikuvia — keskusprojektion periaatteella. Keskusprojektio puolestaan kuvaa kartioleikkauksen — ellipsin, paraabelin tai hyperbelin — kartioleikkaukseksi. Tyyppi ei välttämättä säily, esimerkiksi ellipsi voi myös kuvautua paraabelin tai hyperbelin kaareksi. Sohvapöydän kuvissa oli kuitenkin ilmeistä, että jos muoto on ellipsi, niin sen kuvakin on ellipsi. Myös käänteinen pätee: jos kuva on ellipsi, niin pöytäkin on ellipsin muotoinen. Eikä kuvan tällöin tarvitse olla otettu kohtisuoraan pöydän pintaa vastaan.

Riittää siis analysoida pöydästä otetut valokuvat. Tätä varten kuva voidaan siirtää GeoGebran piirtoalustalle, jolloin sen päälle on mahdollista tehdä geometrisia konstruktioita. Kartioleikkauksen — toisen asteen käyrän — yhtälö xy-tasossa on periaatteessa muotoa \[ax^2 + by^2 + 2cxy + 2dx + 2ey + f = 0,\] missä on kuusi kerrointa $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ ja $f$. Yhtälön määräämiseen riittää tuntea viisi pistettä kartioleikkaukselta. Tällöin kertoimiin jää yksi vapausaste, mutta näin tulee ollakin, sillä kartioleikkaus ei muutu, jos yhtälö kerrotaan nollasta eroavalla vakiolla. GeoGebrassa on työkalu, joka määrittää kartioleikkauksen yhtälön ja piirtää käyrän, kun annetaan viisi pistettä.

Valittiin siis valokuvassa viisi pistettä pöydän reunalta ja muodostettiin reunakäyrä kartioleikkauksena. Tämä osoittautui ellipsiksi, joka hyvin suurella tarkkuudella yhtyy pöydän reunaan. Alla on konstruktio tehtynä kumpaankin kuvaan. Pöytälevy on siis ilmeisesti tehty nimenomaan ellipsin muotoon. Myöhemmin ilmeni, että pöydän suunnittelija on Ilmari Tapiovaara (Ovalette,1954).

GeoGebrassa on myös työkalu, jolla voidaan määrittää annetun ellipsin polttopisteet. Nämä ovat nähtävissä kummassakin kuvassa (punaiset pisteet $F_1$ ja $F_2$). Pöytälevyyn nähden ne näyttävät kuvissa olevan eri paikoissa. Vaikkakin keskusprojektiossa kartioleikkaus kuvautuu kartioleikkaukseksi, polttopisteet eivät kuvaudu polttopisteiksi. Jos siis haluaa kairata pöytäänsä reiät kynttiläjaloiksi polttopisteiden kohdalle, paikkoja ei voi määrittää valokuvan perusteella. Vastaava koskee ellipsin tunnettua ominaisuutta: kehäpisteen yhteenlaskettu etäisyys polttopisteistä on vakio. Ominaisuus on jokaisella ellipsillä, mutta vakio ei ole eri kuvissa sama, vaikka skaalauskin otettaisiin huomioon. 

 

Colosseumin eksentrisyys ja GeoGebra

Jonkin ohjelmiston käyttökelpoisuutta on usein hyvä yrittää testata ongelmalla, jossa todennäköisesti joudutaan ohjelmiston mahdollisuuksien rajoille. Ratkaisu ehkä voidaan löytää, mutta matkalla törmätään ohjelmiston ongelmakohtiin ja rajoituksiin.

Googlelta löytyy hyvä ilmakuva Rooman Colosseumista. Ääriviiva näyttää ellipsiltä. Miten tarkoin se on? Jos se on, niin mikä olisi eksentrisyys?

Kuvan saa vaivatta luetuksi GeoGebraan. Ellipsi tulee määrätyksi, jos tunnetaan viisi pistettä sen kehältä. GeoGebrasta löytyy valmis työkalu, ja naputtelemalla viisi pistettä Colosseumin reunalta saadaan piirretyksi ellipsi, joka hämmästyttävän hyvin yhtyy reunaan. Mitenkähän Colosseumin arkkitehti on rakennelman suunnitellut?

Seuraavassa käsittelen vain kuvassa olevaa ulompaa ellipsiä. Tämän yhtälö $c$ löytyy GeoGebran algebraikkunasta. Yhtälön avulla voidaan hakea ellipsin keskipiste, akselit ja eksentrisyys. Käytössä ovat grafiikka-, algebra- ja CAS-ikkunat. Laskenta voi ehkä olla yksinkertaisempaakin, joten otan mielelläni vastaan kommentteja.

Pohjana on analyyttinen geometria sellaisena kuin sitä aikoinaan yliopistoissa opetettiin. Nykyään ei enää. Referenssinä voi käyttää vanhoja yliopistotason oppikirjoja, joiden uusimmassa päässä on oma kirjani Algebra ja geometria.  En esitä seuraavassa teoriaa enkä perustele yhtälöiden muodostamista.

Geogebratiedosto sekä algebra- ja CAS-ikkunoiden pdf-kuvat löytyvät linkeistä http://www.elisanet.fi/simo.kivela/blg/colosseum.ggb
http://www.elisanet.fi/simo.kivela/blg/colosseumAlg.pdf
http://www.elisanet.fi/simo.kivela/blg/colosseumCAS.pdf

CAS-laskennan riveillä 1--4 on määritetty ellipsin keskipiste. Riveillä 5--6 on muodostettu ellipsin yhtälön toisen asteen osan, neliömuodon matriisi $a$. Riveillä 7--8 määritellyt vektorit ovat probleeman tuntemattomat, jotka tarkoittavat pääakselisuuntia. Näille muodostetaan neljä yhtälöä (rivit 9--12): Ensimmäinen vaatii, että kyseessä ovat liittosäteet. Toisen mukaan näiden tulee olla kohtisuoria, jolloin ne ovat akselisuuntia. Kolmas ja neljäs vaativat, että vektoreiden päätepisteet ovat ellipsin kehällä, kun alkupiste on ellipsin keskipisteessä.

Neljän tuntemattoman ja neljän epälineaarisen yhtälön ryhmän ratkaiseminen onnistuu rivillä 13 ja saadaan kahdeksan ratkaisua. Nämä ovat oleellisesti samoja ja eroavat ainoastaan vektoreiden järjestyksen ja vastakkaisuuden suhteen. Kun akselit tunnetaan, niiden pituudet ja eksentrisyys voidaan laskea (rivit 14--18). Colosseumin ulkokehän eksentrisyys on 0.60.

Ratkaiseminen siis onnistui. Millaisia olivat kokemukset?

Yrityksiä ja erehdyksiä tarvittiin paljon. GeoGebran dokumentaatiosta ei ollut aivan helppoa löytää tarjolla olevia funktioita tai komentoja ja niiden käyttöä tai merkitystä. Muutaman kerran GeoGebra kaatui ja hukkasi kaiken siihen mennessä lasketun. Aloinkin tallettaa tiedoston parin kolmen operaation välein.

Eksentrisyyden laskemisessa tuli yllätys. Laskua varten täytyy tietää, kumpi akseli on iso ja kumpi pieni. Useamman kerran laskettaessa tuli vaihdellen oikea tulos ja kompleksinen arvo. Syynä on, että GeoGebra ilmeisesti laskee ajoittain yhtälöryhmän ratkaisun uudelleen ja tulokset tulevat eri järjestyksessä.  Tämä johtaa ison ja pikku akselin roolien vaihtumiseen. Koodissa siis pitäisi testata, kumpi vektorinpituus on suurempi ennen eksentrisyyden laskemista.  Toisinaan yhtälöryhmälle tuli myös virheellinen ratkaisu.

Kyse on periaatteessa siitä, onko laskentadokumentti dynaaminen ja mikä muutos aiheuttaa sen uudelleen laskemisen. Luontevinta ehkä olisi, että se lasketaan uudelleen vain käyttäjän nimenomaisesta käskystä.

Laskenta on tehty paikallisesti asennetulla GeoGebralla. Verkkoversiossa en saanut yhtälöryhmän ratkaisua onnistumaan.

Luonteva ajatus olisi pakata laskennan vaiheet makroksi, jolla olisi yksi argumentti, nimittäin ellipsi, jota lähdetään tarkastelemaan. Tällöin saataisiin vähällä vaivalla esimerkiksi Colosseumin sisemmän ellipsin eksentrisyys.  GeoGebrassa voidaan tehdä komentoja sisältäviä skriptejä, jotka käynnistetään esimerkiksi painikkeesta. En kuitenkaan löytänyt tapaa antaa näille argumenttia (parametria). Joko se ei ole mahdollista tai dokumentaatio oli minulle liian vaikeaa.

GeoGebra on monessa suhteessa näppärä työkalu, mutta CAS-osio ei ole täysin onnistunut. Yksinkertaiset tehtävät kyllä sujuvat, mutta mahdollisuutta kasvaa sen mukana vaativampiin tehtäviin ei oikein ole. Sääli.

Viiden pisteen ellipsi

Koordinaattitasoilla olevien ympyröiden kuvaellipsit

xy-tasossa olevan ellipsin yhtälö on aina muotoa
\[
Ax^2 + By^2 + 2Cxy + 2Dx + 2Ey + F = 0
\]
sen muodosta ja asemasta riippumatta. Yhtälö voi kertoimista riippuen esittää myös paraabelia tai hyperbeliä tai näiden erikoistapauksia. Yhteisellä nimellä käyriä kutsutaan toisen asteen käyriksi tai kartioleikkauksiksi.

Kertoimia yhtälössä on kuusi. Käyrä ei kuitenkaan muutu, jos yhtälö kerrotaan jollakin luvulla. Oleellisia eivät siten olekaan kertoimet vaan niiden suhteet, joita on viisi. Näiden määrittämiseen riittää tuntea viisi pistettä. Kertoimet saadaan siis ratkaisemalla viiden yhtälön lineaarinen ryhmä. Pisteiden sijainnista riippuen tuloksena on ellipsi, paraabeli, hyperbeli tai jokin erikoistapaus.

Valmis työkalu käyrän muodostamiseen viiden pisteen avulla löytyy monista dynaamisen geometrian ohjelmista (ainakin GeoGebra ja TI-Nspire; onko Class Padissa?). CAS-työkaluilla voi tietenkin myös ratkaista em. viiden yhtälön ryhmän.

Ellipsi kuitenkin määräytyy yksikäsitteisesti myös, jos tunnetaan yksi liittohalkaisijapari. Liittohalkaisijaparia sitoo ehto, että kumpikin puolittaa toisen suuntaiset jänteet. Tällöin tunnettuja pisteitä on kuitenkin vain neljä, liittohalkaisijoiden päätepisteet. Mistä saadaan viides piste?

Viidennen pisteen konstruointi

Viides piste löytyy varsin yksinkertaisella konstruktiolla: Muodostetaan ellipsin ympäri piirretty suunnikas asettamalla kummankin liittohalkaisijan $AB$ ja $CD$ päätepisteiden kautta toisen liittohalkaisijan suuntaiset suorat. Valitaan jokin tämän kärki ($F$) ja tätä vastaten määritetään janojen $KD$ ja $FD$ keskipisteet $M$ ja $N$. Viides piste on suorien $MF$ ja $AN$ leikkauspiste $P$.

Konstruktion pätevyys ei ole itsestään selvää. Todistus ei kuitenkaan ole hankala, kun lähdetään ajatuksesta, että jokainen ellipsi on ympyrän affiininen kuva, ts. kuva yhdensuuntaisprojektiossa eli aksonometrinen kuva. Koska tällöin janojen jakosuhteet säilyvät, janojen keskipisteet kuvautuvat kuvajanojen keskipisteiksi. Ellipsin liittohalkaisijoita vastaa ympyrän kaksi kohtisuoraa halkaisijaa; nämähän nimittäin ovat ympyrän liittohalkaisijoita, ts. kumpikin puolittaa toisen suuntaiset jänteet.

Jäljelle jää siten vain osoittaa, että vastaava konstruktio ympyrässä tehtynä tuottaa ympyrän pisteen. Tämä puolestaan on alkeisgeometriaa.

Ellipsin piirtämismenetelmänä konstruktio ei nykyisten tietokoneohjelmien aikakaudella enää ole kovin merkittävä. Alussa olevassa kuviossa ympyröiden kuvaellipsit olisi luonnollisesti voitu piirtää konstruoimalla viides piste, mutta ohjelmistot usein tarjoavat muunlaiset valmiit työkalut tällaisiin tehtäviin. Esimerkkinä GeoGebra, jolla kuvio on tehty.

Olemmeko menossa kohden maailmaa, jossa matematiikan taitoja tärkeämpää on osata käyttää ohjelmistoja?

Ellipsi ennen ja nyt

Opetin deskriptiivistä geometriaa 1970-luvulla Teknillisessä korkeakoulussa ja opin tuolloin käyttämään piirustuspöytään kiinnitettyä piirustuskonetta.  Jäätyäni eläkkeelle vuonna 2006 sain kotiini piirustuspöydän koneineen: sillä oli kiva leikkiä, vaikka työvälineenä se olikin jo vanhentunut. Nyt pöytä on palautettu museoesineeksi Aalto-yliopistoon, Teknillisen korkeakoulun seuraajaan.

Piirsin ja kiinnitin museopöytään tyypillisen deskriptiivisen geometrian konstruktion: Annettuna on suunnikas ja tehtävänä on piirtää tämän sisään ellipsi. Aksonometrisia kuvia (yhdensuuntaisprojektiokuvia) piirrettäessä ongelma esiintyy usein.  Kohteessa oleva ympyrä nimittäin näkyy kuvassa ellipsinä, ja yleensä on aika helppoa konstruoida ympyrää ulkopuolisesti sivuavan neliön kuva, joka on suunnikas. Sen sisään on sitten piirrettävä ellipsi.

Perinteinen ratkaisu etenee seuraavasti: Suunnikkaan (oheisessa kuvassa mustalla) vastakkaisten sivujen keskipisteiden yhdysjanat ovat ellipsin liittohalkaisijat.  Rytzin akselikonstruktion avulla voidaan tällöin konstruoida ellipsin akselit ja näiden avulla ellipsin sisältävä suorakulmio (kuvassa punaisella). Suorakulmion avulla muodostetaan ellipsin akseleiden päätepisteisiin liittyvät kaarevuusympyrät (vaaleanpunaisella), joiden avulla voidaan käsivaraisesti hahmotella ellipsi (sinivihreä katkoviiva) aika suurella tarkkuudella.

Kuva kylläkin on sikäli epärehellinen, että se on tehty modernilla työkalulla, GeoGebralla. (Avaa GeoGebra-dokumentti.)

Yksityiskohdista kiinnostuneelle lukijalle:

Rytzin akselikonstruktiossa liittosäteistä $KP$ ja $KQ$ toista kierretään 90 astetta keskipisteen $K$ ympäri; kuvassa tuloksena on $KQ'$. Piirretään ympyrä, jonka keskipiste on janan $PQ'$ keskipiste $M$ ja joka kulkee pisteen $K$ kautta.  Tämä leikkaa suoran $PQ'$ pisteissä $R$ ja $S$. Ellipsin akselisuunnat ovat $KR$ ja $KS$, puoliakselien pituudet $Q'R$ ja $Q'S$.

Kaarevuusympyröiden keskipisteet löydetään asettamalla suorakulmion lävistäjälle normaalit (vihreällä) kahdesta muusta kärjestä ja etsimällä näiden leikkauspisteet ellipsin akselisuorien kanssa.

Konstruktioiden pätevyyden päättelyn jätän lukijalle. Aivan helppoa se ei ole.

Perinteisen ratkaisun konstruominen GeoGebralla on tietenkin hieman näköalatonta.  Jos uusi työkalu tarjoaa uudet ja paremmat mahdollisuudet ongelman ratkaisemiseen, näitä toki pitäisi hyödyntää.  GeoGebrassa ellipsin saa muodostetuksi, jos tunnetaan polttopisteet ja yksi kehäpiste. Myös mikä tahansa kartioleikkaus (ellipsi, paraabeli, hyperbeli) voidaan muodostaa, kun tunnetaan sen viisi pistettä. Jätän lukijan pohdittavaksi, miten näitä voi näppärimmin hyödyntää piirrettäessä ellipsiä annetun suunnikkaan sisään.