Projektiivinen taso, homogeeniset koordinaatit ja äärettömän kaukaiset pisteet

Rautatien äärettömän kaukainen piste (kuva Tom Barrett, Unsplash)

Geometrioita on monenlaisia. Perinteinen koulugeometria, antiikin Kreikasta lähtenyt euklidinen geometria ei ole lainkaan ainoa mahdollisuus. Epäeuklidista geometriaa olen aiemmin käsitellyt, tällä kertaa esillä on jotakin projektiivisesta geometriasta jatkona edellisen blogikirjoituksen Pascalin ja Brianchonin lauseisiin. Näissä saattoi esiintyä yhdensuuntaisia suoria, joille kuitenkin tarvittiin leikkauspiste. Kutsuin tällaisia pisteitä äärettömän kaukaisiksi pisteiksi ja niiden turvin lauseet saatiin toimimaan rajoituksitta. Mutta saisiko tällaiseen geometriaan — projektiiviseen geometriaan — jotenkin konkreettisuutta?

Lähtökohtana olkoon tavallinen euklidinen taso, jossa pisteen paikka voidaan ilmaista kahdella koordinaatilla: $P = (x,y)$. Luodaan pisteelle uudet koordinaatit, ns. homogeeniset koordinaatit lisäämällä alkuun nollas koordinaatti. Tällöin piste esitetään muodossa $P\,\widehat{=}\, (1,x,y)$ ja sovitaan, että jos koordinaatit kerrotaan nollasta eroavalla luvulla, kyseessä on edelleen sama piste: $P\,\widehat{=}\,(p,px,py)$, $p \neq 0$. Jos kääntäen pisteen homogeeniset koordinaatit ovat $(x_0,x_1,x_2)$, nämä voidaan kertoa luvulla $1/x_0$ ja saada muotoon $(1,x_1/x_0,x_2/x_0)$, mistä näkyy, että tavalliset koordinaatit ovat $(x_1/x_0,x_2/x_0)$. Edellytyksenä luonnollisesti on, että $x_0 \neq 0$.

Vaatimus, että homogeenisten koordinaattien nollas koordinaatti ei saa olla $0$, on jonkinlainen kauneusvirhe, joka rikkoo symmetrian. Siitä luopuminen tuo mahdollisuuden liittää tasoon uusia pisteitä: Sovitaan, että luvut $(x_0,x_1,x_2)$ esittävät aina pistettä, kunhan kaikki eivät ole samanaikaisesti $= 0$,. Nollasta eroavalla vakiolla kerrottuna ne esittävät edelleen samaa pistettä: $(x_0,x_1,x_2)\,\widehat{=}\,(px_0,px_1,px_2)$. Jos $x_0 \neq 0$, kyseessä on tavallinen piste, jos $x_0 = 0$, kyseessä on tasoon liitetty uusi piste, jota kutsutaan ideaalipisteeksi tai äärettömän kaukaiseksi pisteeksi. Syntyvää geometriaa kutsutaan projektiiviseksi geometriaksi. Kaikki sen pisteet ovat periaatteessa samassa asemassa. (Lineaarialgebrallisesti ajatteleva henkilö voisi kutsua niitä kolmiulotteisen avaruuden $\mathbb{R}^3$ yksiulotteisiksi aliavaruuksiksi.) Jako tavallisiin ja ideaalipisteisiin koskee vain geometrian tulkintaa jossakin yhteydessä.

Nimityksen 'äärettömän kaukainen piste' motivoimiseksi on syytä tarkastella tason suoria. Tunnetusti suoran yhtälö on muotoa $a_1x + a_2y + a_0 = 0$ ja piste $P = (x,y)$ on suoralla, jos yhtälö toteutuu. Jos piste ilmaistaan homogeenisilla koordinaateilla muodossa $(x_0,x_1,x_2)$, ehto saa muodon $a_1x_1/x_0 + a_2x_2/x_0 + a_0 = 0$ tai yhtä hyvin $a_0x_0 + a_1x_1 + a_2x_2 = 0$, koska yhtälön voi kertoa nollasta eroavalla vakiolla.

Suora määräytyy, kun tunnetaan sen yhtälön kertoimet $a_0$, $a_1$ ja $a_2$. Itse asiassa kertoimet $qa_0$, $qa_1$ ja $qa_2$ määräävät saman suoran, kun $q \neq 0$. Näitä voidaan kutsua suoran homogeenisiksi koordinaateiksi. Pisteiden ja suorien välillä vallitsee symmetrinen tilanne: kummatkin määräytyvät kolmen luvun perusteella ja nämä luvut voidaan aina kertoa nollasta eroavalla vakiolla. Piste $P\,\widehat{=}\,(x_0,x_1,x_2)$ on suoralla $s\,\widehat{=}\,(a_0,a_1,a_2)$, jos ja vain jos $a_0x_0 + a_1x_1 + a_2x_2 = 0$. Tätä kutsutaan insidenssirelaatioksi.

Jos kaksi suoraa ovat tavanomaisessa mielessä yhdensuuntaisia, niiden yhtälöt eroavat vain vakiotermien osalta. Niiden homogeeniset koordinaatit ovat tällöin muotoa $(c_1,a,b)$ ja $(c_2,a,b)$, missä $c_1 \neq c_2$. Jos suorilla on leikkauspiste, ts. yhteinen piste, jonka homogeeniset koordinaatit ovat $(x_0,x_1,x_2)$, tulee insidenssirelaatioiden $$\begin{align*} &c_1x_0 + ax_1 + bx_2 = 0, \\ &c_2x_0 + ax_1 + bx_2 = 0 \end{align*}$$ toteutua. Vähentämällä yhtälöt saadaan $(c_1 - c_2)x_0 = 0$, mistä seuraa $x_0 = 0$. Yhteinen piste on siis ideaalipiste ja sen kutsuminen äärettömän kaukaiseksi pisteeksi on perusteltua, koska kahden suoran kääntyessä yhdensuuntaisiksi niiden leikkauspiste pakenee äärettömän kauas.

Koska äärettömän kaukaiset pisteet ovat muotoa $(0,x_1,x_2)$ ne sijaitsevat suoralla $(1,0,0)$: $1 \cdot 0 + 0 \cdot x_1 + 0 \cdot x_2 = 0$. Tämä on ainoa projektiiviseen tasoon laajennuksessa tullut uusi suora. Sitä kutsutaan ideaalisuoraksi tai äärettömän kaukaiseksi suoraksi.

Voidaanko äärettömän kaukaisia pisteitä sitten jotenkin 'nähdä' vai ovatko ne vain teoreettisia apukäsitteitä? Projektiivisen tason kuviot voidaan ns. projektiivisella kuvauksella muuntaa uudenlaisiksi kuvioiksi. Tällöin pisteet ja suorat ja niiden väliset insidenssirelaatiot säilyvät, mutta esimerkiksi etäisyydet tai kulmien suuruudet eivät säily. Esimerkkinä on oheinen F-kirjaimen kuvautuminen. Perspektiivikuvan muodostaminen on myös esimerkki projektiivisesta kuvauksesta. Alla olevassa kuvassa on xy-tason suorakulmaisen ruudukon perspektiivikuva. Tässä ruudukkoa rajaa yläpuolelta vaakasuora viiva, jonka pisteisiin tason yhdensuuntaiset suorat suuntautuvat. Tämä viiva (perspektiivikuvan horisontti) on ideaalisuoran kuva.

Kirjaimen F projektiivinen kuva. Harmaat viivat ovat konstruktion apuviivoja.

Suorakulmaisen ruudukon perspektiivikuva

Artikkelin alussa olevan suoran rautatien perspektiivikuvassa näkyy myös yhdensuuntaisten kiskojen äärettömän kaukaisen pisteen kuva, jossa kiskot näyttävät yhtyvän (perspektiivikuvan pakopiste).